TEORIA GIER – 9 Gry w postaci ekstensywnej W drzewach gry, dla
Transkrypt
TEORIA GIER – 9 Gry w postaci ekstensywnej W drzewach gry, dla
TEORIA GIER – 9 Gry w postaci ekstensywnej W drzewach gry, dla wie֒ kszej czytelności rysunku, pomijam niekiedy etykiety krawe֒ dzi lub nazwy zbiorów informacyjnych. ZD1. Rozważmy gre֒ prawie taka֒ jak w przykladzie 1 z pocza֒tku wykladu, jedyna֒ zmiana֒ jest zasta֒pienie reguly ,,Gracz 1 pokazuje kulke֒ graczowi 2” inna֒ regula֒ (mówia֒ca֒, jakie otrzymuje gracz 2 informacje od gracza 1). Niestety nikt nam nie powiedzial, jaka֒. Odczytaj te֒ nowa֒ regule֒ , wiedza֒c, że drzewo gry wygla֒da jak na rysunku poniżej. (a) (b) (c) (d) ZD2. Dla podanej gry w postaci ekstensywnej wyznacz dla każdego z graczy zbiory jego strategi czystych, behawioralnych i mieszanych. I L P II a II b b a (2,1) (1,−1) (1,1) L I P II L (2,3) II P (1,2) L P (−2,3) (3,3) ZD3. Dwoje graczy wyklada na środek stolu po 1 zl. Owe 2zl stanowi pocza֒tkowa֒ pule֒ gry. Gracz I dostaje z talii karte֒ , przy czym z prawdopodobieństwem 1/4 jest to pik, a z prawdopodobieństwem 3/4 inny kolor. Karte֒ te֒ widzi tylko gracz I. Teraz gracz I może karte֒ ujawnić lub podbić stawke֒ . Jeżeli ujawni karte֒ i jest to pik, zgarnia cala֒ pule֒ (2zl), jeżeli zaś karta nie jest pikiem, to pule֒ zgarnia gracz II; naste֒ puje koniec gry. W drugim przypadku, gdy gracz I zdecyduje sie֒ na podbicie stawki, doklada 2zl do puli i kolejny ruch wykonuje gracz II. Gracz II ma dwie możliwości: spasować lub sprawdzić. Jeżeli spasuje, to gracz I zabiera cala֒ pule֒ , niezależnie od karty jaka֒ posiada. Jeśli natomiast gracz II sprawdza, to doklada 2zl do puli, po czym gracz I musi ujawnić swoja֒ karte֒ . Gdy jest to pik, gracz I zabiera cala֒ pule֒ , w przeciwnym wypadku pule֒ zgarnia II. (a) Narysuj drzewo tej gry. (b) Wyznacz dla każdego z graczy zbiory jego strategi czystych. ZD4. Pomyslowy Dobromir i Lisek Chytrusek postanowili urozmaicić grudniowy wieczór gra֒ towarzyska֒. Na pocza֒tku mistrz gry losuje (z jednakowym prawdopodobieństwem) jedna֒ z czterech kart: 2pik, 3kier, 4pik, 5karo. Zalóżmy, że karta ta ma wartość x. Jeżeli mistrz wylosowal pika, zdradza kolor (ale nie wartość) karty tylko Liskowi (w tajemnicy przed Dobromirem), a jeżeli wylosowal kiera, mówi o kolorze tylko Dobromirowi (w tajemnicy przed Liskiem). W pozostalych przypadkach nic nie mówi. Naste֒ pnie Lisek wybiera ,,pas” lub ,,sprawdzam”. Gdy sprawdza, wtedy gra sie֒ kończy: jeśli x jest parzyste, to Dobromir placi Liskowi x zl, jeżeli zaś x jest nieparzyste, Lisek placi x zl Dobromirowi. Gdy Lisek spasuje, wtedy decyzje֒ ,,pas” lub ,,sprawdzam” podejmuje Dobromir. Jeżeli powiedzial ,,pas”, a x jest parzyste, placi 2zl Liskowi, nastomiast przy nieparzystym x dostaje 2zl od Liska. W przypadku ,,sprawdzam” karta jest pokazywana graczom: jeżeli x jest parzyste, to Lisek placi Dobromirowi x zl, w przeciwnym zaś przypadku x zl Lisek od Dobromira dostaje. (a) Przedstaw te֒ gre֒ w postaci ekstensywnej. (b) Wyznacz zbiory strategii czystych obu graczy. ZD5. W podanych grach zaznacz wszystkie liście, do jakich moga֒ dotrzeć gracze, jeżeli I stosuje strategie֒ czysta֒ s1 , , natomiast II stosuje strategie֒ czysta֒ s2 . Zakladamy, że zbiory informacyjne sa֒ uporza֒dkowane tak, jak sugeruja֒ ich nazwy. 1 2 (a) s2 = (x, a), s1 = (L, P ) (b) s1 = (L, P ), s2 = (b) (c) s1 = (y, y), s2 = (a, a) Los [1/3] I [2/3] I P L P (1,−1) II a A1 L (1,1) II a b b I (−2,3) (2,1) (2,3) L P (1,2) A2 I L (−2,3) P (3,3) ZD6. Dla podanej gry w postaci ekstensywnej (a) Wyznacz wszystkie liście, do jakich z dodatnim prawdopodobieństwem dotra֒ gracze, jeśli gracz I używa strategii mieszanej σI = 1 3 4 (1) + 4 (2), natomiast II – strategii behawioralej bII = (( 12 , 12 ), ( 13 , 23 )). Wyznacz to prawdopodobieństwo dla każdego liścia. (b) Wyznacz wszystkie liście, do jakich z dodatnim prawdopodobieństwem dotra֒ gracze, jeśli gracze używaja֒ strategii mieszanych σI = 14 (1) + 34 (2) i σII = 12 (1, 1) + 13 (1, 2) + 16 (2, 2). Wyznacz to prawdopodobieństwo dla każdego liścia. (c) Oblicz wyplaty obu graczy dla strategii mieszanych σI = (1) i σII = 12 (1, 1) + 13 (1, 2) + 16 (2, 2). (d) Oblicz wyplaty graczy dla strategii mieszanych σI = 14 (1) + 34 (2) i σII = 12 (1, 1) + 13 (1, 2) + 16 (2, 2). ZD7. (a) W podanej grze wyznacz wyplaty obu graczy i prawdopodobieństwa dojścia dla każdego liścia, przy strategiach • mieszanych σI = 14 (P, P ) + 34 (P, L) i σII = 12 (a, P ) + 13 (b, L) + 16 (b, P ) • behawioralnych bI = ( 14 L + 34 P, L) i bII = ( 12 a + 12 b, 23 L + 13 P ). I L a II b (c) W podanej grze oblicz wyplaty obu graczy przy strategiach mieszanych σII = (a) i σI = 12 (L, P ) + 18 (L, L) + 38 (P, L). b a (2,1) (1,−1) (1,1) L I P II L (2,3) (b) W podanej grze oblicz prawdopodobieństwo dojścia do liścia z wektorem wyplat (2, 3), jeżeli gracze stosuja֒ strategie mieszane σII = (a) i σI = 12 (L, L, P ) + 18 (L, L, L) + 14 (P, P, L) + 18 (L, P, L). P II II P (1,2) L P (−2,3) (3,3)