Ciekawostki matematyczne

Ciekawostki matematyczne
(znane i właśnie wymyślone)
Spis treści
WSTĘP ..................................................................................................................................................... 2
SYSTEMY LICZENIA ............................................................................................................................ 2
DWA TO POTĘGA.................................................................................................................................. 6
LICZBY PIERWSZE............................................................................................................................... 7
LICZBY DOSKONAŁE........................................................................................................................... 8
CIĄG FIBONACCIEGO I CAŁA RESZTA... ........................................................................................ 9
ZŁOTY PODZIAŁ, BOSKA PROPORCJA...................................................................................................... 10
WYCIĄGANIE PRZYBLIŻONEGO PIERWIASTKA KWADRATOWEGO ................................... 13
PIERWSZA METODA............................................................................................................................... 13
DRUGA METODA ................................................................................................................................... 14
BŁĘDY OBU METOD .............................................................................................................................. 14
ZAGADKI .............................................................................................................................................. 15
DROGA DO AUTOBUSU .......................................................................................................................... 15
DOOKOŁA ŚWIATA? .............................................................................................................................. 16
ZAGADKA TRUDNA, TEŻ DOOKOŁA ŚWIATA ........................................................................................... 16
KIERKI ................................................................................................................................................. 16
ZEGAREK 1........................................................................................................................................... 16
ZEGAREK 2........................................................................................................................................... 16
BRAT ................................................................................................................................................... 17
2
Wstęp
Matematyka to królowa nauk, wszyscy to słyszeli, większość wzrusza ramionami, inni się
dziwią: taka brzydka i królowa? A królową jest dlatego, że daje narzędzia do rzetelnego opisu
świata, rzetelnego to znaczy pozwalającego opisywać świat, ale i rozumieć, a jak już się
rozumie, to można w oparciu o uzyskane zdobycze tworzyć coś nowego. Nasza cywilizacja
techniczna istnieje właśnie dzięki naukom przyrodniczym, a w naukach przyrodniczych
króluje matematyka. To ona pokazała jak zbudować telefon, telewizor, komputer i całą masę
rzeczy, których używamy na co dzień, bez których nawet nie umiemy się obejść. Spróbujcie
inaczej spojrzeć na matematykę, nie tylko poprzez wkuwane równania, szkolne zadania,
klasówki. Spójrzcie na matematykę jak na gmach doskonale zbudowany gdzie wszystko
pasuje do wszystkiego. Mam nadzieję, że tą moją skromnotą zachęcę Was do poszukiwań.
Systemy liczenia
Liczymy w systemie dziesiętnym, to oczywiste, więc o czym tu gadać? Dziesiętny system
liczenia jest tak głęboko zakorzeniony w naszych świadomościach, że do głów nam nie
przychodzi, że mogą być inne systemy liczenia, oparte na innych liczbach. Bardziej oblatani
wiedzą o systemie dwójkowym, może ósemkowym i szesnastkowym opartych odpowiednio
na liczbach 2, 8 i 16 a wykorzystywanych w komputerach i informatyce. System dziesiętny
wykorzystuje 10 cyfr od 0 do 9, dwójkowy 2 cyfry: 0 i 1, ósemkowy 8 cyfr: od 0 do 7, a
szesnastkowy wykorzystuje 16 cyfr od 0 do F. Ponieważ znamy 10 cyfr od 0 do 9, w systemie
szesnastkowym należało wymyślić dodatkowych 6 cyfr czyli: 10 - A, 11- B, 12 - C, 13 - D,
14 - E, 15 - F. Ile może być systemów liczenia? Dowolnie dużo, ale jest pewne optimum; w
systemie dziesięciotysięcznym musielibyśmy znać 10 000 cyfr, co byłoby nie do wytrzymania
jak polski system podatkowy, w systemie dwójkowym są co prawda tylko dwie cyfry, ale za
to liczby za ich pomocą zapisywane robią się dosyć długie; liczba 1025 wygląda dwójkowo
tak: 10000000001.
Liczymy zatem w systemie dziesiętnym i nie wyobrażamy sobie, że może być inaczej mamy 10 palców u rąk, więc to taki naturalny dla nas system. Jest on tak mocno zakorzeniony
w świadomości człowieka również dzięki temu, że obowiązuje w mowie, przykładowo liczbę
25 zapisujemy jako 2(dziesiątki)5(jednostek) i mówimy tak samo DWAdzieścia PIĘĆ. A w
innym systemie? Na przykład w systemie ósemkowym liczba 25 otrzyma zapis: 31 co nas
drażni, bo przecież 31 to TRZYdzieści JEDEN. Gdyby zmodyfikować język to można by
przeczytać: 31 jako TRZYośmie JEDEN. Jedna ośmia (nie jedna ósma, tak jak jedna
3
dziesiątka to nie jedna dziesiąta) to 8 zatem TRZYośmie to 24, dodajemy 1 i mamy stare 25.
