Metody numeryczne w modelowaniu struktur przestrzennych
Transkrypt
Metody numeryczne w modelowaniu struktur przestrzennych
Metodąnumerycznąnazywasiękażdąmetodęobliczeniową,którąmożna sprowadzićdo operacjiarytmetycznychtakichjakdodawanie, odejmowanie,mnożeniei dzielenie.Tepodstawowedziałaniamatematyczne,znaneod wieków,rozpoznawalnesątakżeprzezprocesor komputerowy.W oparciuo tepodstawoweoperacjeliczbowemożna zbudowaćbazęobliczeniowądlazagadnieńo różnymstopniukomplikacji.Przybliżonymrozwiązywaniemtychżezagadnieńwłaśniew sposóbalgebraicznyzajmujesiędziałmatematykizwanynumeryką. W dobietechnologiicyfrowychnumerykaznalazłasięw różnychdomenachnaukii inżynierii.Szerokosądziśznanemetodywykonywania modeluterenu,któryjestnumeryczną,dyskretną(punktową)reprezentacjąwysokościtopograficznejpowierzchniZiemi.Wrazz algorytmeminterpolacyjnymmodeltenpozwalana odtworzeniejejkształtuw zadanymobszarze.Innymprzykłademmożebyćnumeryczna prognoza pogody,którajestwynikiemobliczeńhydrodynamicznychmodeliprognoz,w którychśrodowiskoi procesyw atmosferzeopisane i zapisanesąza pomocąrównańmatematycznych(nieliniowychcząstkowychrównańróżniczkowych).Modelematematycznesązatem reprezentacjądanegozjawiska,czylimatematycznymopisemzachowańw określonychwarunkach.Zazwyczajsątoukładycząstkowych równańróżniczkowych.Abypowstałmodelnumeryczny,musibyćzamiana wielkościciągłychna dyskretne,czyliprzejściedo układurównańalgebraicznych.Jednakżekonieczna jestanaliza błędu.Algorytmnumeryczny(programkomputerowy)pozwalabowiemuzyskaćtylkoprzybliżonerozwiązanierównaniaróżniczkowegodanegoprocesu.Do najczęściejstosowanychmetodnumerycznychw obliczeniach inżynierskichnależą:metodaróżnicskończonychorazmetodaelementówskończonych. WśródarchitektówcorazbardziejpopularnystajesięjęzykprogramowaniaFormian,którypozwalana łatwedefiniowaniezłożonychform przezgenerowanienumerycznychmodelipowierzchniowych.Formianjestjęzykiem,któryzostałopracowanyz myśląo projektowaniu obiektówo skomplikowanejgeometrii.Za jegopomocąmożna matematyczniedefiniowaćstrukturyprzestrzenne,naweto dużejzłożonościgeometrycznej.Formianznajdujenajlepszezastosowaniepodczasprojektowaniakonstrukcjiprętowych,choćnietylko.Istotnącechąmodelinumerycznychnapisanychw tymjęzykuprogramowaniajestmożliwośćzastosowaniaparametrów.Definiowanesąonenajczęściejjakowielkościopisującezasadniczągeometrięstruktury(np.wysokość,szerokość,strzałkęugięcia,liczbępodziałów).Występują onepóźniejwielokrotniew definicjimodelunumerycznego.Optymalizacjabądźdostosowywanieprojektowanejgeometriistrukturydo nowychwarunkówpolegana zmianiewartościtychżeparametrów.Generowaniezaśnowej,zoptymalizowanejgeometrii,trwaniedługo.Dodatkowymułatwieniemjestzapiswygenerowanejstrukturyw różnychformatachi importowanieichdo programówtakichjakAutoCAD, CorelczyRobot.NajnowszawersjajęzykaFormianułatwiajuższybkąanalizęstatycznąi dynamicznąprojektowanychobiektówza pomocąwybranychi integralniez nimpołączonychprogramówkomputerowychsystemuCAD.(red.) Przykładyzłożonychgeometryczniestrukturprzestrzennych,H.Nooshin, P.Disney Strukturyprętowe„squareonsquare”uzyskanena różnychpowierzchniach a)powierzchnipłaskiej,b)powierzchniz wypiętrzeniemsferycznym, c)powierzchniparaboloidyhiperbolicznej,d)powierzchniwalcowej Metodaopisupołożeniaorazwzajemnychpołączeńmiędzyelementami będącapodstawąformexalgebry Janusz Rębielak Metody numeryczne w modelowaniu struktur przestrzennych Formy przekryć dachowych Strukturanośnajestmaterialnymurzeczywistnieniemformyarchitektonicznejobiektubudowlanego.Rodzajsystemukonstrukcyjnego,sposóbjegozastosowaniaorazużytemateriałymająistotny wpływna wyrazarchitektonicznybudynkówwznoszonychw każdejepocearchitektonicznej.Opanowana umiejętnośćrealizacji obiektównajwyższychlubposiadającychdachyo