Filtry cyfrowe NOI (projektowanie)

1
Filtry cyfrowe NOI (projektowanie)
Metoda standardowa transformaty ZET (niezmienniczości odp. impulsowej)
Polega na podziale analogowego filtru prototypowego, na wiele filtrów analogowych o
pojedynczym biegunie. Następnie każdy taki cząstkowy filtr aproksymuje się filtrem
cyfrowym o pojedynczym biegunie. W ten sposób utworzone filtry cyfrowe łączy się w jeden
filtr NOI wyższego rzędu.
Metodę można podzielić na etapy:
1. Wyznacza się transmitancję
prototypowego w postaci:
(transformata
Laplace’a)
N
b s N + b N −1 s N −1 + L + b1 s + b0
H (s ) = N M
=
a M s + a M −1 s M −1 + L + a1 s + a 0
∑b s
k
∑a
k
analogowego
filtru
k
k =0
M
k
s
(1)
k =0
2. Określa się częstotliwość próbkowania fp i oblicza odstęp między próbkami
Tp =
1
fp
(2)
3. Wyraża się funkcję transmitancji H(s) filtru analogowego jako sumę transmitancji
filtrów o pojedynczych biegunach – metoda rozkładu na ułamki proste.
Ak
A1
A2
AM
=
+
+L+
s − s1 s − s 2
s − sM
k =1 s − s k
M
H (s ) = ∑
Oznaczymy transmitancję k-tego filtru analogowego przez:
4. Dokonuje się podstawienia:
s − sk
→ 1− e
sk T p
H k (s ) =
(3)
Ak
s − sk
z −1 w wyrażeniu (3). Takie
s T
odwzorowanie bieguna sk na płaszczyźnie s w punkt z = e k p na płaszczyźnie z jest
aproksymacją odpowiedzi impulsowej jednobiegunowego filtru analogowego przez
jednobiegunowy filtr cyfrowy o transmitancji:
H k (z ) =
Ak
s T
1 − e k p z −1
(4)
2
5. Oblicza się funkcję transmitancji sumy M filtrów cyfrowych o jednym biegunie
M
M
Ak
s k T p −1
z
k =1 1 − e
H (z ) = ∑ H k (z ) = ∑
k =1
(5)
Przekształcając do postaci ilorazu wielomianów:
N
Y (z )
=
H (z ) =
X (z )
∑b z
−k
∑a z
−k
k
k =0
M
k
(6)
k =0
6. W dziedzinie czasu równanie różnicowe opisujące filtr ma postać:
a0 y[n] + a1 y[n − 1] + L aM y[n − M ] = b0 x[n] + b1 x[n − 1] + LbN x[n − N ]
(7)
Przykład projektowania filtru NOI metodą standardową transformaty ZET
Wyznaczono prototyp filtru analogowego, jako dolnoprzepustowy filtr Czebyszewa drugiego
rzędu. Nierównomierność w paśmie przepustowym wynosi 1dB
H (s ) =
17410,145
s + 137,94536s + 17410,145
2
Częstotliwość próbkowania wynosi 100 Hz.
Oznaczymy b=137,94536 oraz c=17410,145
H (s ) =
c
s + bs + c
2
Zapiszemy transmitancję w postaci
H (s ) =
c
(s − s1 )(s − s2 )
gdzie
b
b
4c − b 2
4c − b 2
s1 = − − j
s1 = − + j
2
4
2
4
s1, 2 = −b / 2 m jω
3
Rozkładamy funkcję H(s) na ułamki proste:
H (s ) =
c
(s + b / 2 + jω )(s + b / 2 − jω )
=
A1
A2
+
s + b / 2 + jω s + b / 2 − jω
Stąd
A1 = H (s )(s + b / 2 − jω )
s = −b / 2 − jω
A2 = H (s )(s + b / 2 + jω )
s = −b / 2 + jω
H (s ) =
=
c
c
= j
2ω
s + b / 2 − jω
=
c
c
=−j
2ω
s + b / 2 + jω
jc / 2ω
− jc / 2ω
+
s + b / 2 + jω s + b / 2 − j ω
Filtr analogowy ma dwa bieguny zlokalizowane w punktach s1 i s2 na płaszczyźnie s.
Dokonując podstawienia
s − sk
→ 1− e
sk T p
z −1
odwzorujemy bieguny na płaszczyźnie z
Płaszczyzna s
Płaszczyzna z
Im(s)
Im(z)
jω
Obszar
stabilności
-1
-b/2
1
Obszar
stabilności
Re(s)
-jω
H (z ) =
jc / 2ω
1− e
− (b / 2 + jω )T p
z
−1
+
− jc / 2ω
− (b / 2 − jω )T p −1
1− e
z
Re(z)
4
Przekształcamy wyrażenie do postaci
H (z ) =
( jc / 2ω )ebT
1− e
H (z ) =
− bT p / 2
(e
p
jωT p
/2
(e
−e
− jωT p
− jωT p
jωT
)
− e p z −1
− bT
z −1 + e p z − 2
)
(c / ω )ebT / 2 (sin ωTp )z −1
p
1− e
− bT p / 2
(2 cosωT )z
p
−1
+e
− bT p
z−2
Podstawiając wartości liczbowe:
H (z ) =
70,0595 z −1
1 − 0,432788 z −1 + 0,251716 z − 2
W postaci równania różnicowego:
y[n] − 0,432788 y[n − 1] + 0,251716 y[n − 2] = 70,0595 x[n − 1]
x[n]
+
y[n]
+
z-1
x[n-1]
z-1
70,0595
+
+
0,432788
y[n-1]
z-1
-0,251716
y[n-2]
5
Metoda transformacji biliniowej.
Metoda polega na przejściu od prototypu analogowego filtru H(s) do jego odpowiednika
dyskretnego H(z) poprzez zastosowanie podstawienia:
s=
2  1 − z −1 


