REZONANS PRĄDOWY

Ćwiczenie E-22
REZONANS PRĄDOWY
I.
II.
III.
Cel ćwiczenia: zapoznanie z problematyką rezonansu prądowego, wyznaczenie charakterystyk prądowych obwodu, częstości rezonansowej, współczynnika dobroci i tłumienia, pasma przenoszenia obwodu, wyznaczenie
oporności zespolonej całego obwodu w stanie rezonansu.
Przyrządy:
płytka montaŜowa obwodu RLC, generator mocy, amperomierze.
Literatura:
1. E. Purcell – „ Elektryczność i magnetyzm”,
2. H. Szydłowski – „Pracownia fizyczna”,
3. S. Malzacher – „ Laboratorium elektroniki stosowanej”,
4. T. Masewicz, S. Paul – „Podstawy Elektrotechniki”.
IV. Wprowadzenie
W obwodach prądu przemiennego zawierających pojemność i indukcyjność, reaktancja
indukcyjna XL jest proporcjonalna do częstości, a reaktancja pojemnościowa XC jest odwrotnie proporcjonalna do częstości, Dla pewnej częstości, zwanej częstością rezonansową, wartości bezwzględne obu reaktancji stają się równe co powoduje , Ŝe reaktancje te wzajemnie się
znoszą. Obwód zachowuje się jakby zawierał tylko rezystancję. Zjawisko to nazywamy rezonansem, a obwód w którym moŜe ono powstać zwany jest obwodem rezonansowym.
W ćwiczeniu tym badamy obwód rezonansowy równoległy , w którym do źródła napięcia
przemiennego dołączone są indukcyjność L, pojemność C i oporność R połączone równolegle.
Dla rozwaŜań teoretycznych przyjmiemy następujące oznaczenia:
R – oporność rzeczywista (rezystancja)
X – oporność pozorna, inaczej część urojona impedancji (reaktancja)
Z – oporność zespolona (impedancja)
G – przewodność rzeczywista (konduktancja)
B – przewodność pozorna, część urojona admitancji (susceptancja)
Y - przewodność zespolona
Z - moduł impedancji, zawada
Z = R+iX
Y = G+iB
i2 = -1
Terminy podane w nawiasach są stosowane w literaturze technicznej i podręcznikach
elektrotechniki.
IV.1 Równoległy obwód RLC o idealnych elementach.
W równoległym obwodzie RLC wektorowa suma natęŜeń prądu w poszczególnych elementach równa się natęŜeniu prądu płynącego ze źródła siły elektromotorycznej:
→
→
→
→
I = I R + I L + IC
ZałóŜmy, Ŝe napięcie zmienne U moŜna przedstawić w postaci:
1
I PRACOWNIA FIZYCZNA
Ćwiczenie E-22
U = Um sinωt
I
~
U
R
L
C
IR
IL
IC
Rys.1 Równoległy obwód RLC z zewnętrznym źródłem napięcia zmiennego.
Wówczas natęŜenie prądu płynącego przez opornik R wyniesie
IR =
Um
sinωt
R
NatęŜenie prądu w cewce L jest opóźnione w stosunku do napięcia U o kąt przesunięcia faπ
zowego równy , zatem
2
U
π
U

IL = m sin  ωt −  = − m cosωt
ωL 
2
ùL
π
NatęŜenie prądu w kondensatorze wyprzedza w fazie o napięcie U
2
π
IC = Um ωC sin(ωt+ ) = UmωC cosωt
2
Sumując natęŜenia prądu IR, IL i IC otrzymujemy
I= IR+IL+IC = Um [
1
1
sin ωt − (
− ωC) cosωt]
R
ωL
(1)
Wprowadzimy teraz następujące oznaczenia:
1
G=
- przewodność rzeczywista
R
1
- przewodność pozorna indukcyjna
BL =
ωL
BC = ωC - przewodność pozorna pojemnościowa
Jednostką powyŜszych wielkości jest simens (S).
Po wprowadzeniu przewodności równanie (1) przybiera postać
I = Um[G sinωt + (BC – BL) cosωt]
Równanie (2) mnoŜymy stronami przez
Y=
G 2 + ( BC − BL ) 2
i wprowadzając kąt ϕ, określony wzorami
2
I PRACOWNIA FIZYCZNA
(2)
Ćwiczenie E-22
BC − BL
sinϕ =
cosϕ =
tgϕ =
(3a)
G 2 + ( BC − BL ) 2
G
(3b)
G + ( BC − BL ) 2
2
BC − BL
π
π
, (- ≤ ϕ ≤ )
G
2
2
(3c)
otrzymujemy po elementarnym przekształceniu
I = Y Um sin(ωt+ϕ)
(4)
(5)
Wielkość
Y = G 2 + ( BC − BL ) 2
nazywamy modułem przewodności zespolonej obwodu równoległego RLC.
