Elementy algebry abstrakcyjnej

Transkrypt

1
Liliana Janicka
ELEMENTY
ALGEBRY ABSTRAKCYJNEJ
(materiaªy do wykªadu w semestrze letnim 2007)
Instytut Matematyki i Informatyki
Politechnika Wrocªawska
Spis tre±ci
1 Grupy
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Poj¦cie grupy. Podstawowe wªasno±ci i przykªady. .
Zbiór generatorów grupy. Grupa cykliczna. . . . . .
Dzielnik normalny. Grupa ilorazowa. . . . . . . . .
Homomorzmy i izomorzmy grup. . . . . . . . . .
Zadania. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Poj¦cie pier±cienia. Podstawowe wªasno±ci i przykªady. . . . . . .
Kongruencje w pier±cieniu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Poj¦cie ciaªa. Podstawowe wªasno±ci i przykªady. . . . . . . . . .
Homomorzmy i izomorzmy pier±cieni i ciaª. Rozszerzenia ciaª.
Zadania. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
2 Pier±cienie i ciaªa
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
3
13
15
18
22
25
25
28
42
44
48
Rozdziaª 1
Grupy
1.1 Poj¦cie grupy. Podstawowe wªasno±ci i przykªady.
Teoria grup powstaªa na pocz¡tku wieku XIX, gdy matematycy, zm¦czeni wielusetletnimi próbami znalezienia wzorów na pierwiastki równa« stopnia wy»szego
ni» czwarty, dali za wygran¡ i dopu±cili my±l, »e takie wzory po prostu nie istniej¡.
Nawet najbardziej ogólny szkic konstrukcji rozumowania potwierdzaj¡cego ostatni
wniosek wykracza daleko poza ramy naszego wykªadu, jednak w Rozdziale 2.4 uda
nam sie pokaza¢ ciekawe zastosowanie algebry abstrakcyjnej do rozwi¡zania problemów, z którymi nie mogªy sobie poradzi¢ ju» nie - stulecia, a - tysi¡clecia prac.
Twórcami podstaw teorii grup byli: Wªoch Runi (1765-1822), Norweg Niels Abel
(1802-1829) i Francuz Evaryst Galois (1811-1832).
Niech X b¦dzie zbiorem niepustym. Dziaªaniem (dwuargumentowym) w zbiorze
X nazywamy ka»de przyporz¡dkowanie uporz¡dkowanej parze (x; y) elementów
zbioru X jakiego± elementu tego zbioru, czyli dziaªaniem jest dowolna funkcja
f : X X ! X:
Przyj¦te jest zamiast f(x; y) pisa¢ x y; x y; x + y; itp.
Mówimy, »e dziaªanie okre±lone w zbiorze X jest:
ª¡czne, je»eli dla dowolnych x; y; z 2 X zachodzi równo±¢
(x y) z = x (y z)
przemienne, je»eli dla dowolnych x; y 2 X zachodzi równo±¢
x y = y x.
3
4
1. Poj¦cie grupy. Podstawowe wªasno±ci i przykªady.
Element e 2 X nazywamy elementem neutralnym lewostronnym (prawostronnym) dziaªania , je»eli dla ka»dego x 2 X zachodzi równo±¢ e x = x
(x e = x). Element speªniaj¡cy oba te warunki nazywamy elementem neutralnym. Je»eli w zbiorze X jest element neutralny dziaªania , to element xe 2 X
nazywamy elementem odwrotnym lub elementem przeciwnym do elementu
x 2 X, je»eli xe x = x xe = e. W dalszym ci¡gu element odwrotny do elementu
x oznacza¢ b¦dziemy symbolem x 1 (lub x.)
Fakt 1.1.1 Niech X b¦dzie zbiorem niepustym z okre±lonym w nim dziaªaniem
dwuargumentowym.
(a) Element neutralny dziaªania jest wyznaczony jednoznacznie.
(b) Je»eli dziaªanie jest ª¡czne i istnieje element odwrotny do elementu x 2 X ,
to jest on wyznaczony jednoznacznie.
D o w ó d.
(a) Niech e1 ; e2 2 X speªniaj¡ warunek z denicji elementu neutralnego. Wówczas
e1 = e1 e2 = e2
(b) Je»eli x xe1 = xe1 x = e oraz x xe2 = xe2 x = e, to
xe2 = e xe2 = (xe1 x) xe2 = xe1 (x xe2) = xe1 e = xe1.
Niepusty zbiór X z okre±lonym w nim jednym lub kilkoma dziaªaniami okre±lamy
mianem struktury algebraicznej i oznaczamy hX; i, hX; ; i; itd.
Przykªad 1.1.1
Dodawanie jest dziaªaniem ª¡cznym i przemiennym w ka»dym ze zbiorów liczbowych IN, ZZ, CQ, IR, CC. W ka»dym z tych zbiorów jest element neutralny dodawania. Jest nim oczywi±cie liczba 0. W zbiorze ZZ (a tak»e w CQ, IR oraz w CC) ka»dy
element ma element odwrotny (nazywamy go raczej elementem przeciwnym), natomiast elementy zbioru IN nie posiadaj¡ elementów przeciwnych w IN. Podobnie
ka»dy potra omówi¢ wªasno±ci mno»enia rozwa»anego w ka»dym z powy»szych
zbiorów liczbowych.
Przykªad 1.1.2
Niech X oznacza zbiór liczb rzeczywistych z przedziaªu [0; 1). Wówczas wzór
x y = x + y [x + y];
gdzie [x] oznacza cz¦±¢ caªkowit¡ liczby x, okre±la dziaªanie w X. Oczywi±cie jest
ono przemienne i ª¡czne. Elementem neutralnym jest liczba 0, a przeciwnym do
a 2 [0; 1) - liczba (1 a) 2 [0; 1).
1.1. Poj¦cie grupy. Podstawowe wªasno±ci i przykªady.
5
Przykªad 1.1.3
Niech X b¦dzie dowolnym zbiorem niepustym i oznaczmy symbolem X X zbiór
wszystkich przeksztaªce« zbioru X na siebie. Skªadanie (superpozycja) przeksztaªce« (oznaczane w dalszym ci¡gu symbolem ) jest dziaªaniem w X X . Dziaªanie to
jest ª¡czne, bo dla dowolnych funkcji f; g; h 2 X X oraz dowolnego x 2 X mamy
((f g) h)(x) = (f g)(h(x)) = f(g(h(x))) = f((g h)(x) = (f (g h))(x):
Dziaªanie to nie jest na ogóª przemienne. Elementem neutralnym jest oczywi±cie
przeksztaªcenie identyczno±ciowe (idX (x) = x dla dowolnego x 2 X.) Symbolem
S(X) b¦dziemy w dalszym ci¡gu oznacza¢ zbiór wszystkich wzajemnie jednoznacznych przeksztaªce« zbioru X na siebie. W tym zbiorze ka»dy element ma element
odwrotny. Jest nim oczywi±cie funkcja odwrotna do danej funkcji.
Dziaªanie w zbiorze sko«czonym wygodnie jest zdeniowa¢, podaj¡c tzw. tabelk¦
dziaªania.
Przykªad 1.1.4
Niech ZZn = f0; 1; 2; : : :; n 1g a dziaªanie +n okre±lmy jako branie reszty z dzielenia sumy x+y przez n. Oto tabliczki dziaªa« w strukturach hZZ5 ; +5i oraz hZZ6; +6 i.
+6 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5 0
2 2 3 4 5 0 1
3 3 4 5 0 1 2
4 4 5 0 1 2 3
5 5 0 1 2 3 4
Nietrudno sprawdzi¢ bezpo±rednio, »e dziaªania +n s¡ ª¡czne i przemienne. Elementem neutralnym w ka»dym z tych zbiorów jest liczba 0, a elementem przeciwnym do liczby a 2 ZZn jest liczba (n a).
+5
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
1
1
2
3
4
0
2
2
3
4
0
1
3
3
4
0
1
2
4
4
0
1
2
3
Cwiczenie 1.1.2
Sprawdzi¢, w którym ze zbiorów liczbowych (IN; ZZ; CQ; IR) nast¦puj¡ce wzory okre±la dziaªanie.
a) a b = a + b + 1,
b) a b = a + b + ab,
c) a b = a+2 b
W przypadku odpowiedzi pozytywnej sprawdzi¢ ª¡czno±¢, przemienno±¢, istnienie
i posta¢ elementu neutralnego i wyznaczy¢ element odwrotny.
R o z w i ¡ z a n i e.
(i) atwo sprawdzi¢, »e pierwsze z dziaªa« jest ª¡czne i przemienne. Rozwa»ane w
6
ka»dym ze zbiorów z wyj¡tkiem IN ma element neutralny (jest nim liczba ( 1)),
a elementem odwrotnym (mówimy w tym przypadku raczej - przeciwnym) do elementu a jest element (a 2):
(ii) Sprawdzenie ª¡czno±ci i przemienno±ci drugiego dzaªania nie sprawia kªopotu.
Poszukajmy elementu neutralnego. Niech a b¦dzie dowolnym elementem któregokolwiek z rozwa»anych zbiorów. Szukamy e, dla którego zachodzi równo±¢ a e = a
czyli a+e+ae = a: Poniewa» równo±¢ e(1+a) = 0 powinna zachodzi¢ dla ka»dego
a; wi¦c e = 0: Zastanówmy si¦ jeszcze, jaki jest element odwrotny do elementu a.
Powinna zachodzi¢ równo±¢ a a 1 = 0 czyli a + a 1 + aa 1: Zatem a 1 = 1+aa :
c) Przemienno±¢ jest oczywista. Poniewa»
b+c
a+b
a (b c) = a+2 2 = a2 + 4b + 4c oraz (a b) c = 2 2 +c = a4 + 4b + 2c ,
wi¦c dziaªanie nie jest ª¡czne, bo równo±¢
a+b+c=a+b+c
2 4 4 4 4 2
nie jest oczywi±cie prawdziwa dla wszystkich liczb a; b; c.
Poszukajmy elementu neutralnego e. Dla ustalonej liczby a musiaªaby zachodzi¢
równo±¢
a+e = a; co daje e = a.
2
St¡d wynika, »e element neutralny nie istnieje, bo wy»ej wyznaczone e zale»y od
wyboru a. Nie ma wi¦c sensu szukanie elementu odwrotnego.
Denicja 1.1.3 Niepusty zbiór G, w którym okre±lone jest dziaªanie nazywamy
grupa, je»eli:
,
(G1) dziaªanie jest ª¡czne;
(G2) w G istnieje element neutralny dziaªania ;
(G3) dla ka»dego elementu a 2 G istnieje w G element odwrotny do a.
Grup¦, w której dziaªanie jest przemienne nazywamy grup¡ przemienn¡ lub
abelow¡. Je»eli grupa G ma n elementów, to liczb¦ n nazywamy rz¦dem grupy.
Je»eli G ma niesko«czenie wiele elementów, to nazywamy j¡ grup¡ niesko«czon¡
lub grup¡ rz¦du niesko«czonego. Piszemy: jGj = n i jGj = 1, odpowiednio.
W dalszym ci¡gu, mówi¡c o dowolnej grupie, b¦dziemy jej dziaªanie oznacza¢ symbolem . W pozostaªych konkretnych przypadkach b¦dziemy u»ywa¢ standardowych oznacze«: +; +n ; ; n; itd. Symbolem b¦dziemy zawsze oznacza¢ zªo»enie,
tzn. dziaªanie w grupie przeksztaªce« S(X). Wynik dziaªania w dowolnej grupie
b¦dziemy cz¦sto nazywa¢ iloczynem, a o samej "czynno±ci" - mówi¢ "mno»enie"
(np. "pomnó»my stronami...").
7
Fakt 1.1.4 Niech hG; i b¦dzie grup¡. Wówczas:
(a) Element neutralny jest wyznaczony jednoznacznie.
(b) Dla dowolnego elementu grupy G istnieje dokªadnie jeden element do niego
odwrotny.
(c) Dla dowolnego a 2 G elementem odwrotnym do a
(d) Dla dowolnych a; b 2 G zachodzi równo±¢ (a b)
(e) Dla dowolnych a; x; y 2 G,
1 jest a; czyli (a 1 ) 1 = a:
1 = b 1 a 1.
je»eli a x = a y lub x b = y b, to x=y
Mówimy, »e w ka»dej grupie zachodzi lewo- i prawostronne prawo skreslen.
(f) Dla dowolnych a; b 2 G istniej¡ jednoznacznie wyznaczone x; y 2 G takie, »e
a x = b oraz y a = b.
Mówimy, »e w ka»dej grupie istnieja, jednoznaczne rozwia,zania rownan
a x = b oraz y a = b.
D o w ó d.
(a) i (b) ju» udowodnili±my.
(c) i (d) wynikaj¡ z faktu, »e element odwrotny do danego elementu jest wyznaczony jednoznacznie. Zarówno a jak i b 1 a 1 speªniaj¡ warunek z denicji elementu
odwrotnego, bo:
(c) a a 1 = a 1 a = e
(d) (a b) (b 1 a 1 ) = a (b b 1) a 1 = a e a 1) = e
(e) Wystarczy pomno»y¢ stronami równo±¢ a x = a y z lewej strony przez
element a 1 i skorzysta¢ z ª¡czno±ci mno»enia.
(f) atwo sprawdzi¢, »e x = a 1 b.
a (a 1 b) = (a a 1) b = e b = b.
Denicja 1.1.5 Niech hG; i b¦dzie grup¡. Podzbiór H zbioru G, który sam tworzy
grup¦ z dziaªaniem nazywamy podgrupa grupy hG; i.
,
Fakt, »e H jest podgrup¡ grupy G b¦dziemy zapisywali krótko: H < G.
Fakt 1.1.6 Podzbiór X zbioru G rozwa»any z dziaªaniem jest podgrup¡ grupy
hG; i wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych a; b 2 X element a b 1 nale»y do
zbioru X .
8
D o w ó d. ()) Je»eli podzbiór X zbioru G rozwa»any z dziaªaniem jest podgrup¡
grupy hG; i, to z denicji grupy wynika, »e dla a; b 2 X zarówno b 1 jak i a b 1
s¡ elementami zbioru X, bo pami¦tamy, »e element odwrotny do danego elementu
grupy jest wyznaczony jednoznacznie.
(() Je»eli dla dowolnych a; b 2 X element a b 1 nale»y do X, to w szczególno±ci
e = a a 1 2 X, a co za tym idzie: a 1 = e a 1 2 X i a b = a (b 1 ) 1 2 X.
Przykªad 1.1.5
Oczywi±cie grup¡ przemienn¡ jest ka»dy ze zbiorów ZZ, CQ, IR i CC rozwa»any z
dodawaniem i zachodz¡ inkluzje
ZZ < CQ < IR < CC .
Cz¦sto w odniesieniu do tych grup b¦dziemy u»ywa¢ terminu addytywne grupy
liczbowe. Zbiór ZZnf0g rozwa»any z mno»eniem nie jest grup¡. Co prawda jest w
nim element neutralny mno»enia (liczba 1), ale odwrotno±¢ »adnej liczby caªkowitej
oprócz 1 nie jest liczb¡ caªkowit¡. Natomiast zbiory CQ n f0g, IR n f0g i CC n f0g
rozwa»ane z mno»eniem s¡ grupami. B¦dziemy je nazywa¢ multyplikatywnymi
grupami liczbowymi.
Przykªad 1.1.6
Grup¡ jest struktura hZZ n; +ni zdeniowana w Przykªadzie 1.1.5. Jest to tzw.
addytywna grupa reszt modulo n.
Przykªad 1.1.7
Zajmiemy si¦ teraz wa»n¡ klas¡ grup. Napiszmy najpierw tabliczki mno»enia modulo 6 i modulo 7 w zbiorach f1; 2; 3; 4; 5g oraz f1; 2; 3; 4; 5;6g.
7 1 2 3 4 5 6
6 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5
2 2 4 6 1 3 5
2 2 4 0 3 4
3 3 6 2 5 1 4
3 3 0 3 0 3
4 4 1 5 2 6 3
4 4 2 0 4 2
5 5 3 1 6 4 2
5 5 4 3 2 1
6 6 5 4 3 2 1
Przede wszystkim od razu wida¢, »e mno»enie modulo 6 nie jest dziaªaniem w
zbiorze f1; 2; 3; 4; 5g, wi¦c si¦ tym dalej nie zajmujmy. Ogólnie - je»eli n jest
liczb¡ zªo»on¡, to dla pewnych 1 ¬ k; l < n jest k l = n = 0(mod n), wi¦c
mno»enie modulo n nie jest dziaªaniem w zbiorze f1; 2; : : :; ng. Natomiast zbiory
ZZp = f1; 2; : : :; p 1g dla p, które s¡ liczbami pierwszymi tworz¡ grup¦ z mno»eniem modulo p. Nietrudno sprawdzi¢ bezpo±rednio, »e mno»enie p jest ª¡czne i
przemienne. Elementem neutralnym w ZZp jest liczba 1, a elementem odwrotnym
do liczby k 2 ZZp jest liczba l 2 ZZp taka, »e k p l = 1, czyli k l = 1 (mod p).
Ostatni przykªad mo»na uogólni¢. Niech n b¦dzie dowoln¡ liczb¡ naturaln¡ i niech
ZZn oznacza zbiór wszystkich liczb naturalnych dodatnich mniejszych od n, wzgl¦dnie pierwszych z n, czyli
ZZn = fk 2 IN : k > 0; NWD(k; n) = 1g.
hZZn ; ni jest grup¡ (przemienn¡).
