Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając

Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
sumę oczek równą 6,
iloczyn oczek równy 6,
sumę oczek mniejszą niż 11,
iloczyn oczek będący liczbą parzystą,
liczby oczek których minimum wynosi 1,
liczby oczek których maksimum jest mniejsze od 6,
Rozwiązanie:
Ω zbiór możliwych wyników rzutu dwiema kostkami
W każdym rzucie mamy 6 możliwych wyników, zatem:
|Ω| 6 ∙ 6 36
a) zbiór tych wyników rzutu dwiema kostkami, że suma oczek jest równa 6.
Wypisujemy wszystkie możliwości:
1, 5, 2, 4, 3, 3, 4, 2, 1, 5
Zatem jest 5 możliwości, czyli:
|| 5
Zatem:
||
5
|Ω| 36
b) zbiór tych wyników rzutu dwiema kostkami, że iloczyn oczek jest równa 6.
Wypisujemy wszystkie możliwości:
1, 6, 2, 3, 3, 2, 6, 1
Zatem jest 4 możliwości, czyli:
|| 4
Zatem:
||
4
1
|Ω| 36 9
c) zbiór tych wyników rzutu dwiema kostkami, że suma oczek jest mniejsza niż 11.
Moc zbioru policzymy przez darzenie przeciwne ′.
′ zbiór tych wyników rzutu dwiema kostkami, że suma oczek jest większa bądź
równa 11.
Wypisujemy wszystkie możliwości:
6,6, 6,5, 5,6
Zatem:
|′| 4
Czyli:
|| |Ω| |′| 36 3 33
Zatem:
|| 33 11
|Ω| 36 12
d) zbiór tych wyników rzutu dwiema kostkami, że iloczyn oczek jest liczbą
parzystą.
Iloczyn dwóch liczb jest liczbą parzystą, jeżeli przynajmniej jedna z nich jest liczba
parzystą.
Zatem dopuszczamy takie zdarzenia:
I.
Pierwsza liczba jest parzysta, a druga nieparzysta.
Takich wyników mamy:
3∙39
na tyle sposobów możemy
w pierwszym rzucie wyrzucić
liczbę parzystą (2, 4, 6)
II.
na tyle sposobów możemy
w drugim rzucie wyrzucić
liczbę nieparzystą (1, 3, 5)
Pierwsza liczba jest nieparzysta, a druga parzysta.
Takich wyników mamy:
3∙39
na tyle sposobów możemy
w pierwszym rzucie wyrzucić
liczbę nieparzystą (1, 3, 5)
III.
Obie liczby są parzyste.
Takich wyników mamy:
na tyle sposobów możemy
w drugim rzucie wyrzucić
liczbę parzystą (2, 4, 6)
3∙39
na tyle sposobów możemy
w pierwszym rzucie wyrzucić
liczbę parzystą (2, 4, 6)
na tyle sposobów możemy
w drugim rzucie wyrzucić
liczbę parzystą (2, 4, 6)
Zatem łącznie mamy:
|| 9 9 9 27
Zatem:
|| 27 3
|Ω| 36 4
Można było to zadanie zrobić również przez zdarzenie przeciwne:
′ zbiór tych wyników rzutu dwiema kostkami, że iloczyn oczek nie jest liczbą
parzystą.
Iloczyn dwóch liczb nie jest liczbą parzystą, jeżeli obie liczby są nieparzyste.
Takich sytuacji mamy:
3∙39
na tyle sposobów możemy
w pierwszym rzucie wyrzucić
liczbę nieparzystą (1, 3, 5)
na tyle sposobów możemy
w drugim rzucie wyrzucić
liczbę nieparzystą (1, 3, 5)
Zatem:
|"| 9
Czyli:
|| |Ω| |′| 36 9 27
e) zbiór tych wyników rzutu dwiema kostkami, że minimum liczby oczek wynosi 1.
Zatem w rzucie dwiema kostkami musi paść przynajmniej jedna 1.
Wypisujemy wszystkie możliwości:
1,1,
1,2, 1,3, 1,4, 1,5, 1,6,
6,1, 5,1, 4,1, 3,1, 2,1.
Zatem jest 11 możliwości, czyli:
Zatem:
|| 11
|| 11
|Ω| 36
f) zbiór tych wyników rzutu dwiema kostkami, że maksimum jest mniejsze od 6.