Moduł przewodności zespolonej obwodu jest równy odwrotności modułu oporności zespolonej tego obwodu:
1
Y=
Z
Jak wynika ze wzorów (3) i (4) kąt ϕ jest kątem przesunięcia fazowego miedzy napięciem (siłą elektromotoryczną), a natęŜeniem prądu płynącego w obwodzie, wartość zaś tego
kąta zaleŜy od parametrów R, L, C, oraz częstości.
IC
ICm
Im
ICm - ILm
ILm
ϕ
IRm
U, IR
IL
Rys. 2 Diagram wektorowy (wykres wskazowy) dla obwodu równoległego RLC
PowyŜsze rozwaŜania moŜna zilustrować graficznie posługując się tzw. diagramem
wektorowym (wykresem wskazowym), przedstawionym na rys.2.
IRm = Um G
ILm = Um BL
ICm = Um BC
Im = Um Y
(6a)
(6b)
(6c)
(6d)
W oparciu o diagram przedstawiony na rys.2 moŜna otrzymać między innymi zaleŜności (3) i
(5).
3
I PRACOWNIA FIZYCZNA
Ćwiczenie E-22
Zasady konstrukcji diagramów wektorowych są podane w pozycji (4) literatury.
Jak wynika z przytoczonych zaleŜności moŜna wyodrębnić trzy zasadnicze przypadki:
π
1.
BL > BC, - ≤ ϕ < 0
2
π
2.
BC >BL, 0 < ϕ ≤
2
3.
BL = BC, ϕ = 0
Przypadek 3 jest najbardziej interesujący z fizycznego punku widzenia, gdyŜ spełnienie warunku BL = BC jest równoznaczne ze spełnieniem warunku rezonansu prądowego.
IV.2 Rezonans prądowy
Warunkiem rezonansu w równoległym obwodzie RLC jest zerowa wartość całkowitej
przewodności pozornej tego obwodu:
B = BC – BL = 0
(7)
Warunek (7) moŜe być spełniony tylko dla ściśle określonej częstości, zaleŜnej od parametrów L i C obwodu:
BCr = BLr
Z ostatniej równości wynika
1
(8)
fr =
2π LC
Diagram wektorowy dla równoległego obwodu RLC w stanie rezonansu jest przedstawiony
na rys.3
IC
ICmr
U, IR
Imr = IRmr
ILmr
IL
Rys.3 Diagram wektorowy dla równoległego obwodu RLC w stanie rezonansu.
Diagram ilustruje cechy charakterystyczne dla stanu rezonansu, a mianowicie:
1. NatęŜenia prądów w gałęziach L i C są równe i przesunięte w fazie o π, a więc prądy
te płyną w przeciwnych kierunkach
2. Amplituda całkowitego natęŜenia prądu w obwodzie jest równa amplitudzie natęŜenia prądu płynącego przez gałąź R.:
U
(9)
Imr = IRmr = m = Um G
R
3. Kąt przesunięcia fazowego miedzy natęŜeniem prądu, a napięciem wynosi 0. Ze
względu na to, Ŝe w stanie rezonansu występuje równowaŜenie się natęŜeń prądów w
4
I PRACOWNIA FIZYCZNA
Ćwiczenie E-22
cewce i kondensatorze, rezonans w tym obwodzi nazywamy rezonansem prądowym
równoległym.
Amplitudy natęŜeń prądów wynoszą odpowiednio:
ILmr = Um BLr
a poniewaŜ
Imr = Um G
i
ICmr = Um BCr
to
ILmr = Imr
ICmr = Imr
BLr
G
BCr
G
(10a)
(10b)
ILmr = ICmr
(10c)
NatęŜenia prądów w cewce i kondensatorze mogą być większe w rezonansie od prądu
pobieranego ze źródła – mówimy wówczas o przetęŜeniu.
Wielkość przetęŜenia moŜemy powiązać tzw. współczynnikiem dobroci obwodu. Współczynnik dobroci obwodu definiujemy jako bezwymiarowy stosunek Q:
Q = ωo
energia zmagazynowana w obwodzie
średnia moc rozproszona
(11)
gdzie ωo = 2πfr
Tak zdefiniowana dobroć obwodu odnosi się zatem do stanu rezonansu i nazywana bywa
dobrocią w rezonansie(Qr).
