PhD - Lublin

Transkrypt

PhD - Lublin

Dariusz Tryniecki
Czarne dziury w teorii półklasycznej i w teoriach z
uogólnionym działaniem grawitacyjnym
Black holes in semiclassical theory and in theories with
generalized gravitational action
Rozprawa doktorska przygotowana
pod kierunkiem dr. hab. Jerzego Matyjaska
Lublin 2016
Panu dr. hab. Jerzemu Matyjaskowi
dziękuje za pomoc i poświęcony czas
Spis treści
1
Spis treści
Spis treści
1
Spis rysunków
4
1 Wprowadzenie
9
1.1
Organizacja pracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Cele rozprawy doktorskiej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Wstep
¾
2.1
2.2
2.3
9
13
Czarne dziury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1
Geneza czarnych dziur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2
Horyzont zdarzeń, osobliwości, najprostsze czasoprzestrzenie czarnych dziur . . 14
2.1.3
Termodynamika czarnych dziur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Teorie z wyz·szymi cz÷onami krzywiznowymi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.1
Kwadratowa grawitacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.2
Grawitacja f (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.3
2.2.4
Teorie wyz·szego rzedu
¾
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Grawitacja Lovelocka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.5
Cechy rozwiazań
¾
grawitacyjnych równań pola
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Rozwiazania
¾
czarnodziurowe w teoriach z wyz·szymi cz÷
onami krzywiznowymi - przeglad
¾ 24
2.3.1
Czarne dziury w teorii kwadratowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.2
Czarne dziury w teorii szóstego rzedu
¾
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.3
Czarne dziury w teoriach wysokiego rzedu
¾ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.4
Czarne dziury Gaussa-Bonneta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.5
Czarne dziury w teorii Lovelocka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3 Zwiazek
¾
kwantowej teorii pola w zakrzywionej czasoprzestrzeni z teoria¾z wyz·szymi
cz÷
onami krzywiznowymi
47
3.1
Wp÷yw kwantowego pola skalarnego na geometrie¾ czasoprzestrzeni . . . . . . . . . . . 47
3.2
Bitensory , 41=2 , 4
3.3
1=2
oraz ich granice koincydencji . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Metody obliczania wspó÷czynników [an ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3.1
Metoda rekurencyjna jawnie kowariantna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3.2
Metoda obliczania z wykorzystaniem wspó÷
czynników Hadamarda . . . . . . . 52
3.3.3
Metoda obliczania poprzez rozwiniecie
¾ Taylora we wspó÷
rzednych
¾
normalnych . 53
3.3.4
Metoda rekurencyjna jawnie kowariantna bezindeksowa . . . . . . . . . . . . . 55
4 Czarne dziury w grawitacji kwadratowej
4.1
59
Na÷adowana czarna dziura w grawitacji kwadratowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1
2
Spis treści
4.2
Regularna czarna dziura w kwadratowej grawitacji sprze¾z·onej z nieliniowa¾ elektrodynamika¾ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5 Czarne dziury w teoriach wysokiego rzedu
¾
5.1
75
Zwrotne dzia÷anie pola skalarnego na metryk¾
e czarnych dziur . . . . . . . . . . . . . . 75
5.1.1
Wspó÷czynniki HaMiDeW - praktyczna realizacja obliczeń . . . . . . . . . . . . 75
5.1.2
Tensor energii-pedu
¾ i jego w÷asności w czasoprzestrzeni
Reissnera-Nordströma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.1.3
Zwrotne dzia÷anie pola na metryk¾
e Schwarzschilda . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.1.4
Ekstremalna kwantowo zmody…kowana czarna dziura
Reissnera-Nordströma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2
Tensor energii-pedu
¾ w czasoprzestrzeni ABGB-(AdS)dS w przypadku pól o ogólnym
spinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.3
Wielowymiarowa sferycznie symetryczna czarna dziura w teoriach wysokiego rzedu
¾
. . 106
6 Metody komputerowe w kwantowej teorii pola w zakrzywionej czasoprzestrzeni:
szczegó÷
y obliczeniowe
6.1
114
Wspó÷czynniki HaMiDeW - projekty programistyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.1.1
Projekt napisany w jezyku
¾
TForm oparty na metodzie rekurencyjnej jawnie
kowariantnej - sposób podstawowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.1.2
¾
Mathematica oparty na metodzie rekurencyjnej
jawnie kowariantnej - sposób podstawowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.1.3
¾
Maple oparty na metodzie rekurencyjnej jawnie
kowariantnej - sposób podstawowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.1.4
¾
Lisp oparty na metodzie rekurencyjnej jawnie kowariantnej - sposób podstawowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.1.5
¾
Form oparty na metodzie rekurencyjnej jawnie
kowariantnej - mody…kacja I
6.1.6
¾
6.1.7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
¾
jawnie kowariantnej - mody…kacja I
6.1.8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
¾
Form oparty na metodzie rekurencyjnej jawnie
kowariantnej - mody…kacja II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.1.9
¾
jawnie kowariantnej - mody…kacja II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.1.10 Projekt napisany w jezyku
¾
kowariantnej - mody…kacja II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
¾
Lisp oparty na metodzie rekurencyjnej jawnie kowariantnej - mody…kacja II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2
Spis treści
3
¾
Form oparty na metodzie obliczeń wspó÷
czynników
[an ] z wykorzystaniem wspó÷czynników Hadamarda - sposób podstawowy . . . 123
¾
TForm oparty na metodzie obliczeń wspó÷czynników
¾
Mathematica oparty na metodzie obliczeń wspó÷
czynników [an ] z wykorzystaniem wspó÷czynników Hadamarda - sposób podstawowy 124
¾
Maple oparty na metodzie obliczeń wspó÷czynników
¾
Lisp oparty na metodzie obliczeń wspó÷
czynników
¾
czynników
[an ] z wykorzystaniem wspó÷czynników Hadamarda - mody…kacja I . . . . . . . 126
¾
TForm oparty na metodzie obliczeń wspó÷czynników
[an ] z wykorzystaniem wspó÷czynników Hadamarda - mody…kacja I . . . . . . . 127
¾
czynników [an ] z wykorzystaniem wspó÷czynników Hadamarda - mody…kacja I . . . 127
¾
czynników
[an ] z wykorzystaniem wspó÷czynników Hadamarda - mody…kacja II . . . . . . 128
¾
czynników [an ] z wykorzystaniem wspó÷czynników Hadamarda - mody…kacja II
. . 128
¾
Maple oparty na metodzie obliczeń wspó÷czynników
¾
czynników
¾
czynników
[an ] poprzez rozwiniecie
¾ Taylora we wspó÷rzednych
¾
normalnych-sposób podstawowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
¾
czynników [an ] poprzez rozwiniecie
¾
normalnych-sposób
podstawowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
¾
Form oparty na metodzie rekurencyjnie jawnie
kowariantnej bezindeksowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.2
Efektywność obliczeń wspó÷czynników [an ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.3
Tensor energii-pedu
¾ - projekty programistyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.3.1
¾
Mathematica oparty na metodzie obliczeń tensora
energii-pedu
¾ z wykorzystaniem jego de…nicji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.3.2
¾
Mathematica, Maple i Perl oparty na metodzie
obliczania tensora energii-pedu
¾ poprzez redukcje¾ dzia÷
ania efektywnego Wren . 139
7 Podsumowanie
141
3
4
Spis rysunków
8 Dodatek
145
8.1
Formalizm Avramidiego - przyk÷ad obliczeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
8.2
Funkcje fi
8.3
Wspó÷czynnik [a5 ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
8.4
Funkcje Ca
8.5
D-wymiarowe obiekty krzywiznowe w pierwszym rzedzie
¾
przybliz·enia . . . . . . . . . . 156
8.6
Sk÷
adowa Ta
8.7
Przyk÷ady kodów źród÷owych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
( )
(i)b
( )
i fi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
(i)b
oraz Da
(2)b
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
8.7.1
Jezyk
¾
Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
8.7.2
Jezyk
¾
Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.7.3
Jezyk
¾
Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.7.4
Jezyk
¾
Lisp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
8.7.5
Jezyk
¾
Perl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
8.7.6
Jezyk
¾
C++ (pakiet GiNaC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
8.7.7
Jezyk
¾
C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Literatura
201
Spis rysunków
R
(0)t
1
Grupa programów, których celem jest obliczenie
St
2
nacza, z·e program zosta÷napisany w jezyku
¾
Form. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Dwa etapy obliczeń zrenormalizowanego tensora energii-pedu:
¾
obliczenie Wren i oblicze-
dr. Niebieski kolor bloku oz-
nie T ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3
Metody, sposoby oraz jezyki,
¾
którymi wykonane zosta÷y obliczenia [an ], a tym samym
obliczenia przybliz·onej wartości Wren . Plus oznacza, z·e dany projekt programistyczny
zosta÷wykonany w oparciu o dana¾ metode,
¾ sposób oraz jezyk.
¾
. . . . . . . . . . . . . . 77
4
Szczegó÷owa struktura Wren w przypadku obliczeń wspó÷czynników HaMiDeW metoda¾
rekurencyjna jawnie kowariantna¾- sposób podstawowy. Niebieski kolor bloku oznacza,
5
z·e program zosta÷napisany w jezyku
¾
Form. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2
Przeskalowana ‡uktuacja kwadratowa
( = 16 2 M 2 ) w czasoprzestrzeni ReissneraNordströma liczona na horyzoncie zdarzeń dla mM = 2. Oś pozioma to q = e=M , zakres parametru to q 2 h0; 0:8i. Linia kropkowana odpowiada
odpowiada
6
2
3
, linia ciag÷
¾ a odpowiada
2
Przeskalowana ‡uktuacja kwadratowa
2
4
2
2
, linia kreskowana
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
( = 16
2M 2)
w czasoprzestrzeni Reissnera-
Nordströma liczona na horyzoncie zdarzeń dla mM = 2. Oś pozioma to q = e=M , zakres parametru to q 2 h0:8; 1i. Linia kropkowana odpowiada
odpowiada
7
2
3
, linia ciag÷
¾ a odpowiada
2
4
2
2
, linia kreskowana
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Metody i jezyki,
¾
którymi zosta÷
y wykonane obliczenia T ab . Plus oznacza, z·e dana¾
metoda,
¾ sposobem oraz jezykiem
¾
zosta÷wykonany projekt programistyczny. . . . . . . 85
4
Spis rysunków
8
5
Szczegó÷owa struktura T ab w przypadku obliczeń tensora energii-pedu
¾ z de…nicji. Projekt oparty jest na wielu jezykach
¾
programowania. Kolor bloków oznacza rodzaj
jezyka:
¾
szary - Perl, czerwony - Mathematica, zielony - Maple, niebieski - Form. . . . . 86
9
Szczegó÷owa struktura T ab w przypadku obliczeń metoda¾ poprzez redukcje¾ dzia÷
ania
10
efektywnego. Niebieski kolor bloku oznacza, z·e program zosta÷napisany w jezyku
¾
Form. 90
4
2
Dwie przeskalowane funkcje C ( = 90 (8M ) ) zalez·ne od parametru x = (r r+ ) =M
obliczone w czasoprzestrzeni Schwarzschilda dla mM = 2: górna (patrzac
¾ na punkt
x = 0) obliczona przez Andersona, Hiscocka i Samuela, dolna obliczona z wyz·sza¾
dok÷adnościa.
¾ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
11
Dwie przeskalowane funkcje D
( = 90
2 (8M )4 )
zalez·ne od parametru x = (r
r+ ) =M
obliczone w czasoprzestrzeni Schwarzschilda dla mM = 2: dolna (patrzac
¾ na punkt
x = 0) obliczona przez Andersona, Hiscocka i Samuela, górna obliczona z wyz·sza¾
dok÷adnościa.
¾ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
12
Dwie przeskalowane funkcje C
( = 90
2 (8M )4 )
r+ ) =M
obliczone w czasoprzestrzeni Reissnera-Nordströma (e=0,95M) dla mM = 2: linia
przerywana odpowiada przybliz·eniu pierwszego rzedu,
¾
linia ciag÷
¾ a¾ odpowiada wyz·szej
dok÷adności obliczeń. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
13
Dwie przeskalowane funkcje D
( = 90
2 (8M )4 )
r+ ) =M
obliczone w czasoprzestrzeni Reissnera-Nordströma (e=0,95M) dla mM = 2: linia
¾
linia ciag÷
¾ a¾ odpowiada wyz·szej
dok÷adności obliczeń. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
(s)
i
14
Wspó÷czynniki
15
Przeskalowane sk÷
adowe tensora energii-pedu
¾ konforemnie sprze¾z·onego masywnego
dla skalarnych, spinorowych i wektorowych pól masywnych. . . . . 102
pola skalarnego w pobliz·u horyzontu ultraextremalnego regularnej czarnej dziury.
Krzywe od góry do do÷u reprezentuja¾ odpowiednio radialna,
¾ czasowa¾ i kontowa¾ sk÷
adowa.
¾ [ = M 6 m2 =102 ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
16
Przeskalowane sk÷
pola skalarnego w pobliz·u horyzontu ultraextremalnego regularnej czarnej dziury.
Krzywe od góry do do÷
u w punkcie x= 0.1 reprezentuja¾odpowiednio radialna,
¾ czasowa¾
i kontowa¾ sk÷
adowa.
¾ [ = M 6 m2 =102 ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
17
Przeskalowane sk÷
skalarnego pola kwantowego w otoczeniu centrum czarnej dziury. Tensor w centrum
jest identyczny z odpowiednikiem dla geometrii de Sittera. [ = M 6 m2 =102 ]
18
. . . . . 105
Realizacja programistyczna obliczeń równań pola przy wykorzystaniu metody dzia÷
ania zredukowanego. Projekt oparty jest na wielu jezykach
¾
programowania. Kolor
bloków oznacza rodzaj jezyka:
¾
niebieski - Form, szary - Perl, zielony - Maple. . . . . . 108
19
Realizacja programistyczna obliczeń jawnej postaci obiektów Rk . Projekt oparty jest
na wielu jezykach
¾
programowania. Kolor bloków oznacza rodzaj jezyka:
¾
niebieski -
Form, szary - Perl, zielony - Maple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5
6
Spis rysunków
20
21
Realizacja programistyczna obliczeń jawnej postaci obiektów Rk . Czerwony kolor
bloku oznacza, z·e program zosta÷napisany w jezyku
¾
Mathematica. . . . . . . . . . . . 110
Realizacja programistyczna obliczeń jawnej postaci obiektów Rk . Obliczenia oparte na
pakiecie GiNaC. Projekt oparty jest na wielu jezykach
¾
programowania. Kolor bloków
oznacza rodzaj jezyka:
¾
…oletowy - pakiet GiNaC, szary - Perl, czerwony - Mathematica.110
22
rekurencyjna¾ jawnie kowariantna.
¾ Czerwony kolor bloku oznacza, z·e program zosta÷
napisany w jezyku
¾
Mathematica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
23
¾ Zielony kolor bloku oznacza, z·e program zosta÷
napisany w jezyku
¾
Maple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
24
¾ Pomarańczowy kolor bloku oznacza, z·e program
zosta÷napisany w jezyku
¾
Lisp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
25
rekurencyjna¾ jawnie kowariantna¾ zmody…kowana¾ typu I. Niebieski kolor bloku oz-
26
¾
Form. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
rekurencyjna¾ jawnie kowariantna¾ zmody…kowana.
¾ Czerwony kolor bloku oznacza, z·e
program zosta÷napisany w jezyku
¾
Mathematica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
27
rekurencyjna¾ jawnie kowariantna¾ zmody…kowana¾ typu II. Niebieski kolor bloku oz-
28
¾
Form. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
rekurencyjna¾ jawnie kowariantna¾ zmody…kowana¾ typu II. Czerwony kolor bloku oz-
29
¾
Mathematica. . . . . . . . . . . . . . . . . 121
rekurencyjna¾jawnie kowariantna¾zmody…kowana¾typu II. Zielony kolor bloku oznacza,
30
¾
Maple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
rekurencyjna¾ jawnie kowariantna zmody…kowana typu II. Pomarańczowy kolor bloku
31
oznacza, z·e program zosta÷napisany w jezyku
¾
Lisp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Szczegó÷owa struktura Wren w przypadku obliczeń wspó÷
czynników HaMiDeW z wykorzystaniem wspó÷
czynników Hadamarda. Niebieski kolor bloku oznacza, z·e program
¾
Form. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
32
czynników HaMiDeW z wykorzystaniem wspó÷czynników Hadamarda. Czerwony kolor bloku oznacza, z·e program
¾
Mathematica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6
Spis rysunków
33
7
czynników HaMiDeW z wykorzystaniem wspó÷czynników Hadamarda. Zielony kolor bloku oznacza, z·e program
¾
Maple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
34
czynników Hadamarda. Pomarańczowy kolor bloku oznacza, z·e program zosta÷napisany w jezyku
¾
Lisp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
35
czynników HaMiDeW z wykorzystaniem wspó÷czynników Hadamarda metoda¾rekurencyjna¾jawnie kowariantna¾zmody…kowana¾ typu I. Niebieski kolor bloku oznacza, z·e program zosta÷napisany w jezyku
¾
Form. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
36
czynników HaMiDeW z wykorzystaniem wspó÷czynników Hadamarda metoda¾rekurencyjna¾jawnie kowariantna¾zmody…kowana¾ typu I. Czerwony kolor bloku oznacza, z·e program zosta÷napisany w jezyku
¾
Mathematica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
37
czynników HaMiDeW z wykorzystaniem wspó÷czynników Hadamarda metoda¾rekurencyjna¾jawnie kowariantna¾zmody…kowana¾ typu II. Niebieski kolor bloku oznacza, z·e program zosta÷napisany w jezyku
¾
Form. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
38
czynników HaMiDeW z wykorzystaniem wspó÷czynników Hadamarda metoda¾rekurencyjna jawnie kowariantna¾zmody…kowana¾ typu II. Czerwony kolor bloku oznacza, z·e program zosta÷napisany w jezyku
¾
Mathematica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
39
czynników HaMiDeW z wykorzystaniem wspó÷czynników Hadamarda metoda¾rekurencyjna¾jawnie kowariantna¾zmody…kowana¾ typu II. Zielony kolor bloku oznacza, z·e program zosta÷napisany w jezyku
¾
Maple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
40
czynników HaMiDeW z wykorzystaniem wspó÷czynników Hadamarda metoda¾rekurencyjna¾jawnie kowariantna¾zmody…kowana¾ typu II. Pomarańczowy kolor bloku oznacza, z·e program zosta÷napisany w
jezyku
¾
Lisp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
41
poprzez rozwiniecie
¾
Taylora we wspó÷rzednych
¾
normalnych. Niebieski kolor bloku
42
¾
Form. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Alternatywna metoda otrzymania rozwiniecia
¾ Taylora metryki we wspó÷
rzednych
¾
nor-
43
malnych. Niebieski kolor bloku oznacza, z·e program zosta÷napisany w jezyku
¾
Form. . 133
poprzez rozwiniecie
¾ Taylora we wspó÷
rzednych
¾
normalnych. Czerwony kolor bloku
¾
Mathematica. . . . . . . . . . . . . . . . 134
7
8
Spis rysunków
44
rekurencyjna¾ jawnie kowariantna¾ bezindeksowa. Niebieski kolor bloku oznacza, z·e
¾
Form. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
45
Maksymalny wspó÷
czynnik [an ] obliczony za pomoca¾ danej metody, sposobu oraz
jezyka
¾
programowania. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
46
Szczegó÷owa struktura programu do obliczeń pochodnej kowariantnej. Kolor czarny
47
¾
C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Program do obliczeń pochodnej kowariantnej. Niebieski kolor bloku oznacza, z·e program zosta÷napisany w jezyku
¾
Form. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
48
Szczegó÷owa struktura T ab w przypadku obliczeń z de…nicji tensora energii-pedu.
¾
Cz-
49
erwony kolor bloku oznacza, z·e program zosta÷napisany w jezyku
¾
Mathematica. . . . 140
ab
Szczegó÷owa struktura T w przypadku obliczeń metoda¾ poprzez redukcje¾ dzia÷ania
efektywnego. Projekt oparty jest na wielu jezykach
¾
programowania. Kolor bloków
oznacza rodzaj jezyka:
¾
szary - Perl, czerwony - Mathematica, zielony - Maple. . . . . . 140
8
1
Wprowadzenie
1
9
Wprowadzenie
1.1
Organizacja pracy
Niniejsza rozprawa sk÷
ada sie¾ z czterech cześci:
¾
wstepu,
¾
cześci
¾
g÷
ównej, podsumowania oraz
dodatku.
