Anna Pajor, Wielowymiarowe procesy wariancji

Ba n k i K r e d yt 4 2 (5 ), 2 0 1 1 , 8 7 - 9 0
www.bankikredyt.nbp.pl
www.bankandcredit.nbp.pl
Anna Pajor, Wielowymiarowe procesy wariancji
stochastycznej w ekonometrii finansowej.
Ujęcie bayesowskie
Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie,
Kraków 2010
Marek Męczarski*
Nadesłany: 30 sierpnia 2011 r. Zaakceptowany: 5 września 2011 r.
Podejście bayesowskie to najstarsza chronologicznie metoda wnioskowania statystycznego,
wywodzona historycznie od opublikowanej w 1763 r. pracy Tomasza Bayesa i koncepcyjnie
od twierdzenia Bayesa, zaliczanego obecnie do elementarnego rachunku prawdopodobieństwa. Polega ona na przypisywaniu nieznanemu parametrowi populacji charakteru zmiennej losowej. Rozkład tej zmiennej nazywamy rozkładem a priori. Podejście takie komplikuje, ale i poszerza formalny
model statystyczny, pozwalając podważyć założenie o stałości parametru w populacji. W wyniku
można otrzymać ujęcie wnioskowania statystycznego w terminach statystycznej teorii decyzji, ale
także zupełnie inne i chyba prostsze ideowo podejście do przedziałów ufności i testów. Z kolei
w teorii estymacji można uzyskać charakterystykę parametru przez rozkład a posteriori i, analogicznie,
w teorii prognozy narzędzie w postaci rozkładów predyktywnych. W myśl koncepcji Bayesa oraz
Laplace’a, który faktycznie zastosował wynik Bayesa do wnioskowania z danych statystycznych,
rozkład a priori był jednostajny (zasada niedostatecznej racji). Praktyczne wątpliwości i teoretyczne
komplikacje sprawiły, że na wiele lat zwyciężyła statystyka zwana klasyczną lub częstościową (ang.
frequentist), oparta na modelu ze stałym parametrem, odwołująca się wyłącznie do danych empirycznych. Dopiero rozważania Bruno de Finettiego i Harolda Jeffreysa na temat wyprowadzenia
pojęcia prawdopodobieństwa z relacji preferencji i użyteczności dały dobrą podstawę do rozwoju
teorii statystyki bayesowskiej przy uwzględnieniu wielości rozkładów a priori. Dalsze trudności
teoretyczne i praktyczne pomogła pokonać m.in. koncepcja obiektywnych rozkładów a priori oraz
bayesowska teoria odporności. Nieprzystępność z powodu trudności numerycznych pojawiających
się przy bardziej złożonych zastosowaniach została natomiast zniwelowana przez upowszech* Szkoła Główna Handlowa w Warszawie, Instytut Ekonometrii; e-mail: [email protected].
88
R ecenzj e
nienie coraz szybszych komputerów oraz rozwój teorii i technik obliczeniowych typu Monte
Carlo (zwłaszcza markowowskich metod Monte Carlo, Markov Chain Monte Carlo). Zastosowania
bayesowskiej statystyki w ekonometrii doprowadziło do powstania ekonometrii bayesowskiej, za
której ojca można uznać zmarłego niedawno Arnolda Zellnera. W Polsce możemy już mówić o krakowskiej szkole ekonometrii bayesowskiej z profesorem Jackiem Osiewalskim jako jej założycielem.
Do niej należy też autorka recenzowanej książki.
Książka liczy 339 stron. Składa się ze Wstępu, sześciu rozdziałów, Zakończenia i obszernej,
czternastrostronicowej bibliografii. Zawiera także wykaz ważniejszych oznaczeń, spis tabel i rysunków i anglojęzyczne streszczenie.
Tematykę książki można zaliczyć do działu ekonometrii stosowanej zwanego ekonometrią
finansową, z bardzo zaawansowanymi podstawami teoretycznymi. Praca poświęcona jest modelowaniu i prognozowaniu rozmaitych parametrów charakteryzujących zmienność oraz ryzyko zjawisk i procesów na rynkach finansowych na podstawie szeregów czasowych. Narzędziami są głównie procesy o zmienności stochastycznej oraz bayesowskie metody statystyczne. Szczegółowa treść
książki przedstawia się następująco. Początkowe części dotyczą podstaw teoretycznych. We Wstępie
Autorka charakteryzuje swoją dziedzinę badań na tle istniejących wyników oraz swoją pracę.
