3_Grzegorz KOSOBUDZK.. - Instytut Maszyn, Napędów i Pomiarów

Nr 56
Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych
Politechniki Wrocławskiej
Nr 56
Studia i Materiały
Nr 24
2004
model odbiornika
parametry zastępcze
moc czynna, moc reaktywna
Grzegorz KOSOBUDZKI*, Józef KOLASA*
WYZNACZANIE PARAMETRÓW ZASTĘPCZYCH
ODBIORNIKA LINIOWEGO NA PODSTAWIE WARTOŚCI
SKUTECZNYCH NAPIĘCIA, PRĄDU, ICH WIELKOŚCI
POCHODNYCH I MOCY
Parametry układów zastępczych odbiorników wyznacza się na podstawie wyników pomiarów
uzyskanych przy zasilaniu napięciem lub prądem sinusoidalnym. Często w rzeczywistych warunkach
pracy odbiornika nie ma możliwości zapewnienia sinusoidalnego kształtu przebiegu zasilającego. Do
prawidłowego określenia wartości parametrów zastępczych należy wybrać właściwe wielkości. Za
właściwe wielkości autorzy uważają takie, z których wyznaczana wartość parametru nie zmienia się
wraz ze zmianą kształtu przebiegu zasilającego. W przedstawionej analizie pokazano możliwość wyboru wielkości właściwych do prawidłowego wyznaczenia parametrów RLC szeregowego lub równoległego liniowego modelu zastępczego odbiornika.
1. WSTĘP
W analizie zjawisk zachodzących w obwodzie elektrycznym, a także w doborze
kompensatora mocy biernej wykorzystuje się proste modele odbiornika energii elektrycznej. Parametry modeli oblicza się z wartości mocy czynnej, mocy biernej i wartości
skutecznych prądu lub napięcia. W celu wyznaczenia wartości parametrów modelu odbiornika z satysfakcjonującą dokładnością pomiary wykonuje się przy zasilaniu przebiegiem sinusoidalnym. Spełnienie warunku sinusoidalnego kształtu napięcia lub prądu
może wiązać się z zaangażowaniem dodatkowych kosztów organizacyjnych i technicznych.
___________
*
Instytut Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych Politechniki Wrocławskiej, 50-370 Wrocław,
ul. Wybrzeże Wyspiańskiego 27, [email protected]; [email protected]
W artykule przedstawiono sposób wyznaczania parametrów zastępczych odbiornika
w rzeczywistych warunkach pracy. Wyniki rozważań teoretycznych zweryfikowano
badaniami symulacyjnymi i na rzeczywistym odbiorniku liniowym.
2. UKŁADY ZASTĘPCZE ODBIORNIKA
W wielu przypadkach do określenia właściwości energetycznych odbiornika wystarczające są proste modele złożone z szeregowego lub równoległego połączenia
rezystancji, indukcyjności i pojemności.
i
u
Rr
Cr
Lr
Rs
Ls
Cs
i
u
a)
b)
Rys. 1. Proste układy zastępcze odbiornika energii elektrycznej,
a) układ równoległy; b) układ szeregowy
Fig. 1. Simple supplementary circuits of electric energy receiver
a) parallel circuit; b) serial circuit
Wartość chwilowa prądu i w równoległym obwodzie zastępczym odbiornika
(rys. 1.a) zasilanym napięciem u wynosi
i=
1
du
u
+ ∫ u dt + C r
.
dt
Rr Lr
(1)
Natomiast wartość chwilowa napięcia u na zaciskach szeregowego obwodu zastępczego odbiornika (rys. 1.b) przez który przepływa prąd i wynosi
u = Rs i + Ls
di 1
+
i dt .
dt C s ∫
(2)
Parametry zastępcze odbiornika można wyznaczyć z wartości mocy czynnej, mocy
reaktywnej oraz wartości skutecznych napięcia, prądu lub wielkości otrzymanych
przez operacje całkowania lub różniczkowania (także wielokrotne) napięcia lub prądu.