Prosty trening: załóżmy, że liczbę (dziesiętnie) 25 nazwiemy nie dwadzieścia pięć tylko
KAKTUS. W zapisie dziesiętnym mamy 25 czyli 2*10 + 5, w sumie kaktus, w zapisie
ósemkowym mamy 31 czyli 3*8 + 1 czyli kaktus. Już troszkę łatwiej...
To język a nie możliwości obliczeniowe zniechęca nas do innych systemów
liczenia niż dziesiętny.
W szkole uczono nas reguł podzielności przez różne liczby: liczba podzielna przez 3 to
taka, której suma cyfr też jest podzielna przez 3, na przykład liczba 1234567890 jest z
pewnością podzielna przez 3. Przez 5 dzieli się liczba mająca na końcu 5 lub 0, przez 10
liczba mająca na końcu 0. Bardzo ciekawą regułą jest reguła podzielności przez 11: należy
policzyć dwie sumy - parzystych i nieparzystych cyfr w liczbie. Potem od większej sumy
należy odjąć tę mniejszą. Jeżeli różnica wynosi 0 albo jest podzielna przez 11, to cała liczba
jest podzielna przez 11. Przykładowo liczba 11594 (jest na tablicy rejestracyjnej mojego
autka), mamy sumy 1+5+4 i 1+9. Obie sumy wynoszą 10, ich różnica to 0, czyli liczba 11594
jest podzielna przez 11. Dodajmy 11 do 11594, uzyskujemy 11605, liczymy sumy:
1+6+5=12, 1+0=1. Różnica sum wynosi 11 czyli liczba 11605 jest podzielna przez 11.
Przyjrzyjmy się liczbie 9. W szkole jako anegdotę omawia się pewną ciekawostkę:
mnożymy 9 przez liczby od 1 do 10, za każdym razem suma cyfr wyniku wynosi 9.
Przedstawmy fragment lekko zmodyfikowanej tabliczki mnożenia i zauważmy, że:
mnożnik
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
7
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
suma
7
5
3
10; 1
8
6
13; 4
11; 2
9
7
2
2
2
2
2
2
2
2
2
liczba
różnica
8
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
suma
8
7
6
5
4
12; 3
11; 2
10; 1
9
8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
różnica
9
9
18
27
36
45
54
63
72
81
90
suma
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
0
0
0
0
0
0
0
0
0
różnica
4
Zauważmy, że mnożenie przez 9 jest takie fajne w systemie dziesiętnym, aż kusi
sprawdzić jak wygląda mnożenie przez 8 w systemie dziewiątkowym (dziewiętnym?) A
wygląda tak:
mnożnik
liczba
8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
8
17
26
35
44
53
62
71
80
Identyczna zależność jak przy mnożeniu przez 9 w systemie dziesiętnym, tu mamy sumę
równą 8.
A teraz troszkę trudniej: w systemie dziesiętnym ładnie wygląda mnożenie przez 9 i 11.
Dziewięć to o 1 mniej niż liczność systemu liczenia, 11 to o jeden więcej. Ciekawe jak
wygląda potęgowanie liczby o jeden większej niż liczność systemu liczenia. Dla systemu
dziesiętnego jest to liczba 11, a dla innych? Przedstawia to tabelka:
(n+1)m
gdzie n - system, m - potęga
n
m
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
11
11
11
11
11
11
11
11
11
2
1001
121
121
121
121
121
121
121
121
3
11011
2101
1331
1331
1331
1331
1331
1331
1331
1010001 100111
21301
20141
15041
14641
14641
14641
14641
4
Widać, że mamy do czynienia z podobnymi zapisami, reguła podzielności też jest ta sama
co dla mnożenia przez 11 w systemie dziesiętnym.
Pytanie: czy te reguły zależą od liczb czy może od systemu w którym liczymy?
Odpowiedź nasuwa się taka: właściwości te zależą od wzajemnej relacji pomiędzy liczbą a
systemem liczenia.
Jeszcze o dziewiątce.
Widziałem na jutubie (spolszczam wszystkie zagraniczne terminy celowo i bezwzględnie)
film o magicznych właściwościach koła, mianowicie koło to kąt pełny czyli 360o. Jeżeli
podzielimy przez 2 otrzymamy 180. W obu przypadkach suma cyfr wynosi 9. Dalsze
5
dzielenia dają 90, 45, 22.5, 11.25. Ciągle suma cyfr wynosi 9. Autorzy filmu zapewne
wierzyli, że to magiczna właściwość koła, ale czy na pewno? Przecież to tylko umowa, że kąt
pełny ma 360o, gdyby była to inna liczba cały czar pryska, zatem to właściwość liczb
podzielnych przez 9. Zdarzy się, że suma cyfr nie da w wyniku 9, ale zawsze da liczbę
podzielną przez 9. Można też mnożyć przez 2 z takim samym skutkiem.
