11. Zasada włączania - wyłączania. Niech X będzie dowolnym

11. Zasada włączania - wyłączania.
Niech X będzie dowolnym zbiorem niepustym, niech {A1 , . . . , At } będzie rodziną
podzbiorów zbioru X i niech T = {1, . . . , t}.
Określmy funkcję Γ: X → P (T ) wzorem: Γ(x) = {i ∈ T : x ∈ Ai }
Przyjmijmy dla każdego podzbioru S ∈ P (T ) następujące oznaczenia:
AS =
\
oraz A(S) = {x ∈ X: Γ(x) = S}
Ai
i∈S
Lemat 11.1
Prawdziwe są następujące zdania:
1◦
2◦
x ∈ AS ⇔ S ⊆ Γ(x)
3◦
S1 6= S2 ⇒ A(S1 ) ∩ A(S2 ) = Ø
X
AS =
A(R)
R∈[S,→)
Dowód: 1◦ ( ⇒ )
x ∈ AS =
\
^
Ai ⇒
i∈S
x ∈ Ai ⇒ S ⊆ Γ(x) = {i ∈ T : x ∈ Ai }
i∈S
( ⇐ ) Niech S ⊆ Γ(x) = {i ∈ T : x ∈ Ai }. Wtedy
^
x ∈ Ai ⇒ x ∈
\
Ai = AS
i∈S
i∈S
2◦
Niech S1 , S2 ⊆ T, S1 6= S2 . Załóżmy, że A(S1 ) ∩ A(S2 ) 6= Ø, więc
_
z ∈ A(S1 ) ∩ A(S2 ) ⇒ z ∈ A(S1 ) ∧ z ∈ A(S2 ) ⇒
z∈X
⇒ z ∈ {x ∈ X: Γ(x) = S1 } ∧ z ∈ {x ∈ X: Γ(x) = S2 } ⇒
⇒ Γ(z) = S1 ∧ Γ(z) = S2 ⇒ S1 = S2
i otrzymujemy sprzeczność.
3◦
Zauważmy, że jeśli S ⊆ R, to AR ⊆ AS . Ponadto dla każdego R ∈ [S, →) mamy:
S ⊆ R. A więc
x∈
X
A(R) ⇒
R∈[S,→)
_
x ∈ A(R) ⇒
x ∈ Ai ⇒ x ∈
i∈R
R∈[S,→)
x ∈ AS ⇒
^
_
x ∈ A(R) ⊆
R∈[S,→)
\
Ai ⊆
i∈R
X
\
A i = AS
i∈S
A(R)
R∈[S,→)
Implikacja wynika z następującego faktu. Niech S = {1, . . . , n}. Do przekroju n zbiorów A1 , . . . , An może należeć element x, taki że x ∈ Ai , i ∈ {1, . . . , n} i x ∈ An+1 .
Wtedy Γ(x) = {1, . . . , n + 1} = R, więc x ∈ A(R) i S ∈ [R, →).
Definicja 11.1
Niech X 6= Ø. Funkcję ν: X → (0, ∞) ⊆ R nazywamy funkcją wagową zbioru X.
Jeśli A ⊆ X, to
X
ν(A) =
ν(x)
x∈A
Ponadto ν(Ø) = 0
Twierdzenie 11.1 (twierdzenie Sylwestera)
Niech A1 , . . . , At będą podzbiorami zbioru skończonego X i ν: X → (0, ∞) będzie
funkcją wagową. Wtedy
t
[
ν
!
An =
n=1
t
X
!
n+1
X
(−1)
n=1
\
ν
An
n∈S
S∈Pn (T )
Dowód:
Określmy funkcje F= , F­ : P (T ) → R wzorami: F= (S) = ν(A(S)) oraz

X
F­ (S) =
X
F= (R) =
R∈[S,→)

[
ν(A(R)) = ν 
R∈[S,→)
A(R) = ν(AS )
R∈[S,→)
Przedstatnia równość wynika z faktu, iż sumowanie przebiega po zbiorach parami
rozłącznych (lemat 11.1), ostatnia wprost z lematu 11.1. Ponadto
X
F= (S) =
X
F­ (R)µ(S, R) =
R∈[S,→)
ν(AR )µ(S, R)
R∈[S,→)
Załóżmy, że S = Ø. Zauważmy, że
A(Ø) = {x ∈ X: Γ(x) = Ø} ⇒ ∼
_
x ∈ At ⇒ A(Ø) = X \
F= (Ø) = ν(A(Ø)) = ν X \
Ai
i=1
t∈T
t
[
t
[
t
[
!
Ai = ν(X) − ν
i=1
!
Ai
i=1
Z drugiej strony
F= (Ø) =
X
ν(AR )µ(Ø, R) =
t
X
(−1)n ν(AR ) =
X
n=0 R∈Pn (T )
= ν(AØ ) +
t
X
n=1
X
X
(−1)0 ν(AR ) +
X
(−1)
t
X
(−1)n
n=1
R∈P0 (T )
n
ν(AR )µ(Ø, R) =
n=0 R∈Pn (T )
R∈P (T )
=
t
X
ν(AR ) = ν(X) +
t
X
ν(AR ) =
R∈Pn (T )
!
n
(−1)
n=1
R∈Pn (T )
X
X
ν
R∈Pn (T )
\
An
n∈R
gdyż AØ = X. Porównując stronami obie wartości F= (Ø) i mnożąc je przez −1 otrzymujemy dowodzoną równość.
Twierdzenie 11.2 (zasada włączania - wyłączania)
Niech A1 , . . . , At będą podzbiorami zbioru skończonego X. Wtedy
t
t
[
X
(−1)n+1
An =
n=1
n=1
X
S∈Pn (T )
\
A
n
n∈S
W dowodzie należy skorzystać z twierdzenia Sylwestera z funkcją wagową ν(x) = 1
dla każdego x ∈ X
Copyright
c
Grzegorz Gierlasiński