Kolizje brył sztywnych

Kolizje brył sztywnych
Andrzej P. Kądzielawa
(Dated: 15 VI 2014)
I.
Co więcej, korzystając z definicji momentu pędu możemy zapisać
WSTĘP
Rozważmy ogólny przypadek kolizji brył sztywnych.
Weźmy dwie bryły (oznaczone numerami 1 i 2) o masach
Mi , momentach bezwładności Ii , prędkościach ~vi i prędkościach kątowych ω
~ i . Analogicznie do przypadku punktów materialnych kolizję rozważać będziemy wzdłuż osi
zdarzenia wyznaczaną przez wersor n̂.
Przypomnienie 1. Rzutem wektora ~x na oś n̂ nazywamy wektor
~xkn̂ ≡ (n̂ · ~x) n̂.
~0 − L
~ = ~r × M~u − ~r × M~v = ~r × J,
~
P~ = I (~
ω0 − ω
~) = L
~
P~ = ~r × J,
(7)
gdzie ~r odpowiada dowolnemu punktowi bryły sztywnej.
III.
(1)
RÓWNANIA
Zderzenie interpretujemy jako krótkotrwałe (t ∈
[t0 − δt, t0 + δt], δt 1, t0 - czas kolizji) działanie sił
i momentów kontaktowych, skutkujące zmianą prędkości
liniowej i prędkości kątowej:
Rozpatrzmy punkt zderzenia dwóch brył sztywnych
(~rP S1 6= ~rP S2 !). Prędkość tego punktu ma dwie składowe
- prędkość środka masy (~vM ) i składową pochodzącą od
ruchu obrotowego:
~vi → ~ui ,
ω
~i → ω
~ i0 .
~vP S,i = ~vM,i + ω
~ i × ~rP S,i .
II.
(2)
Z równań (3), (4) i (8) można wyznaczyć nowe prędkości i prędkości kątowe w zależności od popędu:
POPĘD I POPĘD KĄTOWY
Popędem nazwiemy transfer pędu (momentu pędu dla
popędu kątowego).
Z II Zasady Dynamiki:
Z
t0 +δt
¨
~
M ~x = F , dt
t0 −δt
t0 +δt Z t0 +δt
M ~x˙ =
F~ dt ≡ J~
t0 −δt
t0 −δt
M (~u − ~v ) = J~
(3)
Z II Zasady Dynamiki dla ruchu obrotowego:
~,
Iω
~˙ = M
t +δt
Z
Iω
~ |t00 −δt =
Z
t0 +δt
dt
t0 −δt
t0 +δt
~ dt ≡ P~
M
t0 −δt
I (~
ω0 − ω
~ ) = P~
(4)
Z zasady zachowania pędu wiemy, że ubytek pęd (moment pędu) jednego ciała musi się równać zyskowi pędu
(momentu pędu) ciała drugiego, stąd
J~1 = −J~2 ,
P~1 = −P~2 .
(8)
(5)
(6)
ω
~ i0 = ω
~ i + I−1 ~rP S,i × J~i ,
~uM,i = ~vM,i − (~
ωi0 − ω
~ i ) × ~rP S,i +
IV.
(9)
1 ~
Ji .
Mi
(10)
WSPÓŁCZYNNIK RESTYTUCJI
W równaniach (9) i (10) mamy dodatkowe niewiadome
- popęd (J~i ). Równanie (5) eliminuje nam jedną niewiadomą. Aby znaleźć drugą zauważamy, że przekaz pędu
odbywał się będzie tylko w osi zdarzenia, stąd:
J~1 = Jn n̂,
(11)
J~2 = −Jn n̂.
(12)
Drugie równanie jest konsekwencją zależności (5). Wprowadzając współczynnik restytucji jako stosunek pomiędzy różnicami prędkości po i przed kolizją
e≡−
uM,2k − uM,1k
,
vM,2k − vM,1k
(13)
gdzie xk ≡ ~x · n̂, otrzymujemy brakujące równanie pozwalające wyznaczyć nam wartość popędu.
Jn przyjmuje postać
2
Jn = −
V.
1−
M1 M2
M1 +M2
M1 M2
v2 − ~v1 ) · n̂] (e + 1)
M1 +M2 [(~
−1
I1 (~rP S,1 × n̂) × ~rP S,1 + I−1
rP S,2 × n̂) × ~rP S,2 · n̂
2 (~
PODSUMOWANIE
Po wykryciu kolizji należy:
(14)
4. wyliczyć nowe prędkości kątowe (9);
5. wyliczyć nowe prędkości środka masy (10);
1. znaleźć oś zdarzenia;
2. znaleźć punkt styku;
3. wyliczyć wartość popędu (14);
6. przecałkować równania ruchu z nowymi prędkościami.