FO W2 Prawa zachowania
Transkrypt
FO W2 Prawa zachowania
Fizyka Ogólna: Wyk»ad 2 1 Prawa Zachowania Zasady zachowania odgrywaj w fizyce szczególn rol“. Oprócz zasad zachowania poznanych w szkole: • zasady zachowania p“du • zasady zachowania momentu p“du • zasady zachowania energii istnieje wiele innych zasad zachowania jak np. zasada zachowania »adunku zasady zachowania masy zasady zachowania liczby barionowej (tj. liczby protonów, neutronów i innych tzw. czstek ci“ókich) oraz bardziej egzotyczne zasady zachowania dziwnoÑci zasady zachowania parzystoÑci i inne Zasady te s ogólniejsze nió np. prawa Newtona. Wynikaj z symetrii otaczajcego nas Ñwiata. (twierdzenie Noether 1918 r) Fizyka Ogólna: Wyk»ad 2 2 Zasada zachowania p“du II zasada dynamiki Newtona dla ruchu post“powego zawiera zasad“ zachowania p“du: r dp r =F dt Wniosek: r F =0 ⇔ r p = const. Komentarz: Zasada dynamiki Newtona jest równaniem wektorowym. Jest wi“c równowaóna 3 równaniom skalarnym. Std jeÑli w uk»adzie wspó»rz“dnych kartezja½skich Fx ≠ 0 a pozosta»e sk»adowe si»y znikaj to zasada zachowania p“du spe»niona jest w kierunku osi Oy i Oz ale nie w kierunku Ox. Zasada zachowania p““du wynika z jednorodnoÑÑci przestrzeni Fizyka Ogólna: Wyk»ad 2 3 Przyk»ad: Dana jest czstka o masie m i energii mechanicznej E. Czstka ta przekracza granic“ pomi“dzy dwoma oÑrodkami padajc na ni pod ktem ϕ1. Pod jakim ktem opuÑci ona granic“ pomi“dzy oÑrodkami jeÑli wiadomo, óe w oÑrodku, z którego nadlatuje ma energi“ potencjaln Ep1 zaÑ w oÑrodku, do którego przechodzi ma energi“ Ep2 ? Wskazówki: energia mechaniczna jest to suma energii kinetycznej i energii potencjalnej oba oÑrodki s zachowawcze std energia mechaniczna jest zachowana r F = - grad E p E = E p + Ek m v12 = E - E p1 2 m v22 = E - E p2 2 Fizyka Ogólna: Wyk»ad 2 4 Si»a dzia»a tylko wzd»uó kierunku prostopad»ego do granicy oÑrodków (w tym kierunku wyst“puje gradient energii potencjalnej). Std wzd»uó tej granicy spe»niona jest zasada zachowania p“du: m v1 sin ϕ 1 = m v 2 sin ϕ 2 v1 = sin ϕ 2 v 2 sin ϕ 1 Dla porównania prawo Sneliusa dla Ñwiat»a (fotony mają zerową masę !): v1 sin ϕ 1 = v 2 sin ϕ 2 Fizyka Ogólna: Wyk»ad 2 5 Zasada zachowania momentu p“du r dL r =N dt Wyjdziemy z II zasady dynamiki Newtona r dp r r = F |r × dt r r dp r r r× =r×F dt r r r r dr r d dr r d(mv ) dr r× = × m + r × (m ) dt dt dt dt dt r d r r dL = (r × p) = dt dt r r r L≡r×p OtrzymaliÑmy II zasad“ dynamikirNewtona dla ruchu obrotowego: Gdy moment si»y N znika moment pedu jest sta»y. Zasada dynamiki Newtona wyraóa wi“c zasad““ zachowania. Ta ostatnia ma zakres zastosowania o wiele szerszy: obowizuje równieó tam gdzie si»y nie s newtonowskie oraz w mechanice kwantowej. Fizyka Ogólna: Wyk»ad 2 6 Prosty sposób na obliczenie momentu p“du we wspó»rz“dnych kartezja½skich: r L = ( Lx , L y , Lz )= r i r j r k x y z px py pz Zasada zachowania momentu p“du wióe si“ z izotropowoÑci przestrzeni: uk»ad odoizolowany nie zmienia swoich w»asnoуi po obróceniu o dowolny kt. przyk»ad si»a centralna r r r r Definicja si»a jest centralna gdy F _ r czyli gdy F = F ( r ) i r wtedy: r r r r N = r xF ≡ 0 Przyk»ady si» centralnych si»a grawitacyjna si»a elektrostatyczna r L = const. a wi“c F ( r )= - κ r F ( r )= - 2 κ r ; κ ≡ - G m1 m2 ; κ ≡2 F(r) < 0 oznacza si»“ przycigajc q1 q 2 4π ε Fizyka Ogólna: Wyk»ad 2 r r Przyk»ad: moment pędu czstki swobodnej tj. gdy N, F = 0 zgodnie z II zasad dynamiki Newtona. L = m v r sin θ = m v b = const. 7 Fizyka Ogólna: Wyk»ad 2 Praca, moc, energia Definicja Pracy: r r Praca si»y F na drodze dr jest równa r r dW = F ⋅ dr Poniewaó praca na ogó» praca zaleŜy od drogi Γ po jakiej zosta»a wykonana. r r W = ∫ F ⋅ dr Γ Wniosek z definicji pracyr r Gdy si»a F ⊥ dr to dW = 0 . Przyk»ady r r sila doÑrodkowa F = - m ω 2 r nie wykonuje pracy w ruchu po okr“gu r r r dowód: si»a Lorenza F = q ( v xB ) r r r r r r dW = q ( v × B ) ⋅ dr = q( dr × v ) ⋅ B = 0 8 Fizyka Ogólna: Wyk»ad 2 r r Przyk»ad praca si»y spr“óystej F = - k r k jest sta» spr“óystoÑci. r r od punktu A ( r = 0 ) do punktu B ( r ≠ 0 ) B r r r r r W = ∫ F ⋅ dr = - k ∫ r ⋅ dr = - k ∫ r dr B A Γ 0 A Γ 0 k r 02 W =2 Praca jest ujemna: trzeba j wykonaƒ aby ruch si“ odby» Jednostk pracy jest dóul 1J = 1N 1m = 1 kg m2 s2 9 Fizyka Ogólna: Wyk»ad 2 Moc Moc chwilowa dW dt r drr P= F ⋅ dt r r P= F ⋅v P= PodzieliliÑmy infinityzymalnie ma»y przyrost pracy przez czas potrzebny do wykonania infinityzymalnie ma»ego przesuni“cia. Jednostk mocy jest wat 1J kg m2 1W = = 3 1s s Definiuje si“ teó moc Ñredni W 1 t < P >= = W dt ∆t t1 - t 0 t∫ 1 0 10 Fizyka Ogólna: Wyk»ad 2 11 Energia Kinetyczna r r Pomnoóymy obie strony II prawa Newtona przez ds = v dt r dv r r r m ⋅ ds = F ⋅ ds dt Interesuje nas wielkoу po lewej stronie znaku równoÑci: r r dv r dv 1 r r m ⋅ ds = m ⋅ dt = m v ⋅ dv = d ( m v 2 ) dt dt 2 Wielkoу w nawiasie nazywamy energią kinetyczną Std r dp r d E k = ⋅ ds = dW dt Przyrost energii kinetycznej okazuje si“ równy pracy wykonanej na uk»adzie. Jednostka energii kinetycznej jest teó dóul ale bywa uóywana elektronowolt 1 eV = 1,602189 10-19 J Fizyka Ogólna: Wyk»ad 2 12 r r Rozpatrzmy ruch badanego cia»a pomi“dzy punktami A i B toru Γ: ∫ d E k = ∫ F ⋅ dr = W B B A A Γ Wnioski jest to sposób na pomiar pracy bez potrzeby znajomoÑci toru Γ moc chwilowa wiaóe si“ z szybkosci zmian energii kinetycznej r dW r r dv r 1 d r r d Ek = F ⋅v = m v = m (v ⋅ v ) = dt dt 2 dt dt Fizyka Ogólna: Wyk»ad 2 r r rr Na ogó» si»a F = F ( r ,v , t) . 