Zadaniem wstepu
¾
jest wprowadzenie czytelnika w bogaty świat czarnych dziur w teoriach z
wyz·szymi cz÷onami krzywiznowymi. W podrozdziale 2.1 w sposób zwiez÷
¾ y przedstawiam podstawowe
informacje na temat klasycznych czarnych dziur. W podrozdziale 2.2 podaje¾ ogólna¾ charakterystyk¾
e
klasycznej i pó÷klasycznej grawitacji z wyz·szymi cz÷onami krzywiznowymi, a takz·e omawiam typowe
problemy pojawiajace
¾ sie¾ w tego typu teoriach. W podrozdziale 2.3 dokonuje¾ przegladu
¾ literatury
dotyczacej
¾ tematyki czarnych dziur w teoriach z wyz·szymi cz÷onami krzywiznowymi.
Celem cześci
¾ g÷
ównej rozprawy jest przedstawienie oryginalnych wyników uzyskanych w latach
2004-2014, z których cześć
¾ nie zosta÷a jeszcze opublikowana. Wszystkie oryginalne rezultaty zosta÷
y
na potrzeby niniejszej pracy przeliczone raz jeszcze, czesto z wykorzystaniem innych strategii i technik obliczeniowych. Pozwoli÷o to nadać przedstawionemu materia÷owi bardziej jednolity charakter.
Rozdzia÷3 zawiera podstawy teoretyczne oraz metody stosowane w oryginalnej cześci
¾ pracy. Rozdzia÷y 4 i 5 przedstawiaja¾ wyniki, które sa¾ zawarte w 8 artyku÷ach, których jestem wspó÷
autorem.
Rozdzia÷6 przedstawia opis projektów komputerowych wykorzystywanych do otrzymywania wyników
z oryginalnej cześci
¾ rozprawy oraz analize¾ szybkości jezyków
¾
programowania i metod obliczeniowych.
Podsumowanie zawiera wnioski p÷ynace
¾ z rozprawy oraz krótka¾ dyskusje¾ moz·liwych uzupe÷
nień
i uogólnień prezentowanych tutaj rezultatów.
W dodatku znajduja¾ sie¾ informacje szczegó÷
owe, które z róz·nych przyczyn nie mog÷
y zostać
w÷aczone
¾
do cześci
¾ g÷ównej rozprawy. Zawarte tam informacje zawieraja¾ dodatkowe rozwaz·ania
teoretyczne, wyniki oraz przyk÷ady kodu źród÷owego programów.
9
10
1
Wprowadzenie
Spis publikacji na których oparta jest niniejsza rozprawa
1. J. Matyjasek i D. Tryniecki, Charged black holes in quadratic gravity, Phys. Rev. D69, 124016
(2004).
2. W. Berej, J. Matyjasek, D. Tryniecki i M. Woronowicz, Regular black holes in quadratic gravity,
Gen. Rel. Grav. 38, 885 (2006).
3. J. Matyjasek, M. Telecka i D. Tryniecki, Higher dimensional black holes with a generalized
gravitational action, Phys. Rev. D73, 124016 (2006).
4. J. Matyjasek, D. Tryniecki i M. Klimek, Regular black holes in an asymptotically de Sitter
universe, Mod. Phys. Lett. A23, 3377 (2009).
5. J. Matyjasek i D. Tryniecki, Next-to-leading term of the renormalized stress-energy tensor of
the quantized massive scalar …eld in Schwarzschild spacetime. The back reaction, Phys. Rev.
D79, 084017 (2009).
6. J. Matyjasek i D. Tryniecki, ADS 2 S 2 geometries and the extreme quantum-corrected black
holes, Mod. Phys. Lett. A24, 2517 (2009).
7. J. Matyjasek, D. Tryniecki i K. Zwierzchowska, Vacuum polarization of the quantized massive
scalar …eld in Reissner-Nordstrom spacetime, Phys. Rev. D81, 124047 (2010).
8. J. Matyjasek, P. Sadurski i D.Tryniecki, Inside the degenerate horizons of regular black holes,
Phys. Rev. D87, 124025 (2013)
1.2
Cele rozprawy doktorskiej
Teorie z wyz·szymi cz÷onami krzywiznowymi pojawiaja¾ sie¾ dosyć powszechnie w teorii grawitacji:
jako alternatywa dla ciemnej energii, jako cz÷
on źród÷owy pó÷
klasycznych równań Einsteina, jako
niskoenergetyczne przybliz·enie teorii strun. Stanowia¾ one naturalne uogólnienie teorii Einsteina
prowadzace
¾ do teorii Lanczosa-Lovelocka i sa¾ niezbedne
¾
w procedurze renormalizacji pól kwantowych. W niniejszej pracy zamierzam zajać
¾ sie¾ kilkoma interesujacymi
¾
mnie problemami, g÷ównie z
obszaru …zyki czarnych dziur, które wia¾z·e obecność wyz·szych cz÷onów krzywiznowych w równaniach
pola grawitacyjnego. Problemami, którymi zamierzam sie¾ zajać
¾ i pytaniami, na które zamierzam
odpowiedzieć sa:
¾
1. Znalezienie przybliz·onego rozwiazania
¾
równań kwadratowej grawitacji, opisujacego
¾
na÷
adowana¾
elektrycznie, statyczna¾ i sferycznie symetryczna¾ czarna¾ dziure¾ oraz zbadanie jej w÷asności.
Podobny problem by÷dyskutowany w pracy [1], jednak nasze podejście jest zdecydowanie
prostsze, a uzyskane rezultaty róz·nia¾sie¾ w sposób istotny od rezutatów otrzymanych wcześniej.
10
1
Wprowadzenie
11
2. Znalezienie rozwiazania
¾
równań kwadratowej grawitacji sprze¾z·onych z elektrodynamika¾ nieliniowa,
¾ opisujacego klase¾ regularnych czarnych dziur. W przypadku równań Einsteina takie
rozwiazanie
¾
zaosta÷o skonstruowane w pracy [2], a nstepnie
¾
krytycznie zreinterpretowane przez
Bronnikova w pracach [3, 4]. Celem jaki stawiam przed soba¾ w tej cześci
¾ rozprawy jest próba
znalezienia regularnych rozwiazań
¾
tego typu w teoriach kwadratowych.
3. Skonstruowanie jednopetlowego
¾
dzia÷ania efektywnego skwantowanego pola skalarnego w granicy
duz·ych mas z dok÷adnościa¾ do wyrazów rzedu
¾ 1=m4 , a nastepnie
¾
zbadanie konsekwencji …zycznych, jakie wynikaja¾ z przyjecia
¾ takiej dok÷adności. W szczególności zbadanie wp÷
ywu pó÷
kwantowych na geometrie¾ czarnej dziury Schwarzschilda i Reissnera-Nordstroma. Nalez·y przy
tym zauwaz·yć, z·e dotychczas zrenormalizowany tensor energii-pedu
¾ skwantowanego pola analizowany by÷y tylko przy wykorzystaniu dzia÷ania efektywnego w pierwszym rzedzie
¾
przybliz·enia, tzn. z dok÷adnościa¾ do cz÷onów rzedu
¾ 1=m2 . Obliczenia te nalez·a¾ do klasy obliczeń
wielkoskalowych.
4. Określenie typu kwantowo-skorygowanej geometrii bezpośredniego sasiedztwa
¾
ekstremalnej czarnej
dziury, przy uwzglednieniu
¾
wyz·szej dok÷
adności obliczeń (z dok÷adnościa¾ do cz÷onu 1=m4 ) w
jednopetlowym
¾
dzia÷
aniu efektywnym. Klasycznie, geometria najbliz·szego sasiedztwa
¾
horyzontu zdarzeń ekstremalnej czarnej dziury Reissnera-Nordströma jest geometria¾ BertottiegoRobinsona. W÷
aczenie
¾
efektów polaryzacji próz·ni w pierwszym rzedzie
¾
przybliz·enia zaburza
geometrie¾ czasoprzestrzeni Reissnera-Nordströma, jednak w otoczeniu horyzontu zdarzeń ekstremalnej czarnej dziury geometria jest typu Bertottiego-Robinsona. Powstaje pytanie, jaka
jest geometria otoczenia horyzontu zdarzeń ekstremalnej czarnej dziury w wyz·szej dok÷
adności
obliczeń. Rozwaz·ania zosta÷
y ograniczone do pola skalarnego. Problem ten jest zwiazany
¾
z poszukiwaniem samozgodnych rozwiazań
¾
pó÷klasycznych równiań Eisteina w klasie czasoprzestrzeni z maksymalnie symetrycznymi podprzestrzeniami.
5. Analiza zachowania tensora energii-pedu
¾ dla pól o dowolnym spinie (pole skalarne, spinorowe
i wektorowe) w czasoprzestrzni ABGB z niezerowa¾ sta÷a¾ kosmologiczna¾ wewnatrz
¾ czarnej dziury. W szczególności zbadanie zachowania tensora-energii pedu
¾ w otoczeniu centrum symetrii
czarnej dziury (regularność), otoczeniu horyzontu ekstremalnego z uwzglednieniem
¾
analizy typu
geometrii.
6. Poszukiwanie rozwiazań
¾
czarnodziurowych teorii z uogólnionym dzia÷aniem grawitacyjnym w
D-wymiarach i w teorii Lanczosa - Lovelocka (21).
Zrealizowanie wymienionych powyz·ej zadań zalez·y w sposób krytyczny od zrealizowania zadań
obliczeniowych, na które sk÷
adaja¾ sie:
¾
1. Poprawne obliczenie wspó÷
czynnika [a4 ] dla pola skalarnego przy wykorzystaniu czterech metod:
(a) metody rekurencyjnej (jawnie kowariantnej) zaproponowanej DeWitta [5],
11
12
1
Wprowadzenie
(b) poprzez rozwiniecie
¾
normalnych,
(c) metody rekurencyjnej (jawnie kowariantnej i bezindeksowej) zaproponowanej przez Avramidiego [6],
(d) metody wykorzystujacej
¾ wspó÷czynniki Hadamarda.
Aby obliczyć dzia÷anie efektywne w przybliz·eniu duz·ych mas pola, nalez·y znać wspó÷czynniki
[an ] . W czterech wymiarach dzia÷
anie efektywne Wren konstruowane z dok÷
adnościa¾ do cz÷onu
1=m4 wymaga znajomości wspó÷czynników [a3 ] i [a4 ]. Wspó÷
czynnik [a4 ] by÷obliczony róz·nymi
metodami [7, 8, 9], jednak przedstawione wyniki nie sa¾ identyczne co prowadzi do wniosku, z·e
zawieraja¾ one techniczne lub typogra…czne b÷edy.
¾
2. Stworzenie metodologii obliczeń opartej na komputerowej algebrze symbolicznej s÷uz·acej
¾ do:
(a) rozwiazywania
¾
równań prowadzacych
¾
do znalezienia biskalarów i ich pochodnych kowariantnych w granicy koincydencji (przyk÷adem jest obliczanie wspó÷
czynników [an ]),
(b) obliczania jawnej postaci tensora energii-pedu
¾ na podstawie dzia÷ania sk÷
adajacego
¾
sie¾ z
dowolnych obiektów krzywiznowych,
(c) upraszczania tensorów przy wykorzystaniu w÷asności ich symetrii,
(d) komunikacji miedzy jezykami
¾
programowania polegajacej
¾ na translacji wyniku …zycznego
ze sk÷
adni danego jezyka
¾
do innego. Translacja ma kluczowe znaczenie w rozwiazywaniu
¾
problemów poruszanych w niniejszej pracy.
3. Rozwiazanie
¾
problemów poruszanych w niniejszej pracy za pomoca¾szerokiego wachlarza strategii programistycznych oraz jezyków
¾
programowania (Mathematica, Maple, Form, Perl, Lisp,
C++ (pakiet GiNaC) oraz C). Za÷
oz·enie to stwarza moz·liwość przetestowania poprawności
wyników obliczeń o duz·ej komplikacji, oraz oceny przydatności poszczególnych jezyków
¾
programowania do obliczeń wykonywanych na potrzebe¾ niniejszej rozprawy.
12
2
Wstep
¾
2
13
Wstep
¾
2.1
2.1.1
Czarne dziury
Geneza czarnych dziur
Obszar w czasoprzestrzeni, z którego w wyniku dzia÷ania pola grawitacyjnego niemoz·liwa jest ucieczka
świat÷
a, nazywamy czarna¾ dziura.
¾ Brzeg tego obszaru to powierzchnia czarnej dziury, zwana takz·e
·
horyzontem zdarzeń. Zaden
…zyczny obiekt nie moz·e wydostać sie¾ z czarnej dziury, choć nie zaprzecza
to oczywiście moz·liwości dostania sie¾ do jej wnetrza.
¾
Choć termin „czarna dziura” zosta÷po raz
pierwszy wprowadzony dopiero w 1967 roku, to na moz·liwości istnienia takich obiektów wskazywano
znacznie wcześniej. Istotnie, juz· w roku 1784 John Mitchell, a nastepnie
¾
w roku 1795 Pierre Laplace
zauwaz·yli, z·e konsekwencja¾ dwóch teorii Newtona (teorii grawitacji i korpuskularnej teorii świat÷
a)
jest moz·liwość powstania obiektów o tak duz·ej masie i tak ma÷ych rozmiarach, z·e nawet świat÷
o nie
bedzie
¾
mog÷o sie¾ z nich wydostać.
Problematyka czarnych dziur pojawi÷
a sie¾ w Ogólnej Teorii Wzgledności
¾
bardzo wcześnie, bo zaledwie kilka tygodni po jej ostatecznym sformu÷
owaniu przez Einsteina i do tego w bardzo naturalny
sposób. W grudniu 1915 roku Karl Schwarzchild jako pierwszy otrzyma÷ścis÷
e statyczne rozwiazanie
¾
próz·niowych równań Einsteina w przypadku sferycznie-symetrycznym [10]. W rozwiazaniu
¾
tym pojawia sie¾ osobliwość zarówno w centrum symetrii (r = 0), jak i na powierzchni o promieniu rg = 2M
(gdzie M to masa cia÷a, rg to tzw. promień grawitacyjny, uz·ywane sa¾jednostki w których c = G = 1).
Wkrótce tez· pojawi÷
y sie¾ i inne interesujace
¾ rozwiazania,
¾
takie jak rozwiazanie
¾
de Sittera, ReissneraNordstroma i Kottlera i wszystkie one posiada÷y zagadkowe w÷
asności.
¾
Mine÷
¾ o kilkadziesiat
¾ lat zanim
dog÷ebnie
¾
zrozumiano strukture¾ takich czasoprzestrzeni i otrzymano pe÷ne rozwiazanie
¾
tego problemu
[11, 12, 13, 14, 15, 16, 17]. Sukces ten zawdzieczano jednak równiez· i pracom wcześniejszym, z których
warto wymienić [18, 19, 20, 21, 22], a takz·e prac, autorzy których starali sie¾ zrozumieć …zyka¾obiektów
o bardzo duzej gestości
¾
materii. Badaniem obiektów zwartych zajmowali sie:
¾ Chandrasekhar (bia÷
e
kar÷
y) [23], Landau [24], Baade i Zwicky [25] oraz Oppenheimer i Volko¤ [26] (gwiazdy neutronowe).
Ich badania wykaza÷
y, z·e gwiazdy neutronowe moga¾ mieć wielkość nawet kilku promieni grawitacyjnych. Z kolei grawitacyjne zapadanie sferycznie-symetrycznego ob÷
oku py÷u, które prowadzi do
powstania czarnej dziury zosta÷o po raz pierwszy przeanalizowane przez Oppenheimera i Snydera w
1939 roku [27].
Kolejny okres rozwoju teorii czarnych dziur przypada na po÷
ow¾
e lat sześćdziesia¾
tych, wkrótce po opublikowaniu przez Synge’a i Kruskala prac poświeconych
¾
maksymalnemu analitycznemu rozszerzeniu rozwiazania
¾
Schwarzsilda oraz pracy Kerra, w której podane jest rozwiazanie
¾
opisujace
¾ obracajac
¾ a¾ sie¾ czarna¾ dziure¾ [28]. Od tamtego czasu datuje sie¾ burzliwy rozwój …zyki
czarnych dziur, który nieprzerwanie trwa do dnia dzisiejszego.
Równie istotne sa¾ kierunki badań majace
¾ na celu doświadczalne potwierdzenie istnienia czarnych
dziur. Poniewaz· w ramach teorii klasycznej czarne dziury nie emituja¾same z siebie z·adnego promieniowania, a promieniowanie Hawkinga (poza superlekkimi czarnymi dziurami) jest zaniedbywalne, ich
detekcja moz·liwa jest jedynie pośrednio. I tak przewidywano pojawienie sie¾ bardzo silnego promieniowania X w wyniku akrecji materii do czarnej dziury [29, 30, 31]. Okaza÷
o sie,
¾ z·e obserwowanych
13
14
2
Wstep
¾
jest kilka obiektów, które potencjalnie moga¾ okazać sie¾ czarna¾ dziura.
¾ Obecnie wiadomo, z·e w naszej
galaktyce istnieja¾ czarne dziury w uk÷adach podwójnych [32]. Sa¾ tez· bardzo silne podstawy do
twierdzenia, z·e znajduja¾ sie¾ one w centrach galaktyk [33, 34, 35], [36, 37]). Nasza Galaktyka nie jest
wyjatkiem,
¾
obserwacje wskazuja,
¾ z·e w jej centrum rezyduje supermasywna czarna dziura, utoz·samiana z radioźród÷em Sagitarius A1*. Inny kierunek poszukiwań czarnych dziur dotyczy badania fal
grawitacyjnych (projekty LIGO, LISA). Przypuszcza sie,
¾ z·e zderzenie czarnych dziur lub czarnej
dziury z gwiazda¾ neutronowa¾ moz·e być źród÷em fal grawitacyjnych o takiej energii, iz· moz·liwe bedzie
¾
ich zarejestrowanie na przez ziemskie detektory.
2.1.2
Horyzont zdarzeń, osobliwości, najprostsze czasoprzestrzenie czarnych dziur
Jeśli w czasoprzestrzeni znajduje sie¾ czarna dziura, dzieli ja¾ona na dwa obszary: wnetrze
¾
oraz obszar
zewnetrzny.
¾
Istota¾ de…nicji czarnej dziury jest to, z·e z obszaru wewnetrznego
¾
nie moz·na przes÷
ać
z·adnej informacji na zewnatrz.
¾
Przedstawiona de…nicja jest nieprecyzyjna. Aby dok÷adnie zde…niować pojecie
¾ czarnej dziury i horyzontu zdarzeń, nalez·y pos÷uz·yć sie¾ jezykiem
¾
matematyki. Czarna
dziura w asymptotycznie p÷askiej czasoprzestrzeni jest obszarem, z którego z·aden przyczynowy sygna÷nie moz·e dotrzeć do J + (ang. „future null in…nity”) [38]. Kaz·dy przyczynowy sygna÷porusza
sie¾ wzd÷uz· krzywej czasowej lub zerowej. Aby zde…niować horyzont zdarzeń, nalez·y wprowadzić
nowe pojecia:
¾
przyczynowa przysz÷ość (ang. „causal future”) punktów Q, oznaczona jako J + (Q)
oraz przyczynowa przesz÷ości (ang. „causal past”) punktów Q oznaczona¾ jako J (Q). Przyczynowa¾
przysz÷
ościa¾ J + (Q) nazywamy zbiór zdarzeń P, które moz·na po÷
aczyć
¾
przyczynowa¾ krzywa¾ (ang.
„causal curve”) z punktem Q. Krzywa ta jest skierowana od punktu Q do P w kierunku przysz÷
ości.
De…nicja przyczynowej przesz÷ość punktu Q oznaczona jako J (Q) jest podobna, jednak krzywa
jest skierowana od punktu P do Q w kierunku przysz÷
ości. Horyzont zdarzeń de…niuje sie¾ jako brzeg
zbioru J (P + ) i oznacza J (P + ) lub H + . Wnetrzem
¾
czarnej dziury B nazywamy wszystkie punkty
p, które nie nalez·a¾ do J (P + ), czyli B = M J (P + ), gdzie M oznacza ca÷
a¾ czasoprzestrzeń.
