Wyprowadzenie wzoru Plancka (praktycznie)

Prawo Plancka dla (gęstości) energii promieniowania ciała doskonale czarnego – wyprowadzenie
(bez rachunku różniczkowego i całkowego)
opracował Mirosław Kwiatek
Wg. Wehr, Richards – Fizyka atomu, 1963, PWN
Jak wiadomo, uzyskana doświadczalnie (dla jakiejś temperatury) krzywa rozkładu energii E
promieniowania ciała doskonale czarnego zależnie od długości fali λ tego promieniowania nie mogła
znaleźd długo uzasadnienia teoretycznego, swojego opisującego wzoru z wyprowadzeniem. Krzywa
ta ma maksimum a wg. teorii Rayleigha-Jeansa powinna mied przebieg hiperboli postaci
const
E = λ4
Była więc zasadnicza niezgodnośd dla małych długości fal czyli dla dużych częstotliwości; Mówiło się
więc dramatycznie o katastrofie nauki w ultrafiolecie. Fizyk Wien podał co prawda wzór, z którego już
„wychodziło” maksimum
const'
E = λ5econst''/λ
gdzie e ≈ 2,72 (jest podstawą logarytmów naturalnych)
ale wzór ten (Wien oparł się o rozkład prędkości Maxwella) był dopasowany, różnił się nieco jak się
okazało od poprawnego:
const'
E = λ5(econst''/λ-1)
(o wartośd 1 w mianowniku).
Wzór Wiena jednak, podobnie jak wzór Rayleigha-Jeansa przyda się przy wyprowadzeniu wzoru
poprawnego Plancka.
Przyda się też też rozkład Bolzmanna ilości n oscylatorów mających energię E:
n = n0e-E/(kT) , (n jest ilością oscylatorów mających energię zerową)
0
Skrót rozumowania Reyleigh’a:
Zamknięte we wnęce izotermicznej (o ściankach nieprzepuszczalnych) promieniowanie
elektromagnetyczne jest odbijane przez ścianki na różne strony tworząc w koocu zespół fal stojących
o każdej możliwej częstotliwości. (Fale takie przypominają fale na strunie czy w rezonatorze
instrumentu). To co poddajemy analizie spektralnej jest niewielką częścią tego promieniowania
wychodzącą przez otwór we wnęce ciała doskonale czarnego. W równowadze termicznej
promieniowanie pochłaniane przez ścianki musi byd równe promieniowaniu emitowanemu przez
oscylujące atomy w ściankach. Każdemu rodzajowi drgania (Drganiom o każdej częstotliwości)
odpowiadają dwa stopnie swobody: jeden dla energii kinetycznej oscylatora atomowego, drugi – dla
jego energii potencjalnej. Energia na jeden stopieo swobody wynosi ½ * kT więc
każdy rodzaj drgania ma energię kT,
gdzie k jest stałą Boltzmanna k=1,380*10-23 J/K
a T jest temperaturą w kelwinach K
Jak wiadomo warunek na falę stojącą między 2 zwierciadłami odległymi od siebie o L na osi
L
przestrzennej x wynosi: λ/2 =nx.
L
Dla kwadratu będzie to λ/2 = nx2+ny2 (Wyprowadzenie jest trygonometryczne, uciążliwe).
2L
Dla sześcianu λ = nx2+ny2+ nz2 Oczywiście n są liczbami naturalnymi.
Rayleigh i Jeans zapytali jaka jest liczba różnych wartości nx, ny, nz, które dają długośd fali większą od
jakiejś ustalonej wartości λ. Ponieważ nx, ny, nz są naturalne a więc dodatnie to będzie to jedna ósma
2L
1 4
1 4
2L
objętości kuli o promieniu n = λ . Objętośd ta wynosi N = 8 * 3 πn3 = 8 * 3 π*( λ )3
1 4
8L3
= 8 * 3 π * λ3
4π L3 4π 3 -3
= 3 λ3 (= 3 L λ )
…
Otrzymali dalej (rachunek różniczkowy) liczbę długości fal zawartych w przedziale λ i Δλ:
ΔN = 4πλ-4Δλ * (objętośd sześcianu, o boku L).
Fale elektromagnetyczne są poprzeczne a więc mają 2 niezależne kierunki polaryzacji i poruszają w
dwu kierunkach (ze zwrotem dodatnim i ujemnym) a więc trzeba jeszcze prawą stronę pomnożyd
przez 4:
ΔN = 16πλ-4Δλ * L3.
Ostatecznie na jednostkę objętości ΔN = 16πλ-4Δλ mamy energię (wewnętrzną) u = ½ * kT * ΔN czyli
u=
E = 8π*kT*λ-4 = const/λ .
