1 ZADANIA MATURALNE – LICZBY I ICH WŁASNOŚCI (PR) • Zad.1

ZADANIA MATURALNE – LICZBY I ICH WŁASNOŚCI (PR)
• Zad.1. ( PR - 6 pkt)
Wyznacz zbiór A \ B, jeżeli:
{
}
A = x : x ∈ R ∧ (x − 1)(x 2 + x + 1) ≤ x 2 + x + 1 ,
{
(
}
)
2
B = x : x ∈ R ∧ x 2 + 2x − 9 ≥ 0 .
• Zad.2. (PR – 5pkt)
Udowodnij twierdzenie: „ Jeżeli w czterocyfrowej liczbie naturalnej suma cyfr tysięcy i dziesiątek jest
równa sumie cyfr setek i jedności, to liczba ta jest podzielna przez jedenaście”.
• Zad.3. ( PR – 3 pkt)
Przyjmujemy, że k jest liczbą wszystkich podzbiorów 7-elementowych zbioru 15-elementowego.
Sprawdź, czy:
a) liczba 9 jest dzielnikiem liczby k;
b) liczba 12 jest dzielnikiem liczby k .
• Zad.4. ( PR – 7 pkt )
Wykaż, bez użycia kalkulatora i tablic, że
3
5 2 + 7 − 3 5 2 − 7 jest liczbą całkowitą.
• Zad.5. ( PR – 3 pkt)
(
Stosując wzór dwumianowy Newtona rozwiń wyrażenie 1 − 3
liczbami całkowitymi.
)
5
w postaci a + b 3 , gdzie a i b są
• Zad.6. ( PR - 6 pkt)
Udowodnij stosując zasadę indukcji matematycznej, że dla każdego całkowitego, dodatniego n zachodzi
3
1
równość: 2 + 5 +8 + ... + ( 3n – 1 ) = n 2 + n .
2
2
• Zad. 7. ( PR – 5 pkt)
Korzystając z zasady indukcji matematycznej wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 prawdziwy jest
wzór: 1⋅ 3 ⋅ ( 1! )2 + 2 ⋅ 4 ⋅ ( 2 ! )2 + ... + n ( n + 2 )( n ! )2 = [( n + 1 )! ]2 − 1 .
• Zad. 8. ( PR – 5 pkt)
Udowodnij, że dla każdego n ∈N + liczba 10 n + 4 n − 2
(
)
jest podzielna przez 6.
• Zad.9. ( PR – 6 pkt)
x2 + y2
.
2
Wykaż, że dla każdych x, y ∈ R średnia kwadratowa tych liczb jest nie mniejsza od ich średniej
arytmetycznej. Podaj, kiedy obie średnie są równe.
Średnią kwadratową liczb x, y nazywamy liczbę
• Zad.10. ( PR – 3 pkt )
Wykaż, że jeżeli A = 3√ i B = 3√ , to = 9√.
• Zad.11. ( PR – 4 pkt )
Porównaj liczby oraz , gdzie = 2 − √3 + 2 + √3 , =
1
∙√
∙ √
.
• Zad.12. ( PR – 4 pkt )
a)Wykaż, że jeżeli x i y są liczbami rzeczywistymi i ∙ > 0 to
+ ≥ 2.
b) Wykaż, że jeżeli x, y, z są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to
+ + + + ≥ 9.
• Zad.13. ( PR – 4 pkt )
Rozwiąż nierówność |2 + 2| + | − 2| > 5
• Zad.14. ( PR – 4 pkt )
Wykaż, że wśród rozwiązań równania | + 2| − | − 4| = 6
niewymierną.
istnieje takie, które jest liczbą
• Zad.15. ( PR – 4 pkt )
Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej k liczba − 2 + jest podzielna przez 36.
• Zad.16. ( PR – 4 pkt )
Rozwiąż nierówność |2 + 4| + | − 1| ≤ 6
• Zad.17. ( PR – 4 pkt )
Wykaż, że nierówność ర
ర ర
≥
మ మ
jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste a i b.
• Zad.18. ( PR – 4 pkt )
Uzasadnij, że jeżeli a ≠ b , a ≠ c , b ≠ c i a + b = 2c , to
+
=2
Zadania z informatora:
Zadanie 1.
Oblicz 2 − √3 − 2 + √3 .
Zadanie 2.
Niech A będzie zbiorem wszystkich liczb x, które spełniają równość | − 1| + | − 3| = 2.
Niech B będzie zbiorem wszystkich punktów na osi liczbowej, których suma odległości od
punktów 4 i 6 jest niewiększa niż 4. Zaznacz na osi liczbowej zbiory A i B oraz wszystkie
punkty, które należą jednocześnie do A i do B.
Zadanie 3.
Wykaż, że dla ∈ (2, 3) zachodzi równość
√మ +
√మ =2
Zadanie 4.
Wykaż, że dla wszystkich ∈ 0, 1 i dla wszystkich ∈ 1, ∞ jest spełniona nierówność
log + log ≤ −2.
Zadanie 5.
Dane są liczby: =
ఱయ
ఱ
య
i =
షమ ∙,షఱ
భ
.
ల
a) Sprawdź, wykonując odpowiednie obliczenia, czy liczby m i n są całkowite.
b) Wyznacz liczbę k tak, by liczby m, n, k były odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem
ciągu geometrycznego.
2