W rozdziale pierwszym pt. Podstawy bayesowskiej ekonometrii finansowej omawia podstawowe
koncepcje bayesowskiej analizy statystycznej z punktu widzenia modelowania danych finansowych za pomocą procesów stochastycznych o losowej wariancji warunkowej. Model jednowymiarowy jest zbyt ubogi i uproszczony, wobec czego w rozdziale drugim pt. Wielowymiarowe modele
wariancji stochastycznej następuje prezentacja definicji i własności szeregu wielowymiarowych
procesów o losowej macierzy warunkowych kowariancji oraz statystycznych modeli bayesowskich
dla procesów tego typu, różniących się sposobem określenia struktury macierzy kowariancji, strukturą procesów nieobserwowalnych oraz warunkowymi rozkładami prawdopodobieństwa. Wzięto
pod uwagę rozkład normalny i rozkład t Studenta. Wydaje się to wystarczające z racji charakteru
rozkładów t Studenta jako ciężkoogonowych. Omówiono też najważniejsze metody obliczeniowe
dla tej gałęzi badań statystyczno-ekonometrycznych, to jest markowowskie metody Monte Carlo,
w postaci algorytmów Gibbsa i Metropolisa-Hastingsa.
Rozdział trzeci Empiryczne porównanie bayesowskich modeli MSV poświęcono, zgodnie z tytułem, empirycznym badaniom nad porównaniem bayesowskich modeli MSV (wielowymiarowych
procesów o stochastycznej wariancji warunkowej) ze zmiennymi nieobserwowalnymi. Wzięto
pod uwagę wzajemne kursy walutowe euro, dolara i złotego oraz indeksy giełd w Nowym Jorku,
Londynie i Warszawie. Jakość modeli badano z punktu widzenia dopasowania ich do danych za
pomocą prawdopodobieństw a posteriori i czynników Bayesa, szacowano parametry, wnioskowano
o warunkowych odchyleniach standardowych i współczynnikach korelacji stóp zmian kursów i indeksów. Stwierdzono, że modele o stałych (w tym zerowych) kowariancjach warunkowych na ogół
nie pasują do danych, a modele MSV niezakładające zerowych kowariancji – wręcz przeciwnie.
Rezultaty uzyskane na podstawie badanych modeli potwierdzają wyniki znane z literatury przedmiotu dla nieco prostszych procesów i podobnych danych. Ujawniono duże znaczenie zmiennych
ukrytych dla zdolności modeli do wyjaśniania obserwowanych zjawisk.
W rozdziale czwartym pt. Egzogeniczność w modelach MSV autorka zajmuje się fundamentalnym dla ekonometrii zagadnieniem egzogeniczności, a także przyczynowości. Definicje podstawowych pojęć przytoczyła w ujęciu zarówno klasycznym, jak i bayesowskim. Ponieważ w analizie
R ecenzj e
89
z rozdziałów drugiego i trzeciego zasadniczą rolę odgrywały zmienne i procesy nieobserwowalne,
pojawiła się potrzeba poszerzenia teorii o egzogeniczność w modelach z takimi właśnie zmiennymi. Autorka dokonała tego rozszerzenia i zastosowała je do modeli VAR (autoregresji wektorowej)
w ujęciu VEC (wektorowy model korekty błędem): sformułowała i formalnie udowodniła warunki
dostateczne egzogeniczności dla modeli VEC-MSV, a następnie zamieściła ilustrację empiryczną
z wykorzystaniem danych o kursach walutowych USD/PLN i EUR/PLN z rynku Forex, przeprowadzając estymację wybranych parametrów i zmiennych nieobserwowalnych. Wyniki empiryczne
wskazały na możliwą egzogeniczność kursu EUR/USD.
Końcowe rozdziały poświęcone są zagadnieniom rynków finansowych. W rozdziale piątym
Analiza portfelowa do koncepcji budowy optymalnego portfela inwestycyjnego sformułowanej
przez Markowitza zastosowano podejście bayesowskie w postaci rozkładów a posteriori i predyktywnych dla składu portfela o minimalnym ryzyku oraz o minimalnym ryzyku i z góry zadaną stopą
zwrotu. Jest to indywidualne osiągnięcie autorki. Rozdział szósty pt. Wycena opcji europejskich
omawia tytułowy problem w ramach modelu ze stochastyczną stopą procentową i stochastyczną
wariancją warunkową, co jest podejściem alternatywnym wobec podejścia związanego ze wzorem
Blacka-Scholesa i jego modyfikacji. Wypłata z opcji europejskiej jest prognozowana zgodnie z metodyką predykcji bayesowskiej, która pozwala uzyskać pełniejszą informację o stopniu niepewności
każdej prognozy punktowej. Autorka zaproponowała własny model ekonometryczny oparty na
procesie MSV, przyjmując założenia pozwalające uznać go za uogólnienie modelu Blacka-Scholesa, i zastosowała go do prognozy wypłaty dla europejskiej opcji kupna na indeks WIG20 z Giełdy
Papierów Wartościowych w Warszawie.
