n ( )i

Matematyka ubezpieczeń majątkowych
12.03.2012 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
Mamy dany ciąg liczb q1 , q2 ,..., qn  z przedziału 0,1 . Rozważmy trzy zmienne
losowe:
o X  X 1  X 2  ...  X n , gdzie X i ma rozkład dwumianowy o parametrach
1, qi  , i wszystkie składniki są niezależne,
1 n
 qi
n i 1
o Z, której warunkowy rozkład (przy danej wartości Q) jest rozkładem
dwumianowym z parametrami n, Q  , zaś zmienna Q ma rozkład n-punktowy
1
taki, że Pr(Q  qi )  , i  1,2,..., n
n
Wariancje tych trzech zmiennych porządkują nierówności, które przyjmują postać
równości jedynie w przypadku gdy wszystkie qi są identyczne. Wybierz poprawny
porządek.
o Y o rozkładzie dwumianowym i parametrach n, q  , gdzie q 
(A)
var X  var Y  var Z
(B)
var X  var Z  var Y
(C)
var Y  var X  var Z
(D)
var Z  var Y  var X
(E)
var Z  var X  var Y
1
Matematyka ubezpieczeń majątkowych
12.03.2012 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
Rozważamy dwie zmienne losowe o rozkładach złożonych, różniące się założeniami o
rozkładzie liczby składników i rozkładzie pojedynczego składnika:
 PL  Y1    YN , gdzie N ma rozkład Poissona o wartości oczekiwanej  , zaś
każdy ze składników Yn ma rozkład logarytmiczny o funkcji prawdopodobieństwa
1
ck
dla k  1,2,3,...

 ln(1  c) k
 LP  Y1    YN , gdzie N ma rozkład logarytmiczny o funkcji
prawdopodobieństwa z parametrem c (jak wyżej), zaś każdy ze składników Yn ma
rozkład Poissona o wartości oczekiwanej  .
Rozważamy jedynie dopuszczalne wartości parametrów   0 oraz c  0, 1 .
Warunek konieczny i dostateczny, aby przy tych założeniach zachodziła nierówność:
var( LP)  var( PL)
można przedstawić w postaci:
danej wzorem PrYn  k  
(A)
   ln(1  c)  c
(B)

 ln(1  c)  c
 ln(1  c)  c
(C)

 ln(1  c)  c
 ln(1  c)  c
(D)
   ln(1  c)
(E)

c
1 c
2
Matematyka ubezpieczeń majątkowych
12.03.2012 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
Liczba szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach spełniających zależność
rekurencyjną:
PrN  k 
1  12 
 3  ,
PrN  k  1 5 
k 
Jeśli wiemy, że
k  1,2,3,...

 PrN  k   1, to wartość oczekiwana liczby szkód (N ) wynosi:
k 0
(A)
2 23
(B)
4 12
(C)
6
(D)
7 12
(E)
9
3
Matematyka ubezpieczeń majątkowych
12.03.2012 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
W poniższej tabeli zawarte są wybrane informacje o rozkładzie wartości pojedynczej
szkody Y:
y
min Y, y
4
3
1
2
PrY  y 
Z informacji tych wynika, że Y 4  Y  6 wynosi:
(D)
4 23
(E)
4 56
(F)
5
(D)
5 16
(E)
5 13
4
6
3 65
3
4
Matematyka ubezpieczeń majątkowych
12.03.2012 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
Modelujemy przebiegający w czasie proces ściągania należności regresowych przez
ubezpieczyciela. Niech T oznacza zmienną losową o rozkładzie:
 ciągłym na przedziale 0,
 z pewną, być może dodatnią masą prawdopodobieństwa w punkcie   ,
reprezentującą czas ściągnięcia należności regresowej (liczony od momentu powstania
prawa do regresu). Niech f T , FT oraz hT oznaczają odpowiednio funkcję gęstości,
dystrybuantę oraz funkcję hazardu zmiennej T. Dystrybuancie oraz funkcji hazardu
nadajemy następującą interpretację:
t

FT t    fT s ds to wskaźnik ściągalności do czasu t (oczywiście FT 0  0 )

lim FT t   PrT   to wskaźnik ściągalności ostatecznej,
0

t 
f T t 
dla t  0 to natężenie procesu ściągania (gęstość ściągania
1  FT t 
należności, które do momentu t pozostają jeszcze nie ściągnięte)
hT t  
Załóżmy, że natężenie procesu ściągania dane jest funkcją hazardu określoną na
półosi dodatniej następująco:
2
 hT t  
.
(2  t )(1  t )
Wtedy wskaźnik ściągalności ostatecznej wynosi:
(A)
1
(B)
4
5
(C)
3
4
(D)
3
5
(E)
1
2
5
Matematyka ubezpieczeń majątkowych
12.03.2012 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6.
Proces pojawiania się szkód startuje w momencie T0  0 . Niech Tn oznacza moment
zajścia n-tej szkody. Ponieważ szkody numerujemy według kolejności zajścia, wobec
tego zachodzi 0  T1  T2   .
Wypłata odszkodowania za n-tą szkodę następuje w momencie Tn  Dn .
Załóżmy, iż zmienne losowe T1 ,T2  T1 
, T3  T2 , oraz D1,D2 ,D3 ,
są wszystkie nawzajem niezależne i mają identyczny rozkład wykładniczy o wartości
oczekiwanej równej 1.
Prawdopodobieństwo, iż dla pewnego ustalonego n wypłata odszkodowania za szkodę
n  2 -gą poprzedzi wypłatę odszkodowania za szkodę n-tą wynosi:
(A)
3
8
(B)
1
16
(C)
1
4
(D)
3
16
(E)
1
8
6
Matematyka ubezpieczeń majątkowych
12.03.2012 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 7.
W klasycznym modelu procesu nadwyżki U t   u  ct  S N t 



u jest nadwyżką początkową,
ct jest sumą składek zgromadzonych do momentu t,
N t  jest procesem Poissona z parametrem intensywności  ,