Czasoprzestrzeń moz·e zawierać wiele czarnych dziur. Horyzont zdarzeń J (P + ) jest wtedy suma¾
horyzontów kaz·dej z nich. Rozwaz·my powierzchnie¾ Cauchyego
( ), czyli powierzchnie¾ przestrzenna¾
określajac
¾ a¾ ewolucje¾ poprzez warunki poczatkowe.
¾
W dowolnej chwili
zawiera ona zbiór dwuwymi-
arowych powierzchni @Si ( ),(i = 1; :::; n), których kaz·dy element jest traktowany jako brzeg czarnej
dziury istniejacej
¾ w danym czasie : Cześć
¾ przestrzeni
( ) ograniczona przez @Si ( ) jest nazywana
czarna¾ dziura¾ Si w danej chwili :
W naturalny sposób nasuwa sie¾ pytanie, jakiego typu powierzchnia¾ jest powierzchnia horyzontu
zdarzeń: czy jest przestrzenna, czasowa, czy moz·e zerowa. Odpowiedzi na to pytanie udziela nastepu¾
jace
¾ rozumowanie: niech pewien punkt p znajduje sie¾ na powierzchni horyzontu zdarzeń i niech w
pewnym sasiedztwie
¾
tego punktu horyzont bedzie
¾
typu czasowego. Po emisji świat÷a z punktu p
formuje sie¾ stoz·ek świetlny skierowany w kierunku przysz÷
ości. Poniewaz· horyzont jest czasowy,
dzieli on stoz·ek na dwie cześci.
¾
Promienie wychodza¾ wówczas z czarnej dziury, ale swój poczatek
¾
maja¾ w jej wnetrzu.
¾
Okazuje sie¾ zatem, z·e z wnetrza
¾
czarnej dziury moz·na przes÷ać informacje¾ na
zewnatrz,
¾
co jest sprzeczne z de…nicja.
¾ Analogiczna sprzeczność pojawia sie¾ równiez·, gdy horyzont
14
2
Wstep
¾
15
bedzie
¾
przestrzenny. Z powyz·szej analizy wynika wiec,
¾ z·e horyzont jest zerowa¾ powierzchnia.
¾ Jednym z matematyków, który zajmowa÷sie¾ opisem horyzontu zdarzeń, by÷Roger Penrose. Dowiód÷on
miedzy
¾
innymi, z·e horyzont zdarzeń jest uformowany z zerowych geodezyjnych (tzw. generatorów),
które nie przecinaja¾ sie¾ w przysz÷ości. Generatory nigdy nie opuszczaja¾ horyzontu zdarzeń H + w
przysz÷
ości oraz nigdy nie przecinaja¾ sie¾ w przysz÷
ości. Konsekwencja¾ wyników Penrose’a jest to, z·e
czarna dziura nie moz·e zniknać,
¾ ani tez· dzielić sie¾ na dwie lub wiecej
¾ czarnych dziur [39].
Aby określić brzeg czarnej dziury H + nalez·y znać ca÷
a¾ historie¾ danego wszechświata, w którym
sie¾ ona znajduje. Przypuśćmy, z·e w danej czasoprzestrzeni w danej chwili znajduje sie¾ czarna dziura
o masie M . Rodzi sie¾ pytanie czy horyzont zdarzeń ma promień rg1 = 2M . Otóz·, bez znajomości
dalszej historii, nie moz·na tego stwierdzić. Jeśli po pewnym czasie w czarnej dziurze znajdzie sie¾ cia÷
o
o masie
M , promień horyzontu zdarzeń wzrośnie rg2 > rg1 , a zerowe geodezyjne, które przechodza¾
¾ czarnej dziury i skończa¾ swój bieg w osobliwości r = 0.
przez powierzchnie¾ rg1 znajda¾ sie¾ wewnatrz
Te geodezyjne nie sa¾ zatem brzegiem czarnej dziury. Nie moz·na powiedzieć wiec,
¾ z·e rg1 nalez·a÷do
+
H . Bardziej jaskrawy przyk÷ad dotyczy materii, która zapada sie¾ grawitacyjnie. W procesie tym w
pewnym punkcie o promieniu zerowym powstaje powierzchnia H + . W miare¾ up÷
ywu czasu promień
horyzontu wzrasta do r1 . Jeśli przed zapadnieciem
¾
sie¾ poniz·ej promienia grawitacyjnego gwiazda
eksploduje, nie powstanie czarna dziura i nie moz·na powiedzieć, z·e istnia÷kiedykolwiek promień
czarnej dziury r1 [38].
Wkrótce po sformu÷owaniu Ogólnej Teorii Wzgledności
¾
przez Einsteina znaleziono rozwiazania
¾
równań Einsteina: Schwarzschilda i kosmologiczny model Friedmanna. Oba te rozwiazania
¾
posiadaja¾
osobliwości w tym sensie, z·e krzywizna i gestości
¾
materii sa¾ nieskończone w pewnym punkcie czasoprzestrzeni. Rozwiazanie
¾
Schwarzschilda ma osobliwość w r = 0, natomiast model Friedmanna w
czasie t = 0, gdzie ca÷
a materia jest skondensowana w zerowej objetości.
¾
W poczatkowym
¾
okresie
…zyki czarnych dziur panowa÷poglad,
¾ z·e osobliwości pojawiaja¾ sie¾ w wyniku narzucenia na czasoprzestrzeń symetrii. Rozwiazanie
¾
Schwarzchilda jest osobliwe gdy r = 2M oraz r = 0. Osobliwość w
r = 2M to osobliwość pozorna, poniewaz· moz·na ja¾ usunać
¾ przechodzac
¾ do nowych wspó÷
rzednych.
¾
abcd
Punkt r = 0 jest natomiast osobliwościa¾ rzeczywista¾ (poniewaz· np. R
Rabcd ! 1) i nie moz·na jej
usunać
¾ z pomoca¾ z·adnej transformacja¾ wspó÷rzednych.
¾
Czasoprzestrzeń Schwarzschilda jest równiez·
osobliwa w tym sensie, z·e przyczynowe geodezyjne skierowane w przysz÷
ość maja¾ swój koniec w
punkcie osobliwym i osiagaj
¾ a¾ ten punkt w skończonym czasie w÷asnym. O krzywych takich mówi
sie,
¾ z·e sa¾ geodezyjnie niekompletne [40, 39, 41]. Istnienie osobliwości tam, gdzie skalary krzywiznowe
oraz gestości
¾
sa¾ nieskończone, wskazuje na prawdziwa¾ osobliwość czasoprzestrzeni oraz za÷
amanie w
tych punktach znanych nam praw …zyki.
Roger Penrose oraz Stephen Hawking badali problem powstawania osobliwości dla ogólnych typów
czasoprzestrzeni. Twierdzenia o osobliwościach (ang: „singularity theorem”) orzekaja,
¾ z·e przy za÷oz·eniu pewnych warunków (materia spe÷nia …zycznie umotywowane warunki energetyczne, w czasoprzestrzeni nie sa¾ naruszone zasady przyczynowości oraz w pewnym obszarze wystepuje
¾
silne pole
grawitacyjne umoz·liwiajace
¾ pu÷apkowanie materii) w czasoprzestrzeni zawsze powstanie osobliwość
[39].
15
16
2
Wstep
¾
Najprostszym przyk÷adem czarnej dziury jest czarna dziura Schwarzschilda opisana metryka¾
ds2 =
2M
r
1
dt2 + 1
2M
r
1
dr2 + r2 d
2
+ sin2 d
2
.
(1)
Jak juz· wspomnielismy wcześniej, rozwiazanie
¾
to zosta÷o znalezione przez Karla Schwarzschilda i
opisuje geoemtrie¾ na zewnatrz
¾ sferycznie symetrycznego cia÷a o masie M [10]. Charakterystyczna¾
cecha¾ tej czasoprzestrzeni jest jej osobliwy charakter gdy r ! 2M . Tradycyjnie promień r = 2M
nazywmy sie¾ promieniem Schwarzschilda lub promieniem grawitacyjnym i określa on miejsce geometryczne punktów, które nazywamy horyzontem zdarzeń. Nalez·y przy tym zauwaz·yć, z·e osobliwość
przy r = 2M jest jedynie osobliwościa¾ zwiazan
¾ a¾ z niefortunnym wyborem wspó÷rzednych.
¾
Istotnie,
Kruskal i Szekeres w 1960 roku wprowadzili nowe wspó÷rzedne:
¾
U , V , które usune÷
¾ y ta¾ osobliwość
[14, 15]. Element liniowy Kruskala-Szekeresa ma postać
ds2 =
32M 3
e
r
r=2M
dU dV + r2 d
2
(2)
i jak widać jest on regularny w r = 2M: W punkcie r = 0 znajduje sie¾ prawdziwa osobliwość, której
nie moz·na usunać
¾ przy pomocy z·adnej transformacji wspó÷rzednych.
¾
Oczywiście czarna dziura Schwarzschilda nie wyczerpuje listy interesujacych
¾
rozwiazań
¾
tego typu.
Na÷
adowana¾elektrycznie czarna¾dziure¾ Reissnera-Nordströma opisuje sferycznie symetryczny element
liniowy
ds2 =
1
2M
e2
+ 2
r
r
dt2 + 1
2M
e2
+ 2
r
r
1
dr2 + r2 d
2
,
(3)
bed
¾ acy
¾ rozwiazaniem
¾
równań Einsteina-Maxwella, gdzie M to jak poprzenio masa czarnej dziury
a e to jej ÷adunek. Charakterystyczna¾ cecha¾ tej czasoprzestrzeni jest to, równaie gtt = 0 ma w
p
ogólności dwa rozwiazania
¾
r =M
M 2 e2 . Analogicznie jak w przypadku metryki Schwarzschilda, osobliwości w r+ i r moz·na usunać,
¾ przechodzac
¾ do wspó÷rzednych
¾
typu Kruskala. Nalez·y
p
jednak zauwaz·yć, z·e tylko r = 0 jest osobliwościa¾ prawdziwa.
¾ Powierzchnia r+ = M + M 2 e2
p
jest horyzontem zdarzeń, natomiast r = M
M 2 e2 jest horyzontem wewnetrznym.
¾
Zarówno
horyzont zdarzeń, jak i horyzont wewnetrzny
¾
moz·e w ogóle sie¾ nie pojawić (tzw. „naga osobliwość”),
jeśli ÷adunek i masa spe÷niaja¾ warunek e2 > M 2 . W niniejszej pracy bed
¾ e¾ respektować konsekwencje hipotezy kosmicznej cenzury, zgodnie z która¾ osobliwości czarnych dziur sa¾ zawsze ukryte dla
obserwatora zewnetrznego
¾
pod horyzontem zdarzeń.
2.1.3
Termodynamika czarnych dziur
Pierwszym, który zwróci÷uwage¾ na problemy jakie stwarzaja¾ czarne dziury w kontekście procesów
termodynamicznych by÷John Wheeler. Z jego rozwaz·ań wynika÷o, z·e czarne dziury musza¾ posiadać
entropie,
¾ w przeciwnym bowiem wypadku nastapi
¾ naruszenie drugiej zasady termodynamiki. W latach siedemdziesiatych
¾
Bekenstein wykaza÷, z·e wielkościa,
¾ która ma w÷
asności podobne do entropii jest
powierzchnia czarnej dziury A [42]. Ukoronowaniem poszukiwań analogii pomiedzy
¾
termodynamika¾a
16
2
Wstep
¾
17
…zyka¾ czarnych dziur jest sformu÷owanie czterech praw termodynamiki czarnych dziur [43]. Zerowe
prawo - grawitacja powierzchniowa stacjonarnej czarnej dziury jest sta÷a na horyzoncie zdarzeń.
Pierwsze prawo - róz·nice¾ mas pomiedzy
¾
dwiema stacjonarnymi czarnymi dziurami opisuje relacja
dM =
gdzie dM to róz·nica mass,
8
dA +
H
dJ +
H
de;
(4)
- grawitacja powierzchniowa, która wia¾z·e sie¾ z temperatura¾ Hawkinga
relacja¾ TH = =2 , dA - róz·nica powierzchni horyzontów zdarzeń,
dziury, dJ - róz·nica momentów pedu,
¾
H
H
- predkość
¾
katowa
¾
czarnej
- potencja÷elektryczny czarnej dziury, de - róz·nica ÷
adunków
dwóch czarnych dziur. Drugie prawo - powierzchnia horyzontu zdarzeń nie moz·e maleć. Trzecie
prawo - z·aden dowolny proces …zyczny nie moz·e doprowadzić do tego, z·e grawitacja powierzchniowa
zmaleje do zera.
W najprostszych przypadkach czarnych dziur entropia wia¾z·e sie¾ z powierzchnia¾horyzontu zdarzeń
A prosta¾ zalez·nościa¾ A=4, jednak w ogólności, na przyk÷ad dla tzw. brudnych czarnych dziur1 (ang.
„dirty black holes”) relacja ta nie jest spe÷niona. Aby obliczyć entropie¾ moz·na pos÷
uz·yć sie¾ róz·nymi
metodami, z których wymienie¾ tutaj tylko trzy.
Tradycyjna metoda (ang. „Lorentzian techniques”) wymaga znajomości temperatury Hawkinga
TH . Dla statycznej sferycznie symetrycznej i asymptotycznie p÷askiej czasoprzestrzeni opisanej metryka¾
ds2 =
e2
(r)
1
1
2m (r)
r
dt2 + 1
2m (r)
r
TH =
1
e
4 rH
(rH )=2
2m0 (rH ) ,
dr2 + r2 d
2
,
(5)
obliczenia TH prowadza¾ do
1
(6)
gdzie rH oznacza promień horyzontu zdarzeń [44]. Końcowym etapem jest obliczenie entropii poprzez
sca÷
kowanie dM = TH dS.
Druga¾metoda¾obliczania entropii jest metoda Euklidesowa. Wymaga ona, aby w czasoprzestrzeni
wykonać obrót Wicka t ! it [45]. Obrót Wicka zmienia sygnature¾ metryki na Euklidesowa¾(+; +; +; +).
R
Euklidesowy Lagranz·jan i sume¾ statystyczna¾ ÷aczy
¾
relacja Z = D (g; ) exp ( IE (g; ) =}), gdzie
oznacza dowolne pola [45]. Energia swobodna jest powiazana
¾
z suma¾ statystyczna¾ relacja¾ F =
kT ln Z, a ta z kolei z ÷aczy
¾ sie¾ sie¾ z entropia¾poprzez zwiazek
¾ F = U T S. Wykorzystujac
¾ powyz·sze
zalez·ności moz·na pokazać [46, 47], z·e dla ogólnej stacjonarnej i osiowosymetrycznej czarnej dziury
entropia ma postać
Z
AH
p
+ Ssurf (2) gd2 x,
S=
(7)
4
H
gdzie ca÷kowanie przebiega po cześci
¾ przestrzennej horyzontu zdarzeń H, a wielkości
(2) g
i Ssurf to
odpowiednio: wyznacznik z metryki indukowanej na horyzoncie zdarzeń oraz gestość
¾
powierzchniowa
1
„brudne”czarne dziury to takie, które pojawiaja¾sie¾ w wyniku wprowadzenia do teorii dodatkowych pól klasycznych
lub kwantowych, a takz·e czarne dziury w teoriach z wyz·szymi cz÷onami krzywiznowymi.
17
18
2
Wstep
¾
entropii na horyzoncie zdarzeń. Jawna postać gestości
¾
Ssurf wymaga specy…kacji Lagranz·janu. Dla
dalszych rozwaz·ań interesujacy
¾ jest Lagranz·jan typu L = L (Rabcd ) obejmujacy
¾ teorie¾ z wyz·szymi
cz÷
onami krzywiznowymi pozbawiona¾ pochodnych tensora Riemanna. W takim przypadku entropia
przyjmuje postać
S=
AH
+4
4
Z
? ?
J abcd gac
gbd
H
gdzie J ab cd =
@L
;
@Rab cd
p
(2) gd
2
x,
(8)
? to rzut na dwuwymiarowa¾ podprzestrzeń prostopad÷
natomiast gab
a¾ do hory-
zontu zdarzeń. Powyz·sze wyraz·enie przyjmuje szczególnie prosta¾ postać dla przypadku kwadratowej
grawitacji Lkwadrat =
1
16
R2 + Rab Rab , dla której po wykorzystaniu jawnej postaci metryki
sferycznie symetrycznej moz·na otrzymać
2
2
S = r+
+ 2 r+
R+
1
2
Rtt + Rrr
,
(9)
r+
gdzie r+ oznacza promień horyzontu zdarzeń: Nalez·y zwrócić uwage,
¾ z·e w obliczeniach nadal niezbedna
¾
jest znajomość rozwiazań
¾
uogólnionych równań Einsteina kwadratowej grawitacji, a takz·e po÷
oz·enia
horyzontu zdarzeń r+ .
Kolejna z metod obliczania entropii, zaproponowana przez Walda, wia¾z·e konstrukcje¾ entropii
czarnych dziur z twierdzeniem Noether [38, 48, 49, 50, 51]. Majac
¾ pewna¾ gestość
¾
Lagranz·janu L,
w sk÷ad której wchodza¾ pola (w÷
aczaj
¾
ac
¾ metryk¾
e) oznaczone wspólnie
wzgledem
¾
tych pól
, moz·na dokonać wariacji
; otrzymujac
¾
L=E
+ ra
a
(
),
(10)
gdzie E = 0 to równania pola, kropka oznacza sumowanie po wszystkich polach i kontrakcje¾ indeksów tensorowych,
dyfeomor…zm
xa
!
a
jest pradem
¾
Noether. Rozwaz·ajac
¾ wariacje pól
xa
+
a
moz·na otrzymać prad
¾ Noether J ( )
Ja ( ) =
a
(L
)
a
L,
= L
generowana¾ przez
(11)
którego dywergencja zwynosi zero ra J a ( ) = 0, jeśli E = 0. Prad
¾ ten moz·na zapisać w postaci
J a ( ) = rb Qab ( ), gdzie Qab ( ) nazywa sie¾ potencja÷
em Noether. Ca÷ka
Q( ; ) =
liczona po dwuwymiarowej powierzchni
Z
Qab ( ) d
ab
(12)
zwana jest ÷adunkiem Noether. Wybierajac
¾ powierzchnie¾
jako powierzchnie¾ bed
¾ ac
¾ a¾ horyzontem zdarzeń H oraz pole wektorowe
jako wektor Killinga
dla którego H jest horyzontem Killinga, Wald powiaza÷÷
¾
adunek Noether Q ( ; ) z entropia¾ czarnej
dziury S [50, 51], otrzymujac
¾ zwiazek
¾
S=
2
Q (H; ) .
18
(13)
2
Wstep
¾
19
Powyz·sza de…nicja entropii pozwala sprowadzić entropie¾ do postaci (8) [51].
19
20
2
2.2
Wstep
¾
Teorie z wyz·szymi cz÷
onami krzywiznowymi
Zgodnie z obecnym rozumieniem klasycznych równań Einsteina, ich zakres stosowalności ogranicza sie¾
czasoprzestrzeni, których krzywizna jest znaczaco
¾ mniejsza niz· skala Plancka. Przypuszcza sie¾ zatem,
z·e równania te powinny być rozumiane jako pierwsze przybliz·enie bardziej fundamentalnej teorii.
I chociaz· nie jest obecnie jasne, w jaki sposób moz·na taka¾ fundamentalna¾ teorie¾ skonstruować, to
moz·liwe jest postulowanie jej niskoenergetycznego przybliz·enia. Przybliz·enie to mody…kuje klasyczna¾
teorie¾ Einsteina poprzez w÷aczenie
¾
do niej cz÷onów krzywiznowych wyz·szego rzedu
¾ 2 . Grawitacyjna
cześć
¾ ca÷
kowitego dzia÷
ania moz·e być wtedy zapisana w postaci
Ig = I0 + I1 + I2 + :::,
gdzie I0 to dzia÷anie Einsteina, natomiast Ik (dla k
(14)
1) to cz÷ony zawierajace
¾ obiekty krzywiznowe
rzedu
¾ 2k + 2. Z teoria¾ z wyz·szymi cz÷onami krzywiznowymi mamy wiec
¾ do czynienia wtedy, gdy w
ca÷
kowitym dzia÷aniu grawitacyjnym Ig oprócz I0 pojawiaja¾sie¾ dodatkowe cz÷
ony Ik . Poniz·ej dokonamy krótkiego przegladu
¾ teorii, w których obecne sa¾ wyrazy takiego typu, a takz·e teorii pokrewnych.
