Aksjomat wyboru - prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF

o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF
51-611 Wrocław, ul. Wieniawskiego 38
www.piotr-liszka.strefa.pl
+ Aksjomat wyboru „Źródłem zastrzeżeń pod adresem aksjomatu wyboru są
nie tylko jego paradoksalne konsekwencje, ale również sam ten aksjomat.
Otóż ma on zupełnie inny charakter niż pozostałe aksjomaty systemu ZF:
jest mianowicie niekonstruktywny, tzn. postuluje istnienie pewnego zbioru
bez podawania jakichkolwiek bliższych informacji o nim – z tego też
powodu jest on zdecydowanie odrzucany na przykład przez intuicjonistów.
Co więcej: w odróżnieniu od pozostałych aksjomatów teorii mnogości
Zermela-Fraenkla ZF postulujących istnienie pewnych zbiorów, które są
określone
jednoznacznie
przez
wskazane
warunki
(i
aksjomat
ekstensjonalności), zbiór, którego istnienie głosi aksjomat wyboru, nie jest
określony jednoznacznie. Zatem dla danej rodziny zbiorów niepustych i
rozłącznych może istnieć wiele zbiorów-reprezentantów w sensie aksjomatu
wyboru” /Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa
1995, s. 180/. „Świadomość trudności (głównie natury filozoficznej)
związanych z aksjomatem wyboru, z jednej strony, a jednocześnie fakt
jego niezbędności w wielu działach matematyki, z drugiej, powodują, że wielu
matematyków wyraźnie odróżnia twierdzenia udowodnione bez niego od tych,
w dowodzeniu których jest on potrzebny, zaznaczając to explicite przy
każdym takim twierdzeniu. Ta szczególna pozycja aksjomatu wyboru
spowodowała też, że tak dużo uwagi poświęcano mu (i nadal się poświęca) w
badaniach nad podstawami teorii mnogości. Dzieli on to specjalne zainteresowanie i hipotezą kontinuum” /Tamże, s. 181.
+ Aksjomat wyboru dołączony do teorii mnogości Zermela-Fraenkla. „Oba
podejścia, tzn. podejście aksjomatyczne Zermela i podejście teoriotypowe
Russella, znalazły licznych zwolenników, którzy rozwijali ich idee. I tak system
Zermela w wyniku ulepszenia przez Abrahama A. Fraenkla (1891-1965) i
Thoralfa A. Skolema (1887-1963) przyjął postać teorii mnogości ZermelaFraenkla oznaczanej krótko symbolem ZF (lub ZFC, jeśli dołączyć aksjomat
wyboru). Nieco odmienne ujęcie aksjomatyczne zaproponował John von
Neumann (1903-1957). W odróżnieniu od Zermela, który upatrywał źródeł
antynomii w istnieniu zbiorów „bardzo dużych”, von Neumann uważał, że nie
sam fakt istnienia takich zbiorów prowadzi do antynomii, lecz raczej to, że
dopuszczamy, by zbiory takie były elementami innych zbiorów. Idea ta
doprowadziła do powstania teorii mnogości von Neumanna-Godla-Bernaysa,
oznaczanej zwykle jako GB, w której mamy do czynienia ze zbiorami i klasami,
przy czym klasa X jest zbiorem wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje klasa Y taka,
że X Y” /Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa
1995, s. 172/. „W teorii tej przyjmuje się też predykatywny aksjomat
wyróżniania, który postuluje istnienie klasy X złożonej dokładnie z tych
elementów x, które spełniają daną własność predykatywną , tzn. własność
nie zawierającą kwantyfikatorów wiążących zmienne klasowe, czyli
kwantyfikatorów typu: „dla każdej klasy X...”, czy „istnieje taka klasa X,
że...” ( może zawierać oczywiście kwantyfikatory wiążące zmienne zbiorowe).
Odrzucenie tego ograniczenia i dopuszczenie w aksjomacie wyróżniania
1
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
dowolnych formuł
prowadzi do systemu teorii mnogości M, zwanego
/
systemem Morse'a Dodajmy, że rozważanie takiego aksjomatu wyróżniania
zostało po raz pierwszy zasugerowane przez W. V.O. Quine'a w pracy z roku
1940, a następnie przez Hao Wanga (1949) i A. P. Morse'a (1965)/” /Tamże, s.