Tp  1 + z −1 
(8)
Tp – okres próbkowania
Podstawowe cechy metody transformacji biliniowej:
uproszczenie matematycznego przejścia od H(s) do H(z).(Nie trzeba stosować
przekształcenia Laplace’a oraz ZET, oraz rozkładu na ułamki proste)
odwzorowanie całej płaszczyzny s na płaszczyznę z. ( brak problemu aliasingu)
nieliniowe zniekształcenia osi częstotliwości funkcji H(z) względem H(s) (krótsze
pasmo przejściowe filtru cyfrowego niż prototypu analogowego)
Każdy biegun leżący w lewej półpłaszczyźnie zmiennej s jest odwzorowany w biegun
położony wewnątrz koła jednostkowego na płaszczyźnie zmiennej z.
Przekształcając równanie (8) do postaci
sTp
2
z=
sTp
1−
2
1+
(9)
oraz oznaczając s = σ _ jω a , gdzie ω a - częstotliwość charakterystyki analogowej
Równanie (9) przyjmuje postać:
z=
(1 + σ ) + jω
(1 − σ ) − jω
Tp
Tp
2
2
a
a
Tp
Tp
2
2
(10)
6
Moduł
z=
(1 + σ ) + (ω
(1 − σ ) − (ω
Tp
Tp
2
2
a
2
2
a
Tp
Tp
)
)
2
2
(11)
2
2
Zatem
dla σ < 0
z < 1 bieguny lewostronne
dla σ > 0
z > 1 bieguny prawostronne
Oznacza to, że bieguny zlokalizowane w lewej półpłaszczyźnie zmiennej s przy zastosowaniu
transformacji biliniowej zostaną odwzorowane do wnętrza okręgu jednostkowego zmiennej z.
Gwarantuje to, że stabilne bieguny filtru prototypowego analogowego będą odwzorowane na
stabilne bieguny filtru cyfrowego NOI.
dla σ = 0
z =1
Oś jω a na płaszczyźnie s odwzorowana jest w okrąg jednostkowy na płaszczyźnie z, jednak
odwzorowanie to nie jest liniowe.
Płaszczyzna s
Im(s)
Płaszczyzna z
ωa = ∞
Obszar
stabilności
Im(z)
ωd = π
ωa = ∞
Re(s)
ωd = 0
ωa = 0
Obszar
stabilności
Re(z)
ω a = −∞
Liczba zespolona położona na okręgu jednostkowym zmiennej z
z = e jω d
gdzie ω d - częstotliwość charakterystyki dyskretnej
(12)
7
Podstawiając (12) do (8)
2  1 − e − jω d
s = 
T p  1 + e − jω d



2 e − jω d / 2  e jω d / 2 − e − jω d / 2 


s = σ + jω a =
Tp e − jω d / 2  e jω d / 2 + e − jω d / 2 
s = σ + jω a =
ωa =
2 e − jω d / 2 j sin (ω d / 2 )
Tp e − jω d / 2 cos(ω d / 2 )
2  ωd 
tg  
Tp  2 
 ω aTp 