największejrozpiętościjestczęstoprzyjętymtechnologicznymmiernikiempoziomucywilizacyjnegoosiągniętegoprzezdanąspołecznośćw badanymokresie.Różnorodnepostacistrukturprzestrzennychwprowadzane do praktycznych zastosowań, począwszy od połowy ubiegłegowieku,stałysięówczesnymsynonimemnowoczesnych rozwiązańw architekturzei budownictwie1.W owymczasieznaczącąbarierądlaszybszegoichrozpowszechnieniabyłbraksprawnychi pewnychmetodbezpiecznegowymiarowaniatychwielokrotniestatycznieniewyznaczalnychsystemów.Kluczoweznaczenie w tymzakresiemiaływynikipracZygmuntaStanisławaMakowskiego(1922-2005),któryw połowielat 60.minionegowiekuzałożył SpaceStructuresResearchCentrena UniversityofSurreyw WielkiejBrytanii.Centrumtopełniod wielulatfunkcjęświatowegoośrodkakoordynującegopracenaukowo-badawczew tejdziedzinie.BezpośrednimnastępcąMakowskiegona stanowiskudyrektoratego centrumzostałHoshyarNooshin,któryjestgłównymautoremjęzykaprogramowaniaFormian2 opracowanegodlapotrzebefektywnegoprojektowaniaskomplikowanychsystemówkonstrukcyjnych. W językutymmodelenumerycznemogąbyćdefiniowaneparametrycznie,dziękiczemusąłatwomodyfikowanedlazmieniającychsię niekiedynaglepotrzebprojektowych.Ponadtoułatwiająonewspółpracępomiędzyarchitektemi konstruktoremorazinnymiuczestnikamiprocesuprojektowego. WynikiemdługoletniejwspółpracyzeSpaceStructuresResearchCentrejestm.in.to,żew praktycearchitektoniczneji działalno- V 64 V 4/2012 ścinaukowejczęstoposługujęsięjęzykiemprogramowaniaFormian. Zastosowanietegoprogramuznacznieułatwiai przyśpieszadefiniowaniemodelinumerycznychnawetdlastrukturprzestrzennych o skomplikowanymukładzieelementów.Naczelnązasadąprzyjętą w mojej pracyprojektowejjestdążeniedo kształtowaniaformyarchitektonicznejpoprzezwyraźnąekspresjęcechsystemukonstrukcyjnegozastosowanegodo budowydanegoobiektu.Podczasprocesukształtowanianowatorskichrodzajówtakichsystemówmuszą byćjednakprzestrzeganepodstawoweprawamechanikibudowli3, a ważnymiinspiracjamisąwzorystosownychformstrukturalnych występującew Naturze4.Ukazujątoprzedstawianetuwybraneprace projektowewykonanew ostatnichkilkulatach. PodstawąteoretycznąjęzykaprogramowaniaFormianjestformexalgebra,którejzasadyopracowałrównieżHoshyarNooshin. W formexalgebrze pozycjapunktunp.Kjestdefiniowana w przestrzenidwuwymiarowejformułąmatematycznąw postacinastępującegozapisu:[1,2].Powiązaniemiędzydwomapunktamidefiniująceumiejscowieniepojedynczegoelementu,np.odcinkaJK,jest określanezapisem[0,1; 1,2].Położeniezespołudwóchprzykładowychelementówjestzdefiniowaneza pomocąformułypodanej na ilustracji(po prawej).Kierunkigłówneniekonieczniemusząbyć tożsamez klasycznymiosiami X,YorazZ w kartezjańskimsystemieodniesienia,a odległościpomiędzyposzczególnymiliniami„normatowymi”mogąbyćprzezprogramistęustalanedowolnie.Teprostezasadystosująsiętakżedo przestrzeni 3Di n-wymiarowej, a po odpowiednimprzetworzeniumogąonestosunkowołatwoposłużyćdo zdefiniowaniamodelunumerycznegokażdejpostaciprętowejstrukturyprzestrzennej.Programistamożezastosowaćdowolnieprzezsiebiewybranyzestawparametrów,umożliwiająctym samymszybkąi łatwąmodyfikacjęprojektowanejformybądźanalizowanejkonstrukcji.Dziękitemumodelnumerycznypłaskiejpo- Strukturygeodezyjnewynikającez:a)matematycznychpodziałówpowierzchni Trójkątnesiatkiprętówumieszczonenawybranychścianachdwudziestościanu sferycznej,b)działalnościorganizmużywego,np.jednegoz gatunkówradiolarii foremnegoorazodpowiadająceimstrukturysferyczne stacidwuwarstwowejstrukturyprętowej,określanejnajczęściejmianem„squareonsquare”,można szybkoprzekształcićna modele numerycznetegosamegorodzajusystemukonstrukcyjnegorozmieszczonegona różnychtypachpowierzchnio przykładowychformachpokazanychna pozostałychczęściachtejilustracji. PawilonUSA(średn. 