Zestaw 2 1. Niech Mn(R)

Zestaw 2
1. Niech Mn (R) będzie przestrzenią liniową macierzy kwadratowych (n × n)
o współczynnikach rzeczywistych i niech V ⊆ Mn (R) składa się z wszystkich
macierzy antysymetrycznych (czyli takich, że AT = −A). Udowodnić, że V
jest podprzestrzenią przestrzeni Mn (R) i wyznaczyć dim(V ).
2. Niech V ⊂ RN składa się z wszystkich ciągów arytmetycznych. Udowodnić,
że V jest podprzestrzenią przestrzeni RN i wyznaczyć dim(V ).
3. Wyznaczyć macierz przekształceń liniowych w podanych bazach:
(a) f : R4 → R6 , f (x, y, z, t) = (x + y, z − t, x + y + z + t, x, y + t, 0),
baza R4 (1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0), w R6 (1, 1, 0, 0, 0, 0),
(0, 1, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 0, 1, 1), (1, 0, 0, 0, 1, 1),
(b) to samo przekształcenie co w przykładzie (a) przyjmując w obu przestrzeniach bazy kanoniczne,
(c) f : R4 → R4 , f (x, y, z, t) = (x + y + z, x + y + t, y + z + t, 2x + y) w
bazie kanonicznej.
4. Wyznaczyć wymiary i bazy podprzestrzeni Ker(f ) oraz Im(f ) dla przekształceń z poprzedniego zadania.
5. Podać przykład przestrzeni liniowej oraz przekształcenia, które ma własność addytywności i nie ma własności jednorodności oraz przykład przestrzeni i przekształcenia, które ma własność jednorodności i nie ma własności
addytywności.
6. Dane jest przekształcenie f : R3 → R3 , f (x, y, z) = (2x + y − z, y − x +
3z, x−2y +3z). Udowodnić, że jest to przekształcenie liniowe oraz wyznaczyć
jego obraz oraz jądro.
7. Wyznaczyć w bazie kanonicznej macierz obrotu przestrzeni R2 dookoła
punktu (0, 0) o kąt ϕ.
8. Wyznaczyć w bazie kanonicznej macierz obrotu przestrzeni R3 dookoła osi
Ox o kąt ϕ.
9. Wyznaczyć w dowolnej bazie macierz rzutu przestrzeni R3 na płaszczyznę
x − y + 2z = 0.
1
10. Wyznaczyć w dowolnej bazie macierz symetrii przestrzeni R3 względem
prostej:


 x=t
y = −t


z = 2t
11. Wyznaczyć w bazie kanonicznej macierz przekształcenia g : R3 → R4 ,
gdzie:
g(1, 2, −1) = (1, 0, 1, 0)
g(4, −3, 2) = (3, 2, 0, 5)
g(−3, 5, 0) = (1, −2, −1, 3)
12. Wyznaczyć w bazie 1, x, x2 , . . . , xn macierz przekształcenia
f : R[x]n → R[x]n ,
takiego że:
f (g) = g 0
dla g ∈ R[x]n .
13. Niech operator w przestrzeni R4 ma w bazie kanonicznej macierz:





0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0





wyznaczyć macierz tego przekształcenia w bazie
(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0).
14. Udowodnić, że zbiór obrotów przestrzeni R2 początku układu współrzędnych jest grupą abelową ze względu na działanie składania przekształceń.
2