173.
+ Aksjomat wyboru dołączony do teorii mnogości ZF; oraz dołączenie
uogólnionej hipotezy kontinuum nie daje żadnych nowych informacji o
liczbach naturalnych, a zatem zarówno AC jak i GCH są bez znaczenia dla
naszej wiedzy o liczbach naturalnych „Czy nieskończoność jest w ogóle
potrzebna w matematyce skończonej. Gödel w swej słynnej pracy z roku
1931, w której udowodnił niezupełność arytmetyki, napisał: „Skonstruowane
tutaj zdania nierozstrzygalne staną się rozstrzygalne, jeżeli dołączyć [do
arytmetyki — uwaga moja, R. M.] odpowiednie wyższe typy”. Ponieważ zdania
nierozstrzygalne Gödla mają charakter skończony, tzn. mówią o obiektach
skończonych (liczbach naturalnych), zatem opinia Gödla sprowadza się do
tezy, że nieograniczone iteracje pozaskończone operacji brania zbioru
potęgowego są konieczne dla matematyki skończonej. Nie mogąc tu wchodzić
w skomplikowane szczegóły techniczne badań związanych z tą tezą
powiedzmy tylko, że nowe wyniki na temat niezupełności arytmetyki liczb
naturalnych (o których pisaliśmy w rozdziale II.3, poświęconym
formalizmowi), tzn. wyniki J. Parisa, L. Harringtona i L. Kirby’ego, stanowią
potwierdzenie opinii Godla. Jak pamiętamy, podają one przykłady zdań
arytmetycznych (tzn. mówiących o liczbach naturalnych i ich własnościach)
nie mających dowodów czysto arytmetycznych. Są to zatem zdania, których
dowody wymagają użycia środków pozaskończonych wykraczających poza
dziedzinę liczb naturalnych. Pokazują one więc, że co najmniej pierwszy
stopień pozaskończoności w teorii mnogości Cantora jest konieczny dla
matematyki (dokładniej: kombinatoryki) skończonej. Wspomnieć tu też warto
o twierdzeniu Kreisla głoszącym, że jeśli
jest zdaniem języka arytmetyki
Peana (czyli zdaniem mówiącym o liczbach naturalnych) takim, że można
udowodnić na gruncie aksjomatów teorii mnogości ZF + „AC + „GCH, to
można je również udowodnić w oparciu o aksjomaty samej teorii mnogości
ZF. Twierdzenie to mówi zatem, że teoria mnogości ZF wraz z aksjomatem
wyboru oraz uogólnioną hipotezą kontinuum jest zachowawczym
rozszerzeniem teorii mnogości ZF względem zdań o liczbach naturalnych.
Innymi słowy: dołączenie do teorii mnogości ZF aksjomatu wyboru oraz
uogólnionej hipotezy kontinuum nie daje żadnych nowych informacji o
liczbach naturalnych, a zatem zarówno AC jak i GCH są bez znaczenia dla
naszej wiedzy o liczbach naturalnych” /R. Murawski, Filozofia matematyki,
Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 189.
+ Aksjomat wyboru dyskutowany w roku 1913 przyczynił się do dostrzeżenia
przydatności pojęcia ciągu wyborów do intuicjonistycznej analizy kontinuum.