Oczywiście, mój wybór jest dalece selektywny, a zaprezentowane tutaj uogólnienia i mody…kacje równań Einsteina stanowia¾ jedynie niewielki u÷amek teorii pojawiajacych
¾
sie¾ w literaturze przedmiotu.
2.2.1
Kwadratowa grawitacja
Najprostszym przyk÷adem teorii z wyz·szymi cz÷onami krzywiznowymi jest kwadratowa grawitacja
opisana dzia÷aniem
Ig = I0 + I1 =
1
16
Z
p
d4 x g R + R2 + Rab Rab + Rabcd Rabcd ,
(15)
gdzie do klasycznego dzia÷
ania Einsteina dodano trzy cz÷
ony czwartego rzedu.
¾
Kwadratowa grawitacja jest jednym z najwaz·niejszych przyk÷adów teorii tego typu. Pojawia sie¾ ona w teorii zarówno
w kontekście klasycznym, jak i kwantowym. Na gruncie klasycznym zosta÷
a wprowadzona w 1918
roku przez Hermanna Weyla przy próbach uni…kacji pól elektromagnetycznych i grawitacyjnych [52].
Kwadratowa grawitacja Weyla jest nietypowa poniewaz· nie dopuszcza pojawienia sie¾ w dzia÷aniu
R
p
cz÷
onu klasycznego d4 x gR. Pociaga
¾ to za soba¾ niepoz·adane
¾
z punktu widzenia …zyki cechy
takiej teorii. Przyk÷
adem obrazujacym
¾
te cechy moz·e być najprostsza teoria tego typu sprze¾z·ona
R 4 p
1
2
z materia¾ 16
d x g R + Lm . Analiza rozwiazań
¾
równań pola na zewnatrz
¾ materii (Tab = 0)
ujawnia, z·e czasoprzetrzeń nie jest asymptotycznie p÷aska ale bardzo silnie zakrzywiona [53]. Zachowania takiego nie posiada jednak kwadratowa grawitacja opisana dzia÷aniem (15). Dokonujac
¾
analizy równań kwadratowej grawitacji w granicy s÷abego pola dla czastki
¾
punktowej moz·na otrzymać rozwiazanie
¾
=
2
GM
r
1
1+ e
3
m0 r
4
e
3
m2 r
,
(16)
Dany obiekt krzywiznowy ma wymiar 1=mn , liczb e¾ n nazywamy rzedem,
¾
np. R jest rzedu
¾ 2, poniewaz· [R] = 1=m2 .
20
2
Wstep
¾
21
gdzie m2 =
p
, m0 = [2 (3 + )]
1=2
, gtt = 1 + 2 [54]. Aby otrzymać akceptowalne z punktu
widzenia …zyki zachowanie pola grawitacyjnego, nalez·y na sta÷
e m0 i m2 narzucić warunki m2
0
oraz m0
0:
0. Warunki te ograniczaja¾ wybór sta÷ych
Przy tych za÷oz·eniach funkcja
i
poprzez nierówności 3
+
0;
jest ograniczona nawet w punkcie r ! 0. Analogiczne warunki na
sta÷e sprze¾z·enia istnieja¾ równiez· dla teorii wyz·szych rzedów
¾
[55].
W 1998 roku, badajac
¾ jasność supernowej typu Ia, astronomowie doszli do wniosku, z·e tempo
ekspansji wszechświata rośnie [56,57]. Moz·na przypuszczać, z·e źród÷em tego przyśpieszenia jest
tzw. „ciemna energia” stanowiaca
¾ ok. 70% energii wszechświata. Alternatywa¾ pozwalajac
¾ a¾ uniknać
¾
wprowadzania „ciemnej energii”, jest zmody…kowanie samej teorii grawitacji. Jedna¾ z takich teorii,
angaz·ujacych
¾
wyz·sze cz÷ony krzywiznowe, jest model ciemnej energii oparty na grawitacji GaussaBonneta sprze¾z·onej z polem skalarnym [58]
S=
Z
p
d4 x
g
1
F ( )R
2
1
! ( ) (r )2
2
V( )
gdzie F ( ) ; ! ( ), V ( ), f ( ) to funkcje , natomiast G = R2
f ( ) G + Sm ,
4R
R
+R
(17)
R
to cz÷
on
Gaussa-Bonneta. Powyz·sze dzia÷anie jest inspirowane niskoenergetycznym dzia÷aniem efektywnym
teorii strun [59]. Teoria tego typu pozwala równiez· uniknać
¾ problemu kosmologicznej osobliwości,
która pojawia sie¾ w metryce Friedmanna-Lemaître’a-Robertsona-Walkera, gdy czynnik skali a (t)
da¾z·y do zera. Dla szczególnego wyboru funkcji F ( ) = 1, ! ( ) =
1, V ( ) = 0, f ( ) =
1
16
( )
dokonana zosta÷a analiza rozwiazań.
¾
Gdy cz÷on Gaussa-Bonneta jest zaniedbany ( = 0) rozwiazanie
¾
jest zawsze osobliwe, natomiast istnieja¾ rozwiazania
¾
nieosobliwe, gdy cz÷on Gaussa-Bonneta jest
niezerowy ( 6= 0) przy za÷
oz·eniu, z·e funkcja ( ) ma postać ( ) = n (n > 0) [60].
Z punktu widzenia kwantowej teorii pola w zakrzywionej czasoprzestrzeni w÷aczenie
¾
wyrazów
kwadratowych w krzywiźnie do klasycznego dzia÷
ania Einsteina jest uzasadnione jako konsekwencja
procedury renormalizacji [61]. W teorii tej kwantowe pole wp÷ywa na geometrie¾ czasoprzestrzeni
poprzez wartość oczekiwana¾ tensora energii-pedu
¾
T ab wystepuj
¾ ac
¾ a¾ w pó÷klasycznych równaniach
Einsteina
Rab
1=2g ab R =
D
E
T ab (x) .
(18)
Zak÷adajac,
¾ z·e odzia÷ywanie miedzy
¾
polem kwantowym i grawitacja¾znika, gdy x0 !
ab
oraz w ca÷
ej czasoprzestrzeni spe÷
niony jest warunek jgab
steina moz·na poszukiwać w postaci gab =
ab +
ab .
ab j
1, lim gab =
x0 ! 1
1, rozwiazania
¾
równań Ein-
Przedstawiajac
¾ tensor energii-pedu
¾ w postaci sz-
eregu wzgledem
¾
, moz·na dokonać jego analizy. Okazuje sie,
¾ z·e tensor energii-pedu
¾ posiada nieskończoności trzech róz·nych typów, któe symbolicznie zapiszemy w postaci: 14 ; 12 i log 1. Pierwszy
typ nieskończoności moz·na usunać,
¾ wprowadzajac
¾ cz÷
on odpowiadajacy
¾ sta÷ej kosmologicznej, drugi
natomiast - wprowadzajac
¾ cz÷on odpowiadajacy
¾ sta÷ej grawitacyjnej. Aby usunać
¾ nieskończoność
logarytmiczna¾ nalez·y w÷
aczyć
¾
do teorii kontrcz÷
on ca÷kiem nowego typu, jakim jest kwadratowa
grawitacja.
21
22
2
2.2.2
Wstep
¾
Grawitacja f (R)
Teorie kwadratowej grawitacji i wyz·szych rzedów
¾
maja¾ równiez· zwiazek
¾ z bardziej ogólnymi teoriami
R 4 p
ych krzywizn funkcja f (R)
typu Ig = d x gf (R), poniewaz· w asymptotycznym przybliz·eniu ma÷
R
(l to sta÷a Plancka),
1 lp2 R p
2
2
3
3
4
4
+ lp R + lp R + lp R + ::: jeśli spe÷niony
moz·e być przybliz·ona poprzez (14). Przyk÷adem moz·e być funkcja f (R) =
która¾ moz·na przedstawić w postaci rozwiniecia
¾
f (R) ' R
jest warunek lp R
1. Przyk÷ad ten ma swoja¾ motywacje¾ …zyczna,
¾ poniewaz· taka postać dzia÷ania
grawitacyjnego eliminuje kosmologiczna¾osobliwość w modelu wszechświata Robertsona-Walkera [62].
2.2.3
Teorie wyz·szego rzedu
¾
Teorie z cz÷onami krzywiznowymi rzedu
¾ wyz·szego niz· cztery (teorie wyz·szego rzedu)
¾
dobrze opisuja¾
zjawiska polaryzacji próz·ni kwantowych pól masywnych w granicy duz·ych mas [63, 38, 64]. Stosujac
¾
metode¾ DeWitta-Schwingera [5, 65] moz·na pokazać, z·e gdy d÷
ugość fali Comptona zwiazana
¾
masa¾
pola jest znaczaco
¾ mniejsza od charakterystycznego promienia krzywizny badanej czasoprzestrzeni to
(nielokalne) zjawiska zwiazane
¾
z kreacja¾ czastek
¾
moga¾ zostać zaniedbanie, a przybliz·one zrenormalizowane jednopetlowe
¾
dzia÷
anie efektywne Wren jest zbudowane z lokalnych cz÷onów geometrycznych:
Wren =
1
192
+
+
gdzie wspó÷czynniki
2 m2
Z
d4 xg 1=2
n
(s)
1 R
R+
(s)
2 Rab
Rab +
(s) 3
3 R
+
(s)
ab
4 RRab R
(s)
(s)
(s)
(s)
a
abcd
Rbcde
+ 6 Rba Rcb Rac + 7 Rab Rcd Rc ad b + 8 Rab Rcde
5 RRabcd R
o
(s)
(s)
ef
cd
Ref ab + 10 Rab c d Rb ed f Re af c + O(1=m4 ) ,
9 Rab Rcd
(s)
i
(19)
zalez·a¾ od typu pola (pola o spinie 0, 1/2 lub 1). Do÷aczaj
¾
ac
¾ Wren do
dzia÷ania Einsteina-Hilberta, równania pola moz·na otrzymać w standardowy sposób (18). Pochodna
funkcjonalna Wren liczona¾wzgledem
¾
tensora metrycznego daje zrenormalizowany tensor energii-pedu
¾
badanego pola:
D
E
2
T ab (x) = 1=2
Wren .
gab
g
(20)
Dzia÷
anie efektywne (19) znane jest jedynie z dok÷
adnościa¾ do cz÷
onu 1=m6 , stad
¾ zakres stosowalności przybliz·enia dotyczy bardzo masywnych pól, poniewaz· w tylko tym rez·imie poprawki wyz·szych
rzedów
¾
moga¾ być zaniedbane. Informacja na temat postaci dzia÷ania efektywnego Wren kryje sie¾ w
znajomości wspó÷czynników -
3
[5, 66, 67, 68]. Szczegó÷owe informacje na temat wspó÷czynników
HaMiDeW znajduja¾ sie¾ w podrozdziale 3.1.
Wspó÷czynniki HaMiDeW zwiazane
¾
sa¾ równiez· z …zyka¾ klasyczna,
¾ a konkretnie z si÷a¾ samooddzia÷ywania czastki
¾
(ang. „self force”) [66]. Rozpatrujac
¾ przypadek poruszajacej
¾ sie¾ w zakrzywionej czasoprzestrzeni masywnej czastki
¾
sprze¾z·onej z polem skalarnym, moz·na zadać pytanie o si÷
e¾
samooddzia÷ywania tej czastki
¾
. Si÷
a samooddzia÷
ywania to si÷a, z jaka¾ czastka
¾
dzia÷a na siebie za
pośrednictwem pola skalarnego.
3
Skrót HaMiDeW lub stosowany zamiennie HMDS pochodzi od nazwisk Hadamarda, Minakshisundarama, De Witta
i Seeley’a.
22
2
Wstep
¾
23
Na gruncie matematycznym wspó÷czynniki HaMiDeW maja¾swój wk÷ad do teorii równań róz·niczkowych
czastkowych
¾
liniowych drugiego rzedu
¾ [69, 70, 71], poniewaz· ich znajomość pozwala otrzymać ich
przybliz·one asymptotyczne rozwiazanie.
¾
Wp÷yw w÷
aczenia
¾
pól kwantowych do rozwaz·ań ma istotne znaczenie dla rozwiazań
¾
kosmologicznych, poniewaz· uwzglednienie
¾
poprawek kwadratowych wynikajacych
¾
z procesu regularyzacji
generuje nieosobliwe rozwiazania
¾
[72].
Teorie z wyz·szymi cz÷onami krzywiznowymi w naturalny sposób wynikaja¾ z teorii strun [73].
Na przyk÷ad kwantujac
¾ strune¾ Polyakova metoda¾ ca÷ek po trajektoriach, napotyka sie¾ jednopet¾
lowe rozbiez·ności. Rozbiez·ności te nie pojawiaja¾ sie,
¾ gdy metryka czasoprzestrzeni spe÷nia równania
konsystencji Rab = 0. Dwupetlowe
¾
obliczenia ujawniaja,
¾ z·e rozbiez·ności znikaja,
¾ gdy równania kon0
systencji bed
¾ a¾ zmody…kowane o cz÷on pochodzenia „strunowego”Rab + 2 Racde Rb cde = 0: Równanie
Rab = 0 to analogon klasycznych równań Einsteina dla próz·ni, parametr
0
znakuje cz÷on w rozwiaza¾
niu strunowym bed
¾ acy
¾ bardzo ma÷a¾ ‡uktuacja¾ wzgledem
¾
rozwiazania
¾
klasycznego [74]. W sposób
równowaz·ny moz·na wyprowadzić powyz·sze równania konsystencji, z·adaj
¾ ac
¾ od dzia÷
ania Polyakova
niezmienniczości Weyla oraz rozpatrujac
¾ je z punktu widzenia teorii kwantowej.
2.2.4
Grawitacja Lovelocka
Teorie z wyz·szymi cz÷onami krzywiznowymi moga¾ być tez· naturalnym uogólnieniem teorii Einsteina
na dowolny wymiar czasoprzestrzeni. Taka¾ teoria¾ jest grawitacja Lovelock’a [75, 76], w która zak÷
ada
sie,
¾ z·e lewa strona równań pola grawitacyjnego (oznaczona jako Aij ) posiadaja nastepujace
¾
w÷
asności:
1. tensor Aij jest symetryczny (Aij = Aji ),
2. Aij zalez·y od metryki gab oraz jej pierwszych dwóch pochodnych (Aij = Aij (gab ; gab;c ; gab;cd )),
3. kowariantna dywergencja Aij znika (Aij;i = 0).
Jeśli do trzech powyz·szych dodany zostanie jeszcze warunek, z·e tensor Aij jest liniowy w drugich
pochodnych metryki, to w÷
asności te prowadza¾ do wniosku , z·e Aij = aGij + bg ij , gdzie a i b to
sta÷e, natomiast Gij to tensor Einsteina [52, 77, 78]. Zatem lewa strona równań sk÷adać sie¾ moz·e
jedymie z kombinacji liniowej tensora Einsteina i tensora metrycznego. Lovelock pokaza÷
, z·e tensor
Aij spe÷niajacy
¾ warunki 1-3 jest generowany ze skalara ID poprzez równanie Eulera-Lagrange [75,
79]. Moz·na pokazać, z·e tym skalarem jest
Z
p
gL;
ID =
dD x
[(D 1)=2]
L =
X
k=0
ck Lk ;
Lk = Rk = 2
23
a1 b1
n c1 d1 :::ck dk
:::Rck dkak bk ,
a1 b1 :::ak bk Rc1 d1
(21)
24
2
gdzie
i1 i2 :::iN
j1 j2 :::jN
Wstep
¾
to uogólniona delta Kroneckera której de…nicja ma postać
i1
jN
i1
j1
i1 i2 :::iN
j1 j2 :::jN
,
= det
iN
j1
lub równowaz·nie:
c1 d1 :::cN dN
a1 b1 :::aN bN
=
1
N!
(22)
iN
jN
c1 d1
cN dN
[a1 b1 ::: aN bN ] .
(23)
Cecha¾charakterystyczna¾teorii Lovelock’a jest to, z·e nie generuje ona osobliwych rozwiazań
¾ znalezionych
metoda¾ perturbacyjna¾ [80].
2.2.5
Cechy rozwiazań
¾
grawitacyjnych równań pola
Rozwiazywanie
¾
równań pola grawitacyjnego wynikajacych
¾
z teorii wyz·szych rzedów
¾
niesie ze soba¾
wiele problemów. Takie teorie daja¾ bardzo skomplikowane równania róz·niczkowe, w których wystepuj
¾ a¾ wysokie pochodne tensora metrycznego wzgledem
¾
wspó÷
rzednych,
¾
co powoduje, z·e pojawia
sie¾ nowa klasa rozwiazań
¾
niedostepnych
¾
dla klasycznej teorii Einsteina. Przyk÷adem moz·e być wp÷yw
kwadratowej grawitacji na rozwiazania
¾
próz·niowe, dzieki
¾ której oprócz konwencjonalnego rozwiazania
¾
Minkowskiego, pojawia sie¾ równiez· rozwiazanie
¾
anty-de Sittera [81]. Ponadto pojawiaja¾ sie¾ problemy
zwiazane
¾
z nie…zycznościa¾ niektórych rozwiazań
¾
(brak minimalnej energii, rozwiazania
¾
typu „runaway”[80, 82]), co powoduje konieczność wyselekcjonowania tych …zycznych. Metody, dzieki
¾ którym
moz·na zaradzić tym problemom, to metody perturbacyjne, w których klasyczne rozwiazanie
¾
Einsteina jest przybliz·eniem bazowym, natomiast cz÷
ony wyz·szego rzedu
¾ generuja¾poprawki do rozwiazań
¾
[76]. Metody te rozwijane by÷y w teorii grawitacji z wyz·szymi cz÷
onami krzywiznowymi [83, 84,
85, 86, 54, 87] i innych dziedzinach …zyki (teoria Wheelera-Feynmana [88], relatywistyczny model
Abrahama-Lorenza [89]). Jedna¾ z metod przybliz·onych umoz·liwiajacych
¾
rozwiazywanie
¾
równań pola
grawitacyjnego wyz·szego rzedu
¾ jest metoda przedstawiona w pracy [90]. Wykorzystano ja¾ do badania szeregu interesujacych
¾
…zycznie przypadków, miedzy
¾
innymi: czasoprzestrzeni de Sittera, strun
kosmicznych, na÷adowanej czarnej dziury [90, 1, 91].
2.3
2.3.1
Rozwiazania
¾
czarnodziurowe w teoriach z wyz·szymi cz÷
onami krzywiznowymi - przeglad
¾
Czarne dziury w teorii kwadratowej
Najprostszym rozwiazaniem
¾
opisujacym
¾
czarna¾ dziure¾ jest rozwiazanie
¾
Schwarzschilda. Metryka ta
jest rozwiazaniem
¾
kwadratowej grawitacji bez pól materii (15). Moz·na to ÷
atwo pokazać uwzgledni¾
ajac
¾ w÷asność R = R
= 0, która zachodzi dla metryki Schwarzchilda.
Najprostsza¾ teoria¾ kwadratowa¾ z polami materii jest teoria, w której cz÷onem źród÷owym jest
24
2
Wstep
¾
25
pole elektromagnetyczne opisywane dzia÷aniem Sm
S=
1
16
Z
p
d4 x g R + R2 + Rab Rab + Sm .
(24)
W powyz·szym równaniu nie wystepuje
¾
skalar Kretschmanna Rabcd Rabcd . Takie uproszczenie kwadrap
towej grawitacji jest moz·liwe poniewaz· pochodna funkcjonalna gab cz÷
onu Gaussa-Boneta g(Rabcd Rabcd
4Rab Rab + R2 ) znika w czterech wymiarach. W przeciwieństwie do rozwiazania
¾
Schwarzschilda metryka Reissnera-Nordströma nie jest juz· rozwiazaniem
¾
równań pola, moz·liwe jest jednak znalezienie
rozwiazań
¾
w sposób przybliz·ony. Rozwiazaniem
¾
tak postawionego problemu jest wtedy niewielka
mody…kacja klasycznej metryki i moz·na je zapisać w postaci
gab = gbab + gbab +
ab ,
(25)
gdzie gbab to rozwiazanie
¾
klasycznej teorii Einsteina, natomiast funkcje
…kacje¾ rozwiazania
¾
klasycznego i spe÷
niaja¾ warunki j j
1;
ab
i
ab
charakteryzuja¾ mody-
gbab . Przy wykorzystaniu metryki
(25) zlinearyzowane równania pola kwadratowej grawitacji daja¾ sprze¾z·ony uk÷ad równań
Gab (b
gab ) = 8 Tab ;
8
m20
=
T;
3
m21
m21
m20
ab + 1
(
gdzie m0 2 = 6 + 2 ; m1 2 =
ra rb
c
ab
c
c
;b
c gab )
= 16
Tab
(26)
(27)
1
T gab ;
3
(28)
= 0;
(29)
, a Gab to tensor Einsteina [91]. Powyz·sze równania moga¾ być
interpretowane jako uk÷ad trzech pól: teoria pola grawitacyjnego gbab , masywnego pola skalarnego
oraz masywnego pola tensorowego
ab .