Pracę czyta się niełatwo, co jest nieuniknione z racji bogactwa oraz złożoności tematyki
i dość trudne do poprawienia, chyba że kosztem poszerzenia i tak już obszernego tekstu o liczne
objaśnienia i zmniejszenie lapidarności sformułowań, która jest jednak zaletą tej publikacji. Na
kształt książki ma wpływ fakt, że stanowi ona element przewodu habilitacyjnego autorki (w zasadzie powinna zostać napisana po angielsku, aby wejść do obiegu w międzynarodowym środowisku
bayesowskiej statystyki i ekonometrii). Zaprezentowane wyniki dotyczące teorii i zastosowań
modeli typu MSV stanowią natomiast zwieńczenie stojących na bardzo wysokim poziomie badań
autorki, prowadzonych samodzielnie i ze współpracownikami. Omawiana problematyka jest aktualna, ważna, uprawia ją wielu badaczy w skali międzynarodowej i ma bardzo bogatą, stale powiększającą się literaturę. Książka jest ciekawa i niezwykle kompetentnie napisana, a jej struktura –
przejrzysta i zrozumiała. Zasługą autorki jest jednolita prezentacja teorii oraz zastosowań procesów
o wariancji stochastycznej w ekonometrii finansowej z wykorzystaniem analizy bayesowskiej,
dającej pełniejszy wgląd w uzyskiwane w praktyce wyniki i ich jakościowe charakterystyki. Jej
własnym osiągnięciem są: rozwinięcie koncepcji egzogeniczności dla modeli z ukrytymi zmiennymi, wykorzystanie bayesowskiego modelu MSV do budowy optymalnego portfela inwestycyjnego,
skonstruowanie bayesowskiego modelu MSN do prognozy wypłaty z opcji europejskiej, a także na
opisane wcześniej badania empiryczne. Zarówno postępy teoretyczne, jak i wyniki empiryczne dają znakomite perspektywy dalszych badań, tym bardziej że już po złożeniu pracy do druku okazało
się, iż kurs złotego (i nie tylko) może być bardzo niestabilny. Możemy więc chyba spodziewać się
nowych analiz dotyczących ostatnich zjawisk na rynkach finansowych.
Kilka uwag krytycznych. We Wstępie nie wykorzystano okazji, aby określić bliżej adresata
książki i konieczne kompetencje czytelnika. Strona 105 to dobra ilustracja złożoności omawianych
90
R ecenzj e
modeli, w postaci całej stronicy samych wzorów przedzielonych pięcioma słowami... Poza tym
recenzent ma do części środowiska bayesowskiego, nie tylko w kraju, stałą pretensję o konwencję,
w ramach której sporą liczbę różnych funkcji jednej zmiennej oznacza się tą samą literą, zmieniając oznaczenia argumentu. Dotyczy to zwykle funkcji gęstości prawdopodobieństwa a priori
δ)
i a posteriori dla różnych parametrów – zmiennych losowych, ale jest sprzeczne z dośćp (podstawową
pp(δ(δ)N
) (0,1), to p (δ1) powinno
konwencją zapisu matematycznego. Jeśli p (δ) oznacza gęstość rozkładu
(δδ1)1)
oznaczać tę samą gęstość z innym argumentem,
losowej
p (ϑ) p(na
(ϑ, xprzy) p (x |ϑ)
p (δ1) a nie inną gęstość nowejpp(zmiennej
p
p
(
(
)
)
p
p
(
(
,
,
x
x
)
)
p
p
(x
(x
|
|
)
)
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
kład t Studenta). W literaturze bayesowskiej
nieraz
pisze
się
obok
siebie
,
,
,
ale
zapis
p (ϑ) p (ϑ, x) p (x |ϑ)
argumentów różni się wtedy nie tylko literą. Rozszerzenie tej konwencji dezorientuje czytelnika
(przynajmniej początkowo). Skoro jednak najobszerniejsza uwaga krytyczna dotyczy konwencji
zapisu, tym lepiej świadczy to o książce.