„Chcąc rekonstruować matematykę klasyczną Brouwer natknął się przede
wszystkim na problem kontinuum. Początkowo głosił poglądy podobne do
poglądów Borela, później jednak podjął próby wyjaśnienia natury i istoty
zarówno kontinuum jak i liczb naturalnych odwołującego się do pierwotnej
intuicji apriorycznego czasu. W roku 1913 dostrzegł przydatność pojęcia
ciągu wyborów (ang. choice sequence) (które pojawiło się już u Borela w
związku z dyskusją aksjomatu wyboru) do intuicjonistycznej analizy
2
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
kontinuum. Pojęcie to stało się z czasem jednym z podstawowych w
intuicjonizmie. Aby je nieco przybliżyć, (nie mogąc wchodzić w szczegóły)
powiedzmy tu tylko, że ciąg wyborów a liczb naturalnych można rozumieć
jako nie zakończony proces wybierania wartości 1, 2, 3, ... dokonywany
przez wyidealizowanego matematyka; na każdym kroku określa on tylko
skończenie wiele wartości ciągu
oraz formułuje ewentualnie pewne
ograniczenia dotyczące przyszłych wyborów. Stosowanie ciągów wyborów do
liczb wymiernych prowadzi do intuicjonistycznej koncepcji kontinuum i w
rezultacie stanowi podstawę analizy intuicjonistycznej. W Brouwerowskiej
teorii mnogości głównym pojęciem jest pojęcie rozwinięcia (ang. spread). W
uproszczeniu można powiedzieć, że rozwinięcie jest to drzewo skończonych
ciągów liczb naturalnych takich, że każdy ciąg ma co najmniej jeden
następnik, plus prawo L, które przyporządkowuje obiekty ze skonstruowanej
wcześniej dziedziny wierzchołkom tego drzewa. Ciągi wyborów wewnątrz
danego rozwinięcia odpowiadają nieskończonym gałęziom drzewa. Brouwer
nazywa ciąg L( 1), L( 2), L( 3),..., gdzie
jest nieskończoną gałęzią,
elementem rozwinięcia” /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów,
Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s.110/. Pojęcie rozwinięcia
uzupełnia pojecie gatunku (ang. species), będące odpowiednikiem
klasycznego pojęcia zbioru. Można myśleć o gatunku jako o zbiorze
elementów wyodrębnionych za pomocą jakiejś własności ze skonstruowanej
wcześniej całości (tak jak się to czyni na przykład w przypadku aksjomatu
wyróżniania w teorii mnogości)” /Tamże, s. 111.
+ Aksjomat wyboru krytykowany przez intuicjonistów, podobnie semiintuicjoniści francuscy. „Konsekwencją stanowiska konceptualistycznego jest
odrzucenie metody aksjomatycznej jako metody budowania (i ugruntowywania)
matematyki. Nie można bowiem postulować tylko istnienia obiektów, jak się
to czyni w metodzie aksjomatycznej, ale należy je uprzednio skonstruować.
Podobnie rzecz się ma z własnościami obiektów. W związku z tym należy w
szczególności odrzucić na przykład aksjomatykę Peana dla liczb naturalnych
czy aksjomatykę Zermela dla teorii mnogości. Intuicjoniści szczególnie ostro
krytykowali – podobnie jak semi-intuicjoniści francuscy – zwłaszcza
aksjomat wyboru (por. dodatek o teorii mnogości). Aksjomat ten jest bowiem
według nich jaskrawym przykładem postulowania istnienia zbioru, którego
myśl nasza nie jest na ogół w stanie określić. Inną konsekwencją tezy
konceptualistycznej
jest
odrzucenie
przez
intuicjonizm
istnienia
nieskończoności aktualnej. Umysł ludzki może konstruować obiekty jakiegoś
rodzaju, na przykład liczby, ale nie może nigdy wykonać nieskończenie wielu
konstrukcji” /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów,
Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 101/. „Zatem zbiór
nieskończony można rozumieć jedynie jako prawo czy regułę tworzenia wciąż
nowych jego elementów. Taki zbiór jest jednak zawsze przeliczalny. Nie ma
więc zbiorów nieprzeliczalnych, nie ma też liczb kardynalnych
pozaskończonych innych niż 0. W konsekwencji pojęcie zbioru, do którego
dochodzą intuicjoniści, jest zupełnie inne niż to, którym operuje teoria
mnogości Cantora” /Tamże, s. 103.
+ Aksjomat wyboru może być w teoria mnogości. „Okazało się więc
ostatecznie, że AC i GCH są niesprzeczne i niezależne od aksjomatów teorii
mnogości Zermela-Fraenkla. A zatem, możliwa (bo niesprzeczna) jest teoria
3
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
mnogości z aksjomatem wyboru (i (uogólnioną) hipotezą kontinuum)), jak
również możliwa jest teoria zbiorów bez nich, czy z ich negacjami. Biorąc pod
uwagę fakt, że teoria mnogości stanowi w pewnym sensie fundament
matematyki i że tak wiele twierdzeń na przykład w analizie czy algebrze zależy
od AC, musimy dojść do wniosku, że możliwe są różne matematyki, w
szczególności na przykład różne analizy. Która z nich jest tą właściwą i co to
w ogóle znaczy? Sytuację te można by porównać z sytuacją w geometrii po
stworzeniu geometrii nieeuklidesowych, a więc negujących piąty postulat
Euklidesa o równoległych. W tym przypadku jednak sprawa jest bardziej
zasadnicza – dotyczy bowiem całej matematyki, a nie tylko jednego jej działu.