Rozpatrujac
¾ statyczne i sferycznie symetryczny rozk÷
ad
pola elektromagnetycznego, rozwiazaniem
¾
równań (26) jest metryka gbab bed
¾ aca
¾ metryka¾ Reissnera-
Nordströma. Rozwaz·ana symetria pola jest równiez· przyczyna¾ znikania śladu tensora energii-pedu,
¾
co powoduje, z·e pole skalarne jest niewzbudzone. Rozwiazuj
¾ ac
¾ równania ze wzgledu
¾ na ab dla
przypadku r
ds2
M
m1 1 , moz·na otrzymać przybliz·ona¾ metryk¾
e gab
1
+r2 1
2M
e2
+ 2
r
r
2e2
m21 r4
1+
d
2
2e2
m21 r4
dt2 + 1
+ sin2 d
2
2M
e2
+ 2
r
r
.
gbab +
ab
1
1+
2e2
m21 r4
dr2
(30)
Promień horyzontu zdarzeń dla takiej czasoprzestrzeni określa zwiazek
¾
rH = M +
p
M2
e2 ;
(31)
który jest taki sam jak w czasoprzestrzeni Reissnera-Nordströma.W powyz·szym rozwiazaniu
¾
potenc25
26
2
Wstep
¾
ja÷„Newtonowski” uleg÷mody…kacji w stosunku do rozwiazania
¾
klasycznych równań Einsteina. Na
duz·ych odleg÷ościach, oprócz si÷y pochodzacej
¾ od rozwiazania
¾
Reissnera-Nordströma, czastka
¾
podlega
dodatkowej sile odpychajacej.
¾
Charakterystyczna¾ cecha¾ metryki jest to, z·e zerowe geodezyjne na powierzchni = 0 sa¾ takie
same jak w przypadku czasoprzestrzeni Reissnera-Nordströma. Znajomość metryki oraz wykorzystanie podstawowych zasad termodynamiki czarnych dziur umoz·liwia obliczenie wielkości termodynamicznych takich jak temperatura Hawkinga i entropia [42]. Okazuje sie,
¾ z·e temperatura Hawkinga
posiada ta¾sama¾wartość, jak ta obliczona dla klasycznego rozwiazania
¾
Reissnera-Nordströma i wynosi
ona
p
M 2 e2
p
M + M 2 e2
TH =
2
2.
(32)
Entropia jednak róz·ni sie¾ od entropii liczonej dla klasycznej teorii Einsteina i da sie¾ zapisać w postaci
A 8 2 e2
+ 2 .
4
m1 A
S
(33)
Wszystkie powyz·sze rozwaz·ania na temat teorii kwadratowej sprze¾z·onej z polem elektromagnetycznym moz·na rozszerzyć do przypadku obracajacej
¾ sie¾ na÷adowanej czarnej dziury. Aby otrzymać
rozwiazania
¾
moz·na uz·yć równań pola (26-29) oraz tych samych metod przybliz·onych, co w poprzednim przypadku. Metryka czasoprzestrzeni ma ogólna¾ postać
ds2 = gtt dt2 + 2gt dtd + grr dr2 + g d
2
+g d
2
(34)
i moz·na aproksymować ja¾ metryka¾ zlinearyzowana¾ (25). Tensor gbab opisuje klasyczna¾ obracajac
¾ a¾
sie¾ czarna¾ dziure¾ Kerra-Newmanna, natomiast funkcja
= 0, poniewaz· tensor energii-pedu
¾ jest
bezśladowy. Wykorzystujac
¾ równania pola oraz tensor energii-pedu
¾ czarnej dziury Kerra-Newmana
T
(KN )
g
:
we wspó÷rzednych
¾
Boyera-Lindquista [92], moz·na obliczyć funkcje¾
I(+)
gtt =
gt
=
g
=
g
=
2
+
a2 sin2
2
2
I(+)
h
2
2
+ a2
2
)
I( ) ,
co prowadzi do metryki
I( ) ,
+ a2 I(
I(
ab ,
a sin2
)
,
a2 sin2 I(+)
i sin2
,
2
grr =
gdzie I(
)
= 1
2e2
m21 4
,
I(+) ,
= r2 + a2 cos2 ,
(35)
= r2
2M r + a2 + e2 , litera „a” oznacza moment
pedu
¾ J podzielony przez mase.
¾ W÷asności termodynamiczne moz·na przeanalizować analogicznie jak
w poprzednim przypadku. Promień horyzontu zdarzeń oraz grawitacja powierzchniowa posiadaja¾
26
2
Wstep
¾
27
wartości identyczne jak te obliczone dla przypadku klasycznej ogólnej teorii wzgledności,
¾
jednak
powierzchnia A horyzontu zdarzeń juz· tej w÷asności nie ma. Entropie¾ S moz·na wyrazić poprzez trzy
parametry: A; J; i e w nastepuj
¾ acy
¾ sposób
S
A 8 2 e2 8 (4 )4 e2 J 2
+ 2 +
+ :::,
4
3m1 A3
m1 A
(36)
zalez·y ona zatem nie tylko od pola powierzchni, ale tez· i od innych parametrów. Interesujac
¾ a¾
w÷asnościa¾entropii jest to, z·e moz·na ja¾nadal zapisać w postaci identycznej jak ta obliczona w ogólnej
2 . Nalezy jednak zwrócić uwage,
teorii wzgledności
¾
S = 4 rH
¾ z·e równość ta moz·e nie obowiazywać
¾
w
·
przypadku obliczeń dok÷
adnych, a nie przybliz·onych.
Mody…kacja rozwiazania
¾
Reissnera-Nordströma wynikajaca
¾ z w÷aczenia
¾
do teorii cz÷onów kwadratowych (24) poszukiwana by÷
a równiez· przy wykorzystaniu metod przybliz·onych o duz·ej dok÷
adności.
Wyniki przedstawiono w pracy Campanelli, Lousto i Audretsch’a, gdzie metryka otrzymana zosta÷
a
przy pomocy metody perturbacyjnej4 w trzecim rzedzie
¾
dok÷adności [1]. Analizy przeprowadzone w
[93] wykaza÷y, z·e z powodu niefortunnej parametryzacji wykorzystywanej w pracy [1], wiele skadinad
¾
prostych relacji, zosta÷o przedstawionych w sposób nadmiernie skomplikowany.
2.3.2
Czarne dziury w teorii szóstego rzedu
¾
Metryka Schwarzschilda jest rozwiazaniem
¾
teorii kwadratowej bez pól materii. Dodanie do dzia÷
ania
kolejnego cz÷
onu (szóstego rzedu)
¾
majacego
¾
postać
I3 =
Z
p
g c1 R3 + c2 RRab Rba + c3 RRabcd Rcdab + c4 Rab Rcd Rbdac + c5 Rab Rbc Rca + c6 Rab Rbcde Rdeac
d4 x
+c7 Rabcd Rcdef Refab + c8 Rceab Rafcd Rbdef
(37)
powoduje, z·e metryka Schwarzschilda nie jest rozwiazaniem
¾
w tym przypadku [84]. Na liczbowe
wspó÷czynniki ci nie sa¾ nak÷adane z·adne dodatkowe warunki. W pierwszym rzedzie
¾
metody perturbacyjnej musimy rozwiazać
¾ dwa równania
m0 (r) = 48 G ( 98c7 + 25c8 33c6 132c3 ) (2GM )3 =r7
45
+ 90c7
c8 + 30c6 + 120c3 (2GM )2 =r6 ;
2
0
(r) = 48 G ( 54c7 + 18c8
84c3 ) (2GM )2 =r7 ;
21c6
gdzie „prim” oznacza pochodna¾ po wspó÷rzednej
¾
r, a funkcja m (r) i
poprzez
ds2
'
e
2 (r) [1
m (r) =r] dt2
+
dr2
1 m(r)=r
+
r2
d
2
2
+ sin
d
2
(38)
(39)
(r) wia¾z·e sie¾ z metryka¾
. Moz·na zatem zauwaz·yć,
z·e rozwiazanie
¾
Schwarzschilda moz·e istnieć tylko, gdy c3 = c6 = c7 = c8 = 0. Obliczone z pomoca¾
4
Metoda perturbacyjna omówiona zosta÷a w podrozdziale 4.1.
27
28
2
Wstep
¾
standardowych metod promień horyzontu zdarzeń i entropia ulegaja¾ mody…kacji
r+ = 2GM 1
G3 M 4
S = 4 GM 2 +
3
6c3 + 5c7 + c6
2
,
c8
(40)
2 2
(4c4 + c8 ) .
G2 M 2
(41)
Szczególnym przypadkiem teorii szóstego rzedu
¾ jest klasyczna teoria Einsteina wzbogacona o
(2)
(2)
tylko jeden cz÷
on typu Lef f =
Mp2
Rabcd Rcdef Refab . Celem dodania poprawki Lef f jest zaabsorbowanie
dwupetlowych
¾
rozbiez·ności kwantowej grawitacji. Alternatywa¾dla metody perturbacyjnej jest poszuki-
wanie rozwiazań
¾
równań pola w postaci rozwiniecia
¾
(ang. „large distance expansion”) metryki
ds2 ' B (r) dt2
A (r) dr2
r2 d
A (r) =
2
1
X
2
+ sin2 d
an
n=0
typu
n
Lp
r
,
B (r) =
1
X
n=0
bn
Lp
r
n
,
(42)
gdzie Lp to d÷ugość Plancka, a wspó÷
czynniki an , bn sa¾ bezwymiarowe i spe÷
niaja¾ warunek a0 =
b0 = 1[94]. Wspó÷czynniki an ; bn dla n > 0 wyznaczone z równań pola wynosza¾ a1 = 2M=Mp ,
ak = ak1 dla k = 2; 3; 4; 5, ak = ak1 + 16
k = 2; 3; 4; 5; 6, b7 =
2.3.3
16
5a31 ,
ak1
4
(54 + (k
6) 5) dla k = 6; 7; 8; 9, b1 =
a1 ; bk = 0 dla
b8 = b9 = 0.
¾
Rozwiazania
¾
czarnodziurowe oraz ich w÷asności badane by÷y równiez· w klasycznej teorii Einsteina
w której uwzgledniono
¾
pola kwantowe. Wp÷yw tych pól na dzia÷anie Einsteina ujawnia sie¾ poprzez
dodanie do niego zrenormalizowanego dzia÷
ania efektywnego Wren (19). W odróz·nieniu od teorii
Lovelocka, równania pola sa¾ w tym przypadku bardziej skomplikowane, poniewaz· wystepuj
¾ a¾ tam
wyz·sze pochodne metryki. Pierwszym i koniecznym krokiem na drodze poszukiwania rozwiazań
¾
w
sposób przybliz·ony jest analiza tensora energii-pedu
¾ dla róz·nego typu czasoprzestrzeni. Nalez·y zwrócić jeszcze raz uwage,
¾ z·e jednopetlowe
¾
dzia÷anie efektywne Wren jest obliczone w sposób przybliz·ony
i znane jedynie z dok÷
adnościa¾ do odwrotności kwadratu masy pola m. Tensor energii-pedu
¾ w czasoprzestrzeni Schwarzschilda zosta÷obliczony przez Frolova i Zel’nikova [38] a nastepnie
¾
uogólniony do
czasoprzestrzeni Reissnera-Nordströma przez Matyjaska [95] oraz Taylora, Hiscocka, Andersona dla
przypadku pola skalarnego [96]. Analiza w czasoprzestrzeni RN pokazuje, z·e jeśli ograniczymy sie¾
do pó÷skalarnych (spin s=0), to wynik otrzymany metoda¾ rozwiniecia
¾ DeWitta-Schwingera [95] jest
identyczny z wynikiem bazujacym
¾
na przybliz·eniu WKB [64]. Tensor energii-pedu
¾ wykazuje równiez·
w÷
asność regularności (nieosobliwości) w czasoprzestrzeni RN na horyzoncie zdarzeń [95].
Interesujacym
¾
przypadkiem ze wzgledu
¾ na swoja¾ nieosobliwość jest metryka
2
ds =
1
2M
r
1
e2
tanh
2M r
2
dt + 1
2M
r
1
e2
tanh
2M r
1
dr2 + r2 d
2
(43)
opisujaca
¾ na÷adowana¾ elektrycznie czarna¾ dziure¾ w której pole elektryczne generowane jest przez
28
2
Wstep
¾
29
elektrodynamik¾
e nieliniowa¾ zaproponowana¾ przez Ayon-Beato i Garcie¾ [2] (ABG). Analogicznie, jak
dla czasoprzestrzeni RN, tensor energii-pedu
¾
T ab (x) moz·na obliczyć dla czasoprzestrzeni ABG i
dokonać porównania. Dla przypadku konforemnie sprze¾z·onego pola skalarnego5 [85] oraz pola wektorowego i spinorowego [97], tensor energii-pedu
¾ w czasoprzestrzeni ABG wykazuje wiele podobieństw
do swojego odpowiednika w czasoprzestrzeni RN. Dla bardzo ma÷
ych wartości q =
e
M
wykresy funkcji
hTba i (r)
pokazuja,
¾ z·e przypadek RN w zasadzie nie róz·ni sie¾ od przypadku ABG. Powaz·ne róz·nice
pojawiaja¾ sie,
¾ gdy czarna dziura jest bliska przypadkowi ekstremalnemu. Rozszerzenie rozwaz·ań na
przypadek pola skalarnego dowolnie sprze¾z·onego ( jest dowolne) wykazuje, z·e matematyczna struktura tensora energii-pedu
¾ RN i ABG znaczaco
¾ sie¾ róz·ni. W przypadku czasoprzestrzeni RN tensor
energii-pedu
¾ ma postać hTba i = Cba + Dba , gdzie Cba ; Dba to pewne funkcje zalez·ne od wspó÷
rzednej
¾
r,
=
1=6, natomiast dla metryki ABG tensor ten ma postać hTba i = T
, gdzie T
(i)a
b
(0)a
b+
T
(1)a
2 (2)a
3 (3)a
b+ T b+ T b
to pewne funkcje zalez·ne od wspó÷
rzednej
¾
r [98]. Zamiana elektrodynamiki klasycznej
na nieliniowa¾ powoduje zatem pojawienie sie¾ dwóch nowych cz÷
onów:
2 T (2)a
b
3 T (3)a .
b
i
W przy-
padku minimalnego sprze¾z·enia pola skalarnego ( = 0) przy ma÷
ych wartościach q wykresy funkcji
hTba i dla czasoprzestrzeni RN i ABG sa¾ podobne, jednak jeśli czasoprzestrzeń jest bliska przypad-
kowi ekstremalnemu to wykresy radialnej cześci
¾ tensora energii-pedu
¾ hTrr i ca÷kowicie sie¾ róz·nia¾ [98].
Bez wzgledu
¾ na spin pola tensor energii-pedu
¾ ABG jest regularny w centrum symetrii (r = 0), co
odróz·nia go od osobliwego odpowiednika w czasoprzestrzeni RN [97].
Tensor energii-pedu
¾ pola skalarnego analizowany by÷równiez· w czasoprzestrzeni na÷
adowanej
elektrycznie dylatonowej czarnej dziury opisanej metryka¾
ds2 = A (r) dt2 +
gdzie A (r) = 1
r+
r
r
r
1
1 a2
1+a2
z r+ oraz r relacjami 2M = r+ +
dr2
+ B 2 (r) d
A (r)
i B (r) = r2 1
1 a2
1+a2
teoria uwzgledniaj
¾
aca
¾ pole dylatonowe
r ,e=
r
r
r+ r
.
1+a2
2a2
1+a2
2
,
(44)
[99]. Masa oraz ÷adunek sa¾ zwiazane
¾
Dla szczególnej wartości parametru a = 0
przechodzi w klasyczna¾ teorie¾ grawitacji sprze¾z·onej z polem
elektromagnetycznym. W takim przepadku tensor energii-pedu
¾ jest taki sam, jak dla czasoprzestrzeni
RN. Istotna¾ wartościa¾ jest a = 1, poniewaz· taka teoria odpowiada niskoenergetycznemu przybliz·eniu
teorii strun. Dla a = 1 moz·na pokazać, z·e tensor energii-pedu
¾ jest rozbiez·ny na horyzoncie zdarzeń
ale tylko dla przypadku ekstremalnego czasoprzestrzeni [100].
Zwrotne dzia÷
anie pola skalarnego (inaczej wp÷
yw pola) na metryk¾
e Reissnera-Nordströma znalezione
zosta÷o w pierwszym rzedzie
¾
przybliz·enia przez Taylora, Hiscocka i Andersona [96]. Pole traktowane
by÷o jako niewielkie zaburzenie rzedu
¾ ~, które wp÷ywa na geometrie¾ RN za pośrednictwem tensora
energii-pedu
¾ hTba i (20). Rozwiazanie
¾
opisujace
¾ dowolna¾ statyczna¾ i sferycznie-symetryczna¾ czasoprzestrzeń moz·e być przedstawione w postaci
ds2 =
5
Kwantowe pole skalarne
e2
(r)
1
2m (r)
r
spe÷nia równanie
dt2 + 1
+ R + m2
29
2m (r)
r
1
dr2 + r2 d
2
,
= 0, pole jest konforemnie sprze¾z·one, gdy
(45)
= 1=6.
30
2
Wstep
¾
gdzie
(r) i m (r) to funkcje, które nalez·y wyznaczyć. O funkcjach tych za÷oz·ymy, z·e maja¾ nastepu¾
(r)
2
jace
¾ rozwiniecia
¾ e
= 1 + (r), m (r) = M [1 + (r)] e =(2r), gdzie jest ma÷
ym parametrem,
zde…niowany jako
= MP l =MBH [96]. Funkcje
(r) ;
(r) odzwierciedlaja¾ zaburzenie pochodzace
¾
od pola kwantowego i sk÷adaja¾ sie¾ z sumy kilkudziesieciu
¾
cz÷
onów typu ai m12
l
M k r+
rn
. W funkc-
jach tych pojawiaja¾ sie¾ takz·e sta÷e ca÷kowania, odpowiednio: C1 i C2 , wybrane poprzez naturalne
warunki
(r+ ) = C1 i
(r+ ) = C2 . Sta÷
a¾ C1 moz·na zaabsorbować dokonujac
¾ rede…nicji masy
(M + C1 ) ! MBH , natomiast sta÷
a¾ C2 wyznaczyć poprzez warunek asymptotycznej p÷askości cza-
soprzestrzeni. Taka rede…nicja masy (tzw. masa de…niowana poprzez horyzont) prowadzi do skomplikowanej formu÷y na mase¾ widziana¾ z nieskończoności M1 = MBH [1 +
(1)] = MBH + M ,
gdzie M jest funkcja¾ zalez·na¾ od MBH , e, m. Wartość M1 róz·ni sie¾ od masy MBH de…niowanej
poprzez horyzont zdarzeń i moz·e być wieksza
¾
lub mniejsza od MBH w zalez·ności od znaku funkcji
M . Dla konforemnie sprze¾z·onego pola skalarnego ( = 1=6) funkcja M > 0, gdy spe÷niony jest
2
warunek e2 =MBH
M > 0, gdy
0:954463, natomiast dla minimalnie sprze¾z·onego pola skalarnego ( = 0) funkcja
2
e2 =MBH
0:998701. Jeśli czarna dziura przejdzie w przypadek ekstremalny czarnej
2
dziury Reissnera-Nordströma e2 =MBH
= 1, funkcja M jest ujemna i niezalez·na od parametru :
M =
17
.