Dlaczego tak się dzieje? Liczba, której suma cyfr daje w sumie 9 lub liczbę podzielną
przez 9 sama dzieli się przez 9. Taka jest cecha podzielności przez 9. Dzielenie przez 2 nie
zabiera tej dziewiątki, zatem suma cyfr nowej liczby powstałej z dzielenia przez 2 tej
wcześniejszej musi dawać 9 bądź jej wielokrotność, bo w dalszym ciągu dzieli się przez 9. A
gdy pojawia się ułamek, można śmiało pomnożyć przez 10 bo to nie zmienia sumy cyfr. ten
sam efekt uzyska się dzieląc liczbę (podzielną przez 9) przez 5, to działanie też nie zabiera
nam dziewiątki, więc suma jej cyfr dalej daje liczbę podzielną przez 9.
Sprawdziłem, że identyczną zależność uzyska się dla liczb podzielnych przez 8 ale w
systemie dziewiątkowym i oczywiście nie dzielimy wtedy przez 2, bo jak trzy razy
podzielimy to zniknie nam ósemka, ale spokojnie można dzielić przez 3.
Ze wspomnień
Na koniec anegdota. Otóż wielu ludzi wierzy w numerologię. Sumuje się w niej cyfry
występujące w dacie urodzenia, gdy suma jest większa od 10 sumuje się ponownie aż uzyska
się wynik z przedziału 1 - 9, a uzyskana liczba ma określać charakter człowieka. Aż dziw, że
ludzie w to wierzą. Z numerologii wynika, że mamy 9 różnych typów osobowości. Ale zaraz,
zaraz... liczyliśmy w systemie dziesiętnym, w którym korzysta się z 10 cyfr. Zero nigdy nie
wychodzi z tych wyliczeń, stąd 9 typów osobowości. Gdyby liczyć w innym systemie wyjdzie
nam odpowiednio inna liczba osobowości - zawsze mniejsza o 1 od systemu liczenia. W
szczególności gdyby liczyć to wszystko w systemie dwójkowym to wychodzi na to, że
wszyscy jesteśmy tacy sami!!!
Zapytałem jakąś stację telewizyjną, w której puszczają audycje nawiedzonych ludzi od
czarów dlaczego akurat liczą w systemie dziesiętnym? Czy gwiazdy, duchy, bogowie, siły
astralne upodobały sobie akurat ten system liczenia? Zadałem jeszcze drugie pytanie:
dlaczego należy wyliczać te tajemne wiadomości z daty urodzenia zapisanej w naszym
kalendarzu? Czyżby nasz kalendarz też był szczególnie traktowany w świecie tajemnic?
Odpowiedzi oczywiście nie otrzymałem, co dodatkowo świadczy o rzetelności autorów
audycji ezoterycznych. A może po prostu nie zrozumieli pytań?
6
Dwa to potęga
Krąży wiele wersji tej samej przypowieści: dawno, dawno temu jeden obrzydliwie bogaty
miał sprawę do biednego ale oblatanego w liczeniu. Ten biedny miał wykonać usługę, na
przykład podkuć konia, po skończonej robocie bogacz w swej pysze powiedział, że nagrodzi
biedaka wedle jego życzenia. Biedak zażądał aby ten bogaty położył jedno ziarnko pszenicy
na pierwszym polu szachownicy, 2 na drugim, 4 na trzecim i na każdym następnym dwa razy
więcej niż na poprzednim. Bogacz skrzywił się z pogardą, że biedak chciał tak mało a miał
szansę na uzyskanie sporej zapłaty. Szybko mina mu zrzedła gdy okazało się, że takiej ilości
pszenicy nie ma na całym świecie i nikt z żyjących nie posiada takiego bogactwa. Chodziło
tylko o to żeby pokazać obleśnemu bogaczowi, że bogactwo to nie wszystko...
Ile zatem byłoby tego zboża?
Szereg potęg liczby 2 ma niesamowitą właściwość; wypiszmy sobie kilka jego wyrazów:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 co odpowiada 20, 21, 22, 23, 24, 25,26.