Ponieważ pozycja aksjomatu wyboru w teorii mnogości nie jest do końca
wyjaśniona, a jego rola – jednoznaczna (obok konsekwencji „dobrych” i
pożądanych ma on też „złe” i paradoksalne), zaczęto szukać innych,
alternatywnych zasad. Jedną z nich jest aksjomat determinacji AD,
sformułowany przez Jana Mycielskiego i Hugona Steinhausa w roku 1962 w
pracy A Mathematical Axiom Contradicting the Axiom of Choince” /Murawski
R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 183.
+ Aksjomat wyboru niesprzeczny i niezależny w systemie Zermela-Fraenkla.
„wyniki Gödla i Cohena na temat niesprzeczności i niezależności aksjomatu
wyboru i hipotezy kontinuum w systemie Zermela-Fraenkla mają – oprócz
wskazanych – jeszcze inne konsekwencje. Oznaczają one bowiem, że zawarta
w aksjomatach ZF charakteryzacja zbiorów jest zbyt słaba i niewystarczająca, by móc na jej podstawie rozstrzygnąć na przykład te dwie ważne
szczególne własności. Powstaje więc pytanie o ewentualne wzmocnienie
aksjomatów. K. Gödel pisał na ten temat tak: „Jeżeli bowiem przyjąć jako
trafne (sond) terminy pierwotne teorii mnogości (...), to wynika stąd, iż pojęcia
i twierdzenia teoriomnogościowe opisują rzeczywistość dobrze określoną, w
której hipoteza Cantora musi być albo prawdziwa, albo fałszywa. Zatem jej
nierozstrzygalność na gruncie przyjmowanych dziś aksjomatów może znaczyć
tylko tyle, że aksjomaty te nie zawierają pełnego opisu tej rzeczywistości. (...)
Aksjomaty teorii mnogości nie tworzą żadną miarą systemu zamkniętego,
wprost przeciwnie: samo pojęcie zbioru, na którym są oparte, sugeruje
rozszerzanie ich za pomocą nowych aksjomatów, stwierdzających istnienie
dalszych jeszcze iteracji operacji 'zbiór (czegoś)' (set of)” (What Is Cantor's
Continuum Problem?, wersja z roku 1964, s. 264)” /Murawski R. Filozofia
matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 186/. Główny rodzaj
aksjomatów, których dołączenie do teorii ZF się sugeruje, to aksjomaty
nieskończoności postulujące istnienie dużych liczb kardynalnych.
Najprostszy z nich stwierdza istnienie liczb kardynalnych nieosiągalnych, tzn.
liczb kardynalnych zamkniętych ze względu na działania potęgowania i sumowania. Dokładniej: liczba kardynalna m jest nieosiągalna wtedy i tylko
wtedy, gdy: (1) 0 < m , (2) jeżeli n < m, to 2n < m oraz (3) jeżeli A <m i F jest
funkcją ze zbioru A o wartościach będących liczbami kardynalnymi
mniejszymi od m, to x A F(x) < m. Aksjomat liczb nieosiągalnych nie jest
twierdzeniem teorii ZF. Istnienie liczb nieosiągalnych może być iterowane w
pozaskończoność. Prowadzi to do skali liczb kardynalnych Mahlo (opisanej
po raz pierwszy przez Friedricha Paula Mahlo w roku 1911)” /Tamże, s. 187.