Czyli w rzucie dwiema kostkami nie może paść 6. Zatem w każdym rzucie może paść
1-5 oczek, więc:
|| 5 ∙ 5 25
Zatem:
|| 25
|Ω| 36
Zadanie 2. Oblicz prawdopodobieństwo, że losując jednocześnie trzy kule z urny
zawierającej 7 kul żółtych, 5 kul niebieskich, 4 kule czerwone, 3 kule zielone i 2 kule
pomarańczowe wylosujemy:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
wszystkie kule tego samego koloru
dokładnie 2 kule niebieskie
wszystkie kule w kolorach ciepłych (żółty, czerwony, pomarańczowy)
więcej kul w kolorach ciepłych niż w kolorach zimnych,
kule, wśród których nie będzie żadnej kuli kolory czerwonego,
co najmniej jedną kulę pomarańczową,
co najwyżej 2 kule w kolorach podstawowych (żółty, czerwony, niebieski)
Rozwiązanie:
Ω zbiór możliwych losowań trzech kul z urny.
Wszystkich kul mamy łącznie:
7 5 4 3 2 21
Losujemy 3 kule z 21 zatem:
|Ω| 21
21!
19 ∙ 20 ∙ 21
19 ∙ 10 ∙ 7
3
3! ∙ 18!
6
a) – zdarzenie polegające na wylosowaniu trzech kul tego samego koloru.
Zatem interesują nas te losowania, w których wyciągamy albo 3 kule żółte, albo 3 kule
niebieskie, albo 3 kule czerwone, albo 3 kule zielone (nie da rady wylosować albo 3
kul pomarańczowych, bo są tylko 2 do dyspozycji.
Więc:
7
5
4
3
|| 3
3
3
3
na tyle sposobów
możemy 3 kule
żółte spośród 7
dostępnych
na tyle sposobów
możemy 3 kule
niebieskie spośród
5 dostępnych
na tyle sposobów
możemy 3 kule
czerwone spośród
5 dostępnych
na tyle sposobów
możemy 3 kule
zielone spośród 3
dostępnych
Liczymy:
7
5
4
3
7!
5!
4!
|| 1
3
3
3
3
3! ∙ 4! 3! ∙ 2! 3! ∙ 1!
5∙6∙7 4∙5
4 1 35 10 5 50
6
2
Zatem:
||
50
5
5
|Ω| 19 ∙ 10 ∙ 7 19 ∙ 7 133
b) zdarzenie polegające na wylosowaniu dokładnie 2 kul niebieskich
Czyli losujemy 2 kule z 5 kul niebieskich i jedną z pozostałych (21 5 16) kul
Zatem:
5
16
5!
|| ∙ ∙ 16 10 ∙ 16 160
2
1
2! ∙ 3!
||
160
16
16
|Ω| 19 ∙ 10 ∙ 7 19 ∙ 7 133
c) zdarzenie polegające na wylosowaniu 3 kul w kolorach: żółtym, czerwonym, lub
pomarańczowym.
Mamy zatem do wyboru tylko:
kul.
Więc:
|| Zatem:
7 4 2 13
13
13!
11 ∙ 12 ∙ 13
11 ∙ 2 ∙ 13
3
3! ∙ 10!
6
|| 11 ∙ 2 ∙ 13
11 ∙ 13
143
|Ω| 19 ∙ 10 ∙ 7 19 ∙ 5 ∙ 7 665
d) zdarzenie polegające na wylosowaniu więcej kul w kolorach ciepłych niż w
kolorach zimnych.
Chcemy zatem wylosować albo:
3 kule w kolorach ciepłych. Możemy to zrobić na:
13
13!
11 ∙ 12 ∙ 13
11 ∙ 2 ∙ 13
3
3! ∙ 10!
6
sposobów.
albo 2 kule w kolorach ciepłych i 1 w kolorze zimnym (niebieska lub zielona).
Możemy to zrobić na:
13
21 13
13!