Zauważmy, że:
1+2 = 4-1
1+2+4 = 8-1
1+2+4+8 = 16-1
ITeDe
teraz możemy zapisać to w eleganckiej, matematycznej formie:
co przeczytamy jako suma potęg liczby 2 począwszy od
20 a skończywszy na 2n jest równa 2n+1 minus 1. Powróćmy do przypowieści, zboża byłoby
264 - 1, jedynkę można śmiało pominąć w tym wypadku wobec ogromu liczby 264. W innym
zapisie, łatwiejszym do ogarnięcia wyobraźnią, liczba ta ma postać 1,8*1019. Jedno ziarno
waży około 0,05g co daje około 9,2*1011 ton pszenicy czyli prawie 154 tony na jednego
mieszkańca Ziemi przy założeniu, że jest nas 6 miliardów, starczyłoby tego na 420 lat przy
założeniu, że codziennie jemy chleb upieczony z 1 kg pszenicy. Nieźle.
Ale wróćmy do potęg dwójki, od sumy odejmowaliśmy jeden, co się dzieje z tą jedynką?
Policzmy teraz w drugą stronę. Weźmy kartkę papieru i dzielmy ją na pół, mamy pół kartki
potem ćwierć, potem jedną ósmą i tak w nieskończoność. Mamy więc 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,1/32
i całą masę coraz mniejszych kawałeczków. Na początku była jedna cała kartka, potem
kolejne połówki czyli mamy 2-1 + 2-2 + 2-3 + 2-4 + 2-5 ... co w sumie daje całą kartkę.
Zapiszemy to tak:
I jedynka się znalazła.
7
n
Teraz możemy zapisać całość:
2
i
 2 n1
i  
W fotografii wykorzystywany jest szereg liczb - potęg liczby 2, ale o wykładnikach
ułamkowych, mianowicie
Dla kolejnych wartości i począwszy od i = 0 uzyskujemy w zaokrągleniu: 1, 1.4, 2, 2.8, 4,
5.6, 8, 11, 16, 22, 32...
Jest to ciąg wartości przesłon, które można przeczytać na każdym obiektywie. Co prawda
pojawia się przesłona o wartości 3.5 ale to jakiś dziwoląg, poza tą wartością wszystko się
zgadza. Pytanie: dlaczego akurat taki jest szereg wartości przesłon? Odpowiedzi nie należy
nigdzie przesyłać, wystarczy ją z sensem sformułować dla siebie.
Ze wspomnień.
Z racji wzrostu byłem wytypowany do wieszania zasłon i firan, czy to w domu, czy w
szkole (i to od podstawówki!). Sztuka wieszania polega na tym aby żabki na zasłonie były w
równych odstępach. Zauważyłem, że pewne liczby żabek dają komfort równego wieszania a
inne nie. Zacząłem kombinować w swej nieletniej głowie: dwie żabki - wieszanie równe, trzy
też, potem fajnie się wiesza mając pięć żabek, następną szczęśliwą liczbą żabkową jest
dziewięć. A cóż to za szereg wyszedł? 2, 3, 5, 9, ... czyli 20 + 1, 21 + 1, 22 + 1, 23 + 1...
Taka ciekawostka.
Liczby pierwsze
To niby taki banalny temat - liczby pierwsze to liczby, które dzielą się tylko przez 1 i
przez siebie. Wiedza większości ludzi na tym się kończy, ale popatrzmy: liczby, które nie są
pierwszymi składają się - jako iloczyn - właśnie z liczb pierwszych. Weźmy liczbę 60: dzieli
się ona przez 2 dając 30, znowu przez 2 dając 15, potem przez 3 dając 5 i pięć to liczba
pierwsza, zatem 60 = 2*2*3*5. Wychodzi na to, że liczby pierwsze to takie cegiełki, z
których zbudowane są wszystkie pozostałe. Liczby pierwsze są tajemnicze, pojawiają się
znienacka w ciągu liczbowym licząc od 1 do ilu się chce. Jeden nie jest liczbą pierwszą,
chociaż czasami by się chciało, żeby jedynka była pierwszą, ale pierwszą liczbą pierwszą jest
2, potem 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23... Wszędzie w necie można znaleźć ciąg liczb pierwszych i
od razu widać jak chaotycznie, więc nieprzewidywalnie są one rozrzucone wśród pozostałych.
Nie ma tam porządku, a może jest tylko nie umiemy go dostrzec? Nie ma wzoru, który
8
określałby jaka jest dowolna liczba pierwsza. Istnieją algorytmy do szukania liczb
pierwszych, najprostszy to szukanie podzielników liczby począwszy od 2 do pierwiastka
kwadratowego z liczby, jeżeli brak podzielników to mamy do czynienia z liczbą pierwszą.