76,5 mi wys. 61m)pokrytyprzez 1900akrylowychminikopuł,niczymjakaśnowaplaneta,dominowałnad wystawąświatowąEXPO’67w Montrealu.Jestnajbardziejznanym dziełemBuckminsteraFullera.Byłonnietylkonowymrozwiązaniem konstrukcyjnym,aletakżepotwierdzałbadaniaNaturyna jejnajbardziejmikroskopijnympoziomie(np.cząsteczkawęglaC60 nazwana fullereną).PawilonUSAbyłpotwierdzeniemporządku,któryFullerodnalazłw Naturze,któraw każdejsekundzierozpoczyna tworzeniei budowaniemakrostrukturz mikrostruktur7. Matematycznieopracowanewzorytakichsiatekmająbowiem sweodpowiednikiw świecieprzyrody;sątonp.szkieletyradiolarii będącejskładnikiemplanktonuwódoceanicznych.Temikroskopijneżywestrukturyodznaczająsięnajlepsząwydajnościąenergetyczną,cozostałoodkrytedopierokilkadekadpo powstaniupierwszych kopułgeodezyjnychw architekturze8.Atrakcyjna formatakichkopuł wynikaz logicznegorozmieszczeniaelementówskładowych,a ich matematyczneuzasadnieniejestpodświadomieakceptowaneprzez odbiorcęniemalz każdegokręgukulturowego.Zastosowanietechnikcyfrowychznaczącoułatwiłoi przyspieszyłoprocesyprojektowaniaorazwznoszeniatakżestrukturprętowych.Najczęściejstosowanemetodywyznaczaniageometriiprętówpolegająna projekcji, za pomocą rzutu środkowego, regularnych siatek trójkątnych umieszczonychna ścianachwielościanupodstawowegona współśrodkowąkulę.Przyjętysposóbpostępowaniasprawia,żeróżnice długościodcinkówsiatkisferycznejsąniekiedyznaczne.Podobny sposóbzastosowanow odpowiednichfunkcjachjęzykaFormian i międzyinnymidziękitemumożna szybkotworzyćmodelenumerycznejedno- i wielowarstwowychkopułgeodezyjnych. Kopuły geodezyjne Kopułygeodezyjnenależądo najbardziejefektywnychekonomiczniei efektownycharchitektoniczniekonstrukcjiprzestrzennychzbudowanychz prętówtworzącychtrójkątnesiatkisferyczneodznaczającesięniewielkimzróżnicowaniemdługościtworzącychjeodcinków.Inicjatoremichpierwszychzastosowańbyłniemieckiinżynier WaltherBauersfeld(1879-1959;PlanetariumZeissa,Jena, 1922), a w połowieubiegłegowiekugorliwymichpropagatorembyłamerykańskiarchitektRichardBuckminsterFuller(1895-1983).NiekontynuowałonjednakeksperymentówBauersfelda,tylkostworzyłnowągeometrię(opartąna liczbachcałkowitych)o wszechstronnym zastosowaniu5.W oparciuo topologięi geodetykęopracowałon aparatobliczeniowy,pomocnyw budowiesferycznychstrukturprętowychorazusystematyzowałmatematycznyopisomni-triangulacyjnej sfery.Systemtennazwanygeodezyjnym(patentFullera, 1954) jestfundamentalnydlastrukturopartycho icosahedron (dwudziestościan).Pozwalabudowaćobiektyw każdymrozmiarzei gęstościpodziałów.Czynitoistotnywkładw projektowanielekkiejarchitekturygeodezyjnej6.Przezpołączenietopologiiz geometriąwektorowąmożna takżeprostowyjaśniać,demonstrowaći przetwarzać zachowania,jakiewystępująw Naturze.Dziękitakiemupodejściu udałosięFullerowizredefiniowaćgeometriękuli.Lekki,sferyczny V 4/2012 V 65 Obrazydeformacjisiecikrystalicznejspowodowane: a)atomemmiędzywęzłowym, b)lukąwęzłowąw metalu J.Rębielak,wsp.:A.Drozd, L.Prucnal,KampusWyższejSzkołyGospodarki (CentrumKrólowejJadwigi),Bydgoszcz, 2005 Schematygłównychetapówprocesuwyznaczaniazdeformowanejsiatkitrójkątnejna płaskiejścianiewielościanuw metodziedeformacjisiatkiwtórnej T.C.HowardofSynergetics,B.Fuller,Climatronic, St.Louis,USA,1958-1960 V 66 V 4/2012 Rzutkondygnacjipodziemnej Rozmieszczenieelementówskładowychw przestrzenistrukturyprętowo-cięgnowejVA(TH)No2 fot.PetervandenHamer kumentacjęprojektowąjakiegośzłożonegoobiektu.Sytuacjataka miałamiejscew przypadkuprojektukonkursowegona nowykampusWyższejSzkołyGospodarkiprzy ul.Garbary 2w Bydgoszczy pod nazwąCentrumKrólowejJadwigi.Dziękizastosowaniumodeli numerycznychostateczna koncepcjakonkursowapowstałana około 10dniprzed terminemnadsyłaniaprac,a projektotrzymałpierwsząnagrodę.Zadaniepolegałona zaprojektowaniunajważniejszych obiektównowoczesnegoośrodkaakademickiego,którymógłby byćsukcesywnierozbudowywanyw następnychetapachrozwoju