WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA liczby rzeczywistej a – liczba a, jeśli w

WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA liczby rzeczywistej a – liczba a, jeśli w jest liczbą nieujemną
lub liczba przeciwna do a, jeśli a jest liczbą ujemną.
𝑎 =
𝑎,
−𝑎,
𝑎≥0
𝑎<0
Przykład. Wartości bezwzględne wybranych liczb rzeczywistych:
|5|=5, |-3|=3, |0|=0
Przykład Oblicz wartość wyrażenia 𝑥 − 2 − 3 + 𝑥 + 2 𝑥 jeśli 𝑥 ∈ −3; 0 .
Zauważmy, że jeśli 𝑥 ∈ −3; 0 to:
𝑥 − 2 < 0 więc 𝑥 − 2 = − 𝑥 − 2 = −𝑥 + 2
3 + 𝑥 > 0 więc 3 + 𝑥 = 3 + 𝑥
𝑥 < 0 więc 𝑥 = −𝑥
Otrzymujemy więc 𝑥 − 2 − 3 + 𝑥 + 2 𝑥 = −𝑥 + 2 − 3 + 𝑥 + 2 ⋅ −𝑥 = −𝑥 + 2 −
−3 − 𝑥 − 2𝑥 = −4𝑥 − 1.
Własności wartości bezwzględnej:
𝑥 = −𝑥
𝑥 ⋅ 𝑦 = |𝑥| ⋅ |𝑦|
𝑥
𝑦
|𝑥|
= |𝑦| , 𝑦 ≠ 0
𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑥 + |𝑦|
| 𝑥 − 𝑦 | ≤ |𝑥 + 𝑦|
𝑥 = 𝑥2
Interpretacja wartości bezwzględnej
𝑥 − 𝑝 ≤ 𝑎 ⟺ −𝑎 ≤ 𝑥 − 𝑝 ≤ 𝑎 ⟺ 𝑝 − 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑝 + 𝑎
𝑥 − 𝑝 ≥ 𝑎 ⟺ −𝑎 ≥ 𝑥 − 𝑝 ≥ 𝑎 ⟺ 𝑝 − 𝑎 ≥ 𝑥 ≥ 𝑝 + 𝑎
Przykład. Rozwiąż równanie:
𝑥−7 =2
𝑥 =7−2 ∨𝑥 =7+2
𝑥 =5 ∨𝑥 =9
𝑥 ∈ {7; 9}
Przykład. Rozwiąż nierówność:
𝑥−1 ≤2
−2 ≤ 𝑥 − 1 ≤ 2
−1 ≤ 𝑥 ≤ 3
𝑥 ≥ −1 ∨ 𝑥 ≤ 3
𝑥 ∈ −1; 3