Dobroć obwodu wskazuje, o czym wspomniano określając przetęŜenie, ile razy prąd w
gałęzi z indukcyjnością lub w gałęzi z pojemnością jest większy od prądu dopływającego do
obwodu rezonansowego
Całkowita energia zmagazynowana w obwodzie RLC w stanie rezonansu jest równa:
W=
1
1
2
2
L I Lmr
= C U rm
2
2
(12)
Średnia moc rozproszona dla obwodu równoległego RLC wyraŜa się wzorem:
__
P=
1
1
2
2
RI Rm
= RI mr
2
2
(13)
Stąd otrzymujemy teoretyczną wartość dobroci obwodu w rezonansie:
Qr = R
C
L
(14)
Odwrotność współczynnika dobroci obwodu nazywamy współczynnikiem tłumienia obwodu
i oznaczamy przez θr
1 1 L
=
(15)
θr =
Qr R C
PoniewaŜ
B B
C
Q2 = Lr Cr = R 2
G G
L
5
I PRACOWNIA FIZYCZNA
Ćwiczenie E-22
moŜemy wzory (10) przepisać w postaci:
ILmr = Imr Qr = Imr 1
(16a)
θr
ICmr = Imr Qr = Imr 1
(16b)
θr
Ze wzorów (4), (5) i (6) wynika, Ŝe natęŜenie prądu w obwodzie jest funkcją częstości napięcia zasilającego obwód i osiąga ono wartość minimalną dla częstości rezonansowej.
Wykres zaleŜności I = I(f) nazywamy krzywą rezonansową.
PoniewaŜ amperomierz mierzy wartość skuteczną natęŜenia prądu, która jest związana z
amplitudą prądu relacją 2I sk = I m , to ściśle biorąc wykres krzywej rezonansowej jest zaleŜnością Isk = Isk(f) lub Im = Im(f). Często pomijamy dolne indeksy „sk” lub „m”, mając świadomość co reprezentuje symbol I w zaleŜności I = I(f) .
Przewodność zespolona obwodu Y jest równieŜ funkcją częstości i osiąga minimum równe
wartości przewodności rzeczywistej G obwodu przy częstości rezonansowej fr.
Kształt krzywej Z(f) jest odwróceniem krzywej Y(f). Na rys. 4 przedstawiono krzywe Z(f) dla
róŜnych wartości θ.
Z
BL
BC
Y
θ1>θ2
BC
Y
θ2
BL
G
fr
f
fr
Rys.4 Kształt krzywych modułu oporności
zespolonej Z w funkcji częstości
dla róŜnych wartości θ.
Rys.5 ZaleŜność przewodności indukcyjnej BL, pojemnościowej BC, rzeczywistej G i modułu przewodności
zespolonej obwodu Y.
Im
2 I mr
Imr
f1
fr
f
f2
f
Rys.6 Krzywa rezonansu prądowego
6
I PRACOWNIA FIZYCZNA
Ćwiczenie E-22
Wprowadźmy teraz wielkość, nazywaną szerokością pasma przenoszenia obwodu, a definiowaną jako zakres częstości f1÷f2, na krańcach którego natęŜenie prądu w obwodzie osiąga
wartość 2 Imr.
Szerokość pasma przenoszenia obwodu moŜna powiązać z wartością współczynnika dobroci
Q lub współczynnika tłumienia θ.
Przesunięcie fazowe prądu względem napięcia wyraŜa się wzorem:
1
− ωC
ω
L
tgϕ =
1
R
L
mnoŜymy licznik i mianownik przez
:
C
(17)
1 L
L
1
− ωC
C = ω
tgϕ = ωL C
1 L
R C
Oznaczając
1
− ω LC
LC
1 L
R C
1
przez ω0 i korzystając ze wzoru (15) otrzymamy:
LC
tgϕ = -
1
θr
 ω ω0 
 ω ω0 
 = - θ r 


−
−
 ω0 ω 
 ω0 ω 
(18)
Amplituda natęŜenia prądu pobieranego ze źródła wyraŜa się wzorem:
 B − BC 
Im = Um G 1 +  L

 G 
2
(19)
W warunkach rezonansu amplituda prądu osiąga wartość
Imr = Um G =
Um
R
(20)
Podstawiając do wzoru (19) wyraŜenia na BL, BC i G i korzystając ze wzoru (20) otrzymamy:
Im(ω) = Imr
1  ω ω0 

1 + 2 
−
θ r  ω 0 ω 
2
Rozwiązując równanie (21) względem ω dla wartości Im =
(21)
2 Imr otrzymamy:
ω1, 2 ω0
−
= ±θr.
ω0 ω1, 2
(22)
gdzie ω1 , ω2 są częstościami kołowymi dla których zachodzi:
Im
= 2
I mr
7
I PRACOWNIA FIZYCZNA
(23)
Ćwiczenie E-22
stąd
ω2 ω1
∆ω
−
=
= θr.