uczelni.Terenplanowanejinwestycjiznajdujesięw dziewiętnastowiecznejzabudowiecentrummiastai przylegabezpośredniodo rzekiBrdy.Skalętrudnościpowiększałwymógumieszczeniaparkingu na okołostopojazdóww tejbardzojużskondensowanejfunkcjonalnieprzestrzeniprojektowej.Przyjętąwstępniewizjęcałegozałożeniaautorzdecydowałsięzrealizowaćdopieropo satysfakcjonującymrozwiązaniuparkingupodziemnegoi komunikacjicałegozespołuuwzględniającegozłożoneuwarunkowania własnościowe terenu. fot.EncyclopediaBritannica Metoda deformacji siatki wtórnej W pierwszychetapachpracynaukowejudałosięopracowaćmetodędeformacjisiatkiwtórnej9,któradajenajbardziejregularnetrójkątnesiatkisferyczne.Inspiracjąbyłyobrazydeformacjisiecikrystalicznejspowodowaneatomemmiędzywęzłowymorazlukąwęzłową w metalu10. Istota tej metody polega na odpowiednim zdeformowaniu–zgodniez zasadamirzutuśrodkowego–siatkitrójkątnejna płaskiejścianie,np. dwudziestościanuforemnego,aby po jejzrzutowaniuz centrumkulina nimopisanejuzyskaćmożliwie jaknajbardziejregularnątrójkątnąsiatkęsferyczną.Schematygłównychetapówtejmetodypokazanona rysunkupowyżej.Punktyrównegopodziałułukówkółwielkichsferyopisanejna wielościanie po ichprojekcjirzutemśrodkowymw kierunkucentrumsferytworząnowenieregularnepodziałykrawędzitegowielościanu.Z tych punktówprowadzonesąodcinkirównoległedo podstawyjegotrójkątnejścianyi tworzątamspecyficznąformęsiatki.Środkiciężkościodpowiedniomałychtrójkątówwyznaczająpołożeniawęzłów siatkipłaskiej,zdeformowanejzasadamirzutuśrodkowego,która po zrzutowaniuna współśrodkowąkulęumożliwiawyznaczanieregularnejtrójkątnejsiatkisferycznej.Zróżnicowaniedługościodcinkówsiatkiwyznaczanejw tensposóbjestnajmniejszei stosunek ekstremalnychdługościjejodcinkówdlamaksymalnejgęstościsiatki osiągateoretycznągranicęokreślonązależnościąmatematyczną 2xsin 36o,czyliokoło 1,17569,11.Tąsamągranicęosiągająsiatki wyznaczanew niecoinnejmetodzieopracowanejuprzednioniezależnieprzezJosephaClintona12. Łatwośćgenerowaniai modyfikacjimodelinumerycznych,np. kopułgeodezyjnych,za pomocąjęzykaprogramowaniaFormian maniekiedykluczoweznaczenie,gdynależypilnieprzygotowaćdo- J.Rębielak,wsp.A.Drozd,CentrumGEO,Wrocław, 2006 CentrumGEO,strukturanośnaoraztasamastrukturazpanelamiosłonowymi W centrumtegozałożeniaznajdujesię„Galerianad Brdą”,którąstanowijednowarstwowakopułageodezyjna (ok. 66%pełnejkuli,śred. podstawy 16,80m).Formasferyczna nawiązujetudo graficznego logoWyższejSzkołyGospodarki.Częśćedukacyjno-naukowaznajdujesięw pobliżudwóchgłównychamfiteatralnychsalwykładowych. W bezpośrednim sąsiedztwie znajdują się (na parterze i na Ipiętrze)przestrzenieszerokiena 8,40 mmogącepełnićtakfunkcje komunikacyjne,jaki wystawowe.Częśćadministracyjna z odpowiednimzapleczemtechnicznymorazszatniągłównąznalazłasię na parterze,poniżejpoziomudwóchamfiteatralnychsalwykładowych,z którychjedna jestprzeznaczona dla 200,a drugadla 250 osób.Wzdłużzewnętrznegoobrysutejczęści,od stronyul.Garbary,zaplanowanopomieszczeniakatedr,zakładówi pracowni. W następnejkoncepcjiprojektowejdlainnegoośrodkaakademickiegowprowadzonotakżekopułęgeodezyjnąuformowanątym razemza pomocąstrukturyprzestrzennejoznaczonejsymbolemVA (TH)No213.Zostałaonaopracowana przezautorategoprojektudla potrzebprzekryćprętowo-cięgnowychzdolnychosiągnąćdużąrozpiętość,któremogłybyprzyjmowaćdowolnekształtyorazbyćrozpiętenad dowolnąformąpodstawybezkoniecznościstosowania obwodowegopierścieniaściskanego(PS).Strukturęstanowiąmodułyczworościenneumieszczoneprzemiennienad każdymtrójkątnympolempodstawowejsiatkitrójkątno-sześciokątnejznajdującej sięw warstwieśrodkowej.Wierzchołkitychmodułówsąpołączone zesobąza pomocącięgien,którychkierunkizbiegająsięw centrum każdegopolasześciokątnegosiatkipodstawowej.Wstępnesprężeniejestwarunkiemkoniecznymi możebyćonowprowadzonenp. poprzez regulowanie długości