13 Energia potencjalna Cz“sto mamy do czynienia z si» niezaleón jawnie od czasu r r rr F = F ( r ,v ) przy czym zarówno po»oóenia jak i pr“dkoÑci s funkcjami czasu i s poszukiwane. Wtedy: r r r r zawodzi proste ca»kowanie po czasie funkcji F = F ( r (t) ,v (t) ) : jeÑli chcemy znaleïƒ pr“dkoу z równania ruchu Newtona tj. z r r rr r r to nawet jeÑli funkcja F = F ( r ,v ) = F ( r (t) ) tylko to i tak nie moóemy wykonaƒ r 1 r r calkowania bez jawnej postaci r (t) . v (t) = ∫ F dt m Szukamy więc takiego sposobu rozwiązania zagadnienia ruchu aby ca»kowaƒ po dr a nie po dt. Fizyka Ogólna: Wyk»ad 2 14 Istnieje obszerna klasa si»: si»»y zachowawcze dla których nie jest potrzebna znajomoу kszta»tu toru aby móc wyznaczyƒ prac“. r Definicja: F jest si» zachowawcz jeóeli rrr rr F(r ,v ,t) = F(r ) tak, óe r r dW = F ⋅ dr = - d E p r gdzie Ep jest jednoznaczną funkcją skalarn promienia wodzącego r , która jest ciąg»a wraz z pochodnymi i niezaleóna od czasu. Ep nazywamy potencja»em si»y lub energi potencjaln WaŜny związek: r F = − grad E p ( x, y, z ) ∂f ∂f ∂f gdzie gradient funkcji f(x,y,z) jest wektorem o składowych , , (w układzie kartezjańskim) ∂x ∂y ∂z Fizyka Ogólna: Wyk»ad 2 15 Konsekwencje definicji energii potencjalnej: Niech Ep istnieje. Wtedy B r r W = ∫ F ⋅ dr = - ∫ d E p = - ( E p - E p ) = E p - E p B B A Γ A A B A Praca si»y zachowawczej pomi“dzy dwoma punktami A i B nie zaleóy od wyboru drogi pomiedzy tymi punktami. cyrkulacja si»»y zachowawczej po drodze zamkniętej Γ znika r r ∫ F ⋅ dr = 0 Γ to wyraóenie moóe s»uóyƒ jako definicja si»y zachowawczej w analizie wektorowej dowodzi si““, óe znikanie cyrkulacji danego wektora jest równoznaczne r z istnieniem związanej z nim funkcji Ep( r ). Energia potencjalna okreÑlona jest z dok»adnoÑci do pewnej sta»ej addytywnej, która zaleóy od wyboru punktu odniesienia. Fizyka Ogólna: Wyk»ad 2 16 Zasada zachowania energii Dla si»» zachowawczych ( ) d Ek + dE p = 0 Ta sama zasada zachowania w postaci ca»kowej: r r W = ∫ F ⋅ dr = E k - E k = E p - E p B B A A B A Porzdkujc otrzymuje si“ ( E k + E p )B = ( E k + E p ) A Wniosek Energia mechaniczna Ek + Ep = E pozostaje sta»a podczas ruchu pod wp»ywem si» zachowawczych. Zasada zachowania dla si»» niezachowawczych r r r Na ogó» si»y niezachowawcze F = F ( v ) i s przeciwnie skierowane do kierunku pr“dkosci. r r = γ v Fo r Przyk»ad si»a tarcia lepkiego r r r r r dr dW = F o ⋅ dr = - γ v ⋅ dr = - γv ⋅ dt = - γ v 2 dt dt dW P= = - γ v2 dt Fizyka Ogólna: Wyk»ad 2 Gdy na punkt materialny dzia»ają jednoczeÑnie si»y zachowawcze i niezachowawcze: r r r r r r r dW = ( F z + F nz ) ⋅ dr = F z ⋅ dr + F nz ⋅ dr = - d E p + dW nz Zawsze: dlatego r r r dW = F ⋅ dr = dE k dla dowolnej si»y F dE k + dE p = dE = dW nz Zasada zachowania energii: Zmiana energii mechanicznej jest równa pracy si»» niezachowawczych. Przyk»ad Wyóej wymieniona si»a oporu jest si»ą niezachowawcz stąd dW nz = - γ v 2 dt < 0 17