9
Fakt 1.1.7
D o w ó d. Wiemy ju», »e mno»enie modulo n jest dziaªaniem ª¡cznym i przemiennym w 1 2 ZZn. Poniewa» 1 2 ZZn, wi¦c w hZZn ; ni jest element neutralny.
Niech k b¦dzie ustalonym elementem 1 2 ZZn. Aby pokaza¢, »e k ma element
odwrotny w 1 2 ZZn , wystarczy zauwa»y¢, »e
1 2 ZZn = fk n l : l 2 ZZn g.
Ale:
po pierwsze - zbiór fk n l : l 2 ZZn g jest podzbiorem zbioru ZZn, bo je»eli (k; n) = 1
i (l; n) = 1, to (k l; n) = 1, a w konsekwencji (k n l; n) = 1,
po drugie - wszystkie elementy zbioru fk n l : l 2 ZZn g s¡ parami ró»ne, bo z
równo±ci k n i = k n j wynika równo±¢ k n (i j) = 0; co oznacza, »e nj(i j)
(bo (k; n) = 1). To jednak nie jest mo»liwe, bo (i j) < n.
Zbiór fk n l : l 2 ZZ ng jest wi¦c podzbiorem zbioru ZZn i oba maj¡ tyle samo
elementów. Zatem 2 ZZn = fk n l : l 2 ZZn g.
Z powy»szej równo±ci wynika, »e w±ród elementów postaci k n l jest liczba 1, a to
oznacza, »e l = k 1 w hZZ n; ni.
Rz¡d tej grupy oznaczamy w dalszym ci¡gu (n) (tzw. liczba Eulera).
Przykªad 1.1.8
Niech b¦dzie dany na pªaszczy¹nie trójk¡t równoboczny 4ABC. Rozwa»my zbiór
D3 wszystkich przeksztaªce« pªaszczyzny przeprowadzaj¡cych ten trójk¡t na siebie z dziaªaniem skªadanie przeksztaªce«. S¡ to obroty 0; 1; 2 (umówmy si¦,
»e w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara) o k¡ty 0; 23 ; 43 oraz symetrie A ; B ; C wzgl¦dem symetralnych boków trójk¡ta przechodz¡cych przez
wierzchoªki A; B; C. Sprawdzaj¡c kolejno, na co przechodz¡ przy skªadaniu takich
przeksztaªce«, poszczególne wierzchoªki, piszemy tabelk¦ dziaªania w tej grupie.
Dla przykªadu:
(2 A )(A) = 2(A (A)) = 2(A) = C ,
(2 A)(B) = 2(A (B)) = 2(C) = B ,
(2 A )(C) = 2(A (C)) = 2 (B) = A
I wida¢, »e 2 A = B : Takie rachunki prowadz¡ do nast¦puj¡cej tabelki dziaªania w grupie hD3 ; i.
0 1 2 A B C
0 0 1 2 A B C
1 1 2 0 B C A
2 2 0 1 C A B
A A C B 0 2 1
B B A C 1 0 2
C C B A 2 1 0
10
Z powy»szej tabelki mo»na odczyta¢ podstawowe wªasno±ci tej grupy. Wida¢, »e
nie jest ona przemienna (tabelka nie jest symetryczna wzgl¦dem gªównej przek¡tnej!), elementem neutralnym jest 0, ka»de z przeksztaªce« A , B , C jest swoj¡
odwrotno±ci¡ (A A = 0, B B = 0, C C = 0).
Grupa D3 jest przykªadem grupy izometrii gur pªaskich, tzn. przeksztaªce«
pªaszczyzny zachowuj¡cych odlegªo±¢ punktów, które przeprowadzaj¡ zadan¡ gur¦ pªask¡ na siebie. Podobnie mo»na napisa¢ tabelk¦ dziaªania w grupie izometrii
n-k¡ta foremnego hDn ; i.
Przykªad 1.1.9
W zyce i chemii du»e znaczenie maj¡ tzw. grupy symetrii. Pozwalaj¡ one w jednolity sposób opisa¢ bardzo ró»ne struktury czy zjawiska zyczne lub chemiczne.
Na przykªad klasykacja poziomów energetycznych elektronu w krysztale wyznaczona jest przez symetri¦ pola wyst¦puj¡c¡ w tym krysztale i dlatego podstawow¡
spraw¡ jest wyliczenie wszystkich mo»liwych typów symetrii jakie mo»e posiada¢
dana cz¡stka czy krysztaª. Symetria ciaªa zycznego opisana jest przez podanie
wszystkich przeksztaªce« zachowuj¡cych odlegªo±ci mi¦dzy punktami. Fizycy nazywaj¡ je przeksztaªceniami (transformacjami) symetrii. atwo wida¢, »e zbiór
takich przeksztaªce« tworzy grup¦ ze skªadaniem przeksztaªce« jako dziaªaniem.
Jest to tzw. grupa symetrii. Mo»na udowodni¢, »e wszystkie transformacje przestrzeni zachowuj¡ce odlegªo±¢ mog¡ by¢ otrzymane jako zªo»enie przeksztaªce«
trzech nast¦puj¡cych typów:
1. obrót o okre±lony k¡t wokóª ustalonej osi,
2. odbicie zwierciadlane wzgl¦dem ustalonej pªaszczyzny,
3. przesuni¦cie równolegªe (translacja).
Przykªad 1.1.10
W Przykªadzie 1.1.4 rozwa»ali±my grup¦ wzajemnie jednoznacznych przeksztaªce«
dowolnego zbioru X na siebie. Wspomniane w poprzednim przykªadzie, stosowane w zyce czy w chemii, grupy symetrii s¡ podgrupami tzw. grup permutacji
(oznaczane Sn ), czyli grup wzjemnie jednoznacznych przeksztaªce« zbiorów sko«czonych na siebie. Permutacj¦ zbioru n-elementowego f1; 2; : : :; ng zapisujemy na
ogóª w postaci
1 2 ::: n = (1) (2) : : : (n)
Zªo»enie permutacji
1 =
1
2 ::: n
1(1) 1(2) : : : 1 (n) ;
wygl¡da nast¦puj¡co
2 =
1
2 ::: n
2(1) 2(2) : : : 2 (n)
2 1 =
11
1
2
:::
n
2 (1(1)) 2(1 (2)) : : : 2 (1(n))
Mówimy, »e elementy (i) i (j) s¡ w inwersji, je»eli przy i<j jest (i) > (j).
Permutacj¦ posiadaj¡c¡ parzyst¡ liczb¦ inwersji nazywamy permutacj¡ parzyst¡, a permutacj¦ posiadaj¡c¡ nieparzyst¡ liczb¦ inwersji - permutacj¡ nieparzyst¡. Permutacje parzyste tworz¡ podgrup¦ grupy wszystkich permutacji Sn.
Jest to tzw. grupa alternuj¡ca An .
Napiszmy tabelk¦ dziaªania w grupie S3 . Oznaczaj¡c
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0 = 1 2 3
1 = 2 3 1
2 = 3 1 2
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 =
1 3 2
4 =
5 =
3 2 1
2 1 3
otrzymujemy
0
1
2
3
4
5
0
0
1
2
3
4
5
1
1
2
0
5
3
4
2
2
0
1
4
5
3
3
3
4
5
0
1
2
4
4
5
3
2
0
1
5
5
3
4
1
2
0
Permutacje 0 ; 1; 2; 3; 4; 5 maj¡ kolejno 0; 2; 2; 1; 3;1 inwersji, a podgrup¦
alternuj¡c¡ tworz¡ permutacje 0 ; 1; 2:
Przykªad 1.1.11
Zbiór macierzy wymiaru m n tworzy grup¦ z dziaªaniem dodawania macierzy.
Przykªad 1.1.12
Zbiór GLn macierzy kwadratowych odwracalnych stopnia n tworzy grup¦ z dziaªaniem mno»enia macierzy. Z twierdzenia Cauchy'ego o wyznaczniku iloczynu macierzy wynika, »e podzbiór zªo»ony z macierzy o wyznaczniku 1 jest podgrup¡ tej
grupy.
12
Cwiczenie 1.1.8
Niech G b¦dzie dowoln¡ grup¡. Udowodni¢, »e zbiór tych wszystkich elementów
grupy G, które s¡ przemienne z ka»dym innym elementem grupy tworzy podgrup¦.
Jest to tzw. centrum grupy.
R o z w i ¡ nz a n i e.
V a g = g ao. Rozwa»my dwa dowolne elementy
Niech C = a 2 G :
g 2G
a; b 2 C. Zgodnie z Faktem 1.1.6 wystarczy pokaza¢, »e a b 1 2 C. Poniewa»
a; b 2 C, wi¦c
V a g = g a oraz V b g = g b.
g 2G
g 2G
Z ostatniej równo±ci wynika, »e dla dowolnego g 2 G
b 1 g = g 1 b 1 = b g 1 1 = b 1 g,
wi¦c dla dowolnego g 2 G mo»emy napisa¢
(a b 1 ) g = a (b 1 g) = a (g b 1 ) = (a g) b 1 = (g a) b 1 = g (a b 1 ,
co oznacza, »e a b 1 2 C.
Cwiczenie 1.1.9
Niechn G b¦dzieVdowoln¡ grup¡, a oH jej dowoln¡ podgrup¡. Udowodni¢, »e zbiór
A= a2G:
g a g 1 2 H tworzy podgrup¦.
g 2G
Rozwa»my dwa dowolne elementy
a; b 2 A. Zgodnie z Faktem 1.1.6 wystarczy pokaza¢, »e a b 1 2 A. Poniewa»
a; b 2 A, wi¦c
V g a g 1 2 H oraz V g b g 1 2 H.
g 2G
g 2G
Z ostatniej równo±ci wynika, »e dla dowolnego g 2 G
g b 1 g 1 = g b g 1 1 2 H (bo H jest podgrup¡).
St¡d dla dowolnego g 2 G mo»emy napisa¢
g (a b 1) g 1 = g (a g 1 g b 1 ) g 1 = (g a g 1 ) (g b 1 g 1).
To oznacza, »e a b 1 2 A.
1.2. Zbiór generatorów grupy. Grupa cykliczna.
13
1.2 Zbiór generatorów grupy. Grupa cykliczna.
Denicja 1.2.1 Niech X b¦dzie dowolnym podzbiorem zbioru G. Podgrupa generowana przez zbior X nazywamy najmniejsz¡ podgrup¦ grupy hG; i zawieraj¡c¡ zbiór X . Oznaczamy j¡ symbolem hX i. Podgrup¦ H generowan¡ przez zbiór
jednoelementowy X = fag nazywamy podgrupa cykliczna, a element a - generatorem tej podgrupy. Piszemy H = hai. Je»eli caªa grupa G jest generowana przez
,
,
,
,
jeden element, to nazywamy j¡ grupa, cykliczna,.
atwo sprawdzi¢, »e przekrój (cz¦±¢ wspólna) dowolnej ilo±ci podgrup grupy hG; i
jest grup¡.
Fakt 1.2.2 Je»eli Gi : i T2 I jest zbiorem wszystkich podgrup grupy G zawieraj¡cych zbiór X , to hX i = Gi .
i2I
D o w ó d. Zbiór wszystkich podgrup grupy G zawieraj¡cych zbiór X ten jest
niepusty), bo jednym z jego elementów jest sama grupa G. hX i jako
T podgrupa
zawieraj¡ca zbiór X jest jednym z elementów zbioru Gi : i 2 I, wi¦c Gi hX i.
i2I
T
Poniewa» Gi jest grup¡ zawieraj¡c¡ zbiór X (zawiera go ka»da z Gi; i 2 I), a
i2I
T
hX i jest najmniejsz¡ podgrup¡ grupy hG; i zawieraj¡c¡ X, wi¦c hX i Gi:
i2I
Dzi¦ki ª¡czno±ci dziaªania w dowolnej grupie mo»emy okre±li¢ pot¦g¦ elementu
a 2 G o wykªadniku caªkowitym w sposób nast¦puj¡cy:
(i) a0 = e,
(ii) dla ka»dego n 2 IN:
an+1 = an a; a n = (an ) 1 :
Ma ona wszystkie znane nam wªasno±ci pot¦gi.
Denicja 1.2.3 Rzedem elementu a 2 G nazywamy najmniejsz¡ liczb¦ naturaln¡ n, dla której an = e: Je»eli takie n nie istnieje, to mówimy, »e a jest elementem
,
rz¦du niesko«czonego.
Fakt 1.2.4 Rz¡d elementu równy jest rz¦dowi podgrupy cyklicznej generowanej
przez ten element.
D o w ó d. Je»eli rz(a) = n, to zbiór A = fa; a2; a3; : : :; an = eg tworzy podgrup¦.
Zauwa»my przede wszystkim, »e wszystkie elementy tego zbioru s¡ równe. Gdyby
bowiem dla pewnych 1 ¬ i < j ¬ n zachodziªa równo±¢ ai = aj ; to aj i = e
dla 0 < j i < n, co przeczy denicji rz¦du elementu jako najmniejszej liczby
naturalnej o tej wªasno±ci. atwo sprawdzi¢, »e (ak ) 1 = an k ; wi¦c dla dowolnych
ai ; aj 2 A mamy ai an j = ai+n j : Je»eli i + n j ¬ n; to ai+n j 2 A: Je»eli
za± i + n j > n; to zapiszmy i + n j w postaci i + n j = 2n + (i j n):
14
1. Zbiór generatorów grupy. Grupa cykliczna.
Poniewa» ai+n j = a2n+(i j n) = an) 2 ai j n oraz 0 < i j n < n, wi¦c i
tym razem ai+n j 2 A:.
Oczywi±cie w grupie rz¦du sko«czonego nie ma elementów rz¦du niesko«czonego.
Je»eli a jest elementem rz¦du niesko«czonego, to fag generuje podgrup¦ cykliczn¡ rz¦du niesko«czonego. Podgrup¦ cykliczn¡ generowan¡ przez element a 2 G
mo»emy wi¦c krótko przedstawi¢ w postaci hai = fan : n 2 ZZg gdy jest ona
niesko«czona.
Fakt 1.2.5 Niech hG; i b¦dzie grup¡. Je»eli a 2 G jest elementem rz¦du k, to dla
dowolnej liczby caªkowitej m równo±¢ am = e zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy k
jest dzielnikiem m.
D o w ó d.
a) Je»eli n = k m, to an = ak m = em = e.
Z drugiej strony, je»eli zapiszmy n w postaci n = kq +r; gdzie 0 ¬ r < n. Wówczas
an = akq+r = ak q ar = ar = e wtedy i tylko wtedy, gdy r = 0,
bo k jest najmniejsz¡ liczb¡ naturaln¡, dla której zachodzi warunek ak = e.
Podobnie dowodzi si¦ nast¦puj¡cego faktu.
Fakt 1.2.6 Niech hG; i b¦dzie grup¡ cykliczn¡ rz¦du n. Wówczas rz ak = m;
gdzie m= NWDn (k;n) .
W szczególno±ci hai = hak i wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(k; n)=1.
Fakt 1.2.7 Dowolna podgrupa H grupy cyklicznej G = hai jest te» grup¡ cykliczn¡. Podgrupa H skªada si¦ z samego elementu neutralnego (H = feg) lub H = ham i,
gdzie m jest najmniejsz¡ liczb¡ naturaln¡ tak¡, »e am 2 H . Je»eli rzG = n, to dla
ka»dej liczby naturalnej k dziel¡cej n istnieje dokªadnie jedna podgrupa rz¦du k.
Przykªad 1.2.1
Zbiór obrotów stanowi podgrup¦ cykliczn¡ grupy D3 : Jej generatorem jest ka»de
z przeksztaªce« 1 i 2. Natomiast caªa grupa D3 ma dwuelementowy zbiór generatorów. atwo bowiem sprawdzi¢, »e ka»dy jej element mo»na otrzyma¢ jako
zªo»enie jednego z obrotów 1 i 2 i dowolnie ustalonej symetrii.
Przykªad 1.2.2
Grupa CCn pierwiastków stopnia n z jedno±ci jest grup¡ cykliczn¡ generowan¡ przez
element ei n . Jej generatorem jest te» ka»dy element eik n , gdzie k jest liczb¡
wzgl¦dnie pierwsz¡ z n. Je»eli n nie jest liczb¡ pierwsz¡, to ka»dy jej dzielnik
generuje podgrup¦ grupy CCn.
Przykªad 1.2.3
1
S
Zbiór G = CCn rozwa»any z mno»eniem jest grup¡ rz¦du niesko«czonego, w
n=1
której ka»dy element ma rz¡d sko«czony. Ponadto dla ka»dej liczby naturalnej n
istnieje w G element rz¦du n.
1.3. Dzielnik normalny. Grupa ilorazowa.
15
1.3 Dzielnik normalny. Grupa ilorazowa.
Denicja 1.3.1 Niech H b¦dzie dowoln¡ podgrup¡ grupy G, a g - dowolnie ustalonym elementem G. Wartwa lewostronna (prawostronna) grupy G wzgl¦dem
podgrupy H nazywamy zbiór
gH = fg h : h 2 H g Hg = fh g : h 2 H g
,
,
,
Oczywi±cie w grupie przemiennej te dwa poj¦cia pokrywaj¡ si¦. Wszystko, co powiemmy o warstwach lewostronnych jest prawdziwe dla warstw prawostronnych,
wi¦c skupimy si¦ na tych pierwszych.