wybranych cięgien lub prętów. Sferycznąpostaćtejstruktury,pokazanąna rysunkupowyżej, B.Fuller,S.Sadao,PawilonUSA,Expo’67,Montreal,Kanada, 1965-1967 V 4/2012 V 67 BezalelAcademyofArtsandDesign,Jerozolima, 2007 J.Rębielak,wsp.:G.Kaliciak,Ł.Kitka,M.Rębielak,BezalelAcademyofArtsandDesign,Jerozolima, 2007(projektkonkursowy) przewidzianojakozewnętrznąkonstrukcjęnośnągłównegobudynkuCentrumGEOzlokalizowanegona lewymbrzeguOdry,naprzeciwkompleksubudynkówPolitechnikiWrocławskiejprzy ul.WybrzeżeWyspiańskiegoweWrocławiu.Spektakularna kopułageodezyjna miałabyćsymbolemprzestrzennymnowegocampusuGEOoraz miejscemspotkańintegracyjnychnietylkowrocławskiegośrodowiskaakademickiego.Czterokondygnacyjna przestrzeńwewnętrzna zostałapodzielona na pomieszczenialaboratoryjnedlabadań prowadzonychprzezróżne,głównieinterdyscyplinarnezespołynaukowe,a w górnejczęściprzewidzianosalęwielofunkcyjnąmogącączasowopełnićtakżefunkcjęplanetarium.Wokółjednokondygnacyjnejczęścipodziemnejzaprojektowanotunelaerodynamiczny.Pomieszczeniawewnątrzkopułygeodezyjnejpomyślanotak, abymożna jedostosowywaćdo zmiansposobuużytkowania w trakcieeksploatacjibudynku.Sferyczna postaćstrukturyVA(TH) No2miałabyćprzedmiotemdługotrwałychbadańwytrzymałościowo-eksploatacyjnychi stanowićpodstawędlatestowaniaróżnych rodzajówścianosłonowychi innychrodzajówpokrycia.W intencji projektantaobiekttenmiałbyćpomocnyw testowaniunowychprototypowychrozwiązańtechnicznych. KorzystnewłasnościbudowywewnętrznejstrukturyVA(TH)No2 skłaniajądo jejzastosowańw obiektachprojektowanychna siatce trójkątnejlubna formachpokrewnych.Kolejnyośrodekakademicki zaplanowanowłaśniena takiejsiatce.JesttoprojektnowejsiedzibygłównejBezalelAcademyofArtsandDesignw Jerozolimie, w bliskościstaregomiasta.Jerozolimajestważnymmiejscemdla wyznawcówtrzechreligiimonoteistycznych.Przyjętozałożenie,aby w widokuogólnymuczelnipojawiłysięw tlesymboleidentyfikowanenietylkoz judaizmem,lecztakżez chrześcijaństwemorazislamem.Dlategorzutparterubudynkugłównegow kampusieto gwiazdaDawida,którejkształtpodkreślaciemniejszykolorposadzki V 68 V 4/2012 z naturalnegokamienia.Znajdującasięw pobliżukatedraprawosławna ŚwiętejTrójcywcina siępółkolemw działkękampusu.Na jej osiznalazłysięciemniejszepłytyposadzkikamiennejułożone na kształtkrzyżałacińskiego.Półkolistewcięcie,kojarzonez islamskimpółksiężycem,można byłouwydatnićprzezodpowiednieelementytzw.małejarchitekturytakżew ciemniejszymkolorze.DziedziniecbudynkugłównegoprzekrywastrukturapłaskaVA(TH)No2, którejpolatrójkątnewypełnionopanelamistałymi,a polasześciokątnesąotwieranezapomocąstosownychpanelitrójkątnych. Z uwagina historycznykonteksturbanistycznymiejscawysokość zabudowyograniczonodo 21,90 m.Warunkiklimatycznei wymogifunkcjonalneograniczyłypowierzchnięokien.Kolorokładzinykamiennejna elewacjachzaprojektowanychbudynkówwynikaz zastosowaniatypowegona tymtereniemateriałukamiennego.W strefachwejśćdo budynkugłównegoprzewidzianorzeźbyw postaci tzw.bryłplatońskich,abyidentyfikowałyposzczególnestrefyfunkcjonalne. Dachpłaskiniezawszejestrozwiązaniemkorzystnymdlaprzekryć o dużychrozpiętościach.Z koleidogodne,pod wielomawzględami,przekryciekopułowerealizowanew tzw.tradycyjnychsystemachkonstrukcyjnychmusiposiadaćodpowiedniąwyniosłość, coskutkujeznaczącymiograniczeniaminaturyfunkcjonalneji ekonomicznej,jeślitakidachposiadałbydużąrozpiętośći byłbyzlokalizowanyw chłodnychlubgorącychstrefachklimatycznych.Interesującymrozwiązaniemdlatakichprzekryćjestsystemcable dome,opracowanyprzezamerykańskiegoprojektantaDavidaGeigera14.Schemattejkonstrukcjipokazanyna rysunkupowyżejjest wizualizacjąstosownegomodelunumerycznegotegosystemu zdefiniowanegotakżew językuprogramowaniaFormian.Istotategosystemupolegana odpowiednimpołączeniustosunkowokrótkichpionowychprętówściskanychz trzemaukładamicięgien, a