Liczby zespolone

Liczby zespolone
Podstawowe wªasno±ci
1.
Wykona¢ podane dziaªania:
(−3 + 2i) + (4 + i) ,
√ 1 + i 3 · (3 − 2i) ,
a)
c)
2.
b)
(7 − 6i) − (1 + 4i) ,
d)
5 + 3i
.
1− i
_
W zbiorze liczb zespolonych rozwi¡za¢ podane równania :
z 2 − z = 0,
z 2 + z − 2 =_0,
2z + (1 + i) z = 1 − 4i.
a)
b)
c)
λ
3.
Znale¹¢ takie liczby rzeczywiste
a)
λ (2 + 3i) + µ (4 − 5i) = 6 − 2i,
b)
λ (4 − 3i)2 + µ (1 + i)2 = 7 − 12i,
c)
2λ − 3i 3µ + 2i
+
= 0.
5 + 3i
3 − 5i
µ
i
aby zachodziªy równo±ci:
Posta¢ trygonometryczna liczby zespolonej Wzór de'Moivre'a
4.
Przedstawi¢ w postaci trygonometrycznej (bez u»ycia tablic ) nast¦puj¡ce
liczby zespolone:
1, −1, i, −i,
√
− 5.
a)
d)
5.
1 + i, 1 − i, −1 − i,
b)
c)
√
√
√
√ 6+ 2+i 6 − 2 ,
Wykona¢ dziaªania stosuj¡c przedstawienie liczby zespolonej w postaci
trygonometrycznej:
a)
√ (1 + i) 1 − i 3 ,
6.
a)
e)
b)
√
1+i
√ ,
1−i 3
c)
6+
√
√
√ !
2+i 6− 2
√
,
3+i
d)
(1 + i)7 .
Obliczy¢. Wynik poda¢ w postaci algebraicznej liczby zespolonej):
2004
1+i
√
,
i− 3
2004
1+i
√
,
i− 3
b)
√
3−i
100
,
√
f)
Re
c)
3+i
10
(cos 330 + i sin 330 ) ,
√ !
−1 + i 3
(1 + i)2
1
.
d)
− cos
π
π 14
+ i sin
,
7
7
7.
Korzystaj¡c ze wzoru de Moivre'a wyprowadzi¢ wzory na:
a)
sin 3x,
8.
Udowodni¢ nast¦puj¡ce wzory:
a)
b)
cos 5x,
b)
cos 2nx =
sin 2nx =
n X
2n
k=0
n−1
X
k=0
x ∈ R,
gdzie
9.
a)
sin 6x.
c)
2k
(−1)k cos2(n−k) x sin2k x,
2n
(−1)k cos2(n−k)−1 sin2k+1 x,
2k + 1
n ∈ N.
a
Obliczy¢ i narysowa¢ na pªszczy¹nie zespolonej podane pierwiastki:
√
10.
−2i,
√
−8 + 8 3 i,
p
4
b)
√
6
c)
1.
Przedstawi¢ w postaci algebraicznej pierwiastki kwadratowe nastepuj¡cych
liczb zespolonych, bez posªugiwania si¦ postacia trygonometryczn¡ liczby zespolonej:
−i,
a) i,
11.
a)
12.
b) 3 + 4i,
Obliczy¢:
√
4
16,
b)
√
4
−1,
8 + 6i,
c)
√
4
c)
i.
Znale¹¢ rozwi¡zania podanych równa«:
a) z 4 = (1 − i)4 ,
b)
(z − 1)6 = (i − z)6 ,
c) z 3 = (iz + 1)3 .
13.
Rozwi¡za¢ równanie kwadratowe:
a) z 2 − 3z + 3 + i = 0,
b)
(4 − 3i) z 2 − (2 + 11i) z − (5 + i) = 0,
c) z 2 + 2 (1 + i) z + 2i = 0.
14.
Rozwi¡za¢ równanie dwukwadratowe:
a) z 4 − 2z 2 + 4 = 0,
b) z 4 − (18 + 4i) z 2 + 77 − 36i = 0.
2
− 2 − 3i.
15.
a)
Rozwi¡za¢ równanie:
(z 3 − i) (z 2 − 5iz − 6) = 0,
b) z 6 − (1 + 8i) z 3 + 8i = 0,
(z − i)n + (z + i)n = 0,
√ 12
d) z 6 = 1 − i 3 ,
−18
√ .
e) z 4 =
1+i 4
c)
16.
Niech
1, 2, ..., n − 1.
εi
oznacza
i-ty
n-tego
pierwiastek
stopnia z jedno±ci,
i=
Policzy¢
a) ε0 + ε1 + ... + εn−1 ,
b) ε0 · ε1 · ... · εn−1 .
Interpretacja geometryczna liczb zespolonych
17.
Poda¢ interpretacj¦ geometryczn¡ zbioru liczb zespolonych speªnia j¡cych
warunek:
a)
|z − i| = |z + 2| ,
e)
0 < Argz 3 < π2 ,
h)
18.
|z − 1|
= λ,
|z + 1|
b)
f)
3 ≤ |z + i| ≤ 5
c)
|z − 2 + i| = 6,
Arg (z − 1) = π3 ,
g)
0 ≤ Arg (z − 3 + 2i) ≤ π3 ,
λ ≥ 0,
i) log√3
A ∩ B,
Zaznaczy¢ na pªaszczy¹nie zespolonej zbiór
a) A = {z ∈ C; 1 ≤ |z + 1 + 2i| ≤ 2} ,
b) A = {z ∈ C; Im (z 2 ) = 2} ,
c) A = z ∈ C; 0 < Arg (i z) < π2 ,
d) A = {z ∈ C; Arg (z 6 ) = π} ,
19.
|z|2 + |z| + 1
2 + |z|
< 1.
gdy
B = z ∈ C; − π2 ≤ Arg (z + 1) ≤ 0 ,
B = z ∈ C; [Re (z + i)]2 = 1 ,
B = {z ∈ C; |z| = Re z + 1} ,
B = {z ∈ C; |z + i| + |z − i| < 2} .
|z1 + z2 |2 + |z1 − z2 |2 = 2 |z1 |2 + |z2 |2 .
3
Imz ≤ 3
Udowodni¢ to»samo±¢:
Jaki jest sens geometryczny tej to»samo±ci?
!
d)
i
Rez ≥ 5.