8
12 ∙ 13
∙
∙ ∙ 8 6 ∙ 13 ∙ 8
2
1
2! ∙ 11! 1
2
Więc:
|| 11 ∙ 2 ∙ 13 6 ∙ 13 ∙ 8 13 ∙ 22 48 13 ∙ 70
Zatem:
||
13 ∙ 70
13
|Ω| 19 ∙ 10 ∙ 7 19
e) zdarzenie polegające na wylosowaniu kul, wśród których nie będzie żadnej kuli
kolory czerwonego.
Mamy zatem do wyboru wszystkie kule oprócz czerwonych. Jest ich:
21 4 17
Więc:
17
17!
15 ∙ 16 ∙ 17
|| 5 ∙ 8 ∙ 17
3
3! ∙ 14!
6
Zatem:
||
5 ∙ 8 ∙ 17
4 ∙ 17
68
|Ω| 19 ∙ 10 ∙ 7 19 ∙ 7 133
f) zdarzenie polegające na wylosowaniu co najmniej jednej kuli pomarańczowej.
Zrobimy przez zdarzenie przeciwne:
′ zdarzenie polegające na wylosowaniu 3 kul, wśród których nie będzie ani jednej
kuli pomarańczowej.
Mamy zatem do wyboru wszystkie kule oprócz pomarańczowych. Jest ich:
21 2 19
Więc:
19
19!
17 ∙ 18 ∙ 19
|′| 17 ∙ 3 ∙ 19
3
3! ∙ 16!
6
Zatem:
|| |Ω| |F ᇱ | 19 ∙ 10 ∙ 7 17 ∙ 3 ∙ 19 19 ∙ 70 51 19 ∙ 19
Zatem:
||
19 ∙ 19
19
19
|Ω| 19 ∙ 10 ∙ 7 10 ∙ 7 70
g) #– zdarzenie polegające na wylosowaniu co najwyżej 2 kule w kolorach
podstawowych (żółty, czerwony, lub niebieski)
Kolorów podstawowych jest:
7 4 5 16
Wykorzystamy zdarzenie przeciwne:
#′– zdarzenie polegające na wylosowaniu dokładnie 3 kul w kolorach podstawowych.
16
16!
14 ∙ 15 ∙ 16
|# ᇱ | 7 ∙ 5 ∙ 16
3
3! ∙ 13!
6
Zatem:
|#| |Ω| |Gᇱ | 19 ∙ 10 ∙ 7 7 ∙ 5 ∙ 16 7 ∙ 190 80 7 ∙ 110
# |#|
7 ∙ 110
11
|Ω| 19 ∙ 10 ∙ 7 19
Zadanie 3. Losujemy kolejno, ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie ze zbioru
% &1,2,3,4'. Oblicz prawdopodobieństwo, że:
a)
b)
c)
d)
druga z wylosowanych liczb jest większa od pierwszej,
druga z wylosowanych liczb jest dzielnikiem pierwszej wylosowanej liczby,
wylosowane liczby różnią się o 1,
wylosowano liczby, których iloczyn jest nieparzysty.
Rozwiązanie:
Ω zbiór możliwych losowań dwóch liczb ze zbioru % &1,2,3,4'.
Za pierwszym razem możemy wylosować jedną z 4 liczb i za drugim również, zatem:
|Ω| 4 ∙ 4 16
a) zbiór tych losowań, że druga z wylosowanych liczb jest większa od pierwszej.
Wypisujemy wszystkie sprzyjające losowania:
1, 2, 1, 3, 3, 4, 2, 3, 2,4, 3,4
Zatem jest 6 możliwości, czyli:
Zatem:
|| 6
||
6
3
|Ω| 16 8
b) zbiór tych losowań, że druga z wylosowanych liczb jest dzielnikiem pierwszej
wylosowanej liczby.
Wypisujemy wszystkie sprzyjające losowania:
1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 3,3, 4,1, 4,2, 4,4
Zatem jest 8 możliwości, czyli:
Zatem:
|| 8
||
8
1
|Ω| 16 2
c) zbiór tych losowań, że wylosowane liczby różnią się o 1.
Wypisujemy wszystkie sprzyjające losowania:
1, 2, 2,3, 3, 4, 4, 3, 3,2, 2,1
Zatem jest 6 możliwości, czyli:
Zatem:
|| 6
||
6
3
|Ω| 16 8
d) zdarzenie polegające na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest nieparzysty.