całośćsystemumusibyćwstępniesprężona i zamocowana w obwodowympierścieniuściskanym.Pokryciejestwykonywaneza pomocąstosownychmembranumieszczonychw polachpomiędzy cięgnamiwarstwygórnej,cozwiększawalorytechniczno-użytkoweorazarchitektonicznetychlekkichsystemównośnych15. Należypodkreślić,żeza protoplastętegorodzajukonstrukcjiprętowo-cięgnowychuważanyjestsystemkonstrukcyjnydachuhaliwidowiskowo-sportowej„Spodek”w Katowicach,zaprojektowany przezWacławaZalewskiego16. Odmiennyrodzajsystemuprętowo-cięgnowegozostałopracowanyprzezautoradlapotrzebkonstruowanialekkichprzekryćdachowychmogącychuzyskaćbardzodużąrozpiętość17.Systemtennosi nazwękrystalicznejstrukturyprętowo-cięgnoweji w porównaniu do systemu kopuł Geigera odznacza się większą stabilnością pod działaniemznacznychwartościobciążeńprzyłożonychnierównomierniedo węzłówwarstwygórnej,orazmożebyćszybciej i w bardziejprostysposóbmontowanyna miejscubudowy.Ponadtojedna z jejtrzechodmianumożliwiaprojektowanietakichkopuł mającychdużeotworycentralne.Podstawowakonfiguracjatego systemubyłaprzedmiotemprzekształceń,w wynikuktórychopracowanowieleróżnychodmiankonstrukcjiprętowo-cięgnowych18. Jednąz nich,oznaczonąsymbolemVU-TensO,zaproponowanojakokonstrukcjękopułyo bardzodużejrozpiętości.Kopułata,nazwana Halą 2010,zostałazaprojektowana jakojedenz dwóchgłównych obiektóww autorskiejkoncepcjiZespołuCentralnegoExpouprzednioplanowanegoweWrocławiuw 2010. W strukturzetegoobiektugłównegozawartonumeryczneinformacjezgodniez ogólnymprzesłaniemplanowanegoExpodotyczącymglobalnejochronyśrodowiskanaturalnego.Hala 2010zostałazaprojektowana jakoobiektwielofunkcyjny,maformękopułyo stosunkowoniewielkiejwyniosłościi rozpiętośćrówną 365,25 m– co odpowiadadługościrokukalendarzowego– wyrażonąpoprzezliczbędni.W tymzamierzeniurekordowarozpiętośćkopułyHaliStulecia (65,0m)z okresujejwzniesienia(1911-1913)miałabyćpowiększona o rekordowąobecniedo pokonaniarozpiętośćkonstrukcjikopuł równą 300m.Dziękitymwyjątkowymw skaliświatowejwymiarom nazwaWrocławmogłarozpowszechnićsiębardzoszybkoi szeroko w świadomościspołeczeństwwszystkichkrajównietylkobiorących udziałw planowanymExpo.Kopułaopierasięna 52podporach,którychliczbajestrówna liczbietygodniw roku,ukształtowanychw postacipryzmatycznychstrukturprzestrzennychrozmieszczonychw odstępachcook. 22,5 m.Wysokośćkopuływ górnejkrawędziotworu centralnegowynosiok. 52 m,a jejkrawędziebocznena obwodzie przekryciaznajdująsięna wysokościok. 22,5 m.WłasnościkonstrukcyjnestrukturyVU-TensOpozwalająna projektowanieprzekryciakopułowegoo niewielkiejstrzałce.Konstrukcjaprętowo-cięgnowadachuskładasięz czterechgłównychkoncentrycznychpierścienio odpowiednichformach.Liczbapierścieniodpowiadaliczbiegłównych pórroku.W centralnejczęściznajdujesięotwóro średnicyok. 73 m, którymożebyćokresowozamykanysoczewkowąstrukturąpneumatyczną.Obecnośćtegootworuprzywołujenamyśloculusa w rzymskimPanteonie(ok. 119-128n.e.),któregośrednica(ok. 42,5 m)jestrekordowądlaprzekryćkopułowychczasówstarożytnych. PokryciedachoweHali 2010przewidzianow postacielementów membranowychrozpiętychna odpowiednichłukachpośrednichze stalowymiściągami.Mobilnelekkiekurtynywykonanew podobnej technologiiprzewidzianojakoboczneścianyosłonowe,dziękiczemu mogłabyonafunkcjonowaćjakoobiektczęściowootwartylubcałkowiciezamknięty.Wysokośćusytuowanegoobokbudynku,nazwanegoBramąExpo,odpowiadadługościpromieniaHali 201019. Formękoncentrycznąz centralnieumieszczonąniewielkąkopułą geodezyjnąprzyjętojakogłównąideękoncepcjiarchitektonicznej V 4/2012 V 69 D.Geiger,schematybudowycabledome J.Rębielak,schematjednejztrzechpodstawowychodmiankrystalicznej strukturyprętowo-cięgnowej J.Rębielak,strukturatypuVU-TensOjakokonstrukcjaprzekryciaHali2010,Wrocław,2003 projektukonkursowegona Aquaparkw Koszalinie.Niestetyz