3. ZASADA POMIARU
3.1. POMIAR REZYSTANCJI ZASTĘPCZEJ
Moc czynna P jest rozpraszana na rezystancji zastępczej odbiornika. Wartość rezystancji w równoległym obwodzie zastępczym wyznacza się z zależności
Rr =
U2
,
P
(3)
natomiast dla szeregowego obwodu zastępczego z zależności
Rs =
P
.
I2
(4)
Wzory (3) i (4) są powszechnie znanymi zależnościami stosowanymi przy dowolnych kształtach napięcia i prądu odbiornika.
3.2. POMIAR INDUKCYJNOŚCI I POJEMNOŚCI ZASTĘPCZEJ
Moc bierna (reaktywna) związana jest z występowaniem w obwodzie elementów
reaktywnych. Dla przebiegów niesinusoidalnych prądu i napięcia moc bierną najczęściej oblicza się z definicji podanej przez C.I Budeanu szeregiem
∞
QB = ∑U n I n sin ϕ n ,
(5)
n =1
analogicznym do zależności na moc czynną w dziedzinie częstotliwości. Z wartości
tak zdefiniowanej mocy biernej nie można wyznaczyć jednocześnie indukcyjności
i pojemności zastępczej odbiornika.
3.2.1. MOC REAKTYWNA
Nie wdając się w rozważania nad poprawnością definicji mocy biernej (reaktywnej), do obliczenia indukcyjności i pojemności zastępczej można posłużyć się innymi
wielkościami [1,2,3].
Niech Dd oznacza operator różniczkowania lub całkowania z indeksem d będącym
liczbą całkowitą. Indeks d (stopień operatora) informuje o krotności całkowania lub
różniczkowania. Jeżeli indeks d jest dodatni to operator oznacza różniczkowanie, a
jeśli jest ujemny, to – całkowanie, na przykład
D −1u = ∫ u dt , D 2 u =
d 2u
,
dt 2
(6)
natomiast gdy d=0 to D=1(przebieg nie jest przekształcany).
Ogólna zależność na wielkość o wymiarze mocy ma postać iloczynu skalarnego:
Qk + d = ω −( k + d )
T
1
( D k u ) ( D d i ) dt ,
T ∫0
(7)
w którym ω oznacza pulsację podstawowej harmonicznej [2].
W zależności od doboru stopni operatorów k oraz d we wzorze (7) otrzymywany
wynik jest miarą różnych wielkości energetycznych. Gdy k=d=0 lub k+d=0 to otrzymuje się wzór na moc czynną. Jeżeli suma stopni operatorów jest liczbą nieparzystą to
w odbiorniku o stacjonarnej rezystancji zastępczej wartość mocy obliczonej z zależności (7) zależy tylko od indukcyjności i pojemności [2]. Ponieważ w przypadku nieparzystej sumy k+d wartość mocy zależy tylko od elementów reaktywnych uzasadnione
jest nazwanie jej reaktywną.
Wartości parametrów zastępczych odbiornika można obliczyć z dwóch mocy reaktywnych o różnej sumie stopni operatorów. W dalszych rozważaniach wprowadzono
symbole x, y oznaczające sumy stopni operatorów: x=k+d; y=g+h . Wartości x, y muszą być różne (x≠y) oraz nieparzyste. Wtedy przy niesinusoidalnym napięciu i prądzie
odbiornika Qx≠Qy.
3.2.2. WARTOŚCI PARAMETRÓW UKŁADU RÓWNOLEGŁEGO
Moce reaktywne o różnych sumach stopni operatorów (x≠y) tworzą układ dwóch
równań [2], z którego wyznacza się wartości Lr i Cr. Równania powstają po wstawieniu prądu i opisanego równaniem (1) do zależności (7):
Qx = ω
−( k + d )
T
T
⎤
1⎡1
k
d −1
k
d +1
⎢ ∫ D u D u dt + C r ∫ D u D u dt ⎥ ,
T ⎣ Lr 0
0
⎦
T
T
⎤
1⎡1
g
h −1
Q y = ⎢ ∫ D u D u dt + C r ∫ D g u D h+1u dt ⎥ .
