Laboratorium 6

Laboratorium
atorium Metod Optymalizacji 2016
201
Metody Optymalizacji Laboratorium nr 6
Tytuł: Numeryczne metody rozwiązywania
rozwi
zadań programowania nieliniowego z
ograniczeniami
1. Zadanie 1:
Zadanie polega na rozmieszczeniu 3 pojemników ze środkami
rodkami owadobójczymi pośród
po
10
gniazd os na plantacji w kształcie kwadratu 75 [m]: 75 [m] tak, żeby wytępić
wytę ć maksymalną
liczbę os. Każde
de gniazdo ma okre
określone położenie za pomocą współrzędnych
ędnych (
,
)i
szacunkową liczbęę os okreś
określoną przez wartość .
Nr gniazda
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Liczba osobników
137
201
253
361
371
505
513
570
680
699
Położenie
13
70
20
74
6
2
43
15
50
20
oś X
Położenie
Poło
31
23
71
22
6
1
43
70
12
43
oś Y
Wzór określający ilość
ść zabitych os w funkcji odległości od zbiornika:
∗ 171.12
20 ∗ 0.0001
0001
gdzie:
- położenie
enie zbiornika w osi X
- położenie
enie zbiornika w osi Y
Zadania do wykonania:
- Sformułowanie funkcji celu zabitych
z
os względem odległości od zbiornika
- Określenie ograniczeń
- Napisanie
apisanie algorytm randomizacji dla podanego przykładu
2. Zadanie 2:
żony naj
najbliżej początku układu współrzędnych
dnych i spełniają
spełniający ograniczenia:
Znajdź punkt położony
3 0
4 0
Zadanie rozwiązać
ą ć meto
metodą zewnętrznej funkcji kary.
3. Zadanie 3:
Wykorzystując wewnętrzną
ętrzną funkcję kary rozwiązać min
przy ograniczeniach
0
Opracował: Krzysztof Jaroś
2
0
Strona 1
Laboratorium
atorium Metod Optymalizacji 2016
201
4. Zadanie 4
Zakład stolarski o profilu artystycznym wytwarza stylowe stoły oraz stylowe krzesła.
Właściciel
ciciel zakładu chce ustalić
ustali plan produkcji maksymalizujący roczny zysk z produkcji.
Cena stylowego stołu (A) wynosi 6 tys. zł a cena stylowego krzesła wynosi 1 tys. zł.
Dodatkowo:
zu
trzeba 12 jednostek pracy oraz 6 jednostek
• do wytworzenia jednostki A zużyć
surowca
• do wytworzenia jednostki wyrobu B trzeba zużyć
zu
23 jednostek pracy i 3 jednostki
surowca
za roczny zasób
• roczny zasób pracy wynosi 10000 jednostek (roboczogodzin), zaś
surowca - 1700 jednostek (ton)
• zawarto jużż umowy na sprzeda
sprzedaż 70 sztuk wyrobu
obu B. Ponadto wiadomo, że można
liczyć na sprzedaż co najwyżej 320 sztuk tego wyrobu
Środki
rodki produkcji
Produkcja stołów
Produkcja krzeseł
Zasób środków
- praca
12
23
10000
(robotogodzin)
- surowiec (ton)
6
3
1700
Limit
70
320
Ceny
6
1
Zmienne decyzyjne
Sprawozdanie powinno zawierać:
zawiera
Zadanie 1:
- Oznaczenia
- Określoną funkcji celu.
- Warunki ograniczające.
- Warunki znakowe
- Wykorzystanie algorytm
lgorytm randomizacji do rozwiązania zadania.
- Wykonać kilkukrotnąą symulację
symulacj porównać wyniki dla różnej
nej liczby iteracji.
- Przedstawić wykres warstwicowych dla uzyskanego rozwiązania
rozwi
za ilość
ść os na metr
kwadratowy przyjąć śśredniąą liczbę
liczb oso przypadającą na metr kwadratowy.
- Wnioski i spostrzeżenia
Zadanie 2:
- Oznaczenia
- Określoną funkcji celu.
- Warunki ograniczające.
- Warunki znakowe
- Zadanie przekształcone
- Napisane m pliki
- Wnioski i spostrzeżenia
Zadanie 3:
- Oznaczenia
- Określoną funkcji celu.
- Warunki ograniczające.
- Warunki znakowe
Opracował: Krzysztof Jaroś
Strona 2
Laboratorium
atorium Metod Optymalizacji 2016
201
- Zadanie przekształcone
- Napisane m pliki
- Wnioski i spostrzeżenia
Zadanie 4:
- Oznaczenia
- Określoną funkcji celu.