S n   Yi jest sumą wypłat,
n
i 1
 proces N t  i pojedyncze wypłaty Y1 , Y2 , Y3 ,... są niezależne.
Niech A będzie zdarzeniem polegającym na tym, że do ruiny (stanu ujemnej nadwyżki)
doszło już przy pierwszej szkodzie.
Niech B będzie zdarzeniem polegającym na tym, że do ruiny w ogóle w skończonym
czasie doszło.
Załóżmy, że:
1
 wypłaty Yi mają rozkład wykładniczy z wartością oczekiwaną  
,
ln(12 / 11)
 parametr intensywności składki c wynosi c  120% ,
 kapitał początkowy wynosi u  2 52
Prawdopodobieństwo warunkowe PrA B  wynosi:
(A)
1
2
(B)
11
24
(C)
5
12
(D)
11
21
(E)
12
22
7
Matematyka ubezpieczeń majątkowych
12.03.2012 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 8.
N , Y1 , Y2 ,Y3 ,... to niezależne zmienne losowe, N ma rozkład Poissona z wartością
oczekiwaną równą 10, zaś Y1 ,Y2 ,Y3 ,... mają identyczny rozkład Pareto o dystrybuancie
określonej na półosi dodatniej wzorem:
2
 1 

 F  y   1  
1 y 
Niech M  maxY1 ,Y2 ,..., YN  , przy czym jeśli N  0 , to przyjmujemy M  0 .
Niech m0.95 oznacza taką liczbę, że PrM  m0.95   0.95
Liczba m0.95 wynosi (z przybliżeniem do jednej dziesiątej):
(A)
4.8
(B)
6.8
(C)
8.8
(D)
10.9
(E)
13.0
8
Matematyka ubezpieczeń majątkowych
12.03.2012 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 9.
Pewien podmiot posiada wyjściowy majątek o wartości w, i narażony jest na stratę X.
Strata X jest zmienną losową o złożonym rozkładzie Poissona:
X  Y1  Y2  ...  YN
 z oczekiwaną liczbą szkód równą (N )   , oraz:
 z wartością pojedynczej szkody o rozkładzie wykładniczym i wartości oczekiwanej
równej jeden.
Rynek ubezpieczeniowy oferuje kontrakty z pokryciem nadwyżki każdej szkody ponad
kwotę d, a więc pokrywa:
X d  (Y1  d )  (Y2  d )  ...  (YN  d )
W zamian za składkę w wysokości: (1   )( X d ) , gdzie parametr  ma wartość
mniejszą od 100%.
Podmiot ten postępuje racjonalnie, a w swoich decyzjach kieruje się maksymalizacją
oczekiwanej użyteczności, przy czym jego funkcja użyteczności jest postaci:
1
u ( x)   exp(  x) .
2
Maksimum oczekiwanej użyteczności podmiot ten osiągnie wybierając kontrakt z
udziałem własnym d w każdej szkodzie równym:
(A)
2 ln(1   )
(B)
ln(1   )
(C)
2 ln(1   )
(D)
(E)
ln(1   )
2
 ln(1   )
2
9
Matematyka ubezpieczeń majątkowych
12.03.2012 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 10.
Rozważamy klasyczny model procesu nadwyżki U t   u  ct  S N t  , gdzie:


u to nadwyżka początkowa
ct to suma składek zgromadzonych do momentu t,

S n   Yi to łączna wartość szkód zaszłych do momentu t,
n
i 1




proces liczący N t  oraz wartości poszczególnych szkód Y1 , Y2 , Y3 ,... są
niezależne, przy czym:
N t  jest procesem Poissona z parametrem intensywności  ,
wartości poszczególnych szkód Y1 , Y2 , Y3 ,... mają ten sam rozkład wykładniczy
o wartości oczekiwanej równej 1
c  (1   )   ,   0
Wiadomo, że zmienna losowa:
 L : supu  U (t )
t 0
daje się przedstawić jako zmienna o rozkładzie złożonym:
 L  l1  l2  ...  lN ,
( L  0 gdy N  0 ),
gdzie składnik l1 jest zmienną określoną w przypadku, gdy nadwyżka spadnie poniżej
u, i równy jest wtedy:
 l1  u  U (t1 ) , gdzie t1 jest tym momentem czasu, kiedy po raz pierwszy do
takiego spadku doszło.
Warunkowa wartość oczekiwana liczby takich spadków, pod warunkiem że nastąpiła
ruina:
( N L  u )
dana jest wzorem:
(A)
(B)
(C)
1

1


u
1
u
1
1



u
1
(D)
1
u
1
(E)
1
u
1
10
Matematyka ubezpieczeń majątkowych
12.03.2012 r.
___________________________________________________________________________
Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych
Arkusz odpowiedzi*
Imię i nazwisko ...............................................................................................................
Pesel .............................................................
Zadanie nr
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
*

Odpowiedź
A
B
D
E
C
E
B
E
C
A
Punktacja
Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.
Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.
11