T ⎣ Lr 0
0
⎦
Równania te można zapisać w postaci
(8)
(9)
2
⎛ k + d +1 ⎞
⎛ k + d −1 ⎞
⎡
⎟
⎜
⎟
⎜
1
−( k + d ) ⎢
⎝ 2 ⎠
Qx = ω
D
u − Cr D ⎝ 2 ⎠u
⎢ Lr
⎣
2
2
⎛ g + h +1 ⎞
⎛ g + h −1 ⎞
⎡
⎟
⎜
⎟
⎜
1
2
⎠
⎝
⎢
D
u − Cr D ⎝ 2 ⎠u
⎢ Lr
⎣
2
Qy = ω
−( g + h )
⎤
⎥ ,
⎥
⎦
(10)
⎤
⎥ ,
⎥
⎦
(11)
gdzie symbol || || oznacza wartość skuteczną.
Rozwiązując układ równań (10,11) otrzymuje się wartości parametrów zastępczych
modelu równoległego
Q yω
Cr =
−( k + d )
D
⎛ k + d −1 ⎞
⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
⎡ ⎛⎜ k + d −1 ⎞⎟
−( k + d + g + h ) ⎢
ω
D ⎝ 2 ⎠u
⎢
⎣
2
⎡ ⎛⎜ k + d −1 ⎞⎟
⎢ D ⎝ 2 ⎠u
⎢
⎣
2
ω
−( k + d + g + h )
Lr =
D
D
u − Q xω
⎛ g + h +1 ⎞
⎟
⎜
⎝ 2 ⎠
⎛ g + h +1 ⎞
⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
⎛ g + h +1 ⎞
⎜
⎟
2 ⎠
Q xω − ( g + h ) D ⎝
−( g + h )
2
u − D
2
u − D
D
⎛ g + h −1 ⎞
⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
⎛ k + d +1 ⎞
⎟
⎜
⎝ 2 ⎠
⎛ k + d +1 ⎞
⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
u
2
u
D
2
u
D
⎛ k + d +1 ⎞
⎜
⎟
2 ⎠
u − Q yω −( k + d ) D ⎝
⎛ g + h −1 ⎞
⎟
⎜
⎝ 2 ⎠
⎛ g + h −1 ⎞
⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
⎤
u ⎥
⎥
⎦
2
, (12)
⎤
u ⎥
⎥
⎦ . (13)
2
u
3.2.3. WARTOŚCI PARAMETRÓW UKŁADU SZEREGOWEGO
Analogicznie jak w przypadku modelu równoległego rozwiązanie układu dwóch
równań powstałych przez wstawienie napięcia u opisanego wzorem (2) do zależności
(7) daje wartości parametrów zastępczych układu szeregowego
ω
Cs =
−( k + d + g + h )
⎡ ⎛⎜ k + d +1 ⎞⎟
⎢ D ⎝ 2 ⎠i
⎢
⎣
2
Q yω −( k + d ) D
D
⎛ g + h −1 ⎞
⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
⎛ k + d +1 ⎞
⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
2
i − D
⎛ k + d −1 ⎞
⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
i − Q xω − ( g + h ) D
2
i
D
⎛ g + h +1 ⎞
⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
i
⎛ g + h +1 ⎞
⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
⎤
i ⎥
⎥
⎦ ,
2
(14)
Q xω
Ls =
−( g + h )
D
⎡ ⎛⎜ k + d +1 ⎞⎟
−( k + d + g + h ) ⎢
ω
D ⎝ 2 ⎠i
⎢
⎣
⎛ g + h −1 ⎞
⎟
⎜
⎝ 2 ⎠
2
D
i − Q yω
⎛ g + h −1 ⎞
⎟
⎜
⎝ 2 ⎠
−( k + d )
2
i − D
D
⎛ k + d −1 ⎞
⎟
⎜
⎝ 2 ⎠
⎛ k + d −1 ⎞
⎟
⎜
⎝ 2 ⎠
i
2
i
D
⎛ g + h +1 ⎞
⎟
⎜
⎝ 2 ⎠
⎤
i ⎥
⎥
⎦
2
.