ω0 ω 0
ω0
(24)
f2 – f1 = ∆f = fr θr
(25)
lub
Zgodnie z ogólnie przyjętą terminologią moŜemy nazwać f1 dolną częstością graniczną, a
f2 górną częstością graniczną. Obwód rezonansowy o paśmie przenoszenia ∆f = f2 – f1 moŜe
zatem spełniać funkcję filtru częstości. Stosunek określony wzorem (23) jest umownie przyjętą wartością dla określenia częstości granicznej w fizyce, elektrotechnice i elektronice, jeŜeli
do opisu stosunku wartości wielkości fizycznych stosowana jest skala logarytmiczna wyraŜona w decybelach to tłumienie o wartości równej 2 odpowiada wartości -3 dB. Dobroć obwodu jest wielkością fizyczną często uŜywaną w praktyce, gdyŜ pozwala określenie zarówno
pasma przenoszenia danego układu elektrycznego jak i wielkości energii rozproszonej w tym
układzie, a w układach typu rezonansowego umoŜliwia znalezienie wartości przetęŜenia (obwód równoległy) i przepięć (rezonans napięciowy w obwodzie szeregowym). Szeregowe obwody rezonansowe, sterowane np. w odbiornikach radiowych czy telewizyjnych z reguły charakteryzują się bardzo wysoką wartością współczynnika dobroci.
IV.3 Obwód rzeczywisty
Dokładne wyznaczenie teoretyczne wartości częstości rezonansowej rzeczywistego układu doświadczalnego, złoŜonego z generatora RC, obwodu rezonansowego i przyrządów pomiarowych wymaga uwzględnienia parametrów RLC poszczególnych przyrządów.
A
1
a)
A 2
~
C
129nF
± 10%
A 3
L
190mH
± 10%
RL = 16Ω
10,1kΩ
±5%
R
L
b)
C
Rys.7 Schemat układu pomiarowego do badania zjawisk rezonansu prądowego (a) i schemat
połączeń wewnętrznych płytki montaŜowej obwodu RLC (b).
Spróbujemy przewidzieć, jaka będzie wartość częstości rezonansowej rzeczywistej układu RLC, przedstawionego na rys.7, a składającego się z generatora mocy , amperomierzy i
obwodu RLC.
8
I PRACOWNIA FIZYCZNA
Ćwiczenie E-22
JeŜeli w pierwszym przybliŜeniu zaniedbamy wpływ pojemności i indukcyjności wyjściowych (wewnętrznych) generatora, oraz mierników to równowaŜny schemat elektryczny
układu pomiarowego przyjmie taką postać, jak na rys.8.
Rg
~ ε=ε
o
R1
R2
R3
sin(ω t)
R
C
L
Rys. 8 Uproszczony schemat zastępczy układu pomiarowego.
Rg – oporność wyjściowa (wewnętrzna ) generatora;
R1, R2 – oporność wewnętrzna mierników 1,2;
R3 = R*3 + RL, gdzie R*3 jest opornością wewnętrzną miernika 3;
RL – oporność rzeczywista indukcyjności L.
Częstość drgań własnych ( rezonansowych) takiego układu jest opisana wzorem:
f=
1
2π LC
L
C
L
R22 −
C
R 23 −
(26)
V. Pomiary
UWAGA! Maksymalne napięcie zasilania obwodu wynosi 7,75V.
1. Zbadać zaleŜność I, IC i IL od częstości przy stałych, w miarę moŜliwości, zakresach
czułości mierników – dla L = 0,19H, C = 129 nF, R = 10.1kΩ zalecany zakres czułości
0,015A przy napięciu wyjściowym generatora (nieobciąŜonego) 7,5V, pracującego na
zakresie 7,75V/6Ω i (200÷2000)Hz.
2. Powtórzyć pomiary dla obwodów o parametrach:
L = 0,19H, R = 10,1kΩ, C1 = 194nF oraz
L = 0,19H, R = 10,1kΩ, C2 = 64,5nF.
VI. Opracowanie wyników.
1. Przedstawić zaleŜności I(f), IL(f) i IC(f) na wspólnym dla kaŜdej pojemności C, C1, C2,
wykresie.
2. Wyznaczyć częstości rezonansowe, współczynnik dobroci i tłumienia oraz pasma przenoszenia obwodów.
Oszacować błędy i porównać otrzymane wyniki z przewidywanymi na podstawie wzorów teoretycznych.
9
I PRACOWNIA FIZYCZNA
Ćwiczenie E-22
Określić wpływ oporności wewnętrznych przyrządów na wartość dobroci i współczynnika tłumienia obwodu.
3. Wyznaczyć oporności zespolone całego obwodu w stanie rezonansu.
4. Ocenić, czy schemat zastępczy , przedstawiony na rys.8 jest dobrym (tzn. dopuszczalnym
w granicach błędów doświadczalnych i dokładności z jaką znamy wartości poszczególnych elementów) przybliŜeniem pełnego schematu zastępczego.
5. Przeprowadzić dyskusję wyników.
10
I PRACOWNIA FIZYCZNA