Taki algorytm napisany w języku Visual Basic może wyglądać tak:
licznik = 5 ‘ od tej liczby pierwszej zaczynam
etykieta
test = 0: licznik = licznik + 1
for h = 2 to sqr(licznik)
if liczni(k/h) = int(licznik/h) then test = 1
next h
if test = 0 then print „liczba ”; licznik;
„ jest liczbą pierwszą”
goto etykieta
Liczby pierwsze są wykorzystywane do szyfrowań bankowych, każda karta bankomatowa
działa w oparciu o liczby pierwsze, ale nie takie małe, które każdy sam może sobie policzyć,
chodzi o takie wielkie, na prawdę wielkie liczby pierwsze.
Matematycy od dawna są zafascynowani liczbami pierwszymi, widzą w nich wielką
tajemnicę stworzenia świata i nie jest to przesada. W końcu największa tajemnica
matematyczna znana pod nazwą Hipotezy Riemana nie została udowodniona do dzisiaj, a
dotyka ona tajemnicy liczb pierwszych. Uważam, że nigdy Człowiek nie rozwiąże tajemnicy
liczb pierwszych, może to i lepiej, bo runęłyby wszystkie systemy szyfrujące na nich oparte.
Czeka milion dolarów na tego, który udowodni prawdziwość Hipotezy Riemana...
Liczby doskonałe
Liczba doskonała to taka, której suma podzielników mniejszych od niej równa jest tej
liczbie. Najmniejszą liczbą doskonałą jest 6 bo 6 dzieli się przez 1, 2 i 3. 6 - jak każda liczba
- dzieli się też przez samą siebie, ale ten podzielnik nie bierze udziału w zabawie. Suma
podzielników szóstki czyli 1, 2 i 3 daje w sumie 6, czyli wszystko się zgadza. Następną liczbą
doskonałą jest 28. Istnieje wzór na obliczanie wartości liczby doskonałej:
2n-1 * (2n-1)
gdzie 2n-1 musi być liczbą pierwszą, popatrzcie jak to się dziwnie splata; w pojęciu liczb
doskonałych znajdują się potęgi liczby 2 i liczby pierwsze.
9
Anegdota antypedagogiczna:
Byłem na wakacjach i myślenie powinno być wyłączone, a jednak gdy sięgałem po
papierosa zauważyłem, że mam sześć fajeczek, paczkę trzymałem ukośnie i papierosy ułożyły
się w taką piramidkę:
trzy papierosy, na nich dwa a na samej górze jeden, w sumie sześć, a
sześć to liczba doskonała i pojawiło się pytanie, czy następną liczbę
doskonałą też da się ułożyć w taką piramidkę czyli liczbę trójkątną?
A może każda liczba doskonała jest liczbą trójkątną?
N-tą liczbę trójkątną można zapisać tak: (n+1)*n/2, podstawmy m=n+1 wtedy mamy m/2*(m1), a teraz z całego zbioru liczb m wybierzmy tylko te: m=2k uzyskamy: 2k/2 * (2k-1) a to się
równa 2k-1*(2k-1) czyli identyczny wzór jak wzór na liczby doskonałe. Stąd wniosek, że każda
liczba doskonała jest liczbą trójkątną, ale nie każda liczba trójkątna jest liczbą doskonałą.
Liczby trójkątne mają jeszcze jedną ciekawą właściwość, wypiszmy kilka początkowych liczb
trójkątnych:
1 3 6 10 15 21 28 36...
a ciekawostka jest taka, że każdy kwadrat liczby ciągu naturalnego jest sumą dwóch
sąsiednich liczb trójkątnych: n2 = n-ta liczba trójkątna + (n-1)ta liczba trójkątna,
22 = 3+1, 32 = 6+3, 42 = 10+6 itd
bo n2 = n(n+1)/2 + (n-1)*n/2 = (n2+n+n2-n)/2 = 2n2/2 = n2
Ciąg Fibonacciego i cała reszta...
Nie znalazłem okoliczności powstania tego ciągu, ale byłoby ładnie gdyby Fibonacci,
włoski matematyk, siedział sobie w dzień upalny pod lipą i z błogiej nudy zaczął sobie pisać:
1, potem znowu 1, potem to dodał i napisał 2, potem dodał 1 i 2, napisał 3, dodał 2 i 3 napisał
5 i tak dalej. Uzyskał ciąg: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597,
2584, 4181... Taki banalny ciąg, a takie moce w nim drzemią...I nie jest istotne czy 0 jest
pierwszym wyrazem ciągu czy 1, ciągu to nie zmienia ani jego właściwości. Co kryje się za
tak banalnie zbudowanym ciągiem? Tajemnica Wszechświata? Piękno? Magia? Wszystko
razem, bo nie ma racjonalnej odpowiedzi. Poniżej jest tabelka, w której przedstawiono numer
wyrazu ciągu (i), wyraz o numerze i (Ai) i wynik dzielenia wyrazu wyższego (Ai+1) przez
wyraz niższy (Ai).
10
i
Ai
Ai+1/Ai
i
Ai
Ai+1/Ai
1
1
11
89
1,6181818182
2
1
1 12
144
1,6179775281
3
2
2 13
233
1,6180555556
4
3
1,5 14
377
1,6180257511
5
5
1,6666666667 15
610
1,6180371353
6
8
1,6 16
987
1,6180327869
7
13
1,625 17
1597
1,6180344478
8
21
1,6153846154 18
2584
1,6180338134
9
34
1,619047619 19
4181
1,6180340557
10
55
1,6176470588 20
6765
1,6180339632
Zauważmy, że kolejne ilorazy z początku zachowują się troszkę różnie, ale szybko kolejne
ilorazy są coraz bliższe pewnej wartości i praktycznie począwszy od ilorazu 12 niewiele się
różnią. Liczba ta, czyli w przybliżeniu 1,618 to złota liczba, wyznacza złoty podział, znana
też pod nazwą liczby Fibonacciego, czyli   1,618.
Złoty podział, boska proporcja
Złoty podział, boska proporcja określona jest następująco:
co słowami można zapisać tak: całość tak się ma do większej części jak większa część do
mniejszej. Stosunek tego podziału to nic innego jak   1,618
A teraz inaczej: rysujemy obok dwa kwadraty o boku 1. Do nich przystawiamy kwadrat o
boku 2, potem kwadrat o boku 3 i tak dalej. Istota złotego podziału ładnie przedstawia się na
rysunku:
11
Czy to nie jest magia, że z tak prosto zbudowanego ciągu: 1, 1, 2, 3, 5,... uzyskuje się
liczbę złotego podziału, która otacza nas wszędzie, jest widoczna w budowie roślin, zwierząt,
ludzi a nawet wszechświata? Spirala muszli ślimaka, wirowe tajfuny, spirale galaktyk, układ
nasion w słoneczniku, to wszystko są złote spirale wynikające z ciągu Fibonacciego.
A jak policzyć liczbę  ze złotej proporcji?
Załóżmy, że W=1, wtedy proporcja C/W = W/M sprowadza się do C/1 = 1/M co daje
równanie kwadratowe C2-C-1 = 0 (bo M=C-1), rozwiązaniem jest C =   1,618, drugim
rozwiązaniem jest -φ  -0,618, a przy okazji okazuje się, że φ =  - 1 i φ = 1/
czyli 1/ =  - 1, co znowu, po przekształceniu daje nam znane już równanie 2 -  - 1 = 0
A jak policzyć liczbę  z ciągu Fibonacciego? Pamiętamy, że an = an-1 + an-2 i pamiętamy,
że złotą liczbę uzyskaliśmy dzieląc wyraz an przez an-1. Możemy zapisać:
an/an-1 = an-1/an-2 = L (szukana liczba), ponieważ an = an-1 + an-2 to
an-1 + an-2/ an-1 = an-1/an-2 = 1 + an-2/ an-1 = an-1/an-2 = L, co daje 1 + 1/L = L i ostatecznie
12
L2 - L - 1 = 0, uzyskaliśmy identyczne równanie co 7 i 5 linijek wyżej, tylko literka jest
inna.
Tu ważne spostrzeżenie: złota liczba jest cechą ciągu, w którym wyraz n jest sumą wyrazu
n-1 i wyrazu n-2 i wcale nie wynika z tego warunku, że to MUSI być ciąg Fibonacciego!
Każdy może zbudować sobie dowolny ciąg z dowolnych dwóch pierwszych wyrazów, a jak
obliczy tych wyrazów powiedzmy dziesięć to może podzielić wyraz n przez wyraz n-1 i
uzyska złotą liczbę!
Weźmy zatem dwie dowolne liczby, na przykład 2 i 4, uzyskujemy ciąg:
i
Ai
Ai+1/Ai
i
Ai
Ai+1/Ai
1
2
11
288
1,617978
2
4
2 12
466
1,618056
3
6
1,5 13
754
1,618026
4
10
1,666667 14
1220
1,618037
5
16
1,6 15
1974
1,618033
6
26
1,625 16
3194
1,618034
7
42
1,615385 17
5168
1,618034
8
68
1,619048 18
8362
1,618034
9
110
1,617647 19
13530
1,618034
10
178
1,618182 20
21892
1,618034
A teraz weźmy całkiem dwa dowolne, pierwsze wyrazy a1 i a2 i liczmy wyrazy następne:
a3 = a1 + a2
a7 = a6 + a5 = 5a1 + 8a2
a4 = a3 + a2 = a1 + 2a2
a8 = a7 + a6 = 8a1 + 13a2
a5 = a4 + a3 = 2a1 + 3a2
a9 = a8 + a7 = 13a1 + 21a2
a6 = a5 + a4 = 3a1 + 5a2
a10 = a9 + a8 = 21a1 + 34a2
Zauważmy, że współczynniki dla kolejnych wyrazów ciągu przy wyrazach a1 i a2 to
wyrazy ciągu Fibonacciego i wychodzi na to, że jak nawet zbudujemy sobie jakiś swój ciąg,
to i tak w ten nasz ciąg zaklęty jest ciąg Fibonacciego!