+ Aksjomat wyboru odgrywa bardzo ważną rolę w matematyce „znacznie
większą, niż zdają sobie z tego na ogół sprawę matematycy nie
4
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
zastanawiający się nad problemami podstaw swej dyscypliny. Bardzo wiele
twierdzeń w sposób istotny wykorzystuje ten aksjomat lub pewne
równoważne mu zasady. Do takich zasad równoważnych aksjomatowi
wyboru na gruncie teorii mnogości ZF należą m. in.: (1) twierdzenie Zermela
o dobrym uporządkowaniu, mówiące, że każdy zbiór można dobrze
uporządkować; (2) lemat Tukeya, głoszący, że dla dowolnej danej własności
charakteru skończonego /Własność
nazywamy własnością charakteru
skończonego wtedy i tylko wtedy, gdy (0) oraz dla dowolnego B
A: (B)
„C (C
B & C skończony
(C))/, mogącej przysługiwać podzbiorom
pewnego zbioru A, dowolny podzbiór zbioru A mający własność
zawarty
jest w pewnym maksymalnym zbiorze mającym własność
; (3) lemat
Kuratowskiego-Zorna,
mówiący,
że
jeżeli
dla
każdego
liniowo
uporządkowanego podzbioru A0 zbioru częściowo uporządkowanego A istnieje
element największy, to w zbiorze A istnieje element maksymalny. Tytułem
przykładu wymieńmy kilka twierdzeń, których dowody w sposób istotny
korzystają z aksjomatu wyboru AC. W teorii mnogości korzystamy z AC
dowodząc na przykład, że (a) każdy zbiór nieskończony ma podzbiór
przeliczalny; (b) suma przeliczalnej ilości zbiorów przeliczalnych jest zbiorem
przeliczalnym; (c) zbiór wszystkich liczb rzeczywistych nie jest sumą
przeliczalnej ilości zbiorów przeliczalnych; (d) produkt kartezjański zbiorów
niepustych jest niepusty” /Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów,
PWN Warszawa 1995, s. 178.
+ Aksjomat wyboru po raz pierwszy wspomniany przez Giuseppe Peano
w pracy z roku 1890 dotyczącej istnienia rozwiązań układów równań
różniczkowych zwyczajnych. „Doszedłszy w dowodzie do miejsca, w którym
trzeba było wybrać po jednym elemencie z każdego ze zbiorów pewnego
ciągu A 1 , A 2 ,... podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych, Peano napisał:
„Ponieważ nie można stosować nieskończenie wiele razy dowolnego prawa,
za pomocą którego przyporządkowuje się (on fait correspondre) klasie pewne
indywiduum z tej klasy, sformułowaliśmy tu więc konkretne prawo, pozwalające, przy odpowiednich założeniach, przyporządkować każdej klasie
pewnego systemu jakieś indywiduum z tej klasy (Demonstration de
l’integrabilite..., s. 210). W roku 1902 aksjomat wyboru został wyraźnie
zastosowany przez Beppo Lebiego” /Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys
dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 177/. „Dodać oczywiście należy, że
aksjomat wyboru stosowany był już wcześniej przez Cantora i innych
matematyków, ale czynili oni to bez świadomości używania zasady, której
przedtem nie formułowano w matematyce klasycznej ani w logice. W roku 1904
E. Zermelo podał pierwsze wyraźne sformułowanie aksjomatu wyboru i
zastosował go w dowodzie twierdzenia o dobrym uporządkowaniu. W roku
1906 B. Russell podał używaną dziś postać aksjomatu (nazywając go
aksjomatem muiltiplikatywnym)” /Tamże, s. 178.
+ Aksjomat wyboru potrzebny jest w topologii w szczególności w dowodzie
twierdzenia Tichonowa „o tym, że produkt przestrzeni zwartych jest
przestrzenią zwartą. Udowodniono też, że lemat Urysohna jest równoważny
aksjomatowi wyboru. W teorii miary wykorzystujemy AC w dowodzie
istnienia zbiorów liczb rzeczywistych niemierzalnych w sensie Lebesgue’a. W
analizie matematycznej aksjomat wyboru potrzebny jest do udowodnienia, że
definicja ciągłości funkcji według Heinego jest równoważna definicji ciągłości
5
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
funkcji według Cauchy'ego. Dokładniej – AC potrzebne jest w dowodzie
implikacji: jeśli funkcja f jest ciągła w punkcie x0 według Heinego, to jest leż
ciągła w x0 według Cauchy'ego, co więcej: implikacja ta jest równoważna
przeliczalnemu aksjomatowi wyboru, czyli aksjomatowi wyboru dla rodzin
przeliczalnych. W analizie funkcjonalnej wykorzystuje się AC (dokładniej:
lemat Tukeya) w dowodzie istnienia bazy dla dowolnej przestrzeni wektorowej,
jak również w twierdzeniu Hahna-Banacha. W algebrze stosuje się aksjomat
wyboru w dowodzie twierdzenia mówiącego, że dla dowolnego ciała F istnieje
dokładnie jedno (z dokładnością do izomorfizmu) domknięcie algebraiczne F
(co więcej, twierdzenie to jest równoważne przeliczalnemu aksjomatowi
wyboru). Używa się go również dowodząc, że podgrupa grupy wolnej jest
wolna, czy dowodząc, że każda grupa posiada maksymalne podgrupy
apelowe” /Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa
1995, s. 179.
