Gdzie tu problem? Dobry wynik i błędne rozwiązanie

Gdzie tu problem?
Dobry wynik i błędne rozwiązanie?
Nadspodziewanie często zdarza się, ze uczeń rozwiązuje zadanie, otrzymuje
dobry wynik, ale jego rozwiązanie zawiera błędy w rozumowaniu.
1. Najczęściej ma to miejsce wtedy, gdy przeoczył on w czasie
rozwiązywania zadania szczególne przypadki, które nie mają
rozwiązań.
Przykład:
Dla jakich wartości parametru m funkcja
przyjmuje tylko wartości dodatnie?
f ( x ) = ( 4 − m )x 2 − 3x + m + 4
Często rozwiązanie wygląda tak:
Wykresem funkcji musi być parabola:
- z ramionami skierowanymi w górę, czyli 4 − m > 0 ,
- leżąca nad osią OX, czyli ∆ < 0 (brak pierwiastków).
Rozwiązując układ równań:
4 − m > 0

∆ < 0
m < 4
⇔ 
 9 − 4(m + 4)(4 − m ) < 0

55
55 
otrzymujemy rozwiązanie: m ∈  −
,
,
2
2 

i jest to rzeczywiście rozwiązanie zadania.
Zwróćmy jednak uwagę, że nie została rozpatrzona jedna ewentualność:
gdy m = 4 , to funkcja f(x) nie jest funkcją kwadratową i jej wykresem nie
jest parabola. Należy sprawdzić, czy wtedy nie zachodzi taki przypadek, że
przyjmuje ona tylko wartości dodatnie.
W tym zadaniu dla m = 4 funkcja ma postać: f ( x) = −3x + 8 .
Funkcja liniowa o takim równaniu przyjmuje wartości różnych znaków,
więc m = 4 nie jest rozwiązaniem zadania.
Gdyby jednak po wstawieniu za m liczby 4 funkcja przyjmowała postać np.
f ( x) = 7 , to m = 4 byłoby rozwiązaniem zadania.
Tak, czy inaczej, ten przypadek należy w rozwiązaniu zadania rozpatrzyć.
2. Dobry wynik, a złe rozumowanie spotykamy także wtedy, gdy uczeń
pominął/przeoczył takie rozwiązania, które w oparciu o temat
zadania byłyby odrzucone.
Przykład 1:
Wiadomo, że cos x = −
5
π

i x ∈  , π  . Oblicz sin x .
13
2

Rozwiązanie:
sin 2 x + cos 2 x = 1
i
cos x = −
5
13
2
144
 5
sin x = 1 −  −  =
169
 13 
12
sin x =
13
2
Komentarz:
Wynik
sin x =
jest
dobry,
ale
równanie
sin 2 x =
144
169
ma
dwa
rozwiązania:
12
12
lub sin x = − .
13
13
π

Wartość ujemną należy odrzucić, bo w przedziale  , π  funkcja y = sin x przyjmuje
2

wartości dodatnie.
Dlatego też należy napisać obydwa rozwiązania, a następnie uzasadnić, dlaczego
12
.
rozwiązaniem jest tylko sin x =
13
Przykład 2:
Rozwiąż nierówność:
x2 − 3 < x + 1
Rozwiązanie:
Wyznaczenie dziedziny nierówności: x ∈ − ∞ , − 3 ∪
(
x2 − 3 < x + 1
3 , ∞) .
2
x 2 − 3 < x 2 + 2x + 1
2x < −2
x > −1
Po uwzględnieniu dziedziny nierówności otrzymujemy x ∈
3 , ∞) .
Komentarz:
Rzeczywiście rozwiązaniem zadania jest podany zbiór.
Wykonano jednak niepoprawne działanie: podniesiono do kwadratu obydwie strony
nierówności w sytuacji, gdy mogą one być różnych znaków, co ma miejsce dla
x∈ − ∞ , − 3 .
(
Dlaczego tak nie można robić wyjaśniłem w poradzie o rozwiązywaniu nierówności.
(
Przypadkowo zbiór − ∞ , − 3 , który powinien zostać odrzucony z innych powodów,
nie przecina się ze zbiorem rozwiązań nierówności – stąd poprawny wynik.
Nierówność powinna być rozwiązana w następujący sposób:
x2 − 3 < x + 1
(
Wyznaczenie dziedziny nierówności: x ∈ − ∞ , − 3 ∪
(
3 , ∞) .
a) dla x ∈ − ∞ , − 3 prawa strona nierówności jest ujemna, więc nie jest większa
od lewej strony – nierówność jest sprzeczna.
b) dla x ∈ 3 , ∞ ) obydwie strony nierówności są nieujemne – można podnieść
nierówność obustronnie do kwadratu, gdyż funkcja y = x 2 , x ≥ 0 jest rosnąca.
( x − 3 ) < (x + 1)
2
x∈
2
2
- z czego otrzymujemy x > −1 i po uwzględnieniu warunku
3 , ∞ ) mamy rozwiązanie punktu b: x ∈
3 , ∞) .
Podsumowując a) oraz b) mamy rozwiązanie nierówności: x ∈
3 , ∞) .
3. Ostatnia sytuacja, jaką napotkałem, i która „podpada” pod tytuł porady: „Dobry
wynik i złe rozwiązanie”, to zupełnie nonsensowne, wręcz kuriozalne obliczenia
prowadzące do dobrego wyniku.
Spotkałem ich w ciągu 20 lat pracy w szkole nie więcej niż kilkanaście.
Tego przypadku omawiać nie będziemy.
Niestety nie zgromadziłem archiwaliów na ten temat.
Trochę żałuję, bo byłoby z czego się pośmiać przed stresem maturalnym…