Liczby  i φ ukazują bardzo przyjemne dla oka zależności, kilka ukazałem troszkę wyżej
ale powtórzę i dodam jeszcze kilka:
φ =  - 1 φ = 1/ czyli 1/ =  - 1
2 =  + 1
φ2 = 1- φ
13
φ+=
5
/φ =  + 1
φ*=1
Żadna inna liczba nie daje tak ładnych zależności, szczególnie podoba mi się
2 =  + 1 bo:
3 = 2 + 1
6 = 8 + 5
4 = 3 + 2
7 = 13 + 8
5 = 5 + 3
8 = 21 + 13
widać, że w kolejnych potęgach złotej liczby też pojawiają się wyrazy ciągu
Fibonacciego... aż strach lodówkę otworzyć.
Ciąg Fibonacciego powstawał jako kolejne sumy poprzednich wyrazów, ot takie sobie
dodawanie, na podobnej zasadzie tworzony jest trójkąt Pascala i co się okazuje? Suma
wyrazów na pewnych prostych daje wyrazy ciągu Fibonacciego:
i taka ciekawostka: w kolejnych wierszach widać kolejne potęgi liczby 11 o czym pisałem
przy omawianiu systemów liczenia. Czy nie wspominałem, że w matematyce wszystko łączy
się ze wszystkim i wszystko do siebie pasuje?
Wyciąganie przybliżonego pierwiastka kwadratowego
Pierwsza metoda
Czasami się zdarza (nie wszystkim), że trzeba w przybliżeniu policzyć pierwiastek.
Pomysł przyszedł mi do głowy gdy omawiałem kąt widzenia obiektywu i jego ogniskową w
odniesieniu do „małego obrazka”, który ma wymiary 24mm na 36mm. Prowadząc lekcję przy
tablicy powinienem podać długość przekątnej klatki małego obrazka, ale zapomniałem ile ona
wynosi. Trzeba policzyć i myśl taka: najpierw uprościć wymiary, zatem 24 to 2*12, 36 to
3*12, czyli można się skupić na prostokącie 2 na 3. Z twierdzenia Pitagorasa wiadomo, że
14
przekątna to będzie pierwiastek z 13, ale co dalej? 13 to więcej niż 9 (3 do kwadratu) i mniej
niż 16 (4 do kwadratu), zatem pierwiastek z 13 wyniesie 3 i troszkę. I teraz robimy tak:
16-9=7, 13-9=4,
zatem pierwiastek z 13 to tak coś około 3 i 4/7. Zaokrągliłem to sobie do 3,5, a teraz 3,5
*12, czyli 36+6 = 42 i tyle podałem klasie z zastrzeżeniem, że to obliczenia przybliżone.
Kalkulator pokazuje, że można przyjąć jako dokładną wartość przekątnej małego obrazka
wartość 43 z maleńkim ułamkiem (43,27). Gdybym policzył: (3 i 4/7)*12 uzyskałbym
36+48/7 czyli 36+(prawie) 7, czyli 43 mm. Oczywiście ta metoda nigdy nie da nam
prawdziwego wyniku, ale daje wynik w wielu przypadkach wielce zadowalający. Inny format
używany w fotografii to 6cm na 6cm. Liczymy: przekątna to będzie pierwiastek z 72.
Najbliżej nam do znanych kwadratów: 64 (8*8) i 81 (9*9), teraz bierzemy to biegusiem:
81-64=17, 72-64=8,
czyli szukany pierwiastek to 8 i 8/17, czyli prawie 8 i 8/16 czyli 8,5 cm. Kalkulator rzecze,
że ten dokładniejszy pierwiastek wynosi 8,49cm, czyli nie ma o co kruszyć takich długich
dzid, co to się kopie nazywają.
Druga metoda
Ta metoda jest nieco trudniejsza, ale też do opanowania aby liczyć w pamięci wartość
przybliżoną pierwiastka kwadratowego. Posłużmy się tymi samymi przykładami:
Pierwiastek z 13..... Szukamy liczb o identycznych dzielnikach wokół naszej 13.