31752 m2 MBH
Oznacza to, z·e stosunek ÷
adunku do masy widzianej z nieskończoności dla
takiego przypadku jest zawsze wiekszy
¾
niz· jeden. Istotna¾ wartościa¾ majac
¾ a¾ zwiazek
¾
z temperatura¾
Hawkinga TH jest grawitacja powierzchniowa
(TH = =2 ). Poprawka do grawitacji powierzch-
niowej wynikajaca
¾ z istnienia pola kwantowego oznaczona jako
Jeśli e = 0 (granica Schwarzschilda), to
moz·e przyjmować róz·ny znak.
jest zawsze ujemne, gdy
< 37=168. Oznacza to,
z·e temperatura Hawkinga, po w÷
aczeniu
¾
pola skalarnego, zostaje obniz·ona w stosunku do swojego
odpowiednika bez pola. Dla przypadku ekstremalnej czarnej dziury Reissnera-Nordströma
> 0,
gdy
< 5=14.
e, moz·e być badane przy wykoZwrotne dzia÷
anie pól o dowolnym spinie (s = 0, 12 , 1) na metryk¾
e Reissnerarzystaniu tensora energii-pedu
¾ hTba i (20). W przypadku zwrotnego dzia÷ania na metryk¾
Nordströma rozwiazania
¾
przybliz·one maja¾ postać
f (r) = 1
r
r+
e2
e2
A(s) (r) + B (s) (r) ,
+ 2+
rr+ r
m2
(r) =
m2
D(s) (r) + E (s) (r) ,
2m(r)
r
(1=2)
B
= B (1)
gdzie f (r) wia¾z·e sie¾ z m (r) poprzez f (r) = 1
zalez·y od spinu pola s i moz·na pokazać, z·e
(46)
(47)
[101]. Postać funkcji A(s) ; B (s) ; D(s) ; E (s)
= E (1=2) = E (1) = 0. Promień ekstremalnej
czarnej dziury dla pó÷spinorowych i wektorowych jest zawsze mniejszy niz· ÷adunek czarnej dziury
rekstr < jej, dla pola skalarnego rekstr < jej, jeśli
spe÷nia warunek
16
21
4
1
6
< 0 [101].
Warunek rekstr < jej oznacza, z·e wartość promienia ekstremalnego kwantowo zmody…kowanej czarnej
dziury jest niz·sza niz· wartość promienia czarnej dziury Reissnera-Nordströma, dla której rekstr = jej.
Dla kon…guracji ekstremalnej, bez wzgledu
¾ na spin pola, masa widziana z nieskończoności M1 jest
zawsze mniejsza niz· masa de…niowana przez horyzont zdarzeń MBH . Geometria w pobliz·u horyzontu
30
2
Wstep
¾
31
zdarzeń dla przypadku ekstremalnej czarnej dziury jest opisana metryka¾
ds2 =
2
r+
y2
dt2 + dy 2 + y 2 d
2
,
(48)
zatem jest typu Bertottiego-Robinsona [102,103].
Jeśli w czasoprzestrzeni istnieja¾ co najmniej trzy horyzonty, to istnieje potencjalna moz·liwość
ich po÷aczenia.
¾
W takim przypadku horyzont nazywa sie¾ ultraekstremalnym [104]. Wp÷
yw pól
kwantowych na po÷
oz·enie horyzontu eltraekstremalnego badany by÷w teoriach z niezerowa¾ sta÷a¾
kosmologiczna¾ ( 6= 0) oraz z niezerowym polem elektromagnetycznym (e 6= 0). Moz·na pokazać, z·e
przypadek ultraekstremalny istnieje i pojawia sie,
¾ gdy r+ , M0 = M
2
r+
=
1
(1
2
1
2A) ; M0 = p (1
2
3A) ; e2 =
Ar+ i e spe÷niaja¾ warunki [105]
1
(1
4
4A) .
(49)
Parametr A zalez·y od typu pola (skalarne, wektorowe, spinorowe) i wynosi odpowiednio
2
A
(0)
1=6)3 + 63 (
3780 (
=
1=6)
8
; A(1=2) =
5670 m2
2
2 2
.
105 m2
; A(1) =
252 m2
(50)
Pola kwantowe moga¾ mieć znaczacy
¾ wp÷yw równiez· na wielkości termodynamiczne czarnej dziury
RN (temperatura Hawkinga, entropia). Wykorzystujac
¾ metode¾ Noether [51, 106] lub korzystajac
¾ z
pierwszej zasady termodynamiki moz·na pokazać, z·e entropia wynosi
2
S ' r+
2 2 2
1
e e
6
3
m2 r+
1 2
2
e 4r+
12
7e2
(s)
i
1 4
e
3
1
4
3r+
3
(s)
4
1
2
14e2 r+
12
(s)
7
1
+ (e
8
gdzie wspó÷czynniki
(s)
2
2
r+
4
3r+
r+ )2 (e + r+ )
(s)
10
17e4
(s)
5
2
6e2 r+
+ 5e4
(s)
8
2
r+
2e2
2
1 4
e
4
(s)
6
(s)
9
2
= r+
+ 4S (s) ,
(51)
zalez·a¾ od spinu pola i sa¾ to te same wspó÷czynniki, które wystepuj
¾ a¾ w
dzia÷aniu efektywnym Wren (19) [107]. Entropia jest obliczona w sposób przybliz·ony (pierwszy rzad
¾
przybliz·enia [107]). Przybliz·enie jest poprawne, gdy wp÷yw pola kwantowego jest niewielki. Entropia
w ogólności narusza regu÷e¾ „entropia=1/4 powierzchni horyzontu”. Przechodzac
¾ do przypadku ekstremalnego r+ = r moz·na pokazać, z·e przybliz·ona wartość promienia ekstremalnego wynosi
rekstr ' jej
1
4
24 m2 jej3
(s)
4
+8
(s)
5
+3
(s)
6
+3
(s)
7
+6
(s)
8
+ 12
(s)
9
,
(52)
co prowadzi do redukcji wartości entropii do S ' e2 . Entropia ma wartość niezalez·na¾ od spinu pola,
spe÷nia regu÷e¾ „entropia=1/4 powierzchni horyzontu”oraz jest identyczna z przypadkiem klasycznej
czarnej dziury Reissnera-Nordströma.
31
32
2
2.3.4
Wstep
¾
Czarne dziury Gaussa-Bonneta
Czarne dziury Gaussa-Bonneta to kolejna grupa rozwiazań
¾
rozpatrywana w czasoprzestrzeni dwymiarowej. Dzia÷anie Einsteina-Hilberta z w÷
aczonym
¾
do niego cz÷
onem Gaussa-Bonneta, sta÷
a¾
kosmologiczna¾
oraz materia¾ Sm ma postać
1
S=
16 G
gdzie LGB = Rabcd Rabcd
Z
p
g (R
dd x
2 + LGB ) + Sm ,
(53)
4Rab Rab + R2 [81]. Równania pola takiej teorii to
Gab + Hab + gab = 8 GTab ,
(54)
gdzie Gab to tensor Einsteina, natomiast Hab to tensor pochodzacy
¾ od cz÷onu Gaussa-Bonneta
n
= 2 RRab
H
2Rac Rbc
2Rcd Racbd + Ra cde Rbcde
o
1
gab LGB .
2
(55)
Pierwsza czarna dziura w tej teorii (statyczna, sferycznie symetryczna) odkryta zosta÷a przez Boulwara i Desera [81]. Rozwaz·ano wtedy przypadek próz·niowy Tab = 0 z ujemna¾ sta÷a¾ kosmologiczna¾
< 0. Rozwiazanie
¾
to moz·na uogólnić zak÷adajac,
¾ z·e horyzont zdarzeń moz·e być hiperpowierzchnia¾ o sta÷ej dodatniej, ujemnej lub zerowej krzywiźnie. Przy takim za÷
oz·eniu rozwiazania
¾
nalez·y
poszukiwać w postaci
e2 dt2 + e2 dr2 + r2 hij dxi dxj ,
ds2 =
w której funkcje ;
(56)
zalez·a¾ jedynie od r, a cz÷
on hij dxi dxj reprezentuje element liniowy (d
wymiarowej hiperpowierzchni o sta÷ej krzywiźnie (d
moz·na rozwaz·yć trzy przypadki k =
2) (d
3) k i objetości
¾
k.
2)-
Bez straty ogólności
1; 0; 1. Analiza równań pola dla takiej teorii prowadzi do
znalezienia ich rozwiazania
¾
dok÷adnego w postaci
e2 = e
gdzie e = (d
=
(d
3) (d
2
r2
=k+
2e
1
s
64 Ge M
1+
(d 2) k rd
1
4e
l2
!
,
(57)
4) , M to masa natomiast sta÷a kosmologiczna zosta÷a wyraz·ona poprzez
1) (d + 2) = 2l2 . Przypadek sferycznie symetryczny k=1 to wspomniane rozwiazanie
¾
znalezione przez Boulwara i Desera [81].
Z analizy przypadku M = 0 wynika, z·e parametr e musi spe÷niać 4e =l2
1 w przeciwnym
2
wypadku teoria nie jest zde…niowana. Jeśli M = 0 oraz 4e =l = 1, dwie ga÷ezie
¾ rozwiazań
¾
÷acz
¾ a¾
sie¾ w jedno, dajac
¾ e
2
=k+
2r 2
l .
Analizujac
¾ górna¾ ga÷
aź
¾ rozwiazania
¾
oznaczona¾ znakiem „plus”
Boulware i Deser pokazali, z·e propagujace
¾ sie¾ grawitony sa¾ typu ghost a takz·e jeśli k = 1 i 1=l2 =
0, rozwiazanie
¾
jest asymptotycznie typu AdS-Schwarzschild z ujemna¾ masa¾ [81]. Niepoz·adane
¾
z
punktu widzenia …zyki w÷asności powoduja,
¾ z·e przypadek ten jest mniej interesujacy
¾ i w dalszych
rozwaz·aniach zostanie pominiety.
¾
Temperatura Hawkinga oraz entropia czarnej dziury (57) maja¾
32
2
Wstep
¾
33
postać6
T
=
S =
1
4
e
2
0
=
(d
r=r+
d 2
k r+
4G
1+
(d
(d
4 + (d
2 + (d
1) r+
3) kl2 r+
2 + 2e k
4 l 2 r+ r +
2) 2e k
2
4) r+
5) e k 2 l2
:
(58)
Rozpatrujac
¾ temperature¾ Hawkinga jako funkcje¾ r+ , moz·na zauwaz·yć, z·e wykazuje ona zróz·nicowane zachowanie w zalez·ności od przypadku k=-1,0,1. W przypadku uproszczonym e = 0 dla k=-
1,0, odwrotność temperatury Hawkinga jest nieskończona w r+ = 0 i wraz ze wzrostem r+ maleje
monotonicznie do zera [108]. Takie zachowanie oznacza, z·e czarna dziura jest uk÷adem stabilnym
termodynamicznie. W przypadku e = 0, k = 1 pojawia sie¾ przejście fazowe powodujace
¾ termody-
namiczna¾ niestabilność dla czarnej dziury o ma÷ym promieniu, a stabilność dla przypadku o duz·ym
promieniu [109].
Jeśli e 6= 0, to wielkości termodynamiczne zaczynaja¾ znaczaco
¾ zalez·eć od samego e , typu czaso-
przestrzeni k =
1; 0; 1, oraz od wymiaru czasoprzestrzeni d.
Dla e 6= 0; k = 0 temperatura Hawkinga, entropia, pojemność cieplna C =
F =M
@M
@T ,
energia swobodna
T S oraz promień horyzontu zdarzeń
d
r+
1
= 16 Gl2 M= (d
2)
(59)
k
sa¾ niezalez·ne od parametru e : Wielkości te maja¾ identyczne wartości jak te rozwaz·ane bez cz÷
onu
Gaussa-Bonneta [109]. Nalez·y zwrócić uwage,
¾ z·e wielkości termodynamiczne sa¾ identyczne mimo, z·e
samo rozwiazanie
¾
równań pola (57) róz·ni sie¾ od przypadku pozbawionego cz÷onu Gaussa-Bonneta.
Z analizy przypadku e 6= 0; k =
1 wynika, z·e horyzont zdarzeń posiada wartość minimalna¾
rmin . Wartość minimalna jest osiagana
¾
wtedy, gdy czarna dziura jest ekstremalna. Promień rmin
oraz masa ekstremalna Mext (masa liczona dla przypadku ekstremalnego) silnie zalez·a¾ od wymiaru
czasoprzestrzeni. Jednak, gdy spe÷niony jest warunek 4e =l2 = 1, to wielkości te od wymiaru nie
zalez·a¾ i wynosza¾ rmin = l2 =2 , Mext = 0. Funkcja temperatury Hawkinga w zalez·ności od horyzontu
zdarzeń jest zawsze monotoniczna i rosnaca
¾ oraz ma swój poczatek
¾ w punkcie rmin , dla którego wynosi
zero. Wyjatkiem
¾
jest przypadek 4e =l2 = 1, dla którego punkt rmin zaczyna sie¾ od temperatury
p
TH = 1= 2 l , a nie od zera. Z powyz·szych w÷
asności wynika, z·e czarne dziury tego typu sa¾
termodynamiczne stabilne. Czarna dziura posiada spodziewana¾ osobliwość w punkcie r = 0 oraz,
gdy
d 1
rsing
=
d 3
4e r+
1 4e =l2
1
e
2
r+
2
r+
l2
,
(60)
i Mext < M < 0. Obie osobliwości znajduja¾sie¾ wewnatrz
¾ horyzontu zdarzeń. Wykorzystujac
¾ metryk¾
e
(57) moz·na pokazać równiez·, z·e promień horyzontu zdarzeń musi spe÷
niać warunek r+ 2e :
W przypadku e 6= 0; k = 1 wyróz·nia sie¾ wymiar d = 5 wzgledem
¾
wymiarów d 6. Jeśli d = 5, to
6
Masa czarnej dziury zosta÷a wyraz·ona poprzez po÷oz·enie horyzontu zdarzeń r+ .
33
34
2
Wstep
¾
wykres temperatury zaczyna sie¾ od zera w punkcie r+ = 0 i da¾z·y do nieskończoności, gdy r+ ! 1.
Natomiast dla d
dla d
6 wykres ten rozpoczyna sie¾ nieskończonościa¾ w r+ = 0: Zalez·ność temperatury
6 jest podobna do przypadku teorii bez cz÷
onu Gaussa-Bonneta, natomiast przypadek d = 5
róz·ni sie¾ od przypadku teorii bez tego cz÷onu. Dla d = 5 horyzont zdarzeń wynosi
l2
2
r+
=
2
1+
r
4 f16 GM= (3
1+
l2
eg
k)
co powoduje, z·e masa czarnej dziury M jest ograniczona wartościa¾M
!
,
(61)
M0 = 3
k e = (16
G). Czarna¾
dziure¾ o danym promieniu horyzontu zdarzeń moz·na sklasy…kować pod wzgledem
¾
stabilności termodynamicznej. Wartość horyzontu zdarzeń moz·na podzielić na trzy charakterystyczne przedzia÷y:
0 < r+ < r1 , C > 0,
r1 < r+ < r2 , C < 0,
r2 < r+ < 1, C > 0,
gdzie
2
r1;2
l2
=
4
1
12e
l2
0
@1
s
1
16e
l2
(62)
1
12e
l2
2
1
A:
(63)
W punktach r1 i r2 pojemność cieplna C jest rozbiez·na. W pierwszym i trzecim przedziale pojemność
cieplna C jest dodatnia, a w drugim ujemna, zatem czarna dziura jest niestabilna termodynamicznie
tylko w drugim przedziale wartości. Powyz·sza analiza jest s÷uszna tylko, gdy spe÷niony jest warunek
36e =l2 < 1. Jeśli 36e =l2 = 1, drugi przedzia÷niestabilności znika i czarna dziura spe÷niajaca
¾ warunek
36e =l2
1 jest zawsze stabilna.
Powyz·sza analiza dotyczy÷a czarnych dziur Gaussa-Bonneta z ujemna¾sta÷a¾kosmologiczna.
¾ Czarne
dziury te maja¾ geometrie¾ asymptotyczna¾ Anty-de Sittera (AdS). Podobna analiza zosta÷a dokonana dla czarnych dziur Gaussa-Bonneta z geometria¾ asymptotyczna¾ de Siterra (dS) [110]. Punktem startowym jest teoria opisywana przez dzia÷anie (53). Sta÷a kosmologiczna ma znak dodatni
= (d
1) (d
2) =(2l2 ), a tensor energii-pedu
¾ wynosi zero. Rozwiazanie
¾
poszukiwane jest przy
za÷
oz·eniu sferycznej symetrii
ds2 =
gdzie d
2
d 2
jest metryka¾ (d
e2 dt2 + e2 dr2 + r2 d
2
d 2,
2)-wymiarowej sfery jednostkowej o powierzchni
(64)
d 2
=
2 (d 1)=2
[(d 1)=2] .
Jest to zatem przypadek mniej ogólny niz· rozwaz·any wcześniej. Rozwiazanie
¾
równań pola prowadzi
do
s
!
2
r
64
Ge
M
4e
e2 = e 2 = 1 +
+ 2 .
1
1+
(65)
2e
l
(d 2) d 2 rd 1
Metryka ta posiada osobliwość w r = 0, gdy e > 0, natomiast jeśli e < 0, pojawia sie¾ dodatkowa os-
obliwość w punkcie, w którym wyraz·enie pod pierwiastkiem sie¾ zeruje. Mimo, z·e sta÷
a kosmologiczna
34
2
Wstep
¾
35
jest dodatnia dla M = 0, rozwiazanie
¾
moz·e przyjmować asymptotycznie geometrie¾ Anty-de Sittera
dla ga÷
ezi
¾ rozwiazania
¾
+, pod warunkiem, z·e e > 0. Dla przypadku e < 0, M = 0 czasoprzestrzeń
dla dwóch ga÷ezi
¾
jest asymptotycznie geometria¾ de Sittera, jednak w tym przypadku parametr e
musi spe÷niać warunek e =l2
1=4, w przeciwnym razie teoria nie jest poprawnie zde…niowana.
W pierwszej kolejności rozwaz·ony zostanie przypadek e > 0: Moz·na pokazać, z·e czarna dziura
jest ekstremalna, gdy
2
r+
= r1;2
(d 3) l2
=
2 (d 1)
s
1
1+
(d
1) (d 5) 4e
l2
(d 3)2
!
.
(66)
Dla d = 5 istnieja¾ dwa promienie o wartościach r+ = r1 = 0 oraz r+ = r2 = l2 =2 . Promień r2 jest
maksymalnym promieniem czarnej dziury, powyz·ej którego pojawia sie¾ naga osobliwość. Odwrotność
temperatury Hawkinga dla d = 5 jest nieskończona w punkcie r+ = 0, nastepnie
¾
osiaga
¾ minimum, aby
znowu przejść do nieskończoności, gdy osiagnie
¾
promień maksymalnej czarnej dziury r2 . Pojemność
cieplna jest dodatnia (stabilność termodynamiczna) w przedziale
2
0 < r+
< r02 =
l2
4
1+
12e
l2
0s
@
1+
16e
l2
1+
12e
l2
2
1
1A ,
(67)
a negatywna dla
2
r02 < r+
< l2 =2.
(68)
Górna granica przedzia÷u l2 =2 to kwadrat d÷ugości promienia maksymalnej czarnej dziury w pieciu
¾
wymiarach. W÷asność pojemności cieplnej jest zatem inna niz· w teorii pozbawionej cz÷onu GaussaBonneta, gdzie jest ona zawsze ujemna. Dla d
6 istnieje tylko jeden promień horyzontu zdarzeń
r1 , dla którego czarna dziura jest ekstremalna; odwrotność temperatury zawsze rośnie zaczynajac
¾ od
zera w punkcie r+ = 0 a kończac
¾ na nieskończoności w punkcie r1 ; pojemność cieplna jest zawsze
negatywna. W÷asności te upodabniaja¾ czarne dziury tego typu do czarnych dziur Schwarzschilda-de
Sittera z teorii pozbawionej cz÷onów Gaussa-Bonneta.
Przechodzac
¾ do przypadku e < 0, przy wykorzystaniu warunku, aby entropia by÷a pozytywna,
moz·na pokazać, z·e horyzont zdarzeń musi spe÷
niać nierówność
2
r+
2e
d
d
2
.