Wypisujemy wszystkie sprzyjające losowania:
1, 1, 1,3, 3, 1, 3, 3
Zatem są 4 możliwości, czyli:
Zatem:
|| 4
||
4
1
|Ω| 16 4
Zadanie 4. Losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie bez zwracania ze zbioru
% &1,2,3,4'. Oblicz prawdopodobieństwo, że:
a)
b)
c)
d)
druga z wylosowanych liczb jest większa od pierwszej,
druga z wylosowanych liczb jest dzielnikiem pierwszej wylosowanej liczby,
wylosowane liczby różnią się o 1,
wylosowano liczby, których iloczyn jest nieparzysty.
Rozwiązanie:
Ω zbiór możliwych losowań dwóch liczb ze zbioru % &1,2,3,4'.
Za pierwszym razem możemy wylosować jedną z 4 liczb, a za drugim razem losujemy już
jedną liczbę z 3 liczb:
|Ω| 4 ∙ 3 12
a) zbiór tych losowań, że druga z wylosowanych liczb jest większa od pierwszej.
Wypisujemy wszystkie sprzyjające losowania:
1, 2, 1, 3, 3, 4, 2, 3, 2,4, 3,4
Zatem jest 6 możliwości, czyli:
Zatem:
|| 6
||
6
1
|Ω| 12 2
b) zbiór tych losowań, że druga z wylosowanych liczb jest dzielnikiem pierwszej
wylosowanej liczby.
Wypisujemy wszystkie sprzyjające losowania:
2, 1, 3, 1, 4,1, 4,2
Zatem są 4 możliwości, czyli:
Zatem:
|| 4
||
4
1
|Ω| 12 3
c) zbiór tych losowań, że wylosowane liczby różnią się o 1.
Wypisujemy wszystkie sprzyjające losowania:
1, 2, 2,3, 3, 4, 4, 3, 3,2, 2,1
Zatem jest 6 możliwości, czyli:
Zatem:
|| 6
||
6
1
|Ω| 12 2
d) zdarzenie polegające na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest nieparzysty.
Wypisujemy wszystkie sprzyjające losowania:
1,3, 3, 1
Zatem są 2 możliwości, czyli:
Zatem:
|| 2
||
2
1
|Ω| 12 6
Zadanie 5. Oblicz prawdopodobieństwo, że losując jednocześnie dwie liczby ze zbioru
% &2, 1,0,1,2,3,4' wylosujemy dwa miejsca zerowe funkcji () ) ଷ ) ଶ 4) 4.
Rozwiązanie:
Ω zbiór możliwych losowań dwóch liczb ze zbioru % &2, 1,0,1,2,3,4'.
Liczb w zbiorze mamy 7 liczb, zatem:
7
7!
6∙7
|Ω| 21
2
2! ∙ 5!
2
A zdarzenie polegające na wylosowaniu dwóch miejsc zerowych funkcji ().
Musimy najpierw ustalić jakie są miejsca zerowe funkcji (). Czyli rozwiązujemy
równanie:
) ଷ ) ଶ 4) 4 0
) ଶ ) 1 4) 1 0
) 1) ଶ 4 0
) 1) 2) 2 0
) 1 0 ∨ ) 2 0 ∨ ) 2 0
) 1 ∨ ) 2 ∨ ) 2
Czyli miejsca zerowe funkcji () to liczby: 2, 1, 2.
Wszystkie te miejsca zerowe zawierają się w zbiorze %, zatem liczba sposobów na jakie
możemy wylosować 2 miejsca zerowe z 3 to:
3
|| 3
2
Zatem:
||
3
1
|Ω| 21 7
Zadanie 6. Oblicz prawdopodobieństwo, że losując po kolei, bez zwracania dwie liczby ze
zbioru % &2, 1,0,1,2,3,4' otrzymamy dokładnie jedno miejsce zerowe funkcji:
,) 2) ଶ 10) 12
Rozwiązanie:
Ω zbiór możliwych losowań „po kolei bez zwracania” dwóch liczb ze zbioru
% &2, 1,0,1,2,3,4'.
Liczb w zbiorze mamy 7 liczb. Pierwszą liczbę możemy zatem wylosować na 7 sposobów, a
drugą już tylko na 6, więc:
|Ω| 7 ∙ 6 42
A zdarzenie polegające na wylosowaniu dokładnie jednego miejsca zerowego funkcji ,).