+ Aksjomat wyboru powiązany z hipotezą kontinuum. „zachodzą pewne
związki między aksjomatem wyboru a hipotezą kontinuum. I rzeczywiście, w
roku 1926 Alfred Tarski i Adolf Lindenbaum zaanonsowali, a w roku 1947
Wacław Sierpiński udowodnił, że z uogólnionej hipotezy kontinuum GCH (w
drugim sformułowaniu) wynika aksjomat wyboru AC. Na uwagę zasługuje
tu fakt, że wynik ten uzyskany został w sposób czysto kombinatoryczny.
Najważniejszą sprawą do wyjaśnienia pozostawał stosunek aksjomatu
wyboru i hipotezy kontinuum do pozostałych aksjomatów teorii mnogości
ZF. Gdyby bowiem okazało się, że są one konsekwencjami pozostałych
aksjomatów, które na ogół nie wzbudzają żadnych zastrzeżeń i wątpliwości,
to wtedy i ich pozycja stałaby się mocniejsza i mniej dyskusyjna. W roku
1938 Kurt Gödel udowodnił, że GCH (a zatem i CH) oraz AC są względnie
niesprzeczne z pozostałymi aksjomatami systemu ZF, tzn. jeżeli teoria ZF
jest niesprzeczna, to pozostanie ona niesprzeczna po dołączeniu jako
nowych aksjomatów GCH i AC. Innymi słowy: jeśli po dołączeniu GCH i AC
do ZF otrzymalibyśmy sprzeczność, to można by ją otrzymać już z samych
aksjomatów ZF. A zatem w konsekwencji w systemie ZF nie można
udowodnić ani negacji (uogólnionej) hipotezy kontinuum, ani też negacji
aksjomatu wyboru. Gödel uzyskał ten wynik budując model dla ZF wraz z
GCH i AC. Był to model złożony z tzw. zbiorów konstruowalnych, tzn. zbiorów,
które dadzą się otrzymać ze zbioru pustego za pomocą pewnych explicite
podanych operacji, stosowanych pozaskończenie wiele razy. Twierdzenie
Gödla nie rozwiązywało jednak jeszcze problemu do końca” /Murawski R.
Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 182/. „Dopiero
w roku 1963 Paul J. Cohen za pomocą całkowicie nowej metody, tzw. metody
forcingu (wymuszania), wyjaśnił w pełni status GCH i AC w systemie ZF.
Udowodnił on mianowicie, że: 1. nieprawda, że (CH
GCH); 2. nieprawda, że
(AC
GCH); 3. AC i CH (a więc tym bardziej GCH) nie wynikają z pozostałych aksjomatów ZF; 4. CH nie wynika z AC ani też na odwrót, na gruncie
aksjomatów ZF” /Tamże, s. 183.
+ Aksjomat wyboru prowadzi do pewnych paradoksalnych konsekwencji.
„Najbardziej znana z nich to twierdzenie Banacha-Tarskiego z roku 1924 o
paradoksalnym rozkładzie kuli wykorzystujące pewne idee Felixa Hausdorffa
/Dowód tego twierdzenia można znaleźć w Dodatku do pierwszego wydania
Teorii mnogości K. Kuratowskiego i A. Mostowskiego/. Niech mianowicie K
6
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
będzie sferą trójwymiarową o promieniu l i niech X, Y
K. Mówimy, że X
przystaje do Y (co zapisujemy symbolicznie: X Y) wtedy i tylko wtedy, gdy
istnieje obrót
sfery K dookoła środka taki, że (X) = Y.” /Murawski R.
Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 179/.
„Mówimy, że zbiór X przystaje do zbioru Y przez rozkład skończony
(symbolicznie: X
Y) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją rozłączne zbiory
X 1 ,...,X n i rozłączne zbiory Y1 , ... Yn takie, że X = X ...
Xn , Y= Y ...
Yn oraz dla każdego i = l,..., n zachodzi Xi
Yi . Twierdzenie BanachaTarskiego głosi, że powierzchnia kuli K rozkłada się na sumę dwu zbiorów
rozłącznych X i Y takich, że X
K i Y
K. Można dowieść, że ta sama
własność zachodzi też dla kuli bez środka. Pewna modyfikacja dowodu
pozwala otrzymać również twierdzenie dla pełnej kuli (domkniętej lub
otwartej). Raphael M. Robinson wykazał, że minimalna liczba części, na
które można podzielić kulę w taki sposób, aby można z nich było złożyć dwie
kule, wynosi 5. Stefan Banach udowodnił zaś, że na płaszczyźnie nie jest
możliwy paradoksalny rozkład żadnej figury mający własności takie, jak
w twierdzeniu Banacha-Tarskiego. Paradoksalność twierdzenia o rozkładzie
kuli polega na tym, że przeczy ono naszym intuicjom dotyczącym miary.
Zauważyć jednak należy, że te ostatnie powstały głównie w związku ze
zbiorami regularnymi (takimi jak na przykład wielokąty), a w twierdzeniu
Banacha-Tarskiego mamy do czynienia ze zbiorami nieregularnymi, być może
nawet niemierzalnymi” /Tamże, s. 180.
+ Aksjomat wyboru rozszerza teorię mnogości zachowawczo względem zdań o
liczbach naturalnych. „Wspomnieć tu też warto o twierdzeniu Kreisla
głoszącym, że jeśli
jest zdaniem języka arytmetyki Peana (czyli zdaniem
mówiącym o liczbach naturalnych) takim, że można udowodnić na gruncie
aksjomatów teorii mnogości ZF plus AC plus GCH, to można je również
udowodnić w oparciu o aksjomaty samej teorii mnogości ZF. Twierdzenie to
mówi zatem, że teoria mnogości ZF wraz z aksjomatem wyboru oraz
uogólnioną hipotezą kontinuum jest zachowawczym rozszerzeniem teorii
mnogości ZF względem zdań o liczbach naturalnych. Innymi słowy:
dołączenie do teorii mnogości ZF aksjomatu wyboru oraz uogólnionej
hipotezy kontinuum nie daje żadnych nowych informacji o liczbach
naturalnych, a zatem zarówno AC jak i GCH są bez znaczenia dla naszej
wiedzy o liczbach naturalnych” /Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys
dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 190/. „Postawić też należy inne jeszcze
pytanie – związane z pytaniem poprzednim – a mianowicie, czy matematyka
nieskończona jest potrzebna i konieczna w matematyce stosowanej.
Abstrahując od nieprecyzyjności określenia „matematyka stosowana”,
odpowiedź na to pytanie wydaje się być negatywna. Już Hermann Weyl w swej
monografii Das Kontinuum (1918) pokazał, że spore fragmenty klasycznej
analizy matematycznej mogą być rozwinięte w ramach teorii będącej
zachowawczym rozszerzeniem arytmetyki Peana PA” /Tamże, s. 190.
+ Aksjomat wyboru w teorii mnogości nie jest do końca wyjaśniony. „Biorąc
pod uwagę fakt, że teoria mnogości stanowi w pewnym sensie fundament
matematyki i że tak wiele twierdzeń na przykład w analizie czy algebrze zależy
od AC, musimy dojść do wniosku, że możliwe są różne matematyki, w
szczególności na przykład różne analizy. Która z nich jest tą właściwą i co to
w ogóle znaczy? Sytuację te można by porównać z sytuacją w geometrii po
7
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
stworzeniu geometrii nieeuklidesowych, a więc negujących piąty postulat
Euklidesa o równoległych. W tym przypadku jednak sprawa jest bardziej
zasadnicza – dotyczy bowiem całej matematyki, a nie tylko jednego jej działu.
Ponieważ pozycja aksjomatu wyboru w teorii mnogości nie jest do końca
wyjaśniona, a jego rola — jednoznaczna (obok konsekwencji „dobrych” i
pożądanych ma on też „złe” i paradoksalne), zaczęto szukać innych,
alternatywnych zasad. Jedną z nich jest aksjomat determinacji AD,
sformułowany przez Jana Mycielskiego i Hugona Steinhausa w roku 1962 w
pracy A Mathematical Axiom Contradicting the Axiom of Choince” /R.
Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN,
Warszawa 1995, s. 183/. Aksjomat determinacji Mycielskiego-Steinhausa
głosi: „Dla każdego zbioru A
, gra G (A) jest zdeterminowana, gdzie: to
ciąg liczb naturalnych, a
to zbiór wszystkich nieskończonych ciągów liczb
naturalnych (zauważmy tu, że zgodnie z prawami arytmetyki liczb
porządkowych 2 = ). Jakie są konsekwencje aksjomatu determinacji AD?
Otóż na gruncie teorii mnogości ZF wraz z aksjomatem AD można udowodnić
m. in. następujące twierdzenia: (1) każdy zbiór liczb rzeczywistych jest
mierzalny w sensie Lebesgue’a; (2) dla przeliczalnych rodzin zbiorów liczb
rzeczywistych zachodzi aksjomat wyboru; (3) istnieje dobry praporządek na
zbiorze R liczb rzeczywistych (tzn. na zbiorze R można określić relację
przechodnią i ufundowaną); (4) każdy ultrafiltr na zbiorze liczb naturalnych
jest główny” /Tamże, s. 184/. (5)
jest liczbą kardynalną mierzalną; (6) 3
jest liczbą kardynalną singularną; (7) dla każdego zbioru X liczb
rzeczywistych albo moc X
0, albo moc X = 2 ° (a zatem zachodzi hipoteza
kontinuum Cantora) (definicje liczb kardynalnych mierzalnych i
singularnych znaleźć można na przykład w monografii K. Kuratowskiego i A.
Mostowskiego Teoria mnogości)” /Tamże, s. 185.
+ Aksjomat wyboru wykorzystany przez Zermelo E. w dowodzeniu
twierdzenie o dobrym uporządkowaniu (1904). „Walka Kroneckera i jego
uczniów przeciw nowoczesnym, opartym na teorii mnogości Cantora
(Kronecker był jednym z głównych krytyków i przeciwników teorii mnogości
Cantora) metodom w teorii liczb rzeczywistych i teorii funkcji (rozwijanych
głównie przez Karla Weierstrassa i jego szkołę), skończyła się właściwie ich
przegraną. Teorie te rozwijały się szybko i burzliwie, nawet mimo wykrycia
antynomii w teorii mnogości. Dopiero Ernsta Zermela dowód (korzystający
z pełnej postaci aksjomatu wyboru) twierdzenia o dobrym uporządkowaniu
(1904), głoszącego, iż każdy zbiór można dobrze uporządkować, wywołał
rozmaite obiekcje grupy matematyków francuskich, którzy sami aktywnie
pracowali nad rozwijaniem teorii funkcji z wykorzystaniem teorii mnogości
Cantora. Do grupy tej, zwanej paryską szkołą intuicjonizmu lub francuskimi
semi-intuicjonistami, należeli Rene Louis Baire (1874-1932), Emile Borel
(1871-1956), Henri Louis Lebesgue (1875-1941) i matematyk rosyjski Mikołaj
Nikołajewicz Łuzin (1883-1950). Ich rozważania nad podstawami
matematyki dotyczyły głównie roli i miejsca aksjomatu wyboru, często
jednak zajmowali się także kwestiami ogólniejszymi. Nie stworzyli żadnej
zwartej doktryny filozoficznej; mamy w ich przypadku do czynienia jedynie
z rozmaitymi poglądami cząstkowymi formułowanymi na marginesie
zasadniczej działalności naukowej, które łączy wspólna tendencja
konstruktywistyczna. Jako przykład przytoczmy kilka z ich tez. I tak na
8
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
przykład Lebesgue twierdził, że obiekt matematyczny istnieje tylko wtedy,
gdy został zdefiniowany za pomocą skończenie wielu słów. Borel mówił tu o
„efektywnym” definiowaniu obiektów. Twierdził, że sama niesprzeczność
nie wystarcza do przyjęcia, że rozważany obiekt istnieje. Poszczególne liczby
rzeczywiste muszą być dane za pomocą skończonych definicji, a więc ich
zbiór nie może być nigdy nieprzeliczalny” /R. Murawski, Filozofia
matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s.
99.
9