4
(69)
2 > l2 =2; wynikajace
Dla d = 5 na horyzont narzucone jest dodatkowe ograniczenie r+
¾ z wyma-
gania, aby temperatura Hawkinga by÷
a dodatnia. Horyzont zdarzeń dla d = 5 musi zatem nalez·eć
2 > l2 =2, a tym samym musi być równiez spe÷
do przedzia÷
u 6e > r+
niony warunek
·
e =l2 >
35
1=12.
(70)
36
2
Wstep
¾
Pojemność cieplna natomiast posiada dwa przypadki charakterystyczne, w których zmienia swój znak
l2
2
r+
=
4
12e
1+ 2
l
0
@ 1
Sa¾ one rzeczywiste tylko wtedy, gdy e =l2
s
16e
1+ 2
l
12e
1+ 2
l
2
1
A.
(71)
1=12 co jest w sprzeczności z warunkiem (70). Oznacza
to, z·e pojemność cieplna nie posiada punktów zerowania sie¾ i jest zawsze ujemna, co świadczy o
niestabilności (podobnie jak przypadek pozbawiony cz÷
onów Gaussa-Bonneta).
Dla wymiarów d
6 czarna dziura jest ekstremalna dla dwóch promieni horyzontu zdarzeń o
wartościach (66). Aby promienie te by÷y rzeczywiste, musi być spe÷niony warunek e =l2 >
(d 3)2
4(d 1)(d 5) :
Okazuje sie,
¾ z·e mniejszy z promieni ekstremalnej czarnej dziury nie spe÷nia warunku (69). Ograniczenie to powoduje, z·e wykres temperatury rozpoczyna sie¾ skończona¾ wartościa¾ w punkcie (69) i da¾z·y
monotonicznie do nieskończoności która¾ osiaga
¾ w punkcie (71). W tym przedziale czarna dziura jest
niestabilna tak jak i w przypadku czasoprzestrzeni pieciowymiarowej.
¾
Poprzednie rozwaz·ania dotyczy÷y teorii Gaussa-Bonneta bez pól materii Sm = 0. Najprostszym
rozszerzeniem tej teorii uwzgledniaj
¾
acym
¾
pola materii jest uwzglednienie
¾
bezźród÷owego pola elekR
p
tromagnetycznego Sm = 4 1g2 dd x
gFab F ab . Moz·na poszukiwać rozwiazania
¾
w postaci metryki
c
statycznej (56), co powoduje, z·e rozwiazaniem
¾
równań Maxwella jest pole elektryczne E (r) =
wytworzone przez ÷adunek e . Ogólne rozwiazanie
¾
dla takiej kon…guracji opisuje metryka
e2 = e
f =
gdzie M
16 GM
(d 2) k
2
, ee =
=k+
4e2
,
(d 2)gc2
r2
2e
0
@1
=
v
"
u
u
f
t1 + 4e M
rd 1
(d
1) (d
1
l2
3) ee2
(d
2r2(d
2)
#1
A,
e
rn
2
(72)
2) 2l2 [111, 112]. Czarna dziura Gaussa-
Bonneta bez pól materii moz·e posiadać dodatkowa¾ osobliwość w punkcie r = rb > 0 (ang. „branch
singularity”). Taka¾dodatkowa¾osobliwość posiada równiez· na÷adowana czarna dziura Gaussa-Bonneta.
Po÷oz·enie tej osobliwości, niezalez·ne od k, wyznacza równanie
f=M
fb =
M
1
4e
l2
rbn 1 (n 3) ee2
+
.
4e
2rbn 3
(73)
Obecność niezerowego ÷adunku umoz·liwia pojawienie sie¾ osobliwości dla masy M > 0, co w przypadku
e = 0 jest moz·liwe, jak juz· wspomniano, jedynie dla masy M < 0. Przyk÷adem
h zachowania
i osobli3
abcd
wego w pobliz·u rb jest zachowanie skalara Kretschmana I = R
Rabcd
O (r rb )
. Osobliwość ta¾ moz·na porównać z osobliwościa¾ czasoprzestrzeni Reissnera-Nordströma IRN = Rabcd Rabcd
i przekonać sie,
¾ z·e ÷agodniej zmierza do nieskończoności. Dla k = 1; 0 i ga÷
ezi
¾ „plus”7
metryki (72) horyzont zdarzeń nie pojawia sie.
¾ Jeśli k = 1, horyzont zdarzeń pojawia sie¾ dla obu
O ee2 =r4d
8
ga÷
ezi.
¾ Jeśli czarna dziura jest ekstremalna, relacje¾ miedzy promieniem horyzontu zdarzeń r+ = rex ,
7
Metryka (72) posiada dwie ga÷ezie
¾ rozwiazań,
¾
co sugeruje znak
36
.
2
Wstep
¾
37
f=M
fex i ÷adunkiem ee = eeex moz·na zapisać w postaci
masa¾ M
n
f = M
fex = 2rex
M
k
(d
(d 2)
+ 2 +
2
(d 3) l
rex
(d
1
2(n 2)
ee2 = ee2ex =
4) e k 2
,
4
3) rex
2rex
d 1 (d 3) k (d 5) e k 2
+
.
+
2
4
l2
rex
rex
(d 3)2
(74)
(75)
Dla d = 5 relacja określajaca
¾ ee2ex jest taka sama, jak w klasycznej teorii wzgledności,
¾
co oznacza, z·e dla
danego promienia ekstremalnego rex , zarówno w teorii Gaussa-Bonneta, jak i Einsteina, ÷adunek ee2ex
jest ten sam. Ta sama prawid÷
owość nie dotyczy jednak masy ekstremalnej. Prawa strona równania
(75) musi być dodatnia, w przeciwnym wypadku rozwiazanie
¾
ekstremalne nie isnieje. Prawa strona
równania moz·e być ponadto funkcja¾ monotoniczna,
¾ co oznacza, z·e kaz·dej kon…guracji ekstremalnej
odpowiada dok÷
adnie jedna masa ekstremalna. Jeśli jednak funkcja¾ monotoniczna¾ nie jest, to dla
fex .
¾
horyzonty ekstremalne, a wiec
¾ i masy M
pewnego ustalonego ÷adunku ee2ex istnieja¾ dwa (lub wiecej)
Istnieje jednak wartość horyzontu ekstremalnego rex = rd , dla której nastepuje
¾
degeneracja - i dla
danego ee2ex jest tylko jedna wartość horyzontu ekstremalnego. Dla
= 0 zdegenerowany horyzont
pojawia sie¾ w
(d
rd2 =
a zatem k musi wynosić
1: Jeśli
B=k
jkj
(76)
6= 0 to
rd2 =
gdzie
4) (d 5)
ke ,
(d 3)
s
1
(d 3)2 l2 B
,
(d 1) (d 2)
4e (d
1) (d 2) (d 4) (d
(d 3)4 l2
(77)
5)
,
(78)
a zatem moga¾ istnieć dwa promienie rd w zalez·ności od wyboru ga÷ezi
¾ dodatniej lub ujemnej we
wzorze określajacym
¾
B.
Na czarna¾ dziure¾ Gaussa-Bonneta-Maxwella-
moz·na spojrzeć bardziej szczegó÷owo pod katem
¾
liczby horyzontów zdarzeń i struktury czasoprzestrzeni [112]. Moz·na dokonać klasy…kacji pod wzgle¾
dem wartości sta÷
ej kosmologicznej oraz typu czasoprzestrzeni określonej przez parametr k:
Dla
= 0 i k = 1 ga÷
aź
¾ dodatnia rozwiazania
¾
(72) prezentuje naga¾ osobliwość (brak horyzontu
( )
fex
zdarzeń). Dla ga÷ezi
¾ ujemnej rozwiazanie
¾
ekstremalne posiada dodatnia¾ mase¾8 M
> 0. Dla
( )
( )
f<M
fex
f>M
fex
masy M
rozwiazanie
¾
jest naga¾ osobliwościa,
¾ natomiast, gdy M
pojawiaja¾ sie¾
dwa horyzonty: wewnetrzny
¾
i zdarzeń.
Dla
= 0 i k = 0 analogicznie jak poprzednio ga÷
aź
¾ dodatnia nie posiada rozwiazań
¾
z hory+
f ! 0 to rh ! 1,
zontem zdarzeń. Dla ga÷ezi
¾ ujemnej charakterystyczne jest to, z·e gdy M
natomiast gdy masa jest ujemna, horyzont zdarzeń nie pojawia sie.
¾
8
Znak minus w górnym indeksie oznacza, z·e wielkość ta dotyczy ga÷ezi
¾ rozwiazania
¾
ze znakiem ujemnym.
37
38
2
Dla
=0ik=
Wstep
¾
1 ga÷
aź
¾ dodatnia posiada horyzont zdarzeń, a takz·e pojawiaja¾ sie¾ horyzonty
ekstremalne, lecz tylko dla d
6 (dla d = 5 horyzonty ekstremalne nie istnieja).
¾ Gdy je
ej < je
ed j,
(+)
(1+)
(+)
(2+)
f
f
f
f
to istnieja¾ dwa horyzonty ekstremalne - gdy Mex = Mex oraz Mex = Mex . Wtedy
fB taka, z·e dla M
f < M
fB , horyzont zdarzeń nie istnieje. Dla
to istnieje pewna wartość M
(1+)
(2+)
(1+)
fB < M
f<M
fex
f>M
fex
fex
f<
M
oraz M
istnieje horyzont zdarzeń, natomiast dla M
<M
(2+)
fex
M
istnieja¾ trzy horyzonty (wewnetrzny,
¾
zdarzeń i kosmologiczny). Dla czasoprzestrzeni
f<M
fB , gdzie M
fB to pewna wartość
pieciowymiarowej
¾
w ogóle nie pojawia sie¾ horyzont, gdy M
fB taka, z·e dla M
f<M
fB istnieje horyzont
masy. Dla ga÷ezi
¾ ujemnej istnieje pewna wartość M
f M
fB horyzont nie pojawia
kosmologiczny oraz czasoprzestrzeń jest naga¾ osobliwościa.
¾ Dla M
sie.
¾
Dla
> 0 i k = 1 ga÷
aź
¾
z horyzontem zdarzeń. Ga÷aź
¾ ujemna
posiada horyzonty oraz istnieja¾ rozwiazania
¾
ekstremalne. Gdy je
ej < je
ed j, to istnieja¾ dwa hory(1 )
(1+)
(1 )
f
f
f
f
zonty ekstremalne Mex i Mex . Dla M < Mex istnieje jedynie horyzont kosmologiczny, a
(1 )
(2 )
fex
f<M
fex
czasoprzestrzeń jest naga¾ osobliwościa.
¾ Dla M
<M
czasoprzestrzeń posiada trzy
(2
f> M
fex
horyzonty: wewnetrzny,
¾
zdarzeń i kosmologiczny. Dla M
)
istnieje jedynie horyzont
kosmologiczny.
Dla
> 0 i k = 0 ga÷
aź
¾
z horyzontem zdarzeń. Ga÷aź
¾ ujemna
posiada horyzont kosmologiczny, a rozwiazanie
¾
jest naga¾ osobliwościa.
¾
Dla
>0ik=
1 struktura horyzontów jest podobna do przypadku
=0ik=
1.
Dla
< 0 i k = 1 ga÷
aź
¾
z horyzontem zdarzeń. Dla ga÷
ezi
¾
ujemnej rozwiazanie
¾
ekstremalne istnieje dla kaz·dego ee . Masa przypadku ekstremalnego jest
( )
( )
fex
f<M
fex
dodatnia dla d 6 oraz M
> e dla d = 5. Dla M
nie ma horyzontów, z kolei dla
( )
f>M
fex
M
istnieje horyzont wewnetrzny
¾
i horyzont zdarzeń.
Dla
< 0 i k = 0 ga÷
aź
¾ dodatnia rozwiazań
¾
nie posiada horyzontów (naga osobliwość).
Struktura czasoprzestrzeni dla ga÷
ezi
¾ ujemnej jest podobna do przypadku
( )
fex
ta¾ róz·nicam
¾ z·e dla d = 5 masa ekstremalna spe÷
nia warunek M
>0.
< 0 i k = 1, z
Dla < 0 i k = 1 i ga÷ezi
¾ ujemnej dla kaz·dego ÷
adunku istnieje rozwiazanie
¾
ekstremalne. Dla
( )
( )
f
f
f
f
f
M < Mex nie ma horyzontów, dla Mex < M < MB istnieje horyzont wewnetrzny
¾
i horyzont
f>M
fB rozwiazanie
zdarzeń, a dla M
¾
posiada horyzont zdarzeń. Ga÷
aź
¾ dodatnia rozwiazań
¾
posiada rozwiazania
¾
czarnodziurowe oraz,
co charakterystyczne, rozwiazanie
¾
ekstremalne (rex 6= 0) moz·na otrzymać dla przypadku ze(+)
fex = 0.
rowej masy M
Kolejna¾ mody…kacja¾ teorii Gaussa-Bonneta jest zastapienie
¾
klasycznego pola elektromagnetycznego teoria¾ alternatywna,
¾ jaka¾ jest elektrodynamika Borna-Infelda. Rozpatrywana jest zatem
38
2
Wstep
¾
39
teoria, w której pole materii w dzia÷aniu (53) ma postać
Sm =
p
p
det (bgab + Fab ) +
det gab .
(79)
Elektrodynamika Borna-Infelda zosta÷a wprowadzona w 1934 roku. Jej celem by÷o uzyskanie skończonej energii elektronu [113]. Obecnie teoria ta ma swoja¾ motywacje¾ z punktu widzenia teorii strun,
poniewaz· pojawia sie¾ jako jej niskoenergetyczne przybliz·enie [114]. Poszukujac
¾ rozwiazań
¾
czarnodziurowych w pieciowymiarowej
¾
czasoprzestrzeni, moz·na pokazać, z·e analogon rozwiazania
¾
ReissneraNordströma ma postać
e2
= e
2
=1+
8b2 L6
r4
Z1
r
gdzie m to masa, L =
e 1=3
b
r2
4
r2
4
1+
16m
r4
2
3
4b2
2
+
11
2
dr
A ,
p
r6 + L6
8 b2 p 6
r + L6
3 r3
(80)
a, e to ÷adunek elektryczny [115]. Cecha¾ charakterystyczna¾ tego
rozwiazania
¾
jest to, z·e nie posiada ono w centrum osobliwości w sensie metrycznym
2
lim e
r!0
gdzie
=
=1
m
b2 L4
2
1
2
,
(81)
p
(1=3) (7=6) = . Aby rozwiazanie
¾
by÷o rzeczywiste, przy za÷oz·eniu
pod pierwiastkiem nie moz·e być ujemne, a zatem m
mc =
2
b2 L4
> 0; wyraz·enie
. Wartość masy m = mc
(masa krytyczna) jest szczególna, poniewaz· czasoprzestrzeń nie posiada wtedy w centrum osobliwości
stoz·kowej.
Liczba horyzontów zmienia sie¾ w zalez·ności od wartości masy. Dla = 0 oraz m > mc +
istnieje tylko jeden horyzont. Dla m mc +
istnieja¾dwa horyzonty i w tym sensie czasoprzestrzeń
przypomina rozwiazanie
¾
Reissnera-Nordströma. Jeśli m = mc +
, to jeden z horyzontów znajduje
sie¾ w r = 0:
Czarne dziury Gaussa-Bonneta moz·na zbadać pod katem
¾
stabilności. Rozwiazanie
¾
jest stabilne
jeśli pod wp÷ywem niewielkiego poczatkowego
¾
zaburzenia nastepuje
¾
wzgledem
¾
niego oscylacja w
czasie. Jeśli natomiast to niewielkie zaburzenie powoduje, z·e rozwiazanie
¾
w miare¾ up÷ywu czasu
coraz bardziej sie¾ zmienia, to wtedy jest rozwiazaniem
¾
niestabilnym [116, 117]. Aby zbadać stabilność
sferycznie symetrycznej czarnej dziury bez pól materii opisanej metryka¾(65) ( = 0), nalez·y rozwaz·yć
jej zaburzenie
gab ! gab + hab .
(82)
Badanie stabilności sprowadza sie¾ w praktyce do znalezienia rozwiazania
¾
równania pola EinsteinaGaussa-Bonneta (54) dla próz·ni ze wzgledu
¾ na hab , a nastepnie
¾
przeanalizowania jego zachowania.
Istnieja¾ trzy typy zaburzeń hab : skalarne, wektorowe i tensorowe. Nazwy te pochodza¾ od sposobu
transformacji tych wielkości w obrebie
¾ podprzestrzeni xi (do xi nie nalez·a¾ wspó÷rzedne
¾
r; t) [118]. Z
39
40
2
Wstep
¾
kombinacji liniowej tych trzech typów zaburzeń moz·na odtworzyć dowolne zaburzenie.
Najprostszym typem zaburzenia jest zaburzenie tensorowe określone poprzez dodatkowe warunki
[118]
hti = hrj = 0.
(83)
Poszukiwane jest rozwiazanie
¾
równań w postaci
hij (t; r; x) = r2 e!t (r) hij (x) ,
(84)
gdzie hij jest funkcja¾ w÷asna¾ operatora Laplace’a, x natomiast oznacza wspó÷
rzedne
¾
róz·ne od r, t
[119]. Po wprowadzeniu nowej funkcji
(r) =
(r) K (r) [119] oraz przejściu do nowych wspó÷
rzed¾
nych r zde…niowanych poprzez zwiazek
¾ dr =dr = e2 (gdzie e2 to sk÷adowa metryki (64)), z równań
pola moz·na otrzymać równanie róz·niczkowe postaci
d2
dr
2
+ V (r (r ))
=
!2 = E .
(85)
Jeśli rozwiazanie
¾
tego równania istnieje dla ! > 0, to mamy do czynienia z niestabilnościa,
¾ poniewaz·
hij ciagle
¾ wzrasta wraz z up÷ywem czasu. Równania zosta÷y doprowadzone do postaci przypominajacej
¾ równanie Schrödingera (85), poniewaz· moz·na wtedy spojrzeć na zagadnienie niestabilności jako
na problem istnienia stanów zwiazanych
¾
o ujemnej energii E < 0. Analiza równania (85) pokazuje
[119], z·e stabilność rozwiazań
¾
zalez·y od wymiaru czasoprzestrzeni. Dla D 6= 6 oraz > 0 asymptotycznie p÷aska czarna dziura o dodatniej masie jest zawsze stabilna. Jednak jeśli D = 6, to istnieje
pewna wartość masy, poniz·ej której rozwiazanie
¾
zachowuje sie¾ niestabilnie.
Rozwaz·ania nad stabilnościa¾ moz·na uogólnić na teorie¾ Gaussa-Bonneta bez pól materii, ale tym
razem z niezerowa¾ sta÷
a¾ kosmologiczna¾ oraz rozpatrzyć czarne dziury opisane rozwiazaniem
¾
typu
(56). Analogicznie, jak w poprzednim przypadku, niestabilność wystepuje
¾
poniz·ej pewnej wartości
krytycznej masy dla przypadku rozwiazań
¾
z horyzontem zdarzeń o dodatniej krzywiźnie k = 1 dla
wymiarów D = 6 [120]. Dla przypadku rozwiazań
¾
z horyzontem zdarzeń o ujemnej krzywiźnie
k=
1, powyz·ej pewnej masy krytycznej wystepuje
¾
niestabilność dla dowolnego wymiaru D.
Podobnej analizy stabilności moz·na dokonać dla zaburzeń typu wektorowego oraz skalarnego.
Analogiczne, jak w przypadku zaburzeń tensorowych, operacje prowadza¾do analizy istnienia rozwiazań
¾
równania typu (85). Okazuje sie,
¾ z·e zaburzenia typu wektorowego sa¾ zawsze stabilne, natomiast dla
D = 5 istnieja¾ niestabilności typu skalarnego [121].