 2 
ω d = 2arctg 
Nieliniowa zależność między częstotliwościami fd i fa.
fd =
1
π
arctg (πf a / f p )
fd
(13)
fd
fa
Hd
Ha
fa
8
Metodę można podzielić na etapy:
1. Wyznacza się transmitancję
prototypowego w postaci:
(transformata
N
H (s ) =
∑b s
k
∑a s
k
Laplace’a)
analogowego
filtru
k
k =0
M
(14)
k
k =0
2. Określa się częstotliwość próbkowania fp i oblicza odstęp między próbkami
Tp =
1
fp
(15)
3. Za zmienną s w funkcji transmitancji H(s) podstawia się wyrażenie:
2  1 − z −1 


Tp  1 + z −1 
(16)
4. Przekształca się H(z) do postaci ilorazu wielomianów:
N
H (z ) =
∑b z
−k
∑a z
−k
k
k =0
M
k
(17)
k =0
5. W dziedzinie czasu równanie różnicowe opisujące filtr NOI ma postać:
a0 y[n] + a1 y[n − 1] + L aM y[n − M ] = b0 x[n] + b1 x[n − 1] + LbN x[n − N ]
(18)
Przykład projektowania filtru NOI metodą transformacji biliniowej
Wyznaczono prototyp filtru analogowego, jako dolnoprzepustowy filtr Czebyszewa drugiego
rzędu. Nierównomierność w paśmie przepustowym wynosi 1dB
H (s ) =
17410,145
s + 137,94536s + 17410,145
2
Częstotliwość próbkowania wynosi 100 Hz.
9
Oznaczymy b=137,94536 oraz c=17410,145
c
s + bs + c
H (s ) =
2
Podstawiając
s=
2  1 − z −1 


Tp  1 + z −1 
Transmitancja filtru cyfrowego wynosi
H (z ) =
c
2
2  1 − z −1 
2  1 − z −1 
+c



b
+
Tp  1 + z −1 
Tp  1 + z −1 
Oznaczymy a=2/Tp
H (z ) =
c
(
Mnożymy licznik i mianownik przez 1 + z −1
H (z ) =
H (z ) =
(
2
1− z 
 1 − z −1 


+c
a
ab
+
−1 
−1 
1+ z 
1+ z 
−1
)
)
2
(
2
(
c 1 + z −1
)(
)
2
) (
a 1 − z −1 + ab 1 + z −1 1 − z −1 + c 1 + z −1
(
)
(
)
2
c 1 + 2 z −1 + z −2
a 2 + ab + c + (2c − 2a )z −1 + a 2 + c − ab z − 2
(
)
)
Podstawiając wartości liczbowe:
H (z ) =
0,20482 + 0,40965 z −1 + 0,20482 z −2
1 − 0,53153z −1 + 0,350839 z − 2
Równanie różnicowe:
y[n] − 0,53153 y[n − 1] + 0,350839 y[n − 2] = 0,20482 x[n] + 0,40965 x[n − 1] + 0,20482 x[n − 2]
10
x[n]
0,20482
+
w[n]
y[n]
+
z-1
x[n-1]
z-1
0,40965
+
+
0,53153
z-1
z-1
x[n-2]
x[n]
y[n-1]
0,20482
-0,350839
0,20482
+
+
y[n-2]
y[n]
z-1
+
0,53153
0,40965
+
z-1
-0,350839
0,20482
Schemat filtru typu NOI
Porównanie filtrów NOI projektowanych metodą biliniową i metodą niezmienniczości
odpowiedzi impulsowej.
Uzyskanie lepszej charakterystyki amplitudowej zwiększa złożoność filtru. (3 i 5 mnożeń)
11
Porównanie filtrów SOI i NOI
Własność
NOI
SOI
Liczba wymaganych mnożeń
Mała
Duża
Wrażliwość na kwantyzację współczynników
Duża *
Bardzo mała
Prawdopod. wystąpienia błędów przepełnienia
Duże *
Bardzo małe
Stabilność
Musi być
projektowana
Zapewniona
Liniowość fazy
Nie
Zapewniona **
Możliwość symulowania filtru analogowego
Tak
Nie
Sprzętowe wymagania dla pamięci
Małe
Duże
Łatwość projektowania
Średnia
Prosta
Stopień trudności analizy szumu kwantowania
Bardzo trudne
Łatwe
Możliwość filtracji adaptacyjnej
Tak
Tak
*) Można uniknąć stosując struktury kaskadowe
**) Zagwarantowana tylko dla symetrycznych współczynników SOI