Fakt 1.3.2 Niech H b¦dzie dowoln¡ podgrup¡ grupy G. Wówczas:
(a) Dla dowolnego h0 2 H zachodzi równo±¢ h0 H = H ,
(b) Dla dowolnych a; b 2 G: jaH j = jbH j,
(c) Dla dowolnych a; b 2 G: aH \ bH = ; lub aH = bH .
D o w ó d.
a) h0 H H, bo H jest grup¡ z dziaªaniem . H h0H, bo h = h0 (h0 1 h) dla
dowolnego h 2 H.
b) Równoliczno±¢ warstw ustala odwzorowanie : aH !bH zdeniowane wzorem
(ah) = bh.
c) Zaªó»my, »e aH \ bH 6= ; i niech x = a h1 = b h2 2 aH \ bH. Wówczas
a = (b h2 ) h1 1 i dla dowolnego h 2 H mo»emy napisa¢
a h = (b h2 ) h1 1 h = b h3,
gdzie h3 = h2 h1 1 h 2 H. To oznacza, »e ka»dy element warstwy aH jest
jednocze±nie elementem warstwy bH.
Dowolna podgrupa
H wyznacza wi¦c podziaª grupy na rozª¡czne warstwy, przy
S
czym G = aH, bo ka»dy element do jakiej± warstwy nale»y (a 2 aH).
a2G
Denicja 1.3.3 Liczb¦ warstw, na jakie podgrupa H dzieli grup¦ G nazywamy
indeksem podgrupy H w grupie G i oznaczamy jG : H j.
Twierdzenie 1.3.1 (Lagrange)
Je»eli G jest grup¡ sko«czon¡, to rz¡d jej dowolnej podgrupy H jest dzielnikiem
rz¦du grupy. Dokªadnie: jGj = jG : H j jH j.
D o w ó d. Jest to natychmiastowy wniosek z ostatniego Faktu.
Wniosek 1.3.1 Rz¡d dowolnego elementu grupy sko«czonej jest dzielnikiem rz¦du
tej grupy.
D o w ó d. Poniewa» rz¡d elementu równa si¦ rz¦dowi podgrupy generowanej przez
ten element, wi¦c jest to natychmiastowy wniosek z Twierdzenia Lagrange'a.
16
1. Dzielnik normalny. Grupa ilorazowa.
Wniosek 1.3.2 Je»eli rz¡d grupy sko«czonej G jest liczb¡ pierwsz¡, to G jest
grup¡ cykliczn¡.
Wniosek 1.3.3 Je»eli G jest grup¡ sko«czon¡ rz¦du n, to dla dowolnego elementu
g 2 G zachodzi równo±¢ gn = e.
D o w ó d. Je»eli k jest rz¦dem elementu g, to k m = n dla pewnego m, wi¦c
gn = (gk ) m = em = e.
Wró¢my do podziaªu grupy G na warstwy wzgl¦dem dowolnej podgrupy H. Je»eli
podgrupa H ma pewne specjalne wªasno±ci, to w zbiorze tych warstw (mówimy w zbiorze ilorazowym GjH) mo»emy wprowadzi¢ struktur¦ grupy.
Denicja 1.3.4 Podgrupa H grupy G nazywa si¦ jej dzielnikiem normalnym,
je»eli dla dowolnego g 2 G zachodzi równo±¢
gH = Hg.
Powinni±my zdawa¢ sobie spraw¦ z tego, »e równo±¢ w powy»szej denicji oznacza
tylko równo±¢ pewnych zbiorów, dokªadniej - w denicji powiedzane jest tylko, »e
dla dowolnego h1 2 H istnieje h2 2 H takie, »e g h1 = h2 g. Oczywi±cie ka»da
podgrupa grupy przemiennej jest jej dzielnikiem normalnym.
Fakt 1.3.5 Je»eli podgrupa H jest dzielnikiem normalnym grupy G, to zbiór ilorazowy GjH tworzy grup¦ z dziaªaniem okre±lonym wzorem
aH bH = (a b)H
D o w ó d. Przede wszystkim musimy wykaza¢, »e dziaªanie jest okre±lone poprawnie. Przecie» jedna i ta sama warstwa mo»e by¢ uwa»ana za wyznaczon¡
przez ka»dy swój element! Trzeba zatem pokaza¢, »e je»eli a0 2 aH oraz b0 2 bH,
to (a0 b0)H = (a b)H.
Niech a0 2 aH oraz b0 2 bH, czyli a0 = a x oraz b0 = y b dla pewnych x; y 2 H
(pami¦tajmy, »e H jest dzielnikiem normalnym!). St¡d
a0 b0 = (a x) (y b = a (x y) b = a z b = a b z 0
dla pewnych z; z 0 2 H. Zatem a0 b0 2 (a b)H, sk¡d (a0 b0 )H = (a b)H.
¡czno±¢ dziaªania w GjH wynika natychmiast z ª¡czno±ci dziaªania w G
(aH bH) cH = (a b)H cH = ((a b) c)H = (a (b c))H
= aH (b c)H = aH (bH cH)
Elementem neutralnym w GjH jest warstwa eH =H i ªatwo sprawdzi¢, »e (aH) 1 =
a 1 H.
Grup¦ hGjH; i nazywamy grup¡ ilorazow¡.
Komentarz. Zauwa»my, »e podziaª grupy G na warstwy wzgl¦dem podgrupy H
jest rozbiciem zbioru G wzgl¦dem relacji równowa»no±ci
1.3. Dzielnik normalny. Grupa ilorazowa.
17
a b mod H () a b 1 2 H () a 1 b 2 H
O elementach a; b mówimy wówczas, »e przystaj¡ wzgl¦dem moduªu H. Je»eli
podgrupa H jest dzielnikiem normalnym, to post¦puj¡c, jak w dowodzie Faktu1.1
mo»na wykaza¢, »e
a b mod H ^ c d mod H ()a b c d.
Relacj¦ równowa»no±ci w grupie, speªniaj¡c¡ powy»szy warunek, nazywamy kongruencj¡.
Cwiczenie 1.3.6
Wyznaczy¢ wszystkie wartstwy grupy G = hZZ; +i wzgl¦dem podgrupy H = 5ZZ =
f5k : k 2 ZZg.
Poniewa» G = hZZ; +i jest grup¡ przemienn¡, wi¦c ka»da jej podgrupa jest dzielnikiem normalnym. Niech H = 5ZZ = f5k : k 2 ZZg i wyznaczmy warstwy poszczególnych elementów grupy G.
0H = f0 + 5k : k 2 ZZg; 1H = f1 + 5k : k 2 ZZg; 2H = f2 + 5k : k 2 ZZg;
3H = f3 + 5k : k 2 ZZg; 4H = f0 + 5k : k 2 ZZg; 5H = 0H; 6H = 1H , itd.
Nietrudno zauwa»y¢, »e grupa ilorazowa G = hZZj5ZZ; i jest izomorczna z grup¡
hZZ5 ; +5i.
Cwiczenie 1.3.7
Wyznaczy¢ grup¦ ilorazow¡ D3 jH; gdzie H = f0; 1; 2; g.
Warstwy poszczególnych elementów s¡ nast¦puj¡ce:
0 H = 1H = 2H = H; AH = fA ; B ; C g = B H = C H
Poniewa», co ªatwo sprawdzi¢ bezpo±rednio, AH AH = H; wi¦c oznaczaj¡c
elementy zbioru ilorazowego krótko g0 = H; g1 = A H otrzymujemy nast¦puj¡c¡
tabelk¦ dziaªania w grupie ilorazowej
g0 g1
g0 g0 g1
g1 g1 g0
18
1. Homomorzmy i izomorzmy grup.
1.4 Homomorzmy i izomorzmy grup.
Zauwa»yli±my w przykªadach 1.1 i 1.1 »e dwie, z pozoru caªkiem ró»ne struktury
maj¡ takie same tabelki dziaªania.
Denicja 1.4.1 Niech hG1; 1i i hG2; 2i b¦d¡ dwiema grupami. Odwzorowanie
: G1 !G2 nazywamy homomorzmem, je»eli dla dowolnych a; b 2 G1 speªniony jest warunek
(a 1 b) = (a) 2 (b):
Homomorzm, który jest odwzorowaniem ró»nowarto±ciowym grupy G1 na grup¦
G2 nazywamy izomorzmem.
Fakt 1.4.2 Je»eli : G1 !G2 jest izomorzmem grupy hG1 ; 1i na grup¦ hG2 ; 2i,
to:
(a) (e1 ) = e2 ,
(b) dla dowolnego a 2 G1, (a 1) = (a) 1 ,
(c) dla dowolnego
a 2 G1 i dowolnego n 2 IN z równo±ci an = e1 wynika równo±¢
n
(a) = e2 .
D o w ó d.
(a) Niech y b¦dzie dowolnym elementem grupy G2. Poniewa» przeksztaªca grup¦ G1 na caª¡ grup¦ G2, wi¦c istnieje x 2 G1 takie, »e y = (x). Z denicji
homomorzmu mo»emy napisa¢ nast¦puj¡cy ci¡g równo±ci:
(e1 ) 2 y = (e1 ) 2 (x) = (e1 1 x) = (x) = y
Podobnie sprawdzamy, »e y 2 (e1 ) = y i teza wynika z jednoznaczno±ci elementu
neutralnego.
(b) Z denicji homomorzmu wynika, »e
(a) 2 (a 1 ) = (a 1 a 1 ) = (e1 ) = e2
i podobnie (a 1) 2 (a) = (a 1 1 a) = (e1 ) = e2 .
(c) Prosty dowód indukcyjny.
Fakt 1.4.3 Wszystkie grupy cykliczne rz¦du n s¡ izomorczne z grup¡ hZZn; +n i.
Wszystkie niesko«czone grupy cykliczne s¡ izomorczne z hZZ; +i.
D o w ó d. Niech a b¦dzie generatorem grupy sko«czonej G, czyli
G = fa; a2; a3; : : :; an = eg.
Z wªasno±ci pot¦gi wynika, »e ak 1 = an k a odwzorowanie : ZZn ! G
zadane wzorem (k) = ak dla k = 1; 2; : : :; n jest izomorzmem.
1.4. Homomorzmy i izomorzmy grup.
19
Przykªad 1.4.1
Widzieli±my, »e tabelki dziaªa« dla grup D3 i S3 s¡ identyczne. Przyporz¡dkowanie
(k ) = k ; gdzie k = 0; 1; 2; 3; 4;5 jest oczywi±cie izomorzmem.
Przykªad 1.4.2
Przyporz¡dkowanie : ZZn !CCn zadane wzorem
(k) = eik 2n ; gdzie k = 0; 1; : : :n 1
ustala izomorzm addytywnej grupy reszt modulo n i grupy pierwiastków stopnia
n a jedno±ci, bo
(k +n l) = ei(k+n l) 2n = eik 2n eil 2n = (k) (l):
Przykªad 1.4.3
Dla dowolnego a > 0; a 6= 1 funkcja fa (x) = ax ustala izomorzm addytywnej
grupy liczb rzeczywistych z multyplikatywn¡ grup¡ liczb rzeczywistych dodatnich.
Fakt 1.4.4 Dla dowolnego elementu a 2 G funkcja a : G !G okre±lona wzorem
a (x) = a x jest wzajemnie jednoznacznym przeksztaªceniem grupy G na siebie
(tzn. jest elementem grupy S(G)).
D o w ó d. Ró»nowarto±ciowo±¢ funkcji a wynika z prawa skre±le«. Ponadto dla
dowolnego x 2 G zachodzi równo±¢ x = a (a 1 x); co oznacza, »e odwzorowuje
G na caªe G.
Twierdzenie 1.4.1 (Cayley) Ka»da grupa hG; i jest izomorczna z pewn¡ podgrup¡ grupy S(G). W szczególno±ci grupa sko«czona rz¦du n jest izomorczna z
pewn¡ podgrup¡ grupy Sn .
D o w ó d. Niech H = fa : a2 Gg. Przede wszystkim zauwa»my, »e dla dowolnego
a 2 G zachodzi równo±¢ a 1 = a 1 , poniewa»
(a 1 a )(x) = a 1 (a )(x)) = a 1 (a x) = a 1 (a x) = (a 1 a) x = x
dla dowolnego x 2 G. St¡d wynika, »e H jest podgrup¡ grupy G, bo dla dowolnych
a ; b 2 H i dowolnego x 2 G zachodzi równo±¢
a (b ) 1 (x) = a b 1 (x) = a (b 1 (x)) = a b 1 x = ab 1 (x),
co oznacza, »e a (b) 1 2 H. Zatem H jest podgrup¡ grupy S(G).
Sprawdzimy, »e odwzorowanie : G !H zadane jest wzorem
(a) = a
jest izomorzmem.
1) jest odwzorowaniem ró»nowarto±ciowym.
Gdyby bowiem dla pewnych a; b 2 G byªo (a) = (b), czyli
20
a (x) = b(x) dla ka»dego x 2 G,
to bior¡c x = e otrzymaliby±my a = b.
2) jest odwzorowaniem na caª¡ podgrup¦ H, co wynika wprost z jej denicji.
3) (a b) = (a) (b); bo
(a b)(x) = ab (x) = (a b) x = a (b x) = a (b x)
= (a)(b (x)) = ((a) (b))(x)
dla wszystkich x 2 G, co oznacza równo±¢ przeksztaªce« (a b) = ((a) (b)).
Przykªad 1.4.4
Niech hG; i b¦dzie grup¡ obrotów trójk¡ta równobocznego. Wówczas G = f0; 1; 2g
jest zbiorem trzyelementowym z dziaªaniem zadanym tabelk¡
0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
Przyporz¡dkowanie (i ) = i ; gdzie i zdeniowane jest wzorem
i (k ) = i k
ustala szukany izomorzm. Wyznaczmy funkcje i dla i = 0; 1; 2.
0 (0 ) = 0 0 = 0; 0 (1) = 0 1 = 1 ; 0 (2 ) = 0 2 = 2
1 (0 ) = 1 0 = 1; 1 (1) = 1 1 = 2 ; 1 (2 ) = 1 2 = 0
2 (0) = 2 0 = 2; 2 (1) = 2 1 = 0; 2 (2 ) = 2 2 = 1
Patrz¡c na nie, jak na zbiór par uporz¡dkowanych otrzymujemy:
0 = f(0; 0); (1; 1); (2; 2)g
1 = f(0; 1); (1; 2); (2; 0)g
0 = f(0; 2); (1; 0); (2; 1)g.
Zmieniaj¡c oznaczenia: 0 ! 1, 1 ! 2, 2 ! 3 i zapisuj¡c pary uporz¡dkowane,
jak permutacje, dostajemy:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0 = 1 2 3 ; 1 = 2 3 1 ; 2 = 3 1 2
Poniewa» tabelka dziaªania w grupie G jest identyczna z tabelk¡ dziaªania w grupie
alternuj¡cej A3 , wi¦c grupa obrotów trójk¡ta równobocznego jest izomorczna z
grup¡ alternuj¡c¡ A3 , która jest podprup¡ grupy symetrycznej S3 .
21
Niech hG1 ; 1i i hG2; 2i b¦d¡ dwiema grupami.
Denicja 1.4.5 J¡drem homomorzmu : G1 !G2 nazywamy zbiór
Ker = fa 2 G1 : (a) = e2 g.
Fakt 1.4.6 Je»eli jest homomorzmem grupy hG1 ; 1i w grup¦ hG2; 2i, to
Ker jest dzielnikiem normalnym grupy hG1; 1i.
D o w ó d. Niech a; b 2 Ker , czyli (a) = (b) = e2 . Wówczas
(a 1 b 1) = (a) 2 (b) 1 = e2 2 e2 1 = e2 ,
czyli (a 1 b 1) 2 Ker , co oznacza, »e Ker jest podgrup¡ grupy G.
Poka»emy teraz, »e dla dowolnego a 2 G1 zachodzi równo±¢
a(Ker ) = (Ker)a.
Przede wszystkim zauwa»my, »e je»eli (a) = (b), to elementy a i b nale»¡ do
tej samej warstwy lewostronnej wzgl¦dem podgrupy Ker i do tej samej warstwy prawostronnej wzgl¦dem Ker . Z równo±ci (a) = (b) wynika bowiem, »e
((b)) 1 2 (a) = e2 . St¡d
(b 1 1 a) = (b 1) 2 (a) = e2 = ((b)) 1 2 (a) = e2 ,
co oznacza, »e
b 1a 2 Ker .
Zatem a i b nale»¡ do tej samej warstwy lewostronnej. Podobnie pokazuje si¦, »e
nale»¡ do tej samej warstwy prawostronnej.
Je»eli b 2 a(Ker ), to dla pewnego h 2 Ker mamy b = a h. St¡d
(b) = (a)(h) = (a) 2 e2 = (a).
Zatem b 2 Ker a, bo a 2 Ker a, czyli a(Ker ) (Ker )a. Podobnie pokazuje
si¦ zawieranie w drug¡ stron¦.
Nast¦pny fakt mówi, »e tak naprawd¦ wszystkie dzielniki normalne dowolnej grupy
G s¡ powy»szej postaci.
Fakt 1.4.7 Je»eli H jest dzielnikiem normalnym grupy G, to odwzorowanie
: G ! GjH
przyporz¡dkowuj¡ce ka»demu elementowi warstw¦ tego elementu wzgl¦dem H jest
homomorzmem grupy G na grup¦ ilorazow¡ GjH . J¡drem tego homomorzmu
jest podgrupa H .
22
1.5 Zadania.
1. Sprawdzi¢, czy nast¦puj¡ce wzory okre±laj¡ dziaªanie w zadanym zbiorze.
Je»eli tak, to zbada¢ ª¡czno±¢, przemienno±¢, istnienie elementu neutralnego
i ewentualnie wyznaczy¢ element odwrotny do zadanego elementu.
a) m}n = mn w zbiorze IN,
b) a b = a 2 b w zbiorze CQ,
c) x _ y = maxfx; yg; x ^ y = minfx; yg w zbiorze IR,
d) f _ g = maxff; gg; f ^ g = minff; gg w zbiorze C[0; 1],
e) f _ g = maxff; gg; f ^ g = minff; gg w zbiorze funkcji ró»niczkowalnych
na przedziale [0; 1],
f) m n = NW W(m; n); m n = NWD(m; n) w zbiorze IN,
g) Skªadanie funkcji IR ! IR,
h) ~u ~v = ~u ~v (iloczyn skalarny wektorów na pªaszczy¹nie)
i) ~u ~v = ~u ~v (iloczyn wektorowy wektorów na pªaszczy¹nie)
j) ~u ~v = ~u ~v (iloczyn wektorowy wektorów w przestrzeni trójwymiarowej.
2. Które z poni»szych zbiorów tworz¡ grup¦ wzgl¦dem podanego dziaªania:
a) f7n : n 2 ZZg z dodawaniem,
b) f7n : n 2 ZZ g z mno»eniem,
c) fx 2 IR : x 6= 0; jxj ¬ 1g z mno»eniem,
d) zbiór 2X wszystkich podzbiorów ustalonego zbioru X z dziaªaniem A [ B,
e) zbiór 2X wszystkich podzbiorów ustalonego zbioru X z dziaªaniem A \ B,
f) zbiór 2X wszystkich podzbiorów ustalonego zbioru X z dziaªaniem
A B = (A n B) [ (B n A); (tzw. ró»nica symetryczn¡ zbiorów A i B).
3. Pokaza¢, »e je»eli A jest macierz¡ kwadratow¡ tak¡, »e A3 = 0; to elementem
odwrotnym do macierzy (1 A) wzgl¦dem mno»enia macierzy jest macierz
(1 + A + A2 ).
4. Sporz¡dzi¢ tabelki dziaªania dla:
a) grupy przeksztaªce« izometrycznych pªaszczyzny przeprowadzaj¡cych dany kwadrat na siebie z dziaªaniem "" - skªadanie przeksztaªce«,
b) grupy przeksztaªce« izometrycznych pªaszczyzny przeprowadzaj¡cych dany prostok¡t nie b¦d¡cy kwadratem na siebie z dziaªaniem "".
c) grupy przeksztaªce« izometrycznych pªaszczyzny przeprowadzaj¡cych dany trójk¡t równoramienny prostok¡tny na siebie z dziaªaniem "".
Dla ka»dego z rozwa»anych przypadków wskaza¢ podgrup¦ odpowiedniej grupy permutacji izomorczn¡ z dan¡ grup¡ izometrii.
23
5. W grupie przeksztaªce« izometrycznych pªaszczyzny przeprowadzaj¡cych dany pi¦ciok¡t foremny na siebie (z dziaªaniem "") wskaza¢ elementy rz¦du 2
i elementy rz¦du 3.
6. Dane s¡ grupy hG1 ; 1i; hG2; 2i: Rozwa»amy zbiór G1 G2 = f(a1 ; a2): a1 2
G1; a2 2 G2g z dziaªaniem (a1 ; a2) (b1 ; b2) = (a1 1 b1; a1 2 b2. Udowodni¢,
»e hG1 G2; i jest grup¡ (przemienn¡, je»eli obie grupy s¡ przemienne).
Jest to tzw. produkt prosty grup lub iloczyn prosty. W przypadku, gdy
grupy G1; G2 s¡ przemienne, ich produkt prosty nazywamy sum¡ prost¡ i
oznaczamy G1 G2.
7. Napisa¢ tabelk¦ dziaªania dla grup hZZ5; +5 i oraz hZZ6 ; +6i.
8. Napisa¢ tabliczk¦ dziaªania w sumie prostej grup hZZ2; +2 i i hZZ3 ; +3i.
9. Napisa¢ tabelk¦ mno»enia modulo 5 w zbiorze f1; 2; 3; 4g oraz mno»enia modulo 6 w zbiorze f1; 2; 3; 4; 5g.
10. Niech Bn oznacza zbiór wszystkich ci¡gów n-elementowych o elementach 0; 1.
Pokaza¢, »e Bn jest grup¡ przemienn¡ z dziaªaniem
(a1 ; a2; : : :; an)}(b1; b2; : : :; bn)=(a1 +2 b1; a2 +2 b2; : : :; an +2 bn ).
Jaki jest rz¡d tej grupy? Poda¢ kilka przykªadów podgrup tej grupy.
11. Wykaza¢, »e cz¦±¢ wspólna (przekrój, iloczyn) dowolnej rodziny podgrup
grupy G jest podgrup¡ grupy G.
12. Pokaza¢, »e je»eli H jest podgrup¡ grupy G, to dla dowolnego g 2 G zbiór
gHg 1 = fghg 1 : h 2 H g jest podgrup¡ grupy G.
13. Udowodni¢, »e zbiór tych wszystkich elementów grupy, które s¡ przemienne
z ka»dym innym elementem grupy tworzy podgrup¦ tej grupy. Jest to tzw.
centrum grupy.
14. Wyznaczy¢ rz¦dy elementów 3,5,11 w grupie multyplikatywnej hZZ16; 16i.
15. Pokaza¢, »e je»eli ka»dy element grupy (G; ) jest rz¦du dwa, to grupa G jest
przemienna.
16. Pokaza¢, »e w grupie przemiennej iloczyn elementów rz¦du sko«czonego jest
elementem rz¦du sko«czonego. Jaki jest rz¡d iloczynu?
17. Pokaza¢, »e w dowolnej grupie przemiennej elementy rz¦du sko«czonego tworz¡ podgrup¦.
18. Pokaza¢, »e je»eli rz¡d grupy jest liczb¡ pierwsz¡, to jest to grupa cykliczna.
19. Wykaza¢, »e podgrupa grupy cyklicznej jest grup¡ cykliczn¡.
20. Wyznaczy¢ wszystkie podgrupy grupy hZZ 12; +12i.
24
21. Wyznaczy¢ wszystkie warstwy w grupie ZZ12 wzgl¦dem podgrup:
a) H1 = f0; 3; 6; 9g; b) H2 = f0; 4; 8g; c) H3 = f0; 6g:
22. Napisa¢ tabelk¦ dziaªania w grupie S3 . Sprawdzi¢, czy permutacje parzyste
tworz¡ podgrup¦. Je»eli tak, to wyznaczy¢ warstwy lewostronne i warstwy
prawostronne grupy S3 wzgl¦dem tej podgrupy.
23. W grupach S3 i S4 poda¢ przykªady elementów rz¦dów: 2,3,4,5,6. Odpowied¹
uzasadni¢.
24. Wyznaczy¢ warstwy lewostronne i warstwy prawostronne grupy S3 wzgl¦dem
podgrupy, której elementy przeprowadzaj¡ zbiór f1g na siebie.
25. Które z podgrup grupy S3 s¡ dzielnikami normalnymi? Opisa¢ odpowiednie
grupy ilorazowe.
a b
26. Dowie±¢, »e zbiór macierzy postaci 0 1 , gdzie a; b 2 IR; a 6= 0 jest grup¡
wzgl¦dem mno»enia macierzy. Pokaza¢, »e podzbiór tej grupy skªadaj¡cy si¦ z
macierzy, dla których a = 1 jest dzielnikiem normalnym tej grupy, natomiast
podzbiór skªadaj¡cy si¦ z macierzy, dla których b = 0 jest podgrup¡, lecz nie
jest dzielnikiem normalnym.
27. Wykaza¢, »e grupa hIR; +i jest izomorczna z grup¡ h(0; 1); i.
28. Wskaza¢ homomorzm grupy hZZ8; +8 i na ka»d¡ z grup hZZ 4; +4 i i hZZ2; +2 i.
Wyznaczy¢ zbiory, które s¡ przeciwobrazami zbioru feg i sprawdzi¢, »e tworz¡ one podgrupy grupy hZZ8 ; +8i. Czy ten fakt mo»na uogólni¢?
29. Wykaza¢, »e je»eli podgrupa H jest dzielnikiem normalnym, to relacja przystawania wzgl¦dem moduªu H jest kongruencj¡.
30. Wykaza¢, »e je»eli relacja jest kongruencj¡ w grupie G, to ta klasa H zbioru
ilorazowego Gj , która zawiera element neutralny grupy G jest dzielnikiem
normalnym oraz Gj = GjH.
Rozdziaª 2
Pier±cienie i ciaªa
2.1 Poj¦cie pier±cienia. Podstawowe wªasno±ci i
przykªady.
W znanych nam zbiorach liczbowych ZZ, CQ, IR, CC mamy dwa podstawowe dziaªania
+; , które na dodatek s¡ powi¡zane podstawow¡ zale»no±ci¡ | mno»enie jest
rozdzielne wzgl¦dem dodawania. Podobnie zachowuj¡ si¦ ró»ne zbiory funkcji (np.
IRn [x], C([0; 1])), zbiór macierzy kwadratowych stopnia n.
Denicja 2.1.1 Struktur¦ algebraiczn¡ hR; ; i nazywamy pierscieniem, je»eli:
(R1) hR; i jest grup¡ przemienn¡,
(R2) dziaªanie jest ª¡czne, tzn. dla dowolnych a; b; c 2 R. zachodz¡ równo±ci
(a (b c)) = (a b) c),
(R3) dziaªanie jest jest rozdzielne wzgl¦dem dziaªania , tzn. dla dowolnych
a; b; c 2 R. zachodz¡ równo±ci
a (b c) = (a b) (a c) oraz (b c) a = (b a) (c a)
Pier±cie« nazywamy przemiennym, je»eli dziaªanie jest przemienne.
W dalszym ci¡gu dziaªania ; b¦dziemy nazywali odpowiednio dodawaniem
i mno»eniem, a wyniki dziaªa« - sum¡ i iloczynem. Element neutralny dodawania b¦dziemy oznacza¢ symbolem 0 i nazywa¢ zerem pier±cienia, a element
odwrotny do elementu x 2 R wzgl¦dem dziaªania { elementem przeciwnym.
Je»eli w R jest element neutralny dziaªania , to b¦dziemy oznacza¢ symbolem 1 i
nazywa¢ jedno±ci¡ pier±cienia, a element odwrotny do elementu x 2 R wzgl¦dem
dziaªania { elementem odwrotnym. Elementy pier±cienia, które posiadaj¡
element odwrotny nazywamy elementami odwracalnymi.
25
26
2. Poj¦cie pier±cienia. Podstawowe wªasno±ci i przykªady.
Denicja 2.1.2 Elementy x; y 2 R nazywamy dzielnikami zera, je»eli
x 6= 0; y 6= 0 ale x y = 0:
Denicja 2.1.3 Pier±cie« przemienny z jedno±ci¡, nie posiadaj¡cy dzielników zera nazywamy pierscieniem calkowitym.
6 6 6 6
Przykªad 2.1.1
Zbiór ZZ liczb caªkowitych z dodawaniem i mno»eniem jest pier±cieniem caªkowitym.
Przykªad 2.1.2
Zbiór IRn [x] wielomianów stopnia co najwy»ej n o wspóªczynnikach rzeczywistych
z dodawaniem i mno»eniem wielomianów jest pier±cieniem caªkowitym.
Przykªad 2.1.3
Niech C([0; 1]) oznacza zbiór funkcji ci¡gªych na przedziale [0; 1] z dziaªaniami
(f + g)(x) = f(x) + g(x) oraz (f g)(x) = f(x) g(x)
Z odpowiednich twierdze« analizy wynika, »e jest to równie» pier±cie« caªkowity.
Przykªad 2.1.4
Rozwa»amy zbiór ZZ6 = f0; 1; 2; 3;4; 5g z dziaªaniami +6 oraz 6. Tabelki tych
dziaªa« s¡ nast¦puj¡ce:
+6
0
1
2
3
4
5
0
0
1
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
0
2
2
3
4
5
0
1
3
3
4
5
0
1
2
4
4
5
0
1
2
3
5
5
0
1
2
3
4
6 0 1 2 3 4 5
0
1
2
3
4
5
0
0
0
0
0
0
0
1
2
3
4
5
0
2
4
0
2
4
0
3
0
3
0
3
0
4
2
0
4
2
0
5
4
3
2
1
Struktur¦ hZZ6; +6 ; 6i nazywamy pier±cieniem reszt modulo n. Wida¢, »e jest
to pier±cie« przemienny z jedno±ci¡ posiadaj¡cy dzielniki zera (np. 2 6 3 = 0).
Jedynymi elementami odwracalnymi s¡ w tym pier±cieniu 1 i 5 (1 6 1 = 1 oraz
5 6 5 = 1, co oznacza, »e 1 1 = 1 oraz 5 1 = 5).
Przykªad 2.1.5
Rozwa»amy zbiór ZZ6 = f0; 1; 2; 3; 4g z dziaªaniami +5 oraz 5. Tabelki tych dziaªa«
s¡ nast¦puj¡ce:
2.1. Poj¦cie pier±cienia. Podstawowe wªasno±ci i przykªady.
+5
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
1
1
2
3
4
0
2
2
3
4
0
1
3
3
4
0
1
2
4
4
0
1
2
3
27
5 0 1 2 3 4
0
1
2
3
4
0
0
0
0
0
0
1
2
3
4
0
2
4
1
3
0
3
1
4
2
0
4
3
2
1
Struktura hZZ5; +5 ; 5i jest pier±cieniem reszt modulo 5. atwo zauwa»y¢, »e jest to
pier±cie« przemienny z jedno±ci¡ nie posiadaj¡cy dzielników zera . Ka»dy element
tego pier±cienia jest odwracalny.
Przykªad 2.1.6
Zbiór IR[x] wielomianów o wspóªczynnikach rzeczywistych z dodawaniem i mno»eniem wielomianów jest pier±cieniem caªkowitym. Zerem tego pier±cienia jest wielomian to»samo±ciowo równy 0, za± jedno±ci¡ - wielomian przyjmuj¡cy w ka»dym
punkcie warto±¢ 1.
Denicja 2.1.4 Niech hR; ; i b¦dzie pier±cieniem. Podzbiór P zbioru R, który
sam tworzy pier±cie« z dziaªaniami i nazywamy podpierscieniem pier±cienia
hR; ; i.
Przykªad 2.1.7
Zbiór nZZ = fk n : k 2 ZZg jest podpier±cieniem pier±cienia liczb caªkowitych.
Cwiczenie 2.1.5
Pokaza¢, »e zbiór macierzy trójk¡tnych dolnych jest podpier±cieniem pier±cienia
macierzy kwadratowych stopnia n.
Poniewa» mno»enie macierzy jest dziaªaniem ª¡cznym i rozdzielnym wzgl¦dem dodawania macierzy, wi¦c wystarczy pokaza¢, »e zbiór macierzy trójk¡tnych dolnych
jest podgrup¡ addytywnej grupy pier±cienia i jest zamkni¦ty wzgl¦dem mno»enia
macierzy. Rozwa»my dwie dowolne macierze trójk¡tne dolne
0a 0 01
0k 0 01
A = @ b c 0 A oraz B = @ l m 0 A ;
d e f
n p s
gdzie a; b; c; d; e; f;k; l;m; n; p; s 2 IR . Wówczas
0a k 0
1
0
A B=@b l c m 0 A
d n e p f s
oraz
1
0 ak
0
0
cm
0A
A B = @ bk + cl
dk + el + fn em + fp fs
s¡ macierzami trójk¡tnymi dolnymi, co zgodnie z Faktem 1.1.6 nale»aªo wykaza¢.
28
2. Kongruencje w pier±cieniu.
2.2 Kongruencje w pier±cieniu
Ideaªy w pier±cieniu i pier±cie« ilorazowy
Denicja 2.2.1 Niech hR; ; i b¦dzie pier±cieniem przemiennym. Podzbiór I
zbioru R nazywamy idealem pier±cienia, je»eli speªnione s¡ warunki:
6 6 6 6
(I1) I jest podgrup¡ rupy addytywnej pier±cienia R,
(I2) je»eli a 2 I oraz x 2 R, to a x 2 I .
Przykªad 2.2.1
Oczywi±cie ideaªami w ka»dym pier±cieniu R s¡ f0g oraz sam R. Nazywamy je
ideaªami niewªa±ciwymi.
Przykªad 2.2.2
Zbiór nZZ = fk n : k 2 ZZg jest ideaªem pier±cienia liczb caªkowitych, bo dla
dowolnej liczby caªkowitej m i dowolnej liczby k n 2 nZZ mamy
m (k n) = (m k) n 2 nZZ.
Przykªad 2.2.3
W pier±cieniu C([0; 1]) funkcji ci¡gªych na przedziale [0; 1] ideaªem jest zbiór
Ix0 = ff 2 C([0; 1]) : f(x0 ) = 0g;
gdzie x0 jest dowolnie ustalonym punktem przedziaªu [0; 1]. Dla dowolnej funkcji
g 2 C([0; 1]) i dowolnej funkcji f 2 Ix0 mamy bowiem
(f g)(x0 ) = f(x0 ) g(x0 ) = 0 g(x0 ) = 0:
Przykªad 2.2.4
W pier±cieniu c wszystkich ci¡gów zbie»nych o wyrazach rzeczywistych ideaª tworzy zbiór c0 ci¡gów zbie»nych do zera, co wynika z twierdzenia o granicy iloczynu
ci¡gów.