- Warunki ograniczające.
- Warunki znakowe
- Napisane m pliki
- Wnioski i spostrzeżenia.
Pomoc:
Zadanie 1:
Opis do algorytmu randomizacji :
Algorytm randomizowania działa w oparciu o losowanie zmiennych decyzyjnych z obszaru
ograniczonego poprzez ograniczenia.
Algorytm:
1. Wygeneruj próbny wektor decyzyjny przypisują
przypisuj losową liczbęę każ
każdej zmiennych
decyzyjnej.
2. Sprawdzenie, czy ograniczenia są
s spełnione z określoną tolerancją.
tolerancją Generowanie
wektora do czasu wylosowania wektora spełniającego
spełniaj cego ograniczenia.
3. Sprawdzenie czy wartość
warto funkcji celu zmalała. W taki przypadku wzi
wziąć aktualny
wektor jako najlepsze rozwiązanie
rozwi zanie w danej chwili. W przypadku przeci
przeciwny odrzuć
wektor i wróćć do punktu 1
4. Po określonej
ślonej liczbie kroków wzi
wziąć aktualny wektor jako rozwiązania ograniczenia
Materiały pomocnicze:
- Wykłady z optymalizacji
Zadanie 2/3:
Rozważone będzie
dzie następuj
następujące
ce zadanie z ograniczeniami, zwane dalej (ZO).
min $
∈ &' ⊂ ) *
&'
∶ 1
0,
Opracował: Krzysztof Jaroś
Strona 3
Laboratorium
atorium Metod Optymalizacji 2016
201
$
8
1…7
>
1…?
: )* → ) , $
∈
'
: )* → )A
:) * → ) B
Przekształcić ZO do zadania bez ograniczeń (ZP), a następnie zastąpić zadania
zad
przekształcone
(ZP) ciągiem zadań (-. , których rozwiązania zbiegają
zbiegają się do rozwiązania zadania orginalnego dla
/ →∝.
cepcji oparto szereg algorytmów znanych pod nazwą "metody funkcji kary"
Na tej prostej koncepcji
Zadanie przekształcone definiowane jest jak poniżej:
min .
∈ &C ⊆ ) * .
$
2: &C ∗ ) → ) , 2
2 ,3
,. ∈
'
Ciąg zadań przekształconych (-.
(
uzyskany po dyskretyzacji parametru 3, definiujemy jako:
789.
.
$
,3
/
2
,3
1,2,3 ….
2: &C ∗ - → ) , ∈ &C
gdzie 2 , 3 - jest karą za przekroczenie ograniczeń a 3 jest parametrem tej funkcji dla j tego zadania przekształconego .
Algorytm
lgorytm zewnętrznej funkcji kary:
1. Określ kierunek punktu początkowego oraz wartość początkową parametru 3 E 0,
współczynnik jego modyfikacji : E 1, i podstaw / 1.
2. Startując
rtując z punktu
rozwiąż zadane minF$
2 , 3 G , ∈ ) * . Oznacz
56 789 $
2 ,3 .
3. Sprawdź kryterium STOP-u.
STOP
Gdy nie spełnione, podstaw / / 1 i parametr
;
3
:3
i wróć do punktu 2. Gdy spełnione kryterium STOP-u,
STOP u, zakończ iteracje.
Algorytm wewnętrznej funkcji kary:
1. Dla / 1 wybrać 3 E 0, współczynnik modyfikacji, : E 1 punkt początkowy
'
∈ 89<&' .
2. Minimalizować . , 3 z punktu początkowego ; otrzymując jako wynik .
3. Sprawdzić kryterium STOP-u,
STOP np. gdy:
4
Opracował: Krzysztof Jaroś
Strona 4
Laboratorium
atorium Metod Optymalizacji 2016
201
HI.
to STOP, gdy nie spełnione: 3
4
,3
.
KL
,:
M
E 1, /
;
/
,3
;
IH
J
1 i powrót do kroku 2.
Materiały pomocnicze :
- Wykłady z optymalizacji
- http://aq.ia.agh.edu.pl/Aquarium/Dydaktyk/Wyklady/MO/2006-07/Wyklad10.PDF
http://aq.ia.agh.edu.pl/Aquarium/Dydaktyk/Wyklady/MO/2006 07/Wyklad10.PDF
Zadanie 4l
-wykłady optymalizacji
Opracował: Krzysztof Jaroś
Strona 5