Znajdujemy:
12 = 4*3, 14 = 2*7, czyli 4*3,5, zatem 13 = 4*3,25 jako liczba pomiędzy 12 i 14. A teraz
zabierzmy troszkę tej 4 i dodajmy te troszkę do 3,25, aby było po równo. Różnica pomiędzy 4
i 3,25 to 3/4, zatem połowa z tego to 3/8. Odejmijmy te 3/8 od 4 i dodajmy do 3,25.
Wychodzi 3 i 5/8, czyli troszkę więcej niż 3 i 4/8 (3,5) i troszkę mniej niż 3 i 6/8 (3,75),
wybierzmy 3,6, Teraz 3,6 *12 = 36+7,2 = 43,2, a kalkulator podaje wynik 43,27.
W drugim przypadku nawet nie trzeba szukać sąsiednich liczb o identycznych dzielnikach
bo 72=8*9 więc można śmiało założyć, że pierwiastek z liczby 72 to 8,5.
Błędy obu metod
Metoda pierwsza
Błąd wynika z faktu, że stosujemy do obliczenia przybliżenie liniowe, kiedy faktyczna
funkcja jest kwadratowa. Ilustruje to rysunek: czerwona linia to prosta, czarna - fragment
paraboli.
15
Druga metoda
Tu znaleźliśmy pierwiastek o wartości 3 i 5/8. Podnieśmy to do kwadratu:
(3+5/8)*(3+5/8) = 9 + 30/8 + 25/64 = 9 + 3 + 6/8 + 25/64 = 12 + 48/64 + 26/64 = 12 +
74/64 = 12 + 1 + 10/64 = 13 + 10/64 czyli 13 i troszkę więcej niż 1/8.
Warto zauważyć, że w pierwszej metodzie błąd jest zawsze ujemny, w drugiej zawsze
dodatni. W pierwszej metodzie im większa liczba tym mniejszy błąd, bo coraz mniejsza
różnica między linią prostą a parabolą. Błąd maleje również gdy jesteśmy blisko liczby równo
kwadratowej typu 25, 36, 49, czyli błąd przy pierwiastku z 48 jest mniejszy niż przy
pierwiastku z 40.
Zagadki
Droga do autobusu
Przez kilka lat moja droga na przystanek autobusowy wyglądała mniej więcej tak jak na
rysunku. Idąc widziałem fragment ulicy, którą nadjeżdżał autobus. Gdy byłem daleko od
przystanku widziałem mały fragment drogi, zdarzało się, że autobus wyłaniał się znienacka
zza rogu budynku, dojeżdżał do przystanku, a ja byłem zbyt daleko aby zdążyć dostojnym
krokiem, ale im bliżej byłem przystanku tym większy fragment drogi widziałem. Jest taka
odległość pieszego od przystanku, że gdy pojawi się autobus na widocznym fragmencie jego
16
drogi,
autobus z prędkością 20
km/h dojedzie na przystanek w tym
samym czasie, który potrzebny jest
pieszemu aby dojść do przystanku
z prędkością 5 km/h. Jaka to
odległość od przystanku? Kolorem
zielonym zaznaczona widoczność
drogi autobusu dla pewnej odległości pieszego od przystanku.
Dookoła świata?
Na jakiej szerokości geograficznej południki oddalone są od siebie co 10 km?
Zagadka trudna, też dookoła świata
Zagadka zasłyszana, a właściwie zaczytana, ale świetna! Z Warszawy startuje samolot w
kierunku zachodnim. Leci cały czas prosto, przy jakiej długości geograficznej przekroczy
równik. Zaznaczam - nie leci cały czas na zachód, wystartował w kierunku zachodnim i leci
prosto.
Kierki
Gram sobie w necie w Kierki, procent wygranych partii po iluś tam grach wynosi p.
Zagrałem dwa razy, raz wygrałem, raz przegrałem. Czy jest możliwe, że procent wygranych
zmniejszył się, pozostał taki sam, zwiększył się?
Zegarek 1
O godzinie 0:00 lub 12:00 wskazówki pokrywają się.
- O której godzinie wskazówki znowu się pokryją?
- Ile razy w ciągu 12 godzin wskazówki pokrywają się?
Zegarek 2
Minęła północ...
- O której godzinie wskazówki utworzą kąt prosty?
- O której godzinie znowu utworzą kąt prosty?
- Co jaki czas wskazówki tworzą kąt prosty?
- Ile razy w ciągu 12 godzin wskazówki tworzą kąt prosty?
17
Brat
Wzięte z internetu jako śmiesznostka, gimnazjaliści nie wiedzieli:
jak miałem 4 lata mój brat był dwa razy młodszy, teraz mam 18 lat, ile lat ma mój brat?