Poniewa» hR; i jest grup¡ przemienn¡, wi¦c ka»dy ideaª I pier±cienia R jest jego
dzielnikiem normalnym.Okazuje si¦, »e w grupie ilorazowej RjI mo»na wprowadzi¢
struktur¦ pier±cienia deniuj¡c mno»enie wzorem
aI bI = (a b)I.
Otrzymany pier±cie« nazywamy pier±cieniem ilorazowym pier±cienia R wzgl¦dem ideaªu I lub pier±cieniem reszt modulo I.
Przykªad 2.2.5
2.2. Kongruencje w pier±cieniu.
29
Pier±cie« ilorazowy ZZjnZZ skªada si¦ z elementów ZZ; 1 + ZZ; 2 + ZZ; : : :; (n 1) + ZZ.
Dodawanie i mno»enie takich warstw wygl¡da nast¦puj¡co
(k+ ZZ) (l + ZZ) = (k + l) + ZZ = (k +n l) + ZZ oraz
(k + ZZ) (l + ZZ) = (k l) + ZZ = (k n l) + ZZ
Komentarz. Ostatnie okre±lenie powinno zasugerowa¢ nam zwi¡zek poj¦cia pier±cienia ilorazowego z poj¦ciem kongruencji w zbiorze liczb caªkowitych. Rzeczywi±cie, analogicznie do sytuacji dzielnika normalnego w grupie podziaª pier±cienia R
na warstwy wzgl¦dem ideaªu I jest rozbiciem zbioru R wzgl¦dem relacji równowa»no±ci
a b (mod I) () a ( b) 2 I () ( a) b 2 I
O elementach a; b mówimy wówczas, »e przystaj¡ wzgl¦dem ideaªu I. atwo
wykaza¢, »e je»eli a b (mod I) oraz c d (mod I), to
a b c d (mod I) ^ a b c d (mod I).
Relacj¦ równowa»no±ci w pier±cieniu, speªniaj¡c¡ powy»sze warunki, nazywamy
kongruencj¡. W dalszym ci¡gu wykªadu zajmiemy si¦ dokªadniej pier±cieniem
liczb caªkowitych.
Algorytm Euklidesa
Je±li n nie dzieli si¦ przez k, to mo»emy wykona¢ dzielenie z reszt¡. Dla dowolnych ró»nych od 0 liczb n i k istniej¡ takie liczby d i r, »e n = kd + r, przy czym
r < k, d i r s¡ wyznaczone jednoznacznie. d nazywamy ilorazem, a r - reszt¡ z
dzielenia n przez k (je±li n < k, to d = 0) Do znalezienia d mo»na si¦ posªu»y¢
zasad¡ maksimum: d jest najwi¦kszym elementem zbioru fl 2 N : kl ¬ ng. Z tego
ju» wynika, »e reszta r jest mniejsza ni» k.
Geometrycznie operacja ta polega nan znalezieniu na prostej przedziaªu o ko«cach
naturalnych, w ktorym le»y uªamek k , jest to przedziaª [d; d+1) . Jeszcze inaczej
mo»na powiedzie¢, »e d jest cz¦±ci¡ caªkowit¡ liczby wymiernej nk , a kr - jej cz¦±ci¡
uªamkow¡.
Denicja 2.2.2 Najwiekszym wspolnym dzielnikiem liczb n i k, ró»nych od
zera, nazywamy liczb¦:
,
NW D(n; k) = maxfl 2 IN : ljn i ljkg:
Jej istnienie wynika z zasady maksimum: zbiór wszystkich wspólnych dzielników
liczb n i k jest niepusty (nale»y do niego 1) i ograniczony, np. przez n.
Przy szukaniu najwi¦kszego wspólnego dzielnika nie b¦dziemy si¦ posªugiwa¢, jak
w szkole, rozkªadem na czynniki pierwsze, zreszt¡ ten sposób wymaga posiadania
tablic liczb pierwszych i dla du»ych liczb jest to trudne. Wykorzystamy znany od
staro»ytno±ci sposób.
30
Algorytm Euklidesa:
Niech 0 < k < n i wykonajmy dzielenie z reszt¡ n przez k: n = kd + r: Wtedy,
je±li ljn i ljk , to równie» ljr , bo r = n kd . Podobnie, je±li ljr i ljk, to ljn.
Tak wi¦c wspólne dzielniki liczb n i k s¡ dokªadnie te same, co wspólne dzielniki
liczb k i r. W szczególno±ci NWD(n; k) = NWD(k; r). Wykonuj¡c wi¦c operacj¦
dzielenia z reszt¡ uzyskali±my par¦ mniejszych liczb o tym samym NWD. Je±li
liczby s¡ jeszcze za du»e, by zgadywa¢, mo»emy t¦ operacj¦ zastosowa¢ ponownie,
tym razem dziel¡c k przez r, itd:
n = kd1 + r1 ; r1 < k;
k = r1 d2 + r2; r2 < r1;
r1 = r2 d3 + r3; r3 < r2;
..
.
To post¦powanie musi si¦ sko«czy¢, bo kolejne reszty tworz¡ malej¡cy ci¡g liczb
naturalnych. Przypu±¢my, »e sko«czy si¦ na s-tym kroku, tzn. rs+1 =0 . Ostatnie
dwa wiersze naszych oblicze« wygladaj¡ tak:
rs 2 = rs 1ds + rs; rs 1 < rs 2
rs 1 = rsds+1 + 0; 0 < rs 1
Mamy:
NW D(n; k) = NW D(k; r1) = NWD(r1 ; r2) = = NWD(rs 1 ; rs) = rs :
A wi¦c ostatnia niezerowa reszta w tym ci¡gu dziele« z reszt¡ jest najwi¦kszym
wspólnym dzielnikiem liczb n i k.
Wyliczmy teraz z pierwszej równo±ci r1 w zale»no±ci od n i k, podstawmy do
drugiej równo±ci i wyliczmy r2 (te» w zale»no±ci od n i k) itd. Otrzymamy w ko«cu
wyra»enie na rs . Mianowicie rs = pn + qk, gdzie p i q s¡ liczbami caªkowitymi.
Udowodnili±my tym sposobem wa»ne twierdzenie.
Twierdzenie 2.2.1 Najwi¦kszy wspólny dzielnik liczb n i k wyra»a si¦ jako ich
kombinacja o wspóªczynnikach caªkowitych;
Przykªad.
8
n; k > 0
9
p; q 2 ZZ (NWD(n; k) = pn + qk)
Niech n = 1001 oraz k = 357: Wówczas
1001 = 2 357 + 287; wi¦c 287 = 1001 2 357;
357 = 1 287 + 70; wi¦c 70 = 357 (1001 2 357) = 3 357 1001;
287 = 4 70 + 7; wi¦c 7 = 287 4 70 = 2 1001 5 357;
70 = 10 7 + 0;
31
Zatem, zgodnie z algorytmem Euklidesa, 7 jest najwi¦kszym wspólnym dzielnikiem
liczb 1001 i 357 i przedstawili±my go w postaci 7 = 2 1001 5 357:
Za pomoc¡ ostatniego twierdzenia mo»emy udowodni¢ wiele wa»nych wªasno±ci, mi¦dzy innymi (udowodnion¡ wcze±niej) jednoznaczno±¢ rozkªadu na czynniki
pierwsze.
Twierdzenie 2.2.2 (ZASADNICZE TWIERDZENIE ARYTMETYKI) Je»eli iloczyn m n dzieli si¦ przez k i liczba k jest wzgl¦dnie pierwsza z m, to k dzieli n.
D o w ó d. Dla dowodu posªu»ymy si¦ przedstawieniem jedynki - najwi¦kszego
wspólnego dzielnika liczb m i k jako ich kombinacji o wspóªczynnikach caªkowitych:
1=pm+qk, a st¡d n =pmn+qkn. Oba skªadniki sumy po prawej stronie dziel¡ si¦
przez k, wi¦c suma tak»e, czyli kjn.
Poniewa» ka»da liczba pierwsza jest wzgl¦dnie pierwsza z dowoln¡ liczb¡ naturaln¡, wi¦c otrzymujemy natychmiast:
Wniosek 2.2.1 Je»eli p jest liczb¡ pierwsz¡ i dzieli iloczyn mn, to p dzieli co
najmniej jeden z czynników: pjmn ! pjm _ pjn:
Wniosek 2.2.2 Je»eli NW D(m; n) = 1 oraz kjm, to NWD(k; n) = 1.
Wniosek 2.2.3 Je»eli NW D(m; n) = 1 oraz kjn, to NWD(m; k) = 1.
Wniosek 2.2.4 Je»eli liczby m, n podzielimy przez ich najwi¦kszy wspólny dzielnik, to otrzymamy liczby wzgl¦dnie pierwsze.
Liniowe równania diofantyczne
W±ród zada« szkolnych spotykamy takie, które prowadz¡ do jednego równania o
dwóch niewiadomych. Informacj¡ dodatkow¡, umo»liwiaj¡c¡ rozwi¡zanie, jest na
ogóª ukryty w tre±ci zadania fakt, »e rozwi¡zania maj¡ by¢ liczbami caªkowitymi.
Mamy wtedy do czynienia z równaniem diofantycznym. Jest to równanie algebraiczne, w którym i wspóªczynniki i niewiadome s¡ liczbami caªkowitymi. Nazwa
pochodzi od nazwiska greckiego matematyka Diofantosa1, który takie równania
rozwa»aª w ksi¦dze Arytmetyka, napisanej w III wieku n.e. W przypadku, gdy jest
to równanie liniowe, najcz¦±ciej rozwi¡zujemy je analizuj¡c podzielno±¢ wyst¦puj¡cych w nim liczb. Czasami jednak nie wida¢ jak tym sposobem mo»na otrzyma¢
rozwi¡zanie. Oto przykªad takiego zadania:
Zadanie. Na sezonowej wyprzeda»y zegarmistrz sprzedaª wszystkie, jakie miaª,
zegarki po 123 zªote. Ucieszony tym faktem, zostawiª sobie na szcz¦±cie jeden
1
Diofantos, (2 poªowa III wieku), matematyk grecki.
32
zªoty, a za reszt¦ zakupiª w hurtowni nowocze±niejsze zegarki z pozytywk¡ po 377
zª. Ile byªo jednych i drugich zegarków?
Wida¢, »e zadanie sprowadza si¦ do rozwi¡zania w liczbach naturalnych równania:
123x 377y = 1
Okazuje si¦, »e równanie diofantyczne mo»e nie mie¢ rozwi¡za«, mo»e ich mie¢
sko«czenie wiele lub niesko«czenie wiele. Równanie, które otrzymali±my w powy»szym zadaniu, jest najprostszym przykªadem równania diofantycznego. Jest to tzw
liniowe równanie diofantyczne.
Twierdzenie 2.2.3 Liniowe równanie diofantyczne ax + by = c ma rozwi¡zanie
w zbiorze liczb caªkowitych wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a; b) jest dzielnikiem c.
D o w ó d. Je±li istniej¡ x; y 2 Z takie, »e ax + by = c to oczywi±cie NWD(a; b)
dzieli c, gdy» dzieli a i dzieli b.
Zaªó»my teraz, »e dla pewnej liczby caªkowitej m mamy c = m NWD(a; b). Jak
pami¦tamy, z algorytmu Euklidesa wynika, »e NWD(a; b) = ak + bl dla pewnych
caªkowitych k i l. Otrzymujemy zatem
m NWD(a; b) = a km + b lm
Oczywi±cie km i lm s¡ szukanymi caªkowitymi rozwi¡zaniami naszego równania.
Mo»emy teraz rozwi¡za¢ nasze równanie. Znajd¹my wi¦c najwi¦kszy wspólny dzielnik wspóªczynników: 123 i 377. Zastosujemy tu algorytm Euklidesa:
377 = 3 123 + 8
123 = 15 8 + 3
8= 23+2
3= 12+1
Widzimy, »e w ci¡gu kolejnych dziele« z reszt¡ ostatni¡ wi¦ksz¡ od zera reszt¡
jest 1, a wi¦c to jest najwi¦kszy wspólny dzielnik naszych wspóªczynników. Przeksztaª¢my teraz otrzymany ci¡g równo±ci, wyliczaj¡c kolejne reszty, przy czym dla
odró»nienia wyst¦puj¡cych w dzieleniu wyj±ciowych liczb i reszt od wspóªczynników dzielenia, te pierwsze b¦dziemy podkre±la¢.
8 = 377 3 123
3 = 123 15 8
2 = 8 23
1=3 2
Teraz dokonujemy podstawie« kolejno z pierwszej do drugiej równo±ci, z drugiej do
trzeciej, z trzeciej do czwartej, przy czym redukujemy wyrazy podobne, traktuj¡c
33
podkre±lone liczby jak zmienne w wyra»eniach algebraicznych:
3 = 123 15 (377 3 123) = 15 377 + 46 123
2 = 377 3 123 2 ( 15 377 + 46 123) = 31 377 95 123
1 = 15 377 + 46 123 (31 377 95 123) = 46 377 + 141 123
Otrzymali±my w ko«cu rozwi¡zanie wyj±ciowego równania: x = 141; y = 46 i
odpowied¹ do zadania: zegarmistrz sprzedaª 141 zegarków po 123 zª.i kupiª 46
zegarków po 377 zª. Wida¢ te», »e gdyby zostawiª sobie nie 1 zª. lecz 2 zª. to
otrzymane liczby nale»aªoby pomno»y¢ przez 2 itd.
Mo»emy zatem ukªada¢ podobne zadania, maj¡c pewno±¢, »e równanie ax+by = c
ma rozwi¡zanie w liczbach caªkowitych, je±li tylko c jest najwi¦kszym wspólnym
dzielnikiem liczb a i b, lub jego wielokrotno±ci¡. Oczywi±cie je±li c nie speªnia tego
warunku, to rozwi¡zania nie ma: lewa strona dzieli si¦ przez NWD(a; b), prawa
nie.
Wracaj¡c do zadania rozwi¡zywanego na pocz¡tku, mo»na pyta¢ jak znale¹¢ wszystkie rozwi¡zania caªkowite liniowego równania diofantycznego o 2 niewiadomych.
Rozwa»my równanie ax +by = c i zaªó»my, »e a i b s¡ wzgl¦dnie pierwsze (je±li nie
s¡, to obie strony równania dzielimy przez d = NWD(a; b)) i rozwi¡»my równanie
ax + by = 1
Niech x0 ; y0 b¦dzie rozwi¡zaniem otrzymanym w ostatnio udowodnionym twierdzeniu, a x1; y1 niech oznacza jakiekolwiek inne rozwi¡zanie. Wtedy oczywi±cie
a(x1 x0) + b(y1 y0 ) = 0 i para: x1 x0 ; y1 y0 stanowi rozwi¡zanie równania
jednorodnego:
ax by = 0
Tak wi¦c ka»de rozwi¡zanie równania ax+by = 1 jest sum¡ rozwi¡zania szczególnego (x0 ; y0) tego równania i pewnego rozwi¡zania równania jednorodnego. Pozostaje
nam rozwi¡za¢ równanie jednorodne. Oczywistym rozwi¡zaniem jest x = b; y = a
a wraz z nim wszystkie jego wielokrotno±ci. Okazuje si¦, »e s¡ to wszystkie rozwi¡zania wyj±ciowego równania. Je»eli bowiem ax = by, to a dzieli iloczyn by, a
poniewa» a i b s¡ wzgl¦dnie pierwsze, wi¦c a dzieli y. Podobnie b dzieli x. Ostatecznie wi¦c ka»de rozwi¡zanie naszego równania jest postaci:
x = x0 + tb;
y = y0 ta;
gdzie t jest dowoln¡ liczb¡ caªkowit¡.
Powy»sze rozwa»ania mo»na uogólni¢, co zrobili ju» Chi«czycy ponad 2 tysi¡ce la
temu.
Twierdzenie 2.2.4 (TWIERDZENIE CHISKIE O RESZTACH) Niech m 2 b¦dzie
liczb¡ naturaln¡. Dla dowolnych liczb naturalnych a1; a2; : : :; am , z których ka»de
34
dwie s¡ wzgl¦dnie pierwsze i dowolnych liczb caªkowitych r1 ; r2; : : :; rm istniej¡
liczby caªkowite x1 ; x2; : : :; xm takie, »e
a1 x1 + r1 = a2x2 + r2 = : : : = am xm + rm :
D o w ó d. Dla m = 2 teza pokrywa si¦ z tez¡ Twierdzenia2.2.3, bo liczby a1; a2
s¡ wzgl¦dnie pierwsze, wi¦c równanie
a1x1 a2 x2 = r2 r1
ma rozwi¡zanie w liczbach caªkowitych. Niech m 2 b¦dzie dowolnie ustalon¡ liczb¡ naturaln¡ i zaªó»my, »e »¡dana równo±¢ zachodzi dla ka»dych m liczb. Rozwa»my dowolne liczby naturalne a1; a2; : : :; am ; am+1 , z których ka»de dwie s¡ wzgl¦dnie pierwsze i dowolne liczb caªkowite r1; r2; : : :; rm ; rm+1 . Niech x1; x2; : : :; xm
b¦d¡ liczbami caªkowitymi speªniaj¡cymi warunki
a1 x1 + r1 = a2x2 + r2 = : : : = am xm + rm :
Poniewa» ka»da z liczb a1 ; a2; : : :; am jest wzgl¦dnie pierwsza z am+1 , wi¦c
NW D(a1 a2 : : : am ; am+1 ) = 1:
Zatem istniej¡ liczby t i u speªniaj¡ce równanie
a1 a2 : : : am t am+1 u = rm+1 a1x1 r1 :
Niech
0
x0i = a1 a2 a: : : am t + xi dla i = 1; 2; : : :; m oraz xm+1 = u:
i
atwo sprawdzi¢, »e liczby x01; x02; : : :; x0m+1 speªniaj¡ »¡dany warunek.