(15)
4. BADANIA SYMULACYJNE
Badany odbiornik zasilano napięciem (model równoległy) lub prądem (model szeregowy) o kształcie otrzymanym przez obcięcie sinusoidy na zadanym poziomie amplitudy. Poziom obcięcia zmieniano co 5% poczynając od 5% (kształt przebiegu zbliżony do fali prostokątnej) do 100% (przebieg sinusoidalny). Przykładowy kształt
przebiegu zasilającego odbiornik przedstawiono na rysunku 2.
Rys. 2. Kształt napięcia zasilającego powstały przez obcięcie sinusoidy na poziomie 85% amplitudy.
Fig. 2. The shape of supplied voltage waveform formed by cut off sine curve on level 85% amplitude.
Parametry zastępcze obliczono z zależności (12-15), w których przyjęto sumę
stopni operatorów równą 1 oraz –1. Zależności (12) i (13), z których oblicza się wartość parametrów dla układu równoległego upraszczają się wówczas do postaci
Lr =
U 4 − Ψ 2U& 2
U 4 − Ψ 2U&
,
=
T
T
&2
U
du
1
2
2 1
2
− Q1ω U
U
i dt − U&
iψdt Q−1
ω
T ∫0 dt
T ∫0
(16)
T
Ψ2
Cr =
T
2
1 du
1
i dt − U 2 ∫ iψdt Q ω Ψ 2 − Q U
∫
1
−1
T0
T 0 dt
ω ,
=
4
2 &2
4
2 &2
U −Ψ U
U −Ψ U
(17)
gdzie Ψ - oznacza wartość skuteczną zastępczego strumienia magnetycznego a U& wartość skuteczną pochodnej napięcia.
Zależności (14) i (15), z których oblicza się wartość parametrów dla układu szeregowego, dla sumy stopni operatorów równej 1 i –1 mają postać
T
T
1
di
2 1
I2
2
−
q
u
dt
I
uqdt
Q1ωq − Q−1
T ∫0 dt
T ∫0
ω ,
=
Ls =
I& 2 q 2 − I 4
I& 2 q 2 − I 4
2
Cs =
I& 2 q 2 − I 4
I& 2 q 2 − I 4
=
T
T
I& 2
1
du
1
2
I 2 ∫ u dt − I& 2 ∫ uqdt Q1ω I − Q−i
ω
T 0 dt
T0
(18)
(19)
gdzie q - oznacza wartość skuteczną zastępczego ładunku elektrycznego a I& - wartość
skuteczną pochodnej prądu.
4.1. MODEL RÓWNOLEGŁY ODBIORNIKA
Odbiornik złożony z równoległego połączenia liniowych elementów rezystora
o rezystancji R=95Ω, kondensatora o pojemności 13µF i cewki o indukcyjności
175mH zasilano napięciem o wartości skutecznej 100V, częstotliwości 50Hz i kształcie ciętej sinusoidy. Zależność współczynnika THD napięcia i prądu przedstawia rysunek 3.
Rys. 3. Zależność współczynnika THD napięcia (kółka) i prądu (kwadraty) od wysokości cięcia sinusoidy napięcia zasilającego.
Fig. 3. The dependence of THD coefficient of voltage (circle) and current (square) from cut off sine level
of voltage
Na rysunku 4 przedstawiono wyniki obliczeń równoległej rezystancji z zależności
(3), indukcyjności z zależności (16) i pojemności z zależności (17).
Rys. 4. Zależność wartości parametrów zastępczych modelu równoległego od współczynnika THD napięcia a) rezystancja (kwadraty) i indukcyjność (kółka), b) pojemność.
Fig 4. The dependence of equivalent parameters of parallel model from THD coefficient of supplied
voltage a) resistance (square) and inductance (circle); b) capacity
4.2. MODEL SZEREGOWY ODBIORNIKA
Odbiornik złożony z szeregowego połączenia liniowych elementów rezystora o rezystancji R=95Ω, kondensatora o pojemności 13µF i cewki o indukcyjności 175mH
zasilano prądem o wartości skutecznej 1A, częstotliwości 50Hz i kształcie ciętej sinusoidy. Zależność współczynnika THD napięcia i prądu przedstawia rysunek 5.
Rys. 5. Zależność współczynnika THD napięcia (kółka) i prądu (kwadraty) od wysokości cięcia sinusoidy prądu zasilającego.
Fig. 5. The dependence of THD coefficient of voltage (circle) and current (square) from cut off sine level
of current
Rys. 6. Zależność wartości parametrów zastępczych modelu szeregowego od współczynnika THD prądu
a) rezystancja (kwadraty) i indukcyjność (kółka), b) pojemność.
Fig 6. The dependence of equivalent parameters of serial model from THD coefficient of supplied current
a) resistance (square) and inductance (circle); b) capacity
Na rysunku 6 przedstawiono wyniki obliczeń szeregowej rezystancji z zależności
(4), indukcyjności z zależności (18) i pojemności z zależności (19).
5. BADANIA OBIEKTU RZECZYWISTEGO
W badaniach liniowy odbiornik RLC złożono z równoległego połączenia opornika
o rezystancji R=(95,0±0,2)Ω, cewki o indukcyjności L=(173±3)mH i rezystancji
uzwojenia przy prądzie stałym RL=(4,15±0,02)Ω oraz kondensatorów o łącznej pojemności C=(13,1±0,2)µF. Wartości parametrów L i C zmierzono mostkiem przy częstotliwości 80Hz. Odbiornik zasilano zasilaczem arbitralnym dużej mocy napięciem o
wartości skutecznej 100V, częstotliwości 50Hz i kształcie ciętej sinusoidy. Oscyloskopem cyfrowym o rozdzielczości 9 bitów pobierano 500 próbek wartości chwilowych napięcia i prądu w ciągu okresu.
Rys. 7. Zależność wartości parametrów zastępczych modelu równoległego badanego odbiornika od
współczynnika THD napięcia a) rezystancja (kwadraty) i indukcyjność (kółka), b) pojemność
Fig 7. The dependence of equivalent parameters of parallel model studied receiver from THD coefficient
of supplied voltage a) resistance (square) and inductance (circle); b) capacity
Na rysunku 7 przedstawiono zależności wartości parametrów badanego obiektu od
współczynnika THD napięcia. Rozbieżność wartości obliczonych parametrów przy
różnych współczynnikach THD większych od 5% nie przekracza 1%. Różnica pomiędzy wartością rezystancji zastępczej wyznaczonej z pomiarów (83,5Ω) a rezystorem
włączonym równolegle z cewką i kondensatorami o wartości 95Ω spowodowane jest
rezystancją cewki.
6. PODSUMOWANIE BADAŃ SYMULACYJNYCH I EKSPERYMENTALNYCH
Wzorów (12-19) nie można stosować do wyznaczania parametrów zastępczych L
i C odbiorników w których napięcie lub prąd jest sinusoidalne, gdyż wszystkie moce
reaktywne obliczone z zależności (7) bez względu na wartość sumy stopni operatorów
są równe mocy biernej Q = UI sin ϕ . We wzorach otrzymuje się niejednoznaczność
typu 0/0. W związku z tym wartości parametrów zastępczych indukcyjności i pojemności przedstawione na rysunkach 4 i 6 przy THD = 0 nie należy brać pod uwagę.