4
Jak widad gdy λ dąży do zera to energia dążyłaby do ∞(nieskooczoności) co stanowi ową katastrofę w
nadfiolecie.
Skrót rozumowania Plancka
Nie zgodził się z przypisaniem każdemu z rodzajów promieniowania średniej energii o wartości kT.
Planck założył, że energia związana z każdym (z obu) stopniem swobody
oscylatora będzie
całkowitą wielokrotnością m*u
małej porcji energii u. Dalej,
zgodnie z rozkładem Bolzmanna ilośd oscylatorów mających energię m*u jest równa:
nm = n0e-(mu)/(kT)
Energia tych oscylatorów wynosi:
mu *nm = mu*n0e-(mu)/(kT)
Średnia energia oscylatora to będzie iloraz energii (wszystkich) oscylatorów i ilości (wszystkich)
oscylatorów:
0ue-(0u)/(kT)+ 1ue-(1u)/(kT)+ 2ue-(2u)/(kT)+ 3ue-(3u)/(kT)+…
wśr =
e-(0u)/(kT)+ e-(1u)/(kT)+ e-(2u)/(kT)+ e-(3u)/(kT)+…
(Licznik i mianownik podzieliliśmy przez n0)
0e0+ e-u/(kT)+ 2e-(2u)/(kT)+ 3e-(3u)/(kT)+…
wśr = u e0+ e-u/(kT)+ e-(2u)/(kT)+ e-(3u)/(kT)+…
0*1+e-u/(kT)+ 2e-u/(kT) e-u/(kT)+ 3(e-u/(kT))2 e-u/(kT)+…
wśr = u
1+ e-u/(kT)+ (e-u/(kT))2 + (e-u/(kT))3+…
-u/(kT)
wśr = ue
Oznaczmy
1+ 2e-u/(kT)+ 3(e-u/(kT))2+…
1+ e-u/(kT)+ (e-u/(kT))2+ (e-u/(kT))3+…
x = e-u/(kT)
1+ 2x+ 3x2+…
wśr = ux 1+ x+ x2+ x3+…
W liczniku i mianowniku otrzymaliśmy szeregi liczbowe.
Z tablic matematycznych można uzyskad informacje, że oba są zbieżne i w związku z tym mają sumy
określone odpowiednimi wzorami.
1
I tak szereg (zwykły geometryczny) z mianownika qn ma sumę 1-q (W liczniku jest 1 bo tyle wynosi
1
pierwszy wyraz szeregu a1) Ma on iloraz q = x więc jego suma S wynosi 1-x .
1
Szereg z licznika nqn-1 ma sumę (1-q)2
1/(1-x)2
1
Mamy więc wśr = ux 1/(1-x) = ux1-x
u
u
= (1/x)-1 = x-1-1
=
u
-u/(kT) -1
(e
) -1
=
u
u/(kT)
e
-1
Teraz można skorzystad z wzoru Rayleigha:
u
E = 8π*kT*λ-4 ale podstawid eu/(kT)
-1 zamiast kT:
8π
u
E = 8π* eu/(kT)-1 *λ lub: E = λ4 eu/(kT)-1
-4
u
Następnie porównujemy otrzymany wzór ze wzorem Wiena:
const'
s'
E = λ5(econst''/λ-1) lub E = λ5(es''/(λT)-1)
s’ oraz s’’ to stałe uzyskane doświadczalnie (empiryczne) zwane I i II stałymi promieniowania
Musi byd:
eu/(kT) = es''/(λT)
u s''
Czyli k = λ
s''k
Stąd u = λ (czyli u jest funkcją „brakującego” λ)
Planck założył też, że najmniejsza porcja energii u
jest proporcjonalna do prędkości światła c (czyli i do
częstotliwości c/λ). A więc licznik ostatniej zależności na energię u jest (wprost) proporcjonalny do
prędkości światła:
s’’k = hc gdzie h jest współczynnikiem proporcjonalności – stałą Plancka.
hc
Mamy więc u = λ (u=hf)
hc
8π
λ
E = λ4 e((hc)/λ)/(kT)-1
8π
hc
E = λ5 e(hc)/(λkT)-1
8πhc
8πhc
E = λ5{e(hc)/(λkT)-1} = λ5{e[(hc)/(kT)]/λ-1}
8πhc
albo E =
λ5{exp[(hc)/(λkT)]-1} =
8πhc
hc/k
5
λ {exp[ λT ]-1}
Wartośd stałej Plancka najlepiej określid w oparciu o efekt fotoelektryczny; Wynosi h=6,625*10-34.
(Prędkośd światła wynosi oczywiście c=3*108 m/s).
