wyznaczenie współczynnika oporu liniowego przepływu laminarnego

LABORATORIUM MECHANIKI PŁYNÓW
Ćwiczenie N 27
WYZNACZENIE WSPÓŁCZYNNIKA OPORU LINIOWEGO
PRZEPŁYWU LAMINARNEGO
1. Cel ćwiczenia
Doświadczalne wyznaczenie zaleŜności współczynnika oporu liniowego przepływu
laminarnego od liczby Reynoldsa i porównanie jej z zaleŜnością teoretyczną
2. Podstawy teoretyczne:
Przepływ laminarny charakteryzuje się przewagą sił lepkości nad siłami bezwładności,
a zaburzenia powstające w czasie przepływu są tłumione, czyli przepływ laminarny jest
stabilny. Charakter przepływu płynu w przewodach zamkniętych określa liczba Reynoldsa:
Re =
υ ⋅d
v
1
gdzie
υ - średnia prędkość płynu w przewodzie,
d – średnica przewodu,
v – kinematyczny współczynnik lepkości.
Badania doświadczalne wskazują, Ŝe w przewodzie o przekroju kołowym przepływ
laminarny zawsze istnieje gdy Re<2300.
PRZEPŁYW LAMINARNY HAGENA - POISEUILLEA
Weźmy pod uwagę prostoliniowy przewód o przekroju kołowym długości l i o
promieniu R (rys. 1). Aby określić pole prędkości υ(r) w przekroju poprzecznym rury
rozwiązujemy równanie Naviera-Stokesa ruchu ustalonego, zapisane we współrzędnych
cylindrycznych (r, θ, x) z warunkami brzegowymi:
Rys. 1
υ (R ) = 0
υ (0 ) < ∞
2
Przepływ ten jest osiowo symetryczny, więc υ zaleŜy od θ. Będziemy rozwaŜać długą
rurę i przyjmiemy, Ŝe υ nie zaleŜy od x. Wtedy równanie Naviera-Stokesa redukuje się do
równania róŜniczkowego zwyczajnego:
ρgI
l d  dυ 
= const
r
=−
µ
r dr  dr 
3
gdzie:
ρ - gęstość płynu,
µ - dynamiczny współczynnik lepkości,
I – spadek hydrauliczny.
Jako rozwiązanie równania (3) z warunkami brzegowymi (2) otrzymujemy wzór na
profil prędkości w przewodzie:
υ (r ) =
ρgI 2 2
(R − r )
4µ
4
Strumień objętości qV obliczamy rozwiązując całkę:
R
qV = ∫ υdA = ∫ υ (r )2πrdr
A
5
0
gdzie:
A- pole powierzchni przekroju poprzecznego przewodu.
W wyniku otrzymujemy wzór:
qV =
πρgI 4
R
8µ
6
Wynika stąd Ŝe strumień objętości jest proporcjonalny do spadku hydraulicznego i
promienia przewodu w czwartej potędze (prawo Hagena-Poiseuille’a). Dla poziomego
przewodu (jak na stanowisku pomiarowym) spadek hydrauliczny określamy wzorem:
I=
1 p1 − p2
ρg
l
7
JeŜeli spadek ciśnienia ( p1 − p2 ) spowodowany jest tylko stratami liniowymi to
moŜemy go wyrazić za pomocą wzoru Darcy’go-Weisbacha:
p1 − p2
l υ2
8l q
=λ
=λ 2 5 V
ρg
d 2g
π D g
2
8
Podstawiając wzór (7) do wzoru (6) oraz porównując wynik ze wzorem Darcy’goWeisbacha otrzymujemy formułę na współczynnik oporu liniowego λ w przepływie
laminarnym:
λ=
64
Re
9
3. Stanowisko pomiarowe
Wywiercenie w kapilarach otworów impulsowych (do pomiaru ciśnienia) nie jest
technicznie moŜliwe, natomiast mierząc spadek ciśnienia na wlocie i wylocie kapilary trudno
jest oszacować wpływ strat miejscowych, gdyŜ w miejscu pomiaru ciśnienia profil prędkości
nie jest uformowany (bryła prędkości nie jest paraboloidą obrotową). Z tych powodów
zastosowano do pomiarów strat liniowych metodę kompensacyjną. UŜyto dwóch kapilar o
jednakowej średnicy ale róŜnych długościach, które połączono w układ przedstawiony na rys.
2.
Rys. 2.