Potwierdzają to pomiary odbiornika rzeczywistego przy zasilaniu napięciem o małym
współczynniku THD. Wówczas wyniki obarczone są dużym błędem.
W symulowanym obwodzie równoległym wartości parametrów zastępczych obliczone z wartości skutecznych napięcia, pochodnej napięcia i całki napięcia (strumienia
magnetycznego) nie zależą od kształtu napięcia. Podobnie w symulowanym obwodzie
szeregowym wartości parametrów zastępczych obliczone z wartości skutecznych prądu, pochodnej prądu i całki prądu (ładunek elektryczny) nie zależą od kształtu prądu.
Przy pomiarze obiektu rzeczywistego zasilanego napięciem niesinusoidalnym
(THD>5%) wartości parametrów zastępczych nie zależą od kształtu
napięcia.
Rys. 8. Zależność wartości parametrów zastępczych modelu szeregowego badanego odbiornika od
współczynnika THD napięcia a) rezystancja (kwadraty) i indukcyjność (kółka), b) pojemność
Fig. 8. The dependence of equivalent parameters of serial model studied receiver from THD coefficient
of supplied voltage a) resistance (square) and inductance (circle); b) capacity
Obliczone wartości parametrów modelu szeregowego w czasie symulacji układu
równoległego zależą od kształtu napięcia zasilającego. Podobnie zmieniają się wartości parametrów modelu szeregowego (rys. 8) badanego obiektu rzeczywistego, który
został złożony z równolegle połączonych elementów RLC. Nasuwa się wniosek mający znaczenie przy badaniu odbiorników rzeczywistych. Jedną z przyczyn zmian war-
tości parametrów zastępczych wraz ze zmianą kształtu przebiegu zasilającego jest
nieprawidłowy dobór modelu lub duża rozbieżność pomiędzy modelem, którego parametry są wyznaczane a rzeczywistym odbiornikiem.
7. WNIOSKI
Wyniki badań wykonanych przez autorów wskazują na możliwość wykorzystania
metody przedstawionej w artykule do wyznaczania parametrów zastępczych liniowych odbiorników energii elektrycznej przy niesinusoidalnym napięciu zasilania, a
więc w warunkach normalnej eksploatacji odbiornika. Unika się w ten sposób konieczności zapewnienia sinusoidalnego napięcia zasilającego oraz wykonywania badań w warunkach laboratoryjnych. Wymaga to jednak stosowania współczesnych
środków pomiarowych wykorzystujących metodę próbkowania sygnałów i komputerową analizę sygnałów.
LITERATURA
[1] KIJONKA J., Destination of circuit parametrs under nonsinusoidal conditions, Materiały
konferencyjne Elektrotechnika Prądy Niesinusoidalne – EPN2002, Zielona Góra 2002.
[2] KOSOBUDZKI G, Moc reaktywna, jej symulacja i pomiar. Rozprawa doktorska,, Politechnika Wrocławska. 2004r.
[3] TENTI P., MATTAVELLI P., Third–Oreder Passive Load Identification Under Non–
Sinusoidal Conditions, ETEP Vol 12, No 2 , 2002. Pp. 93–100..
DETERMINING EQUIVALENT LINEAR RECEIVER PARAMETERS ON BASIS RMS
VALUE OF VOLTAGE, CURRENT, DERIVED QUANTITIES AND POWER
The parameters of equivalent circuit of receiver are determined on basis of studied object supplied sinusoidal voltage or current. There is no possibility to provide sinusoidal shape of waveform that supplied
receiver in real conditions of work often. It to determine correctly value of supplementary parameters one
should choice correct quantity. Authors consider that correct quantity is that one from which the calculated value of parameter does not change with change of shape of waveform that supplied receiver. The
possibility of choice of correct quantities in introduced analysis was shown to right compute of parameters the RLC, parallel or serial equivalent circuit of linear receiver.