Teoria gier semestr letni 2007/2008 IV lista zadań

Teoria gier
semestr letni 2007/2008
IV lista zadań
1. W grze w trzy kule na 1. etapie gry gracz 1. wrzuca do urny 1, 2, lub 3
kule. Na drugim etapie gracz 2., nie wiedząc o tym, ile kul wrzucił 1.,
wybiera, ile kul ma być z urny wyciągniętych. Może wybrać 1, 2, lub
3 kule. Jeśli każe wyciągnąć więcej kul niż jest w urnie – przegrywa.
Jeśli po tym etapie zostają w urnie jeszcze jakieś kule, gracz 1., wiedzący tylko, ile kul włożył do urny oraz, że w urnie jeszcze są jakieś
kule, wybiera, ile kul wyciągnąć. Jeśli kazał wyciągnąć więcej kul niż
jest w urnie – przegrywa, jeśli nie – wygrywa, jeśli wyciągnął większość
kul, które były włożone, przegrywa, jeśli wyciągnął mniejszą częśc kul,
jest remis, jeśli wyciągnął dokładnie połowę kul, które włożył. Narysuj drzewo tej gry, zaznacz pozycje poszczególnych graczy oraz zbiory
informacyjne.
2. Gra w „białoruską ruletkę” jest grą dwóch graczy. Zaczyna się od tego,
że gracz 1. wkłada do jednej z trzech komór rewolweru (on wie do
której) kulę. Następnie gracz 2., który nie wie, do której z komór został
włożony nabój, przekręca bębenek o jedną komorę lub dwie, i strzela
sobie w głowę. Na trzecim (i ostatnim) etapie gry gracz 1., wiedząc,
czy gracz 2. się zastrzelił, ale nie wiedząc, o ile przekręcił bębenek,
robi to co gracz 2. na poprzednim etapie – przekręca bębenek o 1 lub
2 komory, i strzela sobie w głowę. (oczywiście gracz 1. nie zapomina,
gdzie włożył kulę na początku). Grę przegrywa ten z graczy, który się
zastrzelił (może być też remis (wypłaty 0 dla każdego z graczy), jeśli
żaden nie osiągnął tego sukcesu).
(a) Narysuj drzewo tej gry, zaznacz pozycje poszczególnych graczy
oraz zbiory informacyjne.
(b) Jest to gra o sumie zerowej. Bez sprowadzania tej gry do postaci
strategicznej pokaż, że jej wartość jest dodatnia.
3. Rozważ grę pozycyjną dwóch graczy, w której na pierwszym etapie
Gracz 2. wybiera L lub P (pójść w lewo lub pójść w prawo), na drugim etapie Gracz 1., nie znając wyboru Gracza 2., wybiera L lub P,
a na trzecim etapie Gracz 2. znowu wybiera L lub P, nie znając ani
wyboru przeciwnika, ani swojej wcześniejszej decyzji. Na końcu Gracz
2. wypłaca 1.: 2, jeśli zagrali LLL (to są wybory graczy w kolejności
ich podejmowania), 3, jeśli zagrali LLP, 4, jeśli LPL, 1, jeśli LPP lub
PLL, 5, jeśli PLP, 6, jeśli PPL, i 0, jeśli wybrali PPP. Dla takiej gry:
(a) narysuj drzewo tej gry i zaznacz na nim pozycje poszczególnych
graczy oraz zbiory informacyjne;
(b) sprowadź ją do postaci strategicznej i znajdź wszystkie równowagi
Nasha;
(c) pokaż, że używając strategii postępowania nie da się zagrać żadnej
z tych równowag.
4. Zmodyfikuj grę z poprzedniego zadania tak, żeby była grą z doskonałą pamięcią. Znajdź jakąś równowagę dla takiej gry i zapisz ją przy
pomocy strategii postępowania.
5. Narysuj drzewo gry i znajdź strategie w równowadze Nasha dla modyfikacji gry z tabliczką czekolady 2×3 z wykładu, w której wypłatą gracza
jest liczba zjedzonych kostek minus koszty, które musiał ponieść na zakup czekolady. Zakładamy, że za czekoladę płaci ten z graczy, który zje
ostatnią kostkę (czekolada kosztuje 6 jednostek, w których podawane
są wypłaty).
6. W grze w rodzinną wendettę uczestniczą dwaj gracze: Rodzina Corleone i Rodzina Soprano. Przed rozpoczęciem gry Corleone mordują
jednego z członków rodziny Soprano. Na każdym z kolejnych etapów
gry zabija (członków drugiej rodziny) rodzina, która nie zabijała w poprzednim, przy czym (zgodnie z tradycją) nie może zamordować więcej
osób niż 2 razy tyle, ile przeciwna rodzina na poprzednim etapie gry.
Nie może także (ze względów technicznych) zabić więcej osób, niż sama
posiada w swoich szeregach. Gra kończy się, gdy w jednej z rodzin nie
zostanie nikt przy życiu. „Wypłatą” wygrywającego jest liczba osób
w jego rodzinie, która została przy życiu (przegrywającego – 0). Narysuj drzewo tej gry, zaznacz na nim pozycje poszczególnych graczy,
a następnie znajdź równowagę Nasha w tej grze, przy założeniu, że
przed pierwszym morderstwem (tym przed rozpoczęciem gry) w każdej
z rodzin było po 4 osoby.
7. Gra dla chłopców „urwij misiowi głowę” polega na tym, że dwóch chłopców na przemian urywa misiowi nóżki, rączki i główkę. Najpierw muszą
urwać nóżki, potem rączki, a na samym końcu – główkę. W jednym „podejściu” chłopiec nie może jednak wyrywać jednocześnie rączek i nóżek,
albo rączek i główki. Grę wygrywa ten, który urwie misiowi głowę. Narysuj drzewo tej gry, zaznacz pozycje poszczególnych graczy. Następnie
znajdź równowagę w tej grze przy pomocy indukcji wstecznej.
8. Znajdź grę pozycyjną z pełną informacją, która posiada kilka równowag, w których wypłaty graczy są różne (oczywiście różna jest wypłata
1. gracza w pierwszej od jego wypłaty w drugiej równowadze i podobnie
dla gracza 2) (i obie równowagi można znaleźć przy pomocy indukcji
wstecznej). Czy taką własność może mieć gra o sumie zerowej?
9. Przy pomocy omówionego na wykładzie uogólnienia metody indukcji
wstecznej znajdź równowagę w grze opisanej następującym drzewem:
U11
L
P
U12
L
P
(3,-1)
U21
L
U22
L
(2,-1)
L
P
P
L
P
(1,3)
(0,2)
(3,1)
P
U31
U41
L
P
L
P
(3,1)
(0,3)
(-1,1)
(2,2)