Pod katem
¾
stabilności rozwiazań
¾
badane by÷
y równiez· czarne dziury w teorii EDGB (EinsteinDilaton-Gauss-Bonnet). Teoria taka jest opisana dzia÷
aniem
S=
gdzie
Z
p
d4 x
g
0
R 1
+ @a @ a + 2 e LGB ,
2
4
8g
(86)
to pole dylatonowe [73], a LGB to cz÷on Gaussa-Bonneta. Badana czarna dziura opisana jest
metryka¾ sferycznie symetryczna¾ (64). Stabilność takiej czarnej dziury by÷a badana ze wzgledu
¾ na
40
2
Wstep
¾
41
liniowe zaburzenie typu
gdzie funkcje
funkcji
i
(r; t) =
(r) +
(r) ei t ,
(r; t) =
(r) +
(r) ei t ,
(r; t) =
(r) +
(r) ei t ,
wia¾z·a¾ sie¾ z metryka¾ relacjami
(87)
= 2 oraz
= 2
[122]. Dok÷adna wartość
(r) i
(r) nie jest znana, co nie przeszkadza w dowodzie stabilności, jeśli za÷
oz·ona zostanie
asymptotyczna p÷askość rozwiazań
¾
oraz istnienie horyzontu zdarzeń. Analogicznie, jak w poprzednich przypadkach dowód opiera sie¾ na analizie równania typu Schrödingera (85) i wykazaniu, z·e
rozwiazania
¾
dla ! > 0 nie istnieja.
¾
2.3.5
Czarne dziury w teorii Lovelocka
Rozszerzeniem teorii Gaussa-Bonneta jest teoria Lovelocka. Szczególnym jej przypadkiem jest ograniczenie Lagranz·janu (21) do postaci
L = c0 + cn Ln
(88)
zawierajacego
¾
jedynie sta÷a¾kosmologiczna¾L0 oraz jeden cz÷
on Ln , gdzie n > 1. Ogólnym rozwiazaniem
¾
równań pola jest metryka (56) spe÷niajaca
¾ warunek
e2 =
1
= f (r) .
e2
(89)
Metryk¾
e te¾ moz·na przedstawić w postaci [123, 124, 125]
r2 F (r) ,
f (r) = k
(90)
gdzie F (r) spe÷nia równanie
gdzie M to masa, a
d 2
b
c0 =
objetość
¾
(d
(d
16 GM
(d 2) d 2 rd
b
c0 + b
cn F n (r) =
c0
1) (d
2,
w postaci b
cn =
2)
F (r) =
8
>
<
>
:
2n 2 ,
1
2 2=n
sign(x)
2 2=n
,
(91)
2)-wymiarowej hiperpowierzchni o sta÷ej krzywiźnie, oraz
;
b
c1 = 1;
b
cn = cn
2m
j=3 (d
j) dla n > 1.
(92)
1=l2 , natomiast parametr b
cn , posiadajacy
¾ wymiar
Jeśli parametr b
c0 zapisany zostanie w postaci b
c0 =
[d÷ugość]2n
2
to rozwiazaniem
¾
jest funkcja
16 GM
(d 2) d 2 rd
16 GM
(d 2) d 2 rd
1
1
+
+
1
l2
41
1
l2
1=n
1=n
dla n = parzyste
dla n = nieparzyste,
(93)
42
2
gdzie x =
16 GM
(d 2) d 2 rd
1
+
Wstep
¾
1
.
l2
Metryka ta dla n < (d
1) =2, oprócz osobliwości w r = 0; moz·e posiadać osobliwość dodatkowa¾
dla takiego r dla którego spe÷niony jest warunek x = 0: Dla n parzystego moz·na zauwaz·yć, z·e
rozwiazanie
¾
próz·niowe M = 0 jest poprawne tylko wtedy, gdy sta÷
a kosmologiczna jest dodatnia
l2 > 0 .
Analize¾ rozwiazania
¾
moz·na podzielić na trzy przypadki: o zerowej, dodatniej oraz ujemnej sta÷
ej
kosmologicznej:
W przypadku zerowej sta÷
ej kosmologicznej 1=l2 = 0 jeśli n = (d
f (r) =
8
>
< k
>
: k
16 GM
(d 2) d
1
2 2=n
sign(x)
2 2=n
16 GM
(d 2) d
1=n
1) =2 rozwiazanie
¾
dla n = parzyste
2
1=n
(94)
dla n = nieparzyste,
2
istnieje jedynie dla wymiarów nieparzystych i opisuje defekt topologiczny. Mimo, z·e funkcja
f (r) jest sta÷a¾ to dla d > 3 niektóre skalary krzywizny sa¾ rozbiez·ne, gdy r ! 0. Jeśli n <
(d
1) =2, to rozwiazanie
¾
jest asymptotycznie p÷askie i moz·e opisywać naga¾ osobliwość lub
czarna¾ dziure:
¾ rozwiazanie
¾
jest zawsze naga¾ osobliwościa¾ jeśli k = 0, 1; natomiast czarna¾
dziura¾ opisana¾ rozwiazaniem
¾
postaci
r2
f (r) = 1
16 GM
(d 2) d 2 rd
1=n
1
,
(95)
dla k = 1, M > 0 oraz dowolnego n. Przechodzac
¾ do w÷aściwości termodynamicznych, moz·na
pokazać, z·e temperatura Hawkinga jest zwiazana
¾
z promieniem horyzontu zdarzeń poprzez
d 2n 1 1
zwiazek
¾
T = 4 n r+ . Wykorzystujac
¾ pierwsze prawo termodynamiki, moz·na pokazać, z·e
entropia S ma postać
S=
(d
2)
4G
d 2
n
d
2n 2
2n
d
r+
2n
(96)
i spe÷nia klasyczna¾ regu÷e¾ „entropia = 1=4 * powierzchni czarnej dziury” jedynie dla n = 1.
Dla n > 1 entropia ma zawsze mniejsza¾ wartość, niz· entropia dla n = 1. Pojemność cieplna
C =
@M
@T
< 0, analogicznie jak dla czasoprzestrzeni Schwarzschilda, jest zawsze ujemna, co
prowadzi do niestabilności termodynamicznej.
W przypadku sta÷ej kosmologicznej dodatniej l2 > 0 otrzymujemy rozwiazanie
¾
f (r) =
8
>
< k
>
: k
r2
2 2=n
r2
2 2=n
16 GM
(d 2) d
16 GM
(d 2) d
Analogicznie jak poprzednio dla n = (d
miast dla n < (d
2
2
+
+
1
l2
1
l2
1=n
1=n
dla n = parzyste
(97)
dla n = nieparzyste.
1) =2 rozwiazanie
¾
opisuje defekt topologiczny, nato-
1) =2 czarna¾ dziure¾ lub naga¾ osobliwość. Dla k = 1 moga¾ pojawiać sie¾ dwa
horyzonty: zdarzeń r+ i kosmologiczny rc . Horyzonty te ÷acz
¾ a¾ sie,
¾ gdy temperatura Hawkinga
42
2
Wstep
¾
43
d 2n 1
d 1
wynosi zero, osiagaj
¾ ac
¾ wspólny promień rn = r+ = rc =
rozwiazanie
¾
zawsze opisuje naga¾ osobliwość. Dla k =
l2
2 2n
1=2n
. Dla k = 0
1 ga÷
aź
¾ dodatnia f (r) moz·e być czarna¾
dziura.
¾ Jeśli M > 0, to pojawia sie¾ horyzont wewnetrzny
¾
i zdarzeń, które ÷acz
¾ a¾ sie,
¾ gdy
temperatura Hawkinga sie¾ zeruje (horyzont minimalny). Jeśli M = 0, to rozwiazanie
¾
nadal
1 n 1=n
opisuje czarna¾ dziure¾ o promieniu rmax = l=
k=
(horyzont maksymalny). Dla przypadku
1; M > 0 interesujaca
¾ jest potencjalna ujemność entropii poniewaz· wynosi ona
(d
S = C0
2)
4G
n
d 2
d
2n
2n 2 d 2n
r+ ,
(98)
gdzie C0 sta÷a ca÷kowania. Problem ujemności entropii nie wystepuje
¾
w przypadku k =
1;
M < 0.
W przypadku ujemnej sta÷ej kosmologicznej l2 < 0 czyli b
c0 > 0 równanie (91) nie posiada
rozwiazań
¾
dla parzystych n. Dla k = 0; 1 rozwiazanie
¾
opisuje naga¾ osobliwość, natomiast dla
k=
1 moz·liwe sa¾ rozwiazania
¾
opisujace
¾ czarna¾ dziure.
¾
Inny typ teorii Lovelocka określony jest poprzez szczególny dobór wspó÷
czynników cp w dzia÷
aniu
(21). Wspó÷czynniki cp określone sa¾ poprzez
cp =
8
>
>
>
>
< (D
>
>
>
>
: (D
n
2p)! D 1 2p
n
2p)!
p
!
!
1
p
l
l
D+2p
dla D = 2n
1
(99)
D+2p
dla D = 2n,
gdzie D to wymiar czasoprzestrzeni, a l to d÷
ugość. Taki dobór wspó÷
czynników wynika z z·adania
¾
od Lagranz·janu niezmienniczości ze wzgledu
¾ na grupe¾ Anty-de Sittera [126]. Moz·na pokazać, z·e
rozwiazanie
¾
równań pola dla czasoprzestrzeni typu (89) ma postać
f (r) =
8
>
< k
>
: k
e0
2M +2C
r
e0
M +C
1
n 1
+
r 2
l
dla D = 2n
+
r 2
l
dla D = 2n
1
n 1
(100)
1,
e0 to dowolna sta÷a. Przechodzac
gdzie C
¾ do w÷
asności termodynamicznych moz·na zauwaz·yć, z·e temperatura Hawkinga
(
k+(2n 1)(r+ =l)2
dla D = 2n
4 (n 1)r+
T =
(101)
r+
dla
D
=
2n
1
2
2 l
znaczaco
¾ róz·ni sie¾ w swoim zachowania w zalez·ności od parzystości badź
¾ nieparzystości wymiaru
czasoprzestrzeni. Entropia w wymiarach parzystych ma postać
S = l2
(
r+
k+
l
43
2 D=2 1
k
)
,
(102)
44
2
Wstep
¾
natomiast dla wymiarów nieparzystych wyraz·a sie¾ poprzez sume¾
S = 4 (n
1) l
n
X1
n
m
m=0
gdzie D = 2n
!
2
1
r+
2m + 1 l
2m+1
kn
2 m
,
(103)
1. Entropia w ogólności nie spe÷nia klasycznej regu÷y „entropia=1/4 powierzchni”.
Aby zbadać stabilność termodynamiczna,
¾ niezbedna
¾
jest znajomość pojemności cieplnej, która wynosi
C=
8
>
< 2 (n
>
: 4 (n
n 2
[k+(r+ =l)2 ] [(2n 1)(r+ =l)2 +k]
(2n 1)(r+ =l)2 k
h
in 2
1) r+ k + (r+ =l)2
2
1) r+
dla D = 2n
dla D = 2n
(104)
1.
Aby szczegó÷owo przeanalizować otrzymane powyz·ej wielkości, wygodnie jest podzielić je na trzy
grupy k =
1; 0; 1:
e0 , wystepuj
Dla k = 1 moz·liwe jest ustalenie dowolnej sta÷ej C
¾ acej
¾ w (100), w taki sposób, z·eby
przy znikaniu energii równiez· znika÷horyzont zdarzeń [126]. Taki warunek prowadzi do tego,
e0 = 0, a dla nieparzystego C
e0 = 1. Rozwiazanie
z·e dla wymiaru parzystego C
¾
(100) dla k = 1
posiada jeden horyzont zdarzeń,
q przy czym dok÷adne obliczenie moz·liwe jest dla wymiarów
1
nieparzystych i wynosi r+ = l (M + 1) n 1 1: Temperatura dla wymiaru parzystego da¾z·y do
zera T ! 0, gdy r+ ! 0, dla nieparzystego T ! 1, gdy r+ ! 0. Dla wymiaru nieparzystego
czarna dziura jest zawsze stabilna (C > 0), jednak dla wymiaru parzystego czarna dziura
p
p
jest niestabilna, gdy r+ < l= 2n 1. W punkcie r+ = l= 2n 1 pojemność cieplna osiaga
¾
nieskończona¾ wartość.
e0 wynosi C
e = 0, bez wzgledu
Dla k = 0 sta÷a C
¾ na wymiar. Horyzont zdarzeń r+ wynosi
r+ =
(
1
l (2M=l) 2n
lM
1
2n 2
1
.
(105)
Temperatura Hawkinga, bez wzgledu
¾ na wymiar, da¾z·y do zera, gdy masa da¾z·y do zera, a zatem
i pojemność cieplna jest zawsze dodatnia.
e
1; po wcześniejszym ustaleniu sta÷
qej C0 = 0, moz·na obliczyć horyzont
1
zdarzeń dla wymiaru nieparzystego i wynosi on r+ = l M n 1 + 1. Z równania (100) moz·na
W przypadku k =
zauwaz·yć, z·e r+ l: W÷
asność ta pozwala stwierdzić, z·e pojemność cieplna jest zawsze dodatnia. Dla tego przypadku wystepuje
¾
równiez· ujemna masa krytyczna Mc jeśli n = 2e
k + 2, gdzie
e
k jest liczba¾ ca÷kowita.
¾ Dla wymiarów parzystych wynosi ona
Mc =
natomiast dla nieparzystych Mc =
"
#2ek+1
l
2e
k+1
p
,
k+2
2 2e
k + 2 2e
1.
44
(106)
2
Wstep
¾
45
Rozwiazanie
¾
równań pola (100) moz·na rozszerzyć poprzez w÷
aczenie
¾
dzia÷ania Maxwella [126].
Dla takiego przypadku ma ono postać
f (r) =
8
>
< k
>
: k
e0
2M +2C
r
e2
(D 3)r D
+
1
e0
M +C
e2
2(D 3)rD
Czasoprzestrzeń moz·e mieć dwa horyzonty r
dodatkowa¾osobliwość9
1
n 1
2
n 1
3
+
r 2
l
r 2
l
dla D = 2n
dla D = 2n
(107)
1.
i r+ ; posiada takz·e, oprócz osobliwości w r = 0,
rc spe÷niajac
¾ a¾warunek 0 < rc < r < r+ . Entropia opisana jest identycznymi
zalez·nościami (102-103) jak w przypadku pozbawionym pola elektromagnetycznego.
Interesujace
¾ jest zachowanie pojemności cieplnej, poniewaz· dla nieparzystych wymiarów D jest
ona zawsze dodatnia i skończona oraz wynosi zero (Ce = 0), gdy spe÷niony jest warunek
4 k + (r+ =l)2
n 2
=l2 = e2 = (n
D
1) r+
1
.
(108)
Warunek ten gwarantuje nie tylko zerowanie sie¾ pojemności cieplnej, ale tez· powoduje, z·e czarna
dziura staje sie¾ wtedy ekstremalna T = 0.
Dla wymiarów D parzystych, jeśli k = 1, pojemność cieplna Ce moz·e być ujemna lub dodatnia,
a takz·e nieskończona. Nieskończoność ta pojawia sie¾ w punktach przejścia z Ce < 0 do Ce > 0 [127].
Jeśli k =
1; 0, to pojemność cieplna jest zawsze skończona i dodatnia [128].
Rozwaz·ania dotyczace
¾ rozwiazań
¾
czarnodziurowych wymaga÷y specy…kacji wspó÷czynników cn
w dzia÷aniu Lovelocka (21). Moz·liwa jest analiza temperatury Hawkinga, entropii oraz pojemności
cieplnej bez specy…kacji wspó÷czynników cn , jednak przy za÷
oz·eniu, z·e hiperpowierzchnia horyzontu
zdarzeń jest p÷aska (k = 0) [129]. Temperatura Hawkinga przyjmuje wtedy nadzwyczaj prosta¾postać
Tk=0 =
(D
4
1) b
c0
r+ ;
i nie zawiera wspó÷czynników b
cn n > 0. Z kolei entropia wynosi
Sk=0 =
gdzie
D 2
D r+
D 2
D r+
4
;
(109)
(110)
to powierzchnia horyzontu zdarzeń, a zatem zawsze spe÷nia regu÷
e¾ „entropia=1/4
powierzchni horyzontu zdarzeń”.
Jeśli k = 0, to masa wyraz·ona poprzez horyzont zdarzeń przyjmuje postać Mk=0 =
D
(D 2) D r+
16
1
b
c0 ,
co przy pomocy równania (109) pozwala wykazać, z·e czarna dziura jest zawsze stabilna termodynamicznie (C > 0).
W czterech wymiarach obowiazuje
¾
regu÷a, która mówi, z·e dowolne rozwiazanie
¾
sferycznie symetryczne w próz·ni moz·na doprowadzić do rozwiazania
¾
Schwarzschilda (twierdzenie Birkho¤a). W
przypadku ogólnej teorii Lovelocka moz·na udowodnić analogon tego twierdzenia [130], które mówi:
9
Istnienie osobliwości rc moz·na zauwaz·yć analizujac
¾ zachowanie skalara krzywizny R.
45
46
2
Wstep
¾
rozwiazanie
¾
równania pola teorii Lovelocka bez pól materii o symetrii sferycznej, euklidesowej lub
hiperbolicznej moz·na zawsze doprowadzić do statycznego rozwiazania
¾
czarnodziurowego typu (89).
Badanie stabilności czarnych dziur Lovelocka sprowadza sie,
¾ analogicznie jak w przypadku teorii
Gaussa-Bonneta, do pytania o istnienia rozwiazań
¾
równania (85). Jawna postać funkcji potencja÷
u
V (r (r )) zalez·y od rodzaju zaburzeń: skalarnych, wektorowych lub tensorowych [131]. Najprostszym
rozszerzeniem teorii Gaussa-Bonneta, badanym pod katem
¾
stabilności, jest teoria Lovelocka trzeciego
rzedu
¾ L = c0 L0 + c1 L1 + c2 L2 + c3 L3 : Dla wymiarów D
6 rozpatrywanie takiej teorii nie jest
konieczne jednak dla D = 7 i D = 8 nalez·y ja¾ uwzglednić.
¾
Wprowadzajac
¾ nowe zmienne c0 = 2 ;
c1 = 1; c2 = =2 i c3 = =3, moz·na dokonać analizy stabilności ze wzgledu
¾ na zaburzenia tensorowe
sferycznie symetrycznych czarnej dziury (k=1) opisanej metryka¾ (89) [132]. Dla
0;
> 0, gdy
D = 7 czarna dziura jest zawsze stabilna, natomiast, gdy D = 8 istnieje masa krytyczna czarnej
dziury poniz·ej której staje sie¾ ona niestabilna.
Jeśli spe÷niony jest warunek c0 =
2 = 0 oraz cn
0, moz·na udowodnić trzy ogólne twierdzenia
dotyczace
¾ stabilności czarnej dziury opisanej metryka¾ (89):
poniz·ej pewnej masy krytycznej i dla wymiarów parzystych czarna dziura jest niestabilna ze
wzgledu
¾ na zaburzenia typu tensorowego [133]
dla zaburzeń skalarnych istnieje pewna masa krytyczna poniz·ej której wystepuje
¾
niestabilność
(niestabilność ta pojawia sie¾ jedynie dla wymiarów nieparzystych) [134]
czarna dziura jest zawsze stabilna ze wzgledu
¾ na zaburzenia wektorowe [134]
Z powyz·szych twierdzeń wynika wniosek, z·e w teorii Lovelocka niewielkie czarne dziury sa¾ zawsze
niestabilne (bez wzgledu
¾ na wymiar).
46
3 Zwiazek
¾
kwantowej teorii pola w zakrzywionej czasoprzestrzeni z teoria¾ z wyz·szymi cz÷
onami
krzywiznowymi
47
3
Zwiazek
¾
kwantowej teorii pola w zakrzywionej czasoprzestrzeni
z teoria¾ z wyz·szymi cz÷
onami krzywiznowymi
Zadaniem poprzedniego rozdzia÷
u by÷o wprowadzenie w tematyk¾
e czarnych dziur w teoriach z wyz·szymi
cz÷
onami krzywiznowymi. W tym rozdziale przedstawione zostana¾podstawy teoretyczne oraz metody
stosowane w oryginalnej cześci
¾ rozprawy. Pokazane zostanie, z·e wp÷yw pól kwantowych na geometrie¾
czasoprzestrzeni moz·e być w pewnych przypadkach interpretowany jako teoria z wyz·szymi cz÷
onami
krzywiznowymi. Pokazane zostanie, z·e kluczowym i niezbednym
¾
krokiem do poznania wp÷
ywu pól
kwantowych jest obliczenie tzw. wspó÷czynników HaMiDeW [an ]. Przedstawionych zostanie kilka
metod obliczeń tych wspó÷czynników.
3.1
Wp÷
yw kwantowego pola skalarnego na geometrie¾ czasoprzestrzeni
Kwantowe pola skalarne propagujace
¾ sie¾ w klasycznej zakrzywionej czasoprzestrzeni opisane jest
funkcