Gry Oktalne

Gry Oktalne
zasady nieskończonej liczby gier w skończonym czasie
Kamila ŁYCZEK
Gry rozgrywane na stosach (nazywane stosowymi, NIM lub grami w zabieranie)
to takie, o których nie można powiedzieć już nic ciekawego. Takie zdanie wyraził
pewien mądry człowiek (którego nazwisko nie zostanie tu wymienione). Mimo, to
spróbujmy...
Zasady
Dwaj gracze na przemian zabierają ze stosów pionki (zawsze sąsiadujące ze sobą), tak długo jak to tylko możliwe. Gra rozpoczyna się na jednym stosie (rzędzie
pionków). W wersji normalnej gry wygrywa gracz, który wykona ostatni dozwolony ruch. W wersji misére (nazywanej również dualną) przegrywa gracz, który
wykona ostatni ruch. W poniższym opisie, jeżeli nie zostanie zaznaczone inaczej,
będziemy rozważali wersję normalną gry.
Rys. 1. Zasada a21 – po zabraniu dwóch
pionków, liczba stosów w jednym ruchu
zmniejszyła się o jeden.
Dokładne zasady gry określa jej nazwa. Opisuje ona jaką liczbę sąsiadujących ze
sobą pionków (zawsze z jednego stosu) można zabrać oraz w jakich okolicznościach.
W grze mogą mieć miejsce trzy następujące okoliczności:
• ai1 – zabranie i pionków jest dozwolone, jeżeli to zmniejszy liczbę wszystkich
stosów o jeden (rys. 1);
• ai2 – zabranie i pionków jest dozwolone, jeżeli to nie zmieni liczby stosów w
grze (rys. 2);
Rys. 2. Zasada a22 – po zabraniu dwóch
pionków, liczba stosów nie zmieniła się.
Rys. 3. Zasada a14 – po zabraniu jednego pionka, liczba stosów zwiększyła się o
jeden.
1
W grze, w której obowiązuje tylko zasada a12 , nie można wziąć ostatniego
pionka (to zmieni liczbę stosów z jednego do zera). Ostatnim dozwolonym w
grze ruchem jest wzięcie przedostatniego
pionka. Ostatni pionek można wziąć po
dołączeniu zasady a11 .
• ai4 – zabranie i pionków jest dozwolone, jeżeli to zwiększy liczbę stosów o
jeden (rys. 3).
Jeżeli w grze obowiązuje tylko zasada a12 , to jedynym dozwolonym ruchem jest
wzięcie jednego pionka (i = 1), tylko ze skraju stosu (tym sposobem cała gra
będzie toczyć się na jednym stosie).
Jaki jest ostatni dozwolony w tej grze ruch? Jaki jest ostatni dozwolony ruch w
grze, w której obowiązują zasady a12 oraz a11 ?1
Zasada a24 dotyczy zabierania dwóch pionków i oznacza, że można zabierać tylko,
jeżeli to zwiększy liczbę stosów – należy zabierać pionki ze środka stosu. Jeżeli w
grze obowiązuje tylko zasada a24 , rozgrywka może wyglądać tak jak na rys. 4.
Kombinacja okoliczności oraz informacja jakiej liczby pionków dotyczą zasady zaszyta jest w nazwie gry, która ma postać
.d1 d2 d3 . . . ,
gdzie di opisuje zasady dotyczące wzięcia i pionków. Jednoznaczne „zaszywanie”
zasad
di = ai1 · 1 + ai2 · 2 + ai4 · 4,
gdzie ai1 , ai2 , ai4 ∈ {0, 1}. aij = 1 oznacza, że można wziąć i pionków w okoliczności aij , a aij = 0, że jest to zabronione. Tym sposobem nazwa gry oktalne została
rozszyfrowana, ponieważ di ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Rys. 4. Przykładowa partia gry, w której
obowiązuje tylko zasada a24 .
2 W grze .7 w każdym ruchu dozwolone jest wzięcie dokładnie jednego pionka. Gra będzie się toczyć, aż stos będzie pusty. Wygrana zależy oczywiście
od parzystości liczby pionków na początkowym stosie.
Gra .2 to taka, w której obowiązuje tylko zasada a12 . Wszystkie współczynniki
poza a12 są równe zero. Gra, w której obowiązują zasady a11 oraz a12 ma nazwę
.3. W grze .04 obowiązuje zasada a24 (wzięcie jednego piona nie jest dozwolone
stąd d1 = 0.
Wygraną którego gracza zakończy się gra .7?2 Jak zakończy się gra .333..., zakładając że rozgrywają ją „myślący” gracze?3
Żeby móc rozegrać faktyczną partię powinniśmy określić początkową liczbę pionków na stosie, oznaczmy ją przez m i dołączmy do nazwy gry .d1 d2 d3 . . . (m).