niejasnychwzględówformalnychprojekttenniezostałdopuszczony do ostatniejfazykonkursu.Ukształtowanieterenuplanowanejinwestycjiu podnóżaGóryChełmskiejmiędzyulicami:Gdańską,Rolną i Kopernikaw Koszalinieskłoniłodo przyjęciatakiejogólnejkoncepcjitegokompleksuzawierającegow swymprogramiefunkcjonalno-użytkowymopróczbasenów takżem.in.DaySpa,pomieszczenia kortówtenisowych,salerekreacyjnei konferencyjne,pokojehoteloweorazprzestrzeniewymaganegozapleczatechnicznego.Centralnieumieszczona i odpowiednioprzeszklona kopułageodezyjna pełnifunkcjęwejściagłównego,ułatwiającsprawnydostępużytkownikówdo poszczególnychczęścitegozwartegokompleksu. Konstrukcjęnośnądachutworząprzenikającesięłukiwykonane z drewna klejonegoi przekrywającepodstawowąpowierzchnię Aquaparkuoraztowarzyszącychmupomieszczeń.Przestrzenie poszczególnychczęścioddzielonood siebiestosownymiprzegrodami,którychukładmożesięzmieniaćw trakcieeksploatacjiobiektui umożliwiaćmodyfikacjęjegownętrzazależnieod potrzebużytkowych. Podobnyzakrestematycznybyłprzedmiotemzwycięskiejkoncepcjiprogramowo-przestrzennejprzebudowyistniejącychobecnieotwartychbasenówmiejskichprzy ul.Moniuszki 49w Białogardzie.Opracowanotrzypodstawowewariantykoncepcjiprogramowejdlatego,mniejszegoniżpoprzednie,zadaniainwestycyjnego. W każdymz tychwariantówzastosowanow haligłównejsportowy basenpływacki(25 mx 50m)zawierający 10torówzawodniczych, brodzikdladzieci,basendo naukipływaniaorazinneelementy. Przekryciehalibasenowejmaodpowiednioukształtowanąpostać walcao rozpiętości 36 m.Na powierzchniwalcowejzaprojektowana jesttrójkątna siatkaprętówwykonanychz drewna klejonego, a samaformawalca„ukośnie”przekrywaprzestrzeńgłównązespołubasenów.W częścibezpośrednioprzyległejdo halibasenowejznalazłsiębasendo skokówz wieży.Otaczagounikatowa V 70 V 4/2012 przestrzeńwydzielona przezstrukturęzaprojektowanąna podstawiehiperboloidyjednopowłokowej.Tużobokznajdujesięobiekt w postaciwydłużonegoośmiościanuzawierającyklatkęschodowąz platformamidostępudo zjeżdżalni.Halabasenowamatakże podziemnepołączeniez przestrzeniąosobnegopawilonu,tzw. „Oranżerii”,usytuowanejw południowo-wschodniejczęścidziałki w miejscuobecnieistniejącychosadników.W prezentowanymwarianciebudynek„Oranżerii”mapostaćwielościanuokreślanego mianemantypryzmyo podstawiekwadratowej. Podsumowującprzeglądwybranychprzykładówmożna stwierdzić, żedziękistosowaniupodstawowychzasadmechanikibudowliobowiązującychw całymświecieprzyrodymożna kształtowaćefektywneekonomiczniesystemykonstrukcyjneumożliwiającenadanie J.Rębielak,wsp.:K.Babral,A.Zajko,M.Michalski,A.Malarska,M.Rębielak orazP.Wiśniewski,Aquapark,Koszalin,2009(projektkonkursowy) J.Rębielak,Z.Bać,wsp.:A.Drozd,P.Buck,T.Kurpiel, M.Pająkiewicz.Zespół CentralnyExpo 2010,Wrocław, 2003(projektantHali 2010:J.Rębielak,projektantBramy 2010:Z.Bać) projektowanymobiektominteresującychi unikalnychformarchitektonicznych.Procesprojektowaniatychniekiedyzłożonychpostaci konstrukcjinośnychjestułatwionydziękiużyciuodpowiednichmodelinumerycznychniezmiernieprzydatnychw całymprocesieinwestycyjnym.Wizualizacjeniemalwszystkichzaprezentowanych w tejpracybudynkówzostaływykonanena podstawiemodeli numerycznychzdefiniowanychw językuprogramowaniaFormian. Przypisy: 1 patrz:S.Z.Makowski,Analysis,designandconstructionofdouble-layergrids, AppliedSciencePublishers,London 1981,także:W.Gutkowski(red.),Obliczenia statyczneprzekryćstrukturalnych,Arkady,Warszawa 1981,oraz M.Burt,Infinite polyhedralattice(I.P.L)spacetrusses:morphology,analysisandapplication,InternationalJournalofSpaceStructures,Vol. 11,No. 1&2, 1996,s. 115-126. 2 patrz:H.Nooshin,P.Disney, C.Yamamoto,Formian,Multi-SciencePublishing Co.Ltd., 1993,także:H.Nooshin,P.Disney,FormexConfigurationProcessing I, InternationalJournalofSpaceStructures,Vol. 15,No 1, 2000,s.1-52. 3 patrz:T.Kolendowicz,Mechanikabudowlidlaarchitektów,Arkady,Warszawa, 1993;także:E. Allen,W.Zalewski,w:Formandforces.Designingefficient, expressivestructures,JohnWiley&Sons,Inc.Hoboken 2010. 4 patrz:O.Frei,NatürlicheKonstruktionen,DeutscheVerlags-Anstalt,Stuttgart 1982. 5 Fullersięgnąłpo koncepcjęgrafówEuleraz 1736,któradałapoczątekwspółczesnejtopologii.RównanieEulerajestbowiemszczególnymprzypadkiemtzw. formułySchlaefliegodlakażdejliczbykomórek.Czylidlastrukturwielokomórkowychliczba 2w równaniuEulerazostajezastąpionąprzez C–liczbękomórek. Stąd V +F =E + C,nawetgdy Cjestwiększeod 26.Takamatematyka,oparta na liczbachcałkowitych,jestłatwaw modelowaniualbodemonstrowaniu.Por.K. Januszkiewicz,O projektowaniuarchitekturyw dobienarzędzicyfrowych.Stanaktualnyi perspektywyrozwoju,Oficyna WydawniczaPWr.,Wrocław 2010,s. 120, patrztakże:B.R.Fuller,Synergetics:Explorationsinthegeometryinthinking, McMillan,NewYork 1975. 6 Jednaznajlżejszychzbudowanychdo tejporystruktur,osłaniająca 320m2 powierzchniużytkowej,toCilimatronicw St.Louis,pierwszyna świecieogródbotanicznyo pełnejkontroliklimatu.UhonorowanyzostałprzezReynoldsMemorial Awardnagrodą 25tys.USDza pionierskiewykorzystaniealuminiumw architek- J.Rębielak,wsp.:P.Buck, J.Rębielak.Aquapark,Białogard, 2006 turze.Przekrycietegoobiektustanowisferao średnicy 21 mzaprojektowana przez Fullera.Wykonanojąz rurowychprętówaluminiowychi paneliz pleksiglasu (Persplex).Innowacjąbyłoumieszczenietychpanelimiędzyprętamistrukturalnymi,takżepowierzchniasferyzachowujeciągłość.Od czasupatentusferyw1947 Fullerlicencjonowałponad dwieścietakichstruktur.Wrazz firmamiinżynierskimi zbudowałponad 50strukturgeodezyjnych,przekryćstadionów,pawilonów ekspozycyjnych,oranżeriii innychobiektówwieloprzestrzennych.Rozwijałutopijnewizjeo powszechnymzastosowaniustrukturgeodezyjnychw różnychwarunkachklimatycznychi środowiskowych.Więcejo osiągnięciachBuckminstera Fulleraw kontekścietechnologiicyfrowychpatrz:K.Januszkiewicz,op.cit., s. 115-124, 167-193. 7 por.K.Januszkiewicz,op.cit.,s. 119-124. 8 por.T.Tarnai,Geodesicdomes:naturalandman-made,InternationalJournalof SpaceStructures,Vol. 11,No. 1&2, 1996,s. 13-25. 9 por.J.Rębielak,Wyznaczanieregularnychsiateksferycznychmetoddeformacji siatkiwtórnej,Inżynieriai Budownictwo,Nr 8, 1983,s. 348-352. 10 por.T.Penkala,Zaryskrystalografii,PWN,Warszawa 1977. 11 por.T.Tarnai,op.cit.,s. 13-25,patrztakże:T.Penkala,Zaryskrystalografii,PWN, Warszawa 1977. 12 patrz:J.D.Clinton,Advancedstructuralgeometrystudies,Part 1,Polyhedral subdivisionconceptsforstructuralapplications,NASAContractorReport,NASA CR-1734,Washington D.C. 1971. 13 por.J.Rębielak,Theconceptofthetriangular-hexagonaltension-strutstructure,IASS-APCSInternationalSymposiumonNewPerspectivesforShellandSpatialStructures,Taipei,Taiwan, 2003,ExtendedAbstracts, 184-185,patrztakże: J.Rębielak,Shapingofspacestructures.ExamplesofapplicationsofFormian indesignoftension-strutsystems,Oficyna WydawniczaPWr.,Wrocław 2005. 14 patrz: D.H.Geiger,Roofstructure,UnitedStatesPatent,PatentNo 4,736,553, 12April 1988. 15 patrz:H.Berger,Lightstructures–structuresoflight:theartandengineering oftensilearchitecture,BirkhäuserVerlag,Basel1996,także:J.Schlaich, R.Bergermann,Leichtweit.LightStructures,Prestel,München-Berlin-London-NewYork 2005. 16 patrz:T.Robbin,Engineeringa newarchitecture,YaleUniversityPress 1996. 17 por.J.Rębielak,Cabledomeshapedonthegroundofthe{T–T}double-layer spacestructure.ExampleofFormian’sapplicationincreationofnumericalmodel ofa structure,w:LightweightStructuresinCivilEngineering,LocalSeminarofIASS PolishChapter,Warszawa 1999,s. 86-87. 18 por.J.Rębielak, Shapingofspacestructures,op.cit.s.75. 19 patrz:Z.Bać,J.Rębielak,Autorskiestudiumrozwiązaniazespołucentralnego dlaExpo 2010,Architectus,nr 1(15), 2004,s. 83-89. V 4/2012 V 71