Musimy najpierw ustalić jakie są miejsca zerowe funkcji ,). Czyli rozwiązujemy równanie:
2) ଶ 10) 12 0
) ଶ 5) 6 0
) 2) 3 0
) 2 0 ∨ ) 3 0
) 2 ∨ ) 3
Czyli miejsca zerowe funkcji ,) to liczby: 2,3.
Oba miejsca zerowe zawierają się w zbiorze %
Chcemy wylosować dokładnie jedno miejsce zerowe (z dwóch możliwych) i jedną liczbę nie
będącą miejscem zerowym (tu mamy 7 2 5 możliwości). Ponieważ przy liczeniu mocy
zbioru Ω uwzględniliśmy kolejność liczb, więc teraz również musimy to zrobić:
2
5
5
2
|| ∙ ∙ 2 ∙ 5 5 ∙ 2 20
1
1
1
1
pierwsza
wylosowana liczba
jest miejscem
zerowym
druga wylosowana
liczba nie jest
miejscem zerowym
pierwsza
wylosowana liczba
nie jest miejscem
zerowym
druga wylosowana
liczba jest
miejscem zerowym
Zatem:
|| 20 10
|Ω| 42 21
Zadanie 7. Oblicz prawdopodobieństwo, że losując kolejne, ze zwracaniem dwie liczby ze
zbioru % &2, 1,0,1,2,3,4' nie otrzymamy żadnego miejsca zerowego funkcji:
) 1) 2) 3
,) √3) 2
Rozwiązanie:
Ω zbiór możliwych losowań „po kolei ze zwracaniem” dwóch liczb ze zbioru
% &2, 1,0,1,2,3,4'.
Liczb w zbiorze mamy 7 liczb. Pierwszą liczbę losujemy na 7 sposobów i drugą również na 7
sposobów, więc:
|Ω| 7 ∙ 7 49
A zdarzenie polegające na wylosowaniu liczb nie będących miejscami zerowymi funkcji
,).
Musimy najpierw ustalić jakie są miejsca zerowe funkcji ,). Czyli rozwiązujemy równanie:
) 1) 2) 3
√3) 2
0
Ułamek jest równy zero, jeżeli licznik = 0, zatem:
) 1) 2) 3 0
) 1 0 ∨ ) 2 0 ∨ ) 3 0
) 1 ∨ ) 2 ∨ ) 3
Czyli miejsca zerowe funkcji () to liczby: 1, 2, 3.
Wszystkie te miejsca zerowe zawierają się w zbiorze %, liczb nie będących miejscami
zerowymi jest:
734
Zatem chcemy za pierwszym razem wylosować jedną z tych 4 liczb i za drugim razem też,
więc:
|| 4 ∙ 4 16
Zatem:
|| 16
|Ω| 49
Zadanie 8. O zdarzeniach A i B wiadomo, że ᇱ Oblicz, oraz ∪ .
଻
, ᇱ ଵ଴
Rozwiązanie:
Korzystamy z własności:
1 ′
Więc:
1 ′ 1 1 ′ 1 7
3
10 10
18
7
25 25
Teraz korzystamy ze wzoru:
∪ ∩ ∪ 3
7
3
15 14 3
26 13
10 25 50 50 50 50 50 25
, ∩ ଵ଼
ଷ
ଶହ
ହ଴
.
Zadanie 9. Oblicz prawdopodobieństwo , oraz ∩ jeżeli wiadomo, że
\ ଵ
, \ oraz ∪ .
ଵ଴
ଵ
ଷ
ହ
ହ
Rozwiązanie:
Korzystamy ze wzoru:
∩ ∪ 1\ \2
∩ 3
1 1
6
3
3
5
10 5
10 10 10
Teraz:
∩ \ ∩ \ 3
1
4
10 10 10
3 1
5
10 5 10
Wskazówka:
Wzory z których korzystaliśmy w zadaniu 8 i 9 można wymyślić patrząc na rysunku zbiorów,
np.:
Przykładowo moc zbioru ∪ obliczamy tak:
| ∪ | || || | ∩ |
Zamieniając teraz kreski na prawdopodobieństwa otrzymujemy:
∪ ∩