Uogólnione równanie Bernoulliego dla przekrojów 1-4 i 3-4:
p1
p
= 4 + ∆h14sl + ∆h14sm
ρg ρg
10
p3
p
= 4 + ∆h34sl + ∆h34sm
ρg ρg
11
Do strat miejscowych zaliczamy straty na wlocie do kapilar i straty wysokości
prędkości wody wypływającej do kolektorów. Między wartościami strat miejscowych
zachodzi zaleŜność:
∆h14sm = 2∆h34sm
12
gdyŜ na odcinku 3-4 występuje strata miejscowa na wlocie i wylocie z kapilary, a na odcinku
1-4 występują dwie takie straty. Po rozwiązaniu powyŜszego układu równań otrzymujemy
formułę na wysokość straty liniowej na odcinku 1-4.
Rys.3. Schemat stanowiska pomiarowego
Stanowisko składa się ze zbiornika zasilającego, układu przewodów zasilających,
zaworu do nastawiania strumienia objętości oraz odcinka pomiarowego złoŜonego z układu
dwóch kapilar połączonych szeregowo. Ponadto do wyposaŜenia naleŜą: manometry
hydrostatyczne, zbiornik mierniczy, sekundomierz, termometr.
Średnice kapilar zostały dokładnie wyznaczone przez zwaŜenie (na wadze
laboratoryjnej) najpierw pustych kapilar, a następnie kapilar wypełnionych wodą
destylowaną. Znając długość kapilar, temperaturę oraz masę wody wypełniającej kapilary
obliczono średnią średnicę kapilar.
Stałą wartość strumienia objętości w układzie pomiarowym zapewniono przez
zastosowanie naczynia Mariotta. Stałą wartość objętości qV jest zapewniana dzięki
utrzymywaniu się ciśnienia barometrycznego na poziomie wylotu rurki napowietrzającej.
Strumień objętości nie zaleŜy zatem od poziomu cieczy w naczyniu. Prędkość wypływu ze
zbiornika moŜna obliczyć stosując uogólnione równanie Bernoulliego.
Rys. 4. Stanowisko pomiarowe
4. Przebieg i program ćwiczenia:
odkręcić zawór regulacyjny i ustawić na pomocniczym rotametrze przepływ na poziomie 53
działek.
Odczekać do wyrównania poziomów cieczy w manometrach, ewentualnie korygując
zaworem regulacyjnym wartość strumienia objętości.
Odczytać róŜnice ciśnień na obu manometrach, czas zbierania zadanej objętości wody w
naczyniu miarowym oraz temperaturę wody.
ObniŜyć strumień objętości o 4 działki. Odczekać do wyrównania poziomów cieczy w
manometrach, ewentualnie korygując zaworem regulacyjnym wartość strumienia objętości.
Odczytać róŜnice ciśnień na obu manometrach, czas zbierania zadanej objętości wody w
naczyniu miarowym oraz temperaturę wody.
Ostatni pomiar wykonać dla nastawy 9 działek.
Po zakończeniu pomiaru zakręcić zawór regulacyjny.
Mierzone będą następujące wielkości:
− strumień objętości (pomiar czasu przepływu ustalonej objętości wody zbieranej w
zbiorniku pomiarowym),
− wysokość spadków ciśnienia na odcinkach 1-4 i 3-4,
− temperatura wody.
Na podstawie pomierzonych wielkości moŜna wyznaczyć doświadczalne wartości λ oraz
sporządzić odpowiednie charakterystyki.
5. Przykładowe obliczenia
Tabela pomiarowa
Współczynnik oporu liniowego
λ=
d 5π 2 gτ 2 (∆h14 − 2∆h34 )
2
8qV (l14 − 2l34 )
(1,269 ⋅10 ) π ⋅ 9,81 ⋅ 71 (1,068 − 2 ⋅ 0,632) = 0,0695
λ=
8(75 ⋅ 10 ) (452,3 ⋅ 10 − 2 ⋅ 276,4 ⋅ 10 )
−3 5
2
−6 2
2
−3
Liczba Reynoldsa
Re =
4qV
πdτv
Re =
4 ⋅ 75 ⋅10 −6
= 993
π ⋅1,269 ⋅10−3 ⋅ 71 ⋅1,1 ⋅10 −6
Wzór Hagena-Poiseuille’a
λt =
64
Re
λt =
64
= 0,064
1000
−3
Wykres