Teraz osiągnęliśmy cel przedstawiony w tytule: zapoznaliśmy się z nieskończoną
liczbą gier w zupełnie skończonym czasie, a nawet skończonym ciągu znaków. Gry
3
„Myślący” gracz pierwszy w swoim pierwszym ruchu zabierze wszystkie
pionki, tym samym wygrywając.
1
oktalne obejmują bardzo dużą część gier związanych z zabawami na stosie, jednak
nie wszystkie. Podobno jedną z ulubionych zabaw matematyków jest uogólnianie,
pobawmy się. Gry oktalne nie obejmują wszystkich gier stosowych ponieważ po
pierwsze, niektóre gry w zabieranie nie rozpoczynają się na jednym stosie oraz,
po drugie, niektóre tego typu gry polegają na dzieleniu stosu na mniejsze, bez
zabierania czegokolwiek. Z „po pierwsze” łatwo się rozprawić. Sytuacje z wieloma stosami pojawiały się w trakcie rozgrywki i nic nie stoi na przeszkodzie, żeby
grę od takiej sytuacji rozpocząć. Gra rozgrywana na wielu stosach oznaczana jest
przez .d1 d2 d3 . . . (m1 , m2 , m3 . . .), gdzie mi oznacza liczbę pionków na i-tym stosie.
O część „po drugie” można rozszerzyć zbiór gier oktalnych, przez wprowadzenie
cyfry 4 przed znak kropki (4.d1 d2 d3 . . .). Czwórka na pozycji zerowej oznacza, że
można wziąć zero pionów w taki sposób, żeby stos został podzielony na dwa mniejsze. Rozprawiliśmy się tylko z częścią „po drugie” ponieważ istnieją jeszcze gry, w
których w jednym ruchu dzielimy stos nie na dwa, a na większą liczbę mniejszych
stosów. Nic nie stoi na przeszkodzie, żeby pobawić się w uogólnianie samemu. Po
zabawie w ”po drugie” można pobawić się jeszcze w ”po trzecie” – poza dzieleniem
stosów na więcej niż dwa, istnieją gry, w których w jednym ruchu zabiera się pionki
z więcej niż jednego stosu (np. gra Wythoff).
Przykłady gier
4
Grę stosową uznajemy za rozwiązaną,
kiedy na wszystkich początkowych rozmiarów stosu wiadomo, który gracz ma
strategię wygrywającą i jest ona znana.
Niektóre z gier oktalnych są zupełnie nieinteresujące, na przykład .1, .00001. Okazuje się, że zdecydowana większość jest interesująca mniej niż bardziej, w tym
sensie, że wśród gier oktalnych, w nazwie których występują co najwyżej trzy
cyfry, niewiele (ponad sto) jest nietrywialnych (co można rozumieć jako „interesujących”). Prawie wszystkie zostały rozwiązane4 (http://wwwhomes.uni-bielefeld.
de/achim/octal.html). Poniżej znajduje się parę przykładów gier wraz z miejscami,
w których można zgłębić tajemnice o nich.
Grim .6
Zasad gry, skoro mamy jej nazwę we wcześniej wprowadzonej notacji, tłumaczyć
nie trzeba. Szerszy opis wraz z analizą strategii można znaleźć na stronie www.
deltami.edu.pl/temat/matematyka/gry_zagadki_paradoksy/2014/05/31/Gra_Grim/.
Przedstawiona w artykule teoria Sprague’a–Grundy’ego jest stosowalna do wszystkich gier stosowych. Jeżeli NIM-sumy obliczane dla coraz większych stosów okażą
się cykliczne, gra jest rozwiązana! Analizę gry nieoktalnej można znaleźć w artykule Gra o wielu obliczach na stronie http://www.mimuw.edu.pl/delta/.
Dawson’s Chess .137, Dawson’s Kayles .07
Gry na pierwszy rzut oka nie wydają się być do siebie podobnymi. Po chwili rozważań (krótszej lub dłuższej) okaże się, że są dokładnie tym samym. W grach .137(n)
i .07(n+1) istnieją jednoznacznie odpowiadające sobie ruchy. Więcej na temat tych
gier można znaleźć na stronie www.plambeck.org/archives/dawsonsemigroup.pdf.
Gra .137 w wersji normalnej jest grą rozwiązaną. Gra w wersji misére jest nierozwiązana.
Gra Grundy’ego 4.
Czyli gra w dzielenie, bez zabierania czegokolwiek http://wwwhomes.uni-bielefeld.
de/achim/grundy.html.
.7, .07, .007, .0 . . . 07
Można pokusić się o analizę ciągu gier oktalnych: http://wwwhomes.uni-bielefeld.
de/achim/octal.html.
2