Dla i = 1; 2; : : :; m mamy bowiem
aix0i + ri = ai a1 a2 a: : : am t + xi + ri = a1a2 : : : am t + ai xi + ri
i
0
= am+1 xm+1 + rm+1 a1 x1 r1 + ai xi + ri = am+1 x0m+1 :
Zgodnie z zasad¡ indukcji matematycznej,twierdzenie zostaªo udowodnione.
Natychmiastowy jest nast¦puj¡cy wniosek z powy»szego twierdzenia.
Wniosek 2.2.5 Je»eli ka»de dwie spo±ród m 2 liczb naturalnych a1 ; a2; : : :; am
s¡ wzgl¦dnie pierwsze, to istnieje liczba caªkowita N , która przy dzieleniu przez te
liczby daje odpowiednio dowolne dane reszty r1; r2; : : :; rm .
Dalej, poniewa» liczba N+a1 a2 : : :am k; gdzie k jest dowoln¡ liczb¡ caªkowit¡, daje
przy dzieleniu przez ka»d¡ z liczb a1; a2; : : :; am t¦ sam¡ reszt¦, co liczba N; wi¦c
istnieje niesko«czenie wiele liczb caªkowitych (równie» { niesko«czenie wiele liczb
naturalnych), które przy dzieleniu przez a1; a2; : : :; am daj¡ odpowiednio reszty
r1; r2; : : :; rm .
35
Przykªad 2.2.6
Znale¹¢ liczb¦ n, która przy dzieleniu przez 5 i przez 7 daj¡ reszty r1 i r2.
Poniewa» (5; 7) = 1; wi¦c równania diofantyczne
7x + 5y = 1 oraz 5x + 7y = 1
maj¡ rozwi¡zania. Szukamy ich, posªuguj¡c si¦ algorytmem Euklidesa, albo wr¦cz
- zgaduj¡c:
7 ( 2) + 5 3 = 1 oraz 5 3 + 7 ( 2) = 1.
Zauwa»my, »e liczba
n = r1 t1 7 + r2 t2 5; gdzie t1 = 2; u1 = 3: t2 = 3; u2 = 2
daje przy dzieleniu przez 5 reszt¦ r1, a przy dzieleniu przez 7 - reszt¦ r2 , bo
n = r1(1 5 u1) + r2 t2 5 = r1 t1 7 + r2 (1 7 u2 )
I ogólnie - je»eli m1 ; m2; : : :; mk s¡ dowolnymiliczbami caªkowitymiparami wzgl¦dnie pierwszymi i M = m1 m2 : : : mk , to rozwi¡zanie równa« diofantycznych
M
M
M
m1 t1 + m1 u1 = 1; m2 t2 + m2 u2 = 1; : : : mk tk + mk uk = 1
daje liczb¦
n = mM1 t1 + mM2 t2 + : : : + mMk tk ,
która przy dzieleniu przez m1 ; m2; : : :; mk daje odpowiednio reszty r1 ; r2; : : :; rk .
T¦ sam¡ wªasno±¢ ma oczywi±cie ka»da inna liczba ró»ni¡ca si¦ od n o caªkowit¡
wielokrotno±¢ liczby r1 r2 : : : rk .
Kongruencje w pier±cieniu liczb caªkowitych
Denicja 2.2.3 O liczbach naturalnych a i b mówimy, »e przystaja modulo m,
je±li ich ró»nica jest liczb¡ podzieln¡ przez m:
,
a b (mod m) () mj(a b)
Dla dowolnego moduªu m 2 IN relacja przystawania modulo m, zwana kongruencj¡, jest relacj¡ typu równowa»no±ci, tzn. jest zwrotna, symetryczna i przechodnia. Pod wieloma wzgl¦dami kongruencje zachowuj¡ si¦ podobnie jak równo±ci,
mo»na je dodawa¢ i mno»y¢ (ale nie dzieli¢!) stronami. Przypu±¢my bowiem, »e
a b (mod m) i c d (mod m). Oznacza to, »e liczby (a b) i (c d) dziel¡ si¦
przez m, ale wtedy równie» ich suma dzieli si¦ przez m:
mj(a + b) (c + d); czyli a + b c + d (mod m):
36
Zamiast o sumie mo»emy mowi¢ oczywi±cie tak»e o ró»nicy. Natomiast dla iloczynu
korzystamy z faktu, »e wielokrotno±¢ liczby podzielnej przez m jest podzielna przez
m, wi¦c z naszych zaªo»e« wynika, »e
mjac bc i mjbc bd;
a st¡d mjac bd.
Co do dzielenia, to zauwa»my, »e z kongruencji: 6 2(mod 4) wcale nie wynika
przystawanie 3 do 1 przy module 4.
Przystawanie liczb a i b modulo m oznacza, »e daj¡ one t¦ sam¡ reszt¦ przy dzieleniu przez m. Liczba a przystaje do zera modulo m wtedy i tylko wtedy, gdy
mja. Mno»¡c dan¡ kongruencj¦ przez siebie dochodzimy do wniosku, »e kongruencje mo»na rownie» pot¦gowa¢ stronami (±cisªy dowód prowadzimy przez indukcj¦
wzgl¦dem wykªadnika pot¦gi). Kombinuj¡c te wyniki razem otrzymujemy twierdzenie:
Twierdzenie 2.2.5 Je±li f(x) jest wielomianem o wspóªczynnikach caªkowitych
oraz a b(mod m), to równie» f(a) f(b)(mod m).
Sformuªujemy jeszcze i udowodnimy kilka po»ytecznych wªsno±ci kongruencji.
Wªasno±¢ 1. Je»eli d jest wspólnym dzielnikiemliczb a; bi m, to z kongruencji a b (mod m) wynika kongruencja da db mod md .
Do w ó d. Je»eli istnieje liczba caªkowita k taka, »e a b = k m; to da db = k md ;
co oznacza, »e da db mod md .
Wªasno±¢ 2. Je»eli d jest dzielnikiem liczby m to z kongruencji a b (mod m)
wynika kongruencja a b (mod d).
Do w ó d. Je»eli istnieje liczba caªkowita k taka, »e a b = k m oraz m = d l
dla pewnej liczby caªkowitej l, to a b = kl d; co oznacza, »e a b (mod d).
Wªasno±¢ 3. Je»eli d jest dzielnikiem liczb a i b a liczby d i m s¡ wzgl¦dnie
pierwsze, to z kongruencji a b (mod m) wynika kongruencja
a b mod m:
d d
Do w ó d. Dziel¡c równo±¢ a b = k m stronami przez d otrzymujemy ad db = km
d:
Poniewa» lewa strona równo±ci jest liczb¡ caªkowit¡ a d im s¡ wzgl¦dnie
pierwsze,
wi¦c kd musi by¢ liczb¡ caªkowit¡ co oznacza, »e ad db mod m .
37
Wªasno±¢ 4. Je»eli a b (mod mi ) dla i = 1; 2; : : :; r; to
a b(mod NWW(m1 ; m2; : : :; mr ):
Do w ó d. Równo±¢ a b = ki mi prawdziwa dla i = 1; 2; : : :; r; oznacza, »e a b jest
wspóln¡ wielokrotno±ci¡ liczb m1 ; m2; : : :; mr , wi¦c dzieli si¦ przez ich najmniejsz¡
wspóln¡ wielokrotno±¢, co oznacza, »e a b (mod NWW(m1 ; m2 ; : : :; mr ):
Wªasno±¢ 5. Je»eli a b(mod m), to NWD(a; m) = NWD(b; m)
Do w ó d. Po prostu zbiory wspólnych dzielników liczb a i m oraz b i m s¡ takie
same.
Wªasno±¢ 6. Je»eli c jest dzielnikiem liczby a, d jest dzielnikiem liczby b, c
i m s¡ wzgl¦dnie pierwsze, d i m s¡ wzgl¦dnie pierwsze, a b (mod m) oraz
c d(mod m), to ac db (mod m).
Do w ó d. Zaªó»my, »e a = k c oraz b = l d. Poniewa» c d (mod m), wi¦c
kc kd (mod m). St¡d
kd kc = a b = ld (mod m);
a poniewa» d i m s¡ wzgl¦dnie pierwsze, wi¦c k l (mod m) co oznacza, »e
a b (mod m):
c d
Przykªad 2.2.7 Wykaza¢, »e liczba 22225555 + 55552222 jest podzielna przez 7.
R o z w i ¡ z a n i e. Poniewa» 2222 3 (mod 7); wi¦c
22225 35 (mod 7) oraz 22226 36 1 (mod 7):
St¡d 22226925 1 (mod 7): Mno»¡c kongruencje stronami otrzymujemy
22225550 22225 35 5 (mod 7):
Podobnie licz¡c mamy kolejno
5555 4 (mod 7); 55552 2 (mod 7) oraz 55556 1 (mod 7):
Podnosz¡c t¦ kongruencj¦ do pot¦gi 370 otrzymujemy
55552220 1 (mod 7); wi¦c 55552222 2 (mod 7);
co po dodaniu stronami daje 22225555 + 55552222 5 + 2 0 (mod 7);
czyli liczba 22225555 + 55552222 jest podzielna przez 7.
38
Przykªad 2.2.8 Dowie±¢, »e dla dowolnej liczby naturalnej n liczba 3(6n) 2(6n)
jest podzielna przez 35.
R o z w i ¡ z a n i e. Poniewa» 33 23 (mod 35); wi¦c podnosz¡c obie strony do
parzystej pot¦gi 3n 1 2n otrzymujemy
333n 1 2n 233n 1 2n (mod 35) czyli 33n 2n 23n2n (mod 35);
co daje 3(6n ) 2(6n ) (mod 35):
Przykªad 2.2.9 Pokaza¢, »e dla ka»dej nieparzystej liczby pierwszej p istniej¡
liczby caªkowite x i y; takie, »e pj1 + x2 + y2 :
R o z w i ¡ z a n i e. Rozpatrzmy reszty z dzielenia przez p liczb n2 dla n =
0; 1; 2; : : :; 21 (p 1): S¡ one wszystkie ró»ne, gdy» w przeciwnym przypadku p
byªoby dzielnikiem liczby r2 s2 ; gdzie r i s s¡ pewnymi ró»nymi liczbami ze zbioru
A = f0; 1; 2; : : :; 21 (p 1)g: Niech np. r > s: Poniewa» pjr2 s2 = (r s)(r +s);
wi¦c p; jako liczba pierwsza dzieli (r s) lub (r + s): Ka»dy z tych przypadków
jest niemo»liwy, gdy»
0 < r s ¬ 21 (p 1) i 0 < r + s ¬ 2 12 (p 1) = p 1:
Liczby 1 + m2 ; gdzie m 2 A daj¡ wi¦c 12 (p 1) + 1 = 21 (p + 1) ró»nych reszt
z dzielenia przez p: Podobnie jest z liczbami n2 gdzie n 2 A. Obydwa te zbiory
daj¡ wi¦c p + 1 reszt, co jest niemo»liwe. Zatem pewne liczby 1 + x2 oraz y2
daj¡ t¦ sam¡ reszt¦, czyli pj1 + x2 + y2 :
Funkcja Gaussa i Maªe Twierdzenie Fermata
W j¦zyku kongruencji wygodnie jest formuªowa¢ i dowodzi¢ klasyczne twierdzenia
teorii liczb. Zajmiemy si¦ teraz niektórymi z nich.
Przypomnijmy, »e dla dowolnej liczby naturalnej n > 0 przez ZZn oznaczali±my
zbiór dodatnich liczb mniejszych od n i wzgl¦dnie pierwszych z n:
Pm = f0 < k < m : NWD(k; m) = 1g:
Dla liczby pierwszej p mamy wi¦c ZZp = f1; 2; : : :; p 1g. Niech (n) oznacza liczb¦
elementów zbioru ZZn. Funkcja (m) nazywa si¦ funkcj¡ Gaussa2. Oznaczmy
przez r1; r2; : : :; r(n) wszystkie elementy zbioru ZZn , czyli
ZZn = fr1; r2; : : :; r(n)g:
2 Karl Friedrich Gauss, (1777{1855), zwany "ksi¦ciem matematyków", matematyk niemiecki,
uwa»any za jednego z trzech, obok Archimedesa i Newtona, najwi¦kszych matematyków ±wiata.
Jego prace dotycz¡ teorii liczb, algebry, rachunku ró»niczkowego i caªkowego, teorii szeregów,
statystyki matematycznej, geometrii sferycznej i geometrii nieeuklidesowej. Gauss stworzyª tak»e
zupeªnie nowe gaª¦zie matematyki, w tym teori¦ funkcji zespolonych i geometri¦ ró»niczkow¡.
Zajmowaª si¦ te» zyk¡, geodezj¡, astronomi¡.
39
Niech a b¦dzie liczb¡ dodatni¡ tak¡, »e NWD(a; n) = 1. Wówczas reszty [ari](n) z
dzielenia iloczynów ari dla i = 1; 2 : : :; (n) przez n wypeªniaj¡ caªy zbiór ZZn. Aby
to uzasadni¢, zauwa»my, »e te reszty s¡ mniejsze ni» n oraz wzgl¦dnie pierwsze z n,
bo ka»dy z iloczynów ari jest liczb¡ wzgl¦dnie pierwsz¡ z m. Wszystkie te reszty
s¡ wi¦c elementami zbioru ZZn. Równocze±nie stwierdzamy, »e s¡ one ró»ne mi¦dzy
sob¡, bo dla i 6= j liczba ari nie przystaje do arj modulo n. Mamy wi¦c (n)
elementów zbioru ZZn, czyli wszystkie jego elementy. Dla ka»dego 1 ¬ i ¬ (m)
istnieje wi¦c 1 ¬ j ¬ (m) takie, »e
ari rj (mod n)
Mno»¡c te kongruencje stronami otrzymujemy:
a(n)
Y
(n)
i=1
ri Y
(n)
j =1
rj (mod n):
Oznaczaj¡c przez r iloczyn wszystkich ri mo»emy to zapisa¢:
r ra(n) (mod n); czyli njr a(n) 1
Poniewa» liczby n i r s¡ wzgl¦dnie pierwsze, wi¦c nj a(n) 1 .
Udowodnili±my w ten sposób tzw. Twierdzenie Eulera3.
Twierdzenie 2.2.6 (TWIERDZENIE EULERA): Dla ka»dej liczby caªkowitej a pierwszej wzgl¦dem liczby naturalnej n zachodzi kongruencja
a(n) 1 (mod n):
Wnioskiem z niego jest tzw. Maªe Twierdzenie Fermata:
Twierdzenie 2.2.7 (MAE TWIERDZENIE FERMATA): Je»eli p jest liczb¡ pierwsz¡
i p nie dzieli a; to ap 1 1 (mod p). St¡d ap a (mod p), czyli pj(ap a).
Komentarz. Powinni±my sobie przypomnie¢ w tym miejscu Wniosek 1.3.3,
z którego natychmiast wynika Twierdzenie Eulera (i MTF) dla liczb a 2 ZZn.
Przykªad 2.2.10 Pokaza¢, »e dla ka»dej liczby naturalnej k liczba 2(26k+2 ) +3
jest podzielna przez 19:
3 Leonard Euler, (1707{1783), szwajcarski matematyk, zyk i astronom, studiowaª w Bazylei
u Johannesa Bernoulli'ego, byª profesorem na uniwersytetach w Petersburgu i Berlinie. Euler jest
autorem ok. 500 prac prac z dziedziny matematyki, w których zajmowaª si¦ m.in. rachunkiem
ró»niczkowym i caªkowym, równaniami ró»niczkowymi, szeregami niesko«czonymi i funkcjami
zespolonymi. Jest twórc¡ znacznej cz¦±ci wspóªczesnej notacji matematycznej | wprowadziª
symbole e; ; i, podaª obecnie u»ywane denicje funkcji trygonometrycznych, stosuj¡c oznaczenia
"sin", "cos". Euler pracowaª równie» nad zastosowaniami matematyki w zyce, mechanice, teorii
spr¦»ysto±ci.
40
Poniewa» 26 1 (mod 9); wi¦c dla ka»dej liczby naturalnej k
26k 1 (mod 9) i 26k+2 22 (mod 9):
Poniewa» obie strony ostatniej kongruencji s¡ parzyste, wi¦c 26k+26k+2 22 (mod 18):
Zatem 26k+2 = 18t+22 dla pewnej liczby naturalnej t; a st¡d 22 = 218t+22 =
16 218t: Z MTF wynika, »e 218 1 (mod 19); wi¦c 218t 1 (mod 19):
Poniewa» 16 3 (mod 19); wi¦c ostatecznie 16 218t 3 (mod 19):
Niech f(x) = anxn + an 1 xn 1 + : : : + a1x + a0 b¦dzie wielomianem stopnia n o
wspóªczynnikach caªkowitych. Pierwiastkiem kongruencji f(x) 0 (mod m)
nazywamy ka»d¡ liczb¦ caªkowit¡ tak¡, »e f() 0 (mod m): Je»eli jest pierwiastkiem i (mod m) , to równie» jest pierwiastkiem, gdy» z twierdzenia
o mno»eniu i dodawaniu kongruencji wynika wówczas, »e f() f() (mod m):
Takie dwa pierwiastki b¦dziemy uwa»ali za jedno rozwi¡zanie. Rozwi¡zaniem kongruencji jest wi¦c caªy ci¡g liczb + lm; gdzie k = 1; 2; 3; : : :: Poszukiwanie rozwi¡za« sprowadza si¦ do poszukiwania pierwiastków w zbiorze f0; 1; :::; m 1g .
Mówi¡c o liczbie rozwi¡za« kongruencji, mamy na my±li liczb¦ jej pierwiastków
zawartych mi¦dzy 0 a m 1.
Rozwa»amy wielomian stopnia n = 1 i kongruencj¦
() ax b (mod m)
Oznacza to, »e mj(ax b), a wi¦c istnieje takie y, »e ax b = my: Kongruencja
sprowadza si¦ wi¦c do równania diofantycznego:
ax my = b:
Wiemy,»e takie równanie ma rozwi¡zanie wtedy i tylko wtedy, gdy d = NWD(a; m)
jest dzielnikiem b. Jedno rozwi¡zanie (x0 ; y0) tego równania znajdujemy wówczas
posªuguj¡c si¦ algorytmem Euklidesa do wyra»enia liczby d, a za ni¡ tak»e b, jako
kombinacji liniowej liczb a i m. Wszystkie inne rozwi¡zania mo»na wi¦c zapisa¢ w
postaci:
x = x0 + t m1 ; y = y0 + t a1
gdzie m1 d = m oraz a1 d = a: Je»eli t 2 f0; 1; :::d 1g; to rozwi¡zania te nie
przystaj¡ modulo m. Gdyby bowiem dla pewnych 0 ¬ i < j ¬ d 1 prawdziwa
byªa zale»no±¢ x0 + i m1 x0 + j m1 ; (mod m); to m1 d = mj(j i)m1 ; czyli
dj(j i); co oczywi±cie nie jest mo»liwe. Zatem t 2 f0; 1; :::d 1g wyznaczaj¡
ró»ne rozwi¡zania wyj±ciowej kongruencji. Bior¡c t d nie dostaniemy nowych
rozwi¡za« kongruencji. Dlaczego? Przedstawmy t w postaci t = kd+r dla pewnego
r 2 f0; 1; :::d 1g: Wówczas
x = x0 + t m1 x0 + r m1 (mod m);
bo (t r)m1 = ldm1 = lm: Udowodnili±my zatem nast¦puj¡ce twierdzenie.
41
Twierdzenie 2.2.8 Kongruencja liniowa ax b (mod m) ma d rozwi¡za« postaci
x = x0 + t m1 ; gdzie d = NWD(a; m); m = dm1 oraz t 2 f0; 1; :::d 1g:
St¡d wniosek.
Wniosek 2.2.6 Je»eli d = NWD(a; m) = 1; to kongruencja liniowa ax b (mod m)
ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie.
W szczególno±ci, je»eli moduª kongruencji jest liczb¡ pierwsz¡, która nie dzieli a,
to d = 1 i kongruencja:
() ax b (mod p)
ma jedno rozwi¡zanie. Znajdujemy je korzystaj¡c z twierdzenia Fermata. Niech
bowiem p b¦dzie liczb¡ pierwsz¡, która nie dzieli a. Mamy wi¦c ap 1 1(mod p).
Mno»¡c t¦ ostatni¡ kongruencj¦ stronami przez b, otrzymujemy
bap 1 b (mod p)
Przyjmuj¡c teraz x0 = bap 2 mamy ax0 b(mod p) i reszta z dzielenia x0 przez
p wyznacza jedyne rozwi¡zanie kongruencji ().
Przykªad 2.2.11 Kongruencja liniowa 3x 5 (mod 4) ma jedno rozwi¡zanie, bo
d = NWD(3; 4) = 1:
Wyznaczamy je rozwi¡zuj¡c równanie diofantyczne 3x 4y = 5:
Poniewa» 3 ( 1) + 4 1 = 1; wi¦c 3 ( 5) + 4 5 = 5 i jako jedyne rozwi¡zanie tej
kongruencji otrzymujemy x = 5 + 4l:
Przykªad 2.2.12 Wyznaczy¢ wszystkie rozwi¡zania kongruencji liniowej
2x 6 (mod 4):
Poniewa» d = NWD(2; 4) = 2; wi¦c, zgodnie z udowodnionym wy»ej twierdzeniem, oczekujemy dwu rozwi¡za« | dla t = 0 oraz t = 1: Rozwi¡zuj¡c równanie
diofantyczne 2x 4y = 6; otrzymujemy
2 ( 1) 4 ( 1) = 2; wi¦c 2 ( 3) 4 ( 3) = 6:
Zatem jako rozwi¡zania tej kongruencji otrzymujemy:
x1 = 3 + 0 2 + 4l = 3 + 4l oraz x2 = 3 + 1 2 + 4l = 1 + 4l:
Przykªad 2.2.13 Wyznaczy¢ wszystkie rozwi¡zania kongruencji liniowej
8x 4 (mod 3):
Poniewa» 3 jest liczb¡ pierwsz¡, która nie jest dzielnikiem liczby 8; wi¦c na mocy
Maªego Twierdzenia Fermata
3j82 1; czyli 82 1 (mod 3:)
42
2. Poj¦cie pier±cienia. Podstawowe wªasno±ci i przykªady.
St¡d 82 4 4 (mod 3:); wi¦c 8 (4 8) 4 (mod 3:)
Rozwi¡zaniem tej kongruencji jest zatem x = 32 i bior¡c x0 = 2; czyli reszt¦ z
dzielenia 32 przez 3 wyznaczamy rozwi¡zanie ogólne x = 2 + 3l:
Dla kongruencji o module b¦d¡cym liczb¡ pierwsz¡ prawdziwe jest twierdzenie o
liczbie rozwi¡za«, analogiczne (i podobnie dowodzone !) do twierdzenia o liczbie
pierwiastków wielomianu w zbiorze liczb rzeczywistych.
Twierdzenie 2.2.9 (LAGRANGE4 ): Je»eli f jest wielomianem stopnia n o wspóªczynnikach caªkowitych, a p - liczb¡ pierwsz¡ nie dziel¡c¡ wspóªczynnika przy xn ,
to kongruencja f(x) 0 (mod p) ma nie wi¦cej ni» n rozwi¡z«.
2.3 Poj¦cie ciaªa. Podstawowe wªasno±ci i przykªady.
Denicja 2.3.1 Pier±cie« hK; ; i nazywamy cialem, je»eli:
(F1) K zawiera przynajmniej dwa elementy,
(F2) hK n f0g; i jest grup¡.
hK; i nazywamy addytywna grupa ciala, a hK n f0g; i - multyplikatywna
6 6 6 6
grupa ciala.
6 6 6 6
,
,
,
6 6 6 6
,
W ciele nie ma oczywi±cie dzielników zera, bo z warunku a; b 2 K n f0g wynika,
»e a b 2 K n f0g.
Denicja 2.3.2 Niepusty podzbiór L ciaªa K , b¦d¡cy ciaªem wzgl¦dem dziaªa« w
K nazywamy podciaªem ciaªa K .
Przykªad 2.3.1
Ciaªami s¡ zbiory CQ; IR; CC z dodawaniem i mno»eniem. W dalszym ci¡gu te trzy
ciaªa oraz wszystkie ciaªa w nich zawarte b¦dziemy nazywa¢ ciaªami liczbowymi.
Przykªad 2.3.2
p
p
Zbiór CQ( 2) = fa + b 2 : a; b 2 CQg tworzy ciaªo ze zwyczajnymi dziaªaniami:
dodawaniem i mno»eniem.
Przede wszystkim zauwa»my, »e dla a; b 2 CQ
p
a + b 2 = 0 () a = 0 ^ b = 0.
Ponadto
4 Joseph Louis Lagrange, (1736{1813), matematyk francuski, zajmowaª si¦ teori¡ liczb, algebr¡
i mechanik¡teoretyczn¡, której podstawy zawarª w opublikowanymw roku 1788 dziele Mecanique
analitique
2.3. Poj¦cie pier±cienia. Podstawowe wªasno±ci i przykªady.
p
p
p
43
p
(a + b 2) + (c + d 2) = (a + c) + (b + d) 2 2 CQ( 2)
p
p
p
p
(a + b 2) (c + d 2) = (ac + 2bd) + (ad + bc) 2 2 CQ( 2)
p
Element odwrotny do a + b 2 6= 0 znajdujemy,
p usuwaj¡c niewymierno±¢ z mianownika. Pami¦tajmy, »e a2 2b2 6= 0, bo 2 jest liczb¡ niewymiern¡.
p
p
p 1
a
b
p 2 p = a2 a 2b2 a2 b 2b2 2.
(a + b 2) =
(a + b 2)(a b 2)
Przykªad 2.3.3
W Przykªadzie 1.1 sprawdzili±my, »e zbiory CQ i IR tworz¡ ciaªo z dziaªaniami
a b = a + b + 1 oraz a b = a + b + ab.
Przykªad 2.3.4
Pier±cie« hZZp ; +p ; p i jest ciaªem wtedy i tylko wtedy, gdy p jest liczb¡ pierwsz¡.
D o w ó d. (=)) Je»eli p nie jest liczb¡ pierwsz¡, to dla pewnych n; m 2 ZZp n f0g
jest n p m = p 0 26 ZZp nf0g; czyli mno»enie nie jest dziaªaniem w zbiorze ZZp nf0g.
((=) Je»eli p nie jest liczb¡ pierwsz¡, to pozostaje nam wykaza¢, »e ka»dy element
zbioru ZZp nf0g ma element odwrotny. Niech m0 b¦dzie dowolnym elementem zbioru
ZZp n f0g i rozwa»my zbiór A = f1 p m0 ; 1 p m0 ; : : :; (p 1) p m0 g. Zauwa»my,
»e A ZZp n f0g. Je»eli wyka»emy, »e wszystkie elementy zbioru A s¡ ró»ne, to
(poniewa» jest ich (p 1)) zachodzi równo±¢ A = ZZp n f0g: To oznacza, »e w±ród
liczb postaci k p m0 jest liczba 1, czyli dla pewnego k0 2 ZZp nf0g jest k0 p m0 = 1;
tzn. k0 = m0 1 : Zaªó»my wi¦c, »e dla pewnych 0 ¬ i < j < p jest i p m0 = j p m0 .
St¡d (j i) p m0 = 0, co jest niemo»liwe, bo liczba (j i), jako mniejsza od p nie
mo»e by¢ podzielna przez p.
W ciaªach liczbowych wielokrotno±¢ jedno±ci nigdy nie jest zerem. Nietrudno zauwa»y¢, »e w wy»ej rozpatrywanym ciele hZZp ; +p ; pi zachodzi równo±¢
p 1 = 1 + 1 + : : : + 1 = 0:
Denicja 2.3.3 Charakterystyka ciala K nazywamy najmniejsz¡ liczb¦ naturaln¡ p tak¡, »e p 1 = 0. Je»eli taka liczba nie istnieje, to mówimy, »e cialo ma
6 6 6 6
,
charakterystyke zero.
6 6 6 6
,
Charakterystyk¦ ciaªa K b¦dziemy oznacza¢ symbolem (K). Zatem (ZZp ) = p.
W ciele sko«czonym wielokrotno±ci jedno±ci 11; 21; 31;: ::nie mog¡ by¢ wszystkie
ró»ne, wi¦c dla pewnych i < j jest i 1 = j 1; co daje (j i) 1 = 0 i otrzymujemy
Fakt 2.3.4 Je»eli K jest ciaªem sko«czonym, to (k) 6= 0:
Poniewa» w ciele nie ma dzielników zera, wi¦c
Fakt 2.3.5 Charakterystyka ciaªa jest liczb¡ pierwsz¡.
44
2. Homomorzmy i izomorzmy pier±cieni i ciaª. Rozszerzenia ciaª.
2.4 Homomorzmy i izomorzmy pier±cieni i ciaª.
Rozszerzenia ciaª.
Denicja 2.4.1 Niech hR1 ; 1; 1i i hR2; 2 ; 2i b¦d¡ dwoma pier±cieniami.
Odwzorowanie : R1 !R2 nazywamy homomorzmem, je»eli dla dowolnych
a; b 2 R1 speªnione s¡ warunki
(a 1 b) = (a) 2 (b) oraz (a 1 b) = (a) 2 (b):
Homomorzm, który jest odwzorowaniem ró»nowarto±ciowym pier±cienia R1 na
pier±cie« R2 nazywamy izomorzmem.
Denicja 2.4.2 Zbiór Ker = fa 2 R1 : (a) = 0g nazywamy jadrem homomorzmu .
,
Peªn¡ analogi¦ mi¦dzy poj¦ciem dzielnika normalnego i homomorzmu grup a poj¦ciem ideaªu i homomorzmu pier±cieni wida¢ w nast¦puj¡cych faktach. Tak, jak
dzielniki normalne danej grupy s¡ jedynymi j¡drami homomorzmów tej grupy,
tak ideaªy pier±cienia przemiennego (i tylko one) s¡ jedynymi j¡drami homomorzmów tego pier±cienia.
Fakt 2.4.3 Je»eli : R1 !R2 jest homomorzmem pier±cienia hR1; 1; 1 i w
pier±cie« hR2; 2; 2 i, to zbiór Ker jest ideaªem pier±cienia R1.
Fakt 2.4.4 Je»eli I jest ideaªem pier±cienia R, to odwzorowanie : R !RjI
przyporz¡dkowuj¡ce ka»demu elementowi warstw¦ tego elementu wzgl¦dem ideaªu
I jest homomorzmem pier±cienia R na pier±cie« ilorazowy RjI . J¡drem tego homomorzmu jest ideaª I .
Poniewa» ciaªo ma tylko ideaªy niewªa±ciwe, wi¦c ka»dy homomorzm ciaªa na
ciaªo jest izomorzmem.
Przykªad 2.4.1
p
Ciaªa CQ, CQ( 2) s¡ podciaªami ciaªa IR.
Fakt 2.4.5 Ciaªo liczb wymiernych jest podciaªem ka»dego ciaªa liczbowego.
Denicja 2.4.6 Ciaªo K nazywamy rozszerzeniem ciaªa K 0 , je»eli ciaªo K 0 jest
izomorczne z pewnym podciaªem ciaªa K .
Przykªad 2.4.2
p
Ciaªo CQ( 2) jest rozszerzeniem ciaªa CQ.
2.4. Homomorzmy i izomorzmy pier±cieni i ciaª. Rozszerzenia ciaª.
45
Przykªad 2.4.3 (Liczby konstruowalne)
Ostatni przykªad jest szczególnym przypadkiem du»o ogólniejszej sytuacji, która
pokazuje, jak daleko algebra abstrakcyjna pozwoliªa u±ci±li¢, a w konsekwencji rozwi¡za¢ pewne problemy geometrii klasycznej.
Denicja 2.4.7 Liczb¦ a > 0 nazywamy konstruowalna, je»eli, maj¡c dany od,
cinek jednostkowy mo»na za pomoc¡ cyrkla i linijki skonstruowa¢ odcinek o dªugo±ci a. Liczb¦ a < 0 nazywamy konstruowaln¡, je»eli a jest liczb¡ konstruowaln¡.
Liczb¦ 0 uznajemy za konstruowaln¡ na mocy denicji.
Zbiór liczb konstruowalnych oznaczmy przez IK. Wykonuj¡c podstawowe konstruk-
cje geometryczne oparte gªównie na twierdzeniu Talesa przekonujemy si¦, »e zbiór
ten jest ciaªem zawieraj¡cym wszystkie liczby wymierne. Jak, maj¡c dany odcinek
jednostkowy, otrzyma¢ odcinek o dªugo±ci mn , gdzie m; n 2 IN pokazuje poni»szy
rysunek.
Odkªadamy na jednym z ramion k¡ta
odcinek o dªugo±ci 3 1 i otrzymujemy punkt A. Na drugim ramieniu od@x@
kªadamy pi¦ciokrotno±¢ jakiegokolwiek
@
odcinka
i otrzymujemy punkt B. ¡@
@
cz¡c
punkt
A z punktem B i prowadz¡c
@@
@
proste
równolegªe
przez ko«ce poszczeb @
@
gólnych
odcinków
dzi¦ki
@@ twierdzeniu Talesa,otrzymujemy,
1 @@
odcinek OC o dªua
go±ci 53 .
3
Rys.1. Konstrukcja odcinka o dªugo±ci 5 .
Kolejne dwa rysunki podaj¡ konstrukcje iloczynu i ilorazu dwu dowolnych odcinków o dªugo±ciach a i b.
@@
@
x
@@
@@ @@
b @
@@
@@
a
1
Rys.2. Konstrukcja odcinka o dªugo±ci a b.
Z Twierdzenia Talesa wynika, »e 1b = ax ,
czyli x = a b
@@
@
a
@
@@
@@
b @
@
@@
1 @@
x
Rys.3. Konstrukcja odcinka o dªugo±ci ab .
Z Twierdzenia Talesa wynika, »e 1b = xa ,
czyli x = ab .
Na ostatnim rysunku mamy konstrukcj¦ odcinka o dªugo±ci pa, gdzie a > 0 jest
46
2. Homomorzmy i izomorzmy pier±cieni i ciaª. Rozszerzenia ciaª.
dowolnym elementem zbioru IK. Otrzymali±my wi¦c ciaªo liczbowe zawieraj¡ce ciaªo liczb wymiernych i zamkni¦te wzgl¦dem operacji wyci¡gania pierwiastka kwadratowego z elementów nieujemnych. Pozostaje pytanie o opis algebraiczny tych
liczb i o mo»liwo±¢ wykonywania w tym zbiorze innych jeszcze operacji (np. pierwiastkowa« wy»szych stopni). atwo zauwa»y¢, »e w zbiorze tym mo»na wyci¡ga¢
pierwiastki stopnia 2n.
Spróbujmy wyrazi¢ konstruowalno±¢ w j¦zyku algebry. Poszczególne kroki klasycznej konstrukcji geometrycznej to prowadzenie prostych i okr¦gów i znajdowanie
punktów przeci¦cia tych linii. Algebraicznie odpowiada to rozwi¡zywaniu równa«
liniowych i kwadratowych oraz ukªadów takich równa«. Ka»dy z tych ukªadów
sprowadza si¦ do ukªadu dwóch równa«, z których jedno jest liniowe, a drugie
stopnia nie wy»szego ni» dwa (wynika to st¡d, »e w równaniu okr¦gu wspóªczynnik zarówno przy x2 jak i przy y2 równy jest 1, wi¦c odejmuj¡c stronami dwa
takie równania otrzymamy równanie stopnia pierwszego). Ostatecznie wi¦c wykonanie poszczególnego kroku konstrukcji oznacza rozwi¡zanie równania kwadratowego, którego wspóªczynniki s¡ liczbami znalezionymi w taki sam sposób we wcze±niejszych krokach konstrukcji. Rozwi¡zaniem takiego równania jest liczba postaci
u + vpw, gdzie u; v i w s¡ liczbami zbudowanymi we wcze±niejszych krokach. Poniewa» ka»da konstrukcja skªada si¦ ze sko«czenie wielu kroków mo»na powiedzie¢,
»e do ka»dej liczby konstruowalnej dochodzimy poprzez sko«czony ci¡g kolejnych
rozszerze« ciaªa liczb wymiernych, z których ka»de jest rozszerzeniem poprzedniego
o pewien pierwiastek kwadratowy.
Otrzymali±my zatem nast¦puj¡c¡ charakteryzacj¦:
Liczba x jest konstruowalna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba
naturalna n i ci¡g ciaª liczbowych F0 = CQ F1 F2 : : : Fn taki, »e
x 2 Fn oraz dlapka»dego i < n istnieje element wi 2 Fi , dla którego pwi 26 Fi
oraz Fi+1 = Fi( wi).
Przykªady
1) Dla dowolnej liczby naturalnej n liczba pn jest konstruowalna.
Je»eli liczba n jest peªnym kwadratem, to oczywi±cie pn 2 CQ.
Je»eli liczba n jest peªnym kwadratem, to: geometrycznie - liczba pn jest równa dªugo±ci wysoko±ci trójk¡ta prostok¡tnego opuszczonej na przeciwprostok¡tn¡,
której dªugo±¢ równa
jest n + 1:
algebraicznie - pn jest elementem ciaªa F1 = CQ(pn):
p
p
p
2) Liczba 4 2 jest elementem ciaªa F2 = F1( 2); gdzie F1 = CQ( 2):
p
p
Zauwa»my, »e 4 2 nie jest elementem ciaªa F1 = CQ( 2): Gdyby bowiem dla pewnych wymiernych a; b; zachodziªa równo±¢
p4
p
2= a+b 2 ,
p
p
p
to 2 = a2 + 2b2 + 2ab 2; co nie jest mo»liwe, bo 2 nie jest liczb¡ wymiern¡.
3) Konstruowalne s¡ liczby: cos 12 ; tg 8 ; tg 16 ; bo wystarczy zauwa»y¢, »e
2.4. Homomorzmy i izomorzmy pier±cieni i ciaª. Rozszerzenia ciaª.
q
p
p
p
47
p 2
p1+ 3) :
cos 12 = 12 + 43 ; tg 8 = 1 + 2; tg 16 = 1+ 1+(
1+ 3
Maj¡c
p sprecyzowan¡ denicj¦ liczby konstruowalnej mo»emy np. sprawdzi¢, »e liczba 3 2 nie jest konstruowalna. Jest to jeden ze sªawnych staro»ytnych problemów
dotycz¡cych konstrukcji geometrycznych, tzw. problem podwojenia sze±cianu
- czy mo»na zbudowa¢ konstrukcyjnie sze±cian, którego obj¦to±¢ jest dwukrotnie
wi¦ksza od obj¦to±ci zadanego sze±cianu?
Poniewa» mo»emy przyj¡¢, »e zadany sze±cian ma kraw¦d»
p dªugo±ci 1, szukamy
wi¦c sze±cianu o obj¦to±ci 2. Jego kraw¦d» ma dªugo±¢ 3 2 i taki odcinek nale»aªoby skonstruowa¢. Wyka»emy
algebraicznie, »e nie jest to mo»liwe.
p
Przypu±¢my, »e liczba 3 2 jest konstruowalna i utwórzmy dla niej opisany wy»ej
ci¡g ciaª pliczbowych F0 = CQ F1 F2 : : : Fn o najmniejszej mo»liwej dªugo±ci
taki, »e 3 2 2 Fn . Oznacza to, »e równanie x3 2 = 0 ma rozwi¡zanie
w ciele Fn .
pwn 1, gdzie
q 6= 0 a
Jako
element
tego
ciaªa,
rozwi¡zanie
to
jest
postaci
p
+
q
pwn 1 26 Fn 1 . Jest wi¦c
p
3
(p + q wn 1) 2 = 0
czyli
p3 + 3p2qpwn 1 + 3pq2 wn 1 + q3 wn 1pwn 1 2 = 0
Poniewa» w przypadku, gdy ps 26 Fn 1 mamy
p
a + b s = 0 jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy a = b = 0;
wi¦c
p3 + 3pq2w
n 1
3p2 q + q3 wn 1
2 = 0;
= 0:
()
p3 + 3pq2w
n 1
3p2q q3 wn 1
2 = 0;
= 0:
Zatem równie» p3 3p2qpwn 1 + 3pq2 wn 1 q3 wn 1pwn 1 = 0;
co oznacza, »e
(p qpwn 1)3 2 = 0:
Okazaªo si¦ wi¦c, »e równanie trzeciego stopnia x3 2 = 0 ma dwa ró»ne pierwiastki
rzeczywiste (pami¦tamy, »e q 6= 0), co - jak wiemy -pnie jest prawd¡. Otrzymana
sprzeczno±¢ dowodzi, »e zaªo»enie konstruowalno±ci 3 2 nie jest prawdziwe.
Podobnie mo»na pokaza¢, »e nie jest wykonalny konstrukcyjny podziaª dowolnego
k¡ta na trzy równe cz¦±ci (klasyczny problem trysekcji k¡ta). Nierozwi¡zalno±ci
trzeciego klasycznego greckiego problemu, kwadratury koªa, nie mo»na pokaza¢ t¡ metod¡, poniewa» liczba nie jest pierwiastkiem »adnego wielomianu o
wspóªczynnikach wymiernych.
48
2.5 Zadania.
2. Zadania.
1. W zbiorze IN rozwa»amy dwa dziaªania: mno»enie oraz okre±lone wzorem
a b = ab . Sprawdzi¢, czy dziaªanie jest rozdzielne wzgl¦dem mno»enia.
2. Rozwa»amy zbiór IR liczb rzeczywistych z dziaªaniami
x _ y=maxfx; yg; x ^ y=minfx; yg:
Udowodni¢, »e ka»de z tych dziaªa« jest rozdzielne wzgl¦dem drugiego. Wykorzysta¢ ten fakt do dowodu, »e dziaªania okre±lone w zadaniu 1.1(f) maj¡
t¦ sam¡ wªasno±¢.
3. Czy zbiór liczb rzeczywistych z dziaªaniami a b = a+b+1; a b = ab a b
jest ciaªem? Odpowiedzie¢ na to samo pytanie w przypadku a b = a + b +
5; a b = ab a b + 2.
4. Niech w b¦dzie liczb¡
naturaln¡
tak¡, »e pw nie jest liczb¡ wymiern¡. Pokap
p
za¢, »e zbiór CQ( w)p = fa +pb w : a; b 2 CQg tworzy ciaªo. Znale¹¢ elementy
odwrotne do: 1 + 2 w; 3 w:
p
5. Czy zbiór fa + b 3 2 : a; b 2 CQg jest pier±cieniem? Opisa¢ najmniejszy pier±cie« zawieraj¡cy ten zbiór.
a b
6. Sprawdzi¢, »e zbiór macierzy postaci b a , gdzie a; b 2 IR; a 6= 0 jest
ciaªem z dodawaniem i mno»eniem macierzy.
7. Czy zbiór wszystkich liczb wymiernych postaci 2 1 k; gdzie k jest dowoln¡
liczb¡ caªkowit¡ jest pier±cieniem ze zwyczajnym dodawaniem i mno»eniem?
8. Wykaza¢, »e zbiór 2X tworzy pier±cie« z dziaªaniami ; \.
9. Wyznaczy¢ wszystkie podpier±cienie pier±cienia ZZ12.
10. Pokaza¢, »e zbiór wszystkich ci¡gów niesko«czonych o wyrazach rzeczywistych jest pier±cieniem z dziaªaniami
(an) + (bn ) = (an + bn) oraz (an) (bn) = (an + bn)
Opisa¢ posta¢ dzielników zera w tym pier±cieniu.
11. Pokaza¢, »e w dowolnym pier±cieniu z jedno±ci¡ zachodz¡ zale»no±ci:
(a) 0 x = x 0 = 0,
(b) ( 1) x = x ( 1) = x,
(c) ( x) = x,
(d) ( x) y = (x y) = x ( y),
(e) x (y z) = x y x z.
2.5. Zadania.
49
12. Wykaza¢, »e w dowolnympier±cieniuWR z jedynk¡ zbiór odwracalnych
ele
x y = y x = 1 tworzy grup¦ z
mentów pier±cienia, tzn. x 2 R :
y 2R
mno»eniem.
13. Rozwa»amy iloczyn kartezja«ski IN IN = f(m; n) : m; n 2 INg i relacje równowa»no±ci (m; n) (k; l) () m + l = k + n: Uto»samiaj¡c elementy równowa»ne w powy»szym sensie otrzymujemy zbiór klas równowa»no±ci
(IN IN)j . W zbiorze (IN IN)j wprowadzamy dziaªania:
1) dodawanie okre±lone wzorem [(m; n)] + [(k; l)] = [(m + k; n + l)]
2) mno»enie okre±lone wzorem [(m; n)] [(k; l)] = [(m k+n l; m l+n k)].
a) Sprawdzi¢, »e tak okre±lone dziaªania s¡ poprawnie zdeniowane na zbiorze ilorazowym (IN IN)j , tzn. wynik dziaªania nie zale»y od wyboru reprezentantów z klas.
b) Sprawdzi¢, »e okre±lone wy»ej dziaªania maj¡ nast¦puj¡ce wªasno±ci:
- dodawanie jest ª¡czne i przemienne, - element 0 = [(0; 0)] jest elementem
neutralnym dodawania, - dla dowolnego a 2 ZZ istnieje element przeciwny
a0 2 ZZ.
c) Pokaza¢, »e skonstruowany wy»ej zbiór jest pier±cieniem izomorcznym z
pier±cieniem liczb caªkowitych.
14. Wykaza¢, »e zbiór I = f6x+ 16y : x; y 2 ZZg jest ideaªem w ZZ . Znale¹¢ takie
a 2 ZZ , »e I = hai = fka : k 2 ZZg.
15. Wykaza¢, »e ciaªo ma tylko ideaªy niewªa±ciwe.
16. Rozwa»amy iloczyn kartezja«ski ZZ(INnf0g)= f(m; n) : m 2 ZZ; n 2 IN; n 6= 0g
i relacje równowa»no±ci (m; n) (k; l) () m l = k n: Uto»samiaj¡c
elementy równowa»ne w powy»szym sensie otrzymujemy zbiór klas równowa»no±ci (ZZ (IN n f0g)j . W zbiorze (ZZ (IN n f0g)j wprowadzamy
dziaªania:
1) dodawanie okre±lone wzorem [(m; n)] + [(k; l)] = [(ml + nk; nl)]
2) mno»enie okre±lone wzorem [(m; n)] [(k; l)] = [(mk; nl)] .
a) Sprawdzi¢, »e tak okre±lone dziaªania s¡ poprawnie zdeniowane na zbiorze ilorazowym
(ZZ IN n f0g)j , tzn. wynik dziaªania nie zale»y od wyboru reprezentantów
z klas.
b) Sprawdzi¢, »e okre±lone wy»ej dziaªania maj¡ nast¦puj¡ce wªasno±ci:
- dodawanie jest ª¡czne i przemienne, - element 0 = [(0; 1)] jest elementem
neutralnym dodawania, - dla dowolnego a 2 ZZ (IN n f0g) istnieje element
przeciwny a0 2 ZZ (IN n f0g).
- mno»enie jest ª¡czne i przemienne, - element 0 = [(1; 1)] jest elementem
neutralnym mno»enia, - dla dowolnego a 2 ZZ (IN n f0g) istnieje element
50
2. Zadania.
odwrotny a0 2 ZZ (IN n f0g).
c) Pokaza¢, »e skonstruowany wy»ej zbiór jest ciaªem izomorcznym z ciaªem
liczb wymiernych.
17. Pokaza¢, »e je»eli (K) = p; to dla dowolnego a 2 K zachodzi równo±¢
p a = 0: Ponadto, je»eli a 6= 0; to p jest najmniejsz¡ liczb¡ naturaln¡ o
powy»szej wªasno±ci.
18. Udowodni¢, »e w ciele K o charakterystyce p 6= 0 dla dowolnych a; b 2 K i
dowolnego m 2 IN zachodz¡ równo±ci
(a + b)p = ap + bp ; (a b)p = ap bp ;
(a + b)pm = apm + bpm ; (a b)pm = apm bpm .
p
p
p
19. Czy zbiory fa + b 4 2 : a; b 2 CQg oraz fa + b 2 + c 3 : a; b; c 2 CQg s¡
podciaªami ciaªa liczb rzeczywistych? Je»eli nie, to wyznaczy¢ najmniejsze
podciaªa ciaªa liczb rzeczywistych zawieraj¡ce te zbiory.
20. W zbiorze CC CC wprowadzamy dziaªania
(a; b) (c; d) = (a + c; b + d) oraz (a; b) (c; d) = (ac bd; ad + bc):
Pokaza¢, »e zbiór CC CC z tak okre±lonymi dziaªaniami jest ciaªem przemiennym. (Jest to tzw. ciaªo kwaternionów).
21. Znale¹¢ a i b wiedz¡c, »e:
a) NW D(a; b)=12 i NW W(a; b)=168; b) NWD(a; b)=20 i NWW(a; b)=385,
Ile jest rozwi¡za«?
22. Pokaza¢, »e je»eli d=NWD(a; b), to liczby da i db s¡ wzgl¦dnie pierwsze,
je±li tylko »adna z nich nie jest zerem.
23. Pokaza¢, »e je»eli NW D(a; b) = 1, to dla dowolnej liczby naturalnej c
zachodzi równo±¢ NW D(ac; bc)=c.
24. Pokaza¢, »e dla dowolnych liczb caªkowitych a; b; c zachodz¡ wzory
a) NW W(a; NW D(b; c)) = NWD(NWW(a; b); NWW (a; c))
b) NW D(a; NW W (b; c)) = NWW(NWD(a; b); NWD(a; c)).
25. Poda¢ rozwi¡zania ogólne nast¦puj¡cych liniowych równa« diofantycznych:
a) 2x+3y = 5; b) 2x+3y = 4; c) 3x+9y = 33.
26. Wyznaczy¢ liczb¦ trzycyfrow¡, która jest dwana±cie razy wi¦ksza od sumy
swoich cyfr.
27. Rozwi¡za¢ nast¦puj¡ce kongruencje:
a) 3x = 2 (mod 5); b) 6x+3 = 4 (mod 10);
c) 7x = 4 (mod 10); d) 6x+3 = 1 (mod 10).
2.5. Zadania.
51
28. Znale»¢ dwie ostatnie cyfry liczby 2999:
29. Dowie±¢, »e kwadrat dowolnej liczby caªkowitej daje przy dzieleniu przez 8
reszt¦ 0,1 lub 4.
30. Wykaza¢, »e kwadrat dowolnej liczby nieparzystej i niepodzielnej przez 3
daje przy dzieleniu przez 24 reszt¦ 1.
31. Korzystaj¡c z Maªego Twierdzenia Fermata znale¹¢ wszystkie liczby pierwsze
p takie, »e: a) 2p+1 jest podzielne przez p; b) 12p+5 jest podzielne przez p.
32. Udowodni¢, »e w±ród liczb postaci 2p + 1, gdzie p jest liczb¡ pierwsz¡, jest
dokªadnie jeden sze±cian liczby naturalnej.

Elementy algebry abstrakcyjnej

Transkrypt

Podobne dokumenty

Algebra abstrakcyjna

Matematyka dyskretna – zadania na ćwiczenia 3

Algebry nilpotentne i nil

Zadania domowe z Algebry liniowej II. Seria 1, kwiecie« 2016

omnibus-olimpus zima 2005

karta zamówienia - Stroje komunijne

PDF - World Challenge

weekend majowy si? zbli?

Sexy misiaczek zrobi co tylko zechcesz - Ogloszenia