Planck sądził, że energia rozchodzi się porcjami tylko w bezpośredniej bliskości oscylatorów! Dopiero
Einstein (badając efekt fotoelektryczny) stwierdził, że pakiety energetyczne (kwanty) zachowują
swoją identycznośd w ciągu całego ich życia.
Planck był ojcem mechaniki kwantowej, dowodząc, że energia rozchodzi się porcjami (kwantując
energię).
Na gruncie dotychczasowej, klasycznej fizyki nie można było wytłumaczyd przebiegu krzywych
promieniowania ciał (doskonale czarnych) a więc np. promieniowania Słooca, promieniowania
reliktowego Wszechświata, itp.
Z prawa Plancka można wyprowadzid (przez różniczkowanie i całkowanie)
Prawa:
Wiena
i
Stefana – Boltzmanna:
hc
λmax*T = 4,965k = 2,898*10-3 [m*K]
8π3k4 4
E = 15c3h3 T = 5,67*10-8T4 = σT4
σ = stała Stefana-Boltzmanna [W/m2K4]
2011-03-12
Aby się przekonad, że krzywe określone wzorem Plancka mają ekstremum (maksimum) można
sporządzid ich wykresy w Excelu – dla kilku temperatur. Na przykładowym rysunku są 2 temperatury.
8πhc ≈ 10-24
hc/k = 10-2
Więc
10-24
E = {exp[10-2/(λT)]-1}λ5
Dla T=2000K będzie to formuła:
=10^(-24)/((2,72^(10^(-2)/(2000*A2))-1)*A2^5)
lambda50nm1Planck5000 2Wien5000 3Planck6000 4Wien6000 5R-J6000
5R-J5000
0,00E+00 #DZIEL/0!
#DZIEL/0!
#DZIEL/0!
#DZIEL/0! =0,4*10^(-21)*6000*$A2^(-
4)'
5,00E-08
1,00E-07
1,50E-07
2,00E-07
2,50E-07
3,00E-07
3,50E-07
4,00E-07
4,50E-07
5,00E-07
5,50E-07
6,00E-07
6,50E-07
7,00E-07
7,50E-07
8,00E-07
8,50E-07
9,00E-07
9,50E-07
1,00E-06
1,05E-06
1,10E-06
1,15E-06
1,20E-06
1,25E-06
1,30E-06
1,35E-06
1,40E-06
1,45E-06
1,50E-06
1,55E-06
1,60E-06
1,65E-06
1,70E-06
1,75E-06
1,80E-06
1,85E-06
1,90E-06
1,95E-06
2,00E-06
2,05E-06
2,10E-06
2,15E-06
2,20E-06
2,25E-06
2,30E-06
2,35E-06
2,40E-06
7,38348E-12
0,339657095
508,8160909
12878,21667
69519,09864
180894,5457
317850,9615
443692,5903
536763,0496
591748,7713
613023,8277
608578,5387
586523,3471
553620,1161
514943,4182
474040,7546
433250,0747
394019,9631
357176,672
323127,5132
292007,7662
263783,082
238318,9625
215426,7988
194893,65
176500,9575
160035,8551
145297,5995
132100,8409
120276,8918
109673,7623
100155,4726
91600,96835
83902,85353
76966,06906
70706,59881
65050,24703
59931,51101
55292,55823
51082,30882
47255,61942
43772,56126
40597,78439
37699,95959
35051,28917
32627,07914
30405,36494
28366,58456
7,383E-12
0,3396571
508,81609
12878,206
69518,155
180878,64
317744,87
443289,78
535701,85
589568,29
609264,36
602872,58
578647,52
543505,81
502658,59
459757,59
417209,59
376500,29
338467,76
303512,84
271752,22
243125,88
217470,32
194567,22
174174,91
156048,17
139950,05
125658,54
112969,82
101699,41
91681,945
82770,296
74834,183
67758,666
61442,59
55797,072
50744,088
46215,182
42150,291
38496,705
35208,147
32243,956
29568,378
27149,942
24960,918
22976,846
21176,124
19539,648
8,3992E-08
36,2267113
11443,3467
133000,47
450123,516
858152,468
1207965,36
1428741,6
1520609,14
1514338,15
1444778,36
1340240,39
1220511,33
1098143,53
980447,755
871249,981
772193,093
683622,471
605158,165
536050,812
475395,579
422255,875
375731,117
334990,61
299287,395
267960,707
240432,234
216199,369
194827,248
175940,644
159216,264
144375,707
131179,198
119420,097
108920,14
99525,3369
91102,4739
83536,1142
76726,0515
70585,1397
65037,4481
60016,6905
55464,8886
51331,2323
47571,1078
44145,2666
41019,1154
38162,1066
8,399E-08
36,226711
11443,345
132999,34
450083,95
857794,71
1206434,5
1424573,2
1512123,3
1500139,9
1424068,6
1312875,6
1186895
1059050,8
936853,19
824190,17
722671,84
632553,61
553337,06
484145,49
423950,19
371701,02
326397,48
287123,46
253060,67
223489,83
197785,48
175407,56
155891,96
138840,97
123914,4
110821,44
99313,525
89178,112
80233,282
72323,164
65314,024
59090,939
53554,993
48620,898
44214,979
40273,483
36741,132
33569,911
30718,03
28149,055
25831,156
23736,476
1711879,31
1421214,398
1189704,153
1003472,222
852295,68
728545,9193
626462,7682
541649,3128
470715,3168
411022,2222
360498,5701
317504,8828
280733,7082
249134,9481
221859,5585
198216,7353
177641,0885
159667,2831
143910,305
130050
117818,8814
106992,4568
97381,5089
88825,89987
81189,57476
74356,50959
68227,41077
62717,01389
710246,4
607121,599
522052,307
451374,427
392262,764
342518,519
300415,475
264587,402
233944,757
207612,457
184882,965
165180,613
148034,24
133056,069
119925,254
108375
98182,4011
89160,3807
81151,2574
74021,5832
67657,979
61963,758
56856,1756
52264,1782
2,45E-06
2,50E-06
2,55E-06
2,60E-06
2,65E-06
2,70E-06
2,75E-06
2,80E-06
2,85E-06
2,90E-06
2,95E-06
3,00E-06
3,05E-06
3,10E-06
3,15E-06
3,20E-06
3,25E-06
3,30E-06
3,35E-06
3,40E-06
3,45E-06
3,50E-06
3,55E-06
3,60E-06
3,65E-06
3,70E-06
3,75E-06
3,80E-06
3,85E-06
3,90E-06
3,95E-06
4,00E-06
(4mikro)
26493,29268
24769,91091
23182,50932
21718,61524
20367,04583
19117,7613
17961,73612
16890,84594
15897,76806
14975,89393
14119,25189
13322,43913
12580,56149
11889,18021
11244,26478
10642,15115
10079,50459
9553,286645
9060,72582
8599,291333
8166,669781
7760,744255
7379,575672
7021,386057
6684,543554
6367,548969
6069,023689
5787,698801
5522,405305
5272,065285
5035,683939
4812,342387
18050,507
16693,707
15455,939
14325,374
13291,485
12344,887
11477,211
10680,976
9949,4899
9276,7584
8657,4052
8086,6023
7560,0089
7073,7171
6624,205
6208,2947
5823,1151
5466,0698
5134,8079
4827,1984
4541,3077
4275,3794
4027,8164
3797,165
3582,1004
3381,4146
3194,0047
3018,8627
2855,0666
2701,7725
2558,207
2423,6607
35547,2157
33150,4917
30950,67
28928,8378
27068,146
25353,5582
23771,6342
22310,3414
20958,8902
19707,591
18547,7292
17471,4554
16471,6895
15542,0366
14676,7127
13870,4791
13118,5855
12416,7183
11760,956
11147,7292
10573,7851
10036,1559
9532,13102
9059,2317
8615,18907
8197,92401
7805,52935
7436,25387
7088,488
6760,75086
6451,67876
6160,01471
21840,594
20122,054
18561,982
17143,738
15852,631
14675,666
13601,331
12619,411
11720,828
10897,5
10142,222
9448,5615
8810,7671
8223,6887
7682,7083
7183,6796
6722,8746
6296,9372
5902,842
5537,8585
5199,5193
4885,5918
4594,054
4323,072
4070,981
3836,2678
3617,5558
3413,5909
3223,2298
3045,429
2879,2353
2723,7768
57751,86342
53268,48
49211,8416
45534,11995
42193,62546
39153,92301
36383,08859
33853,08205
31539,21641
29419,7073
27475,28938
25688,88889
24045,34329
22531,16063
21134,31246
19844,05518
18650,77553
17545,85676
16521,56225
15570,93426
14687,7056
13866,22241
13101,37649
12388,54595
11723,54302
11102,56803
10522,16889
9979,205193
9470,816479
8994,394065
8547,556037
8128,125
48126,5529
44390,4
41009,868
37945,1
35161,3545
32628,2692
30319,2405
28210,9017
26282,6803
24516,4228
22896,0745
21407,4074
20037,7861
18775,9672
17611,9271
16536,7126
15542,3129
14621,5473
13767,9685
12975,7785
12239,7547
11555,1853
10917,8137
10323,7883
9769,61918
9252,14002
8768,47407
8316,00433
7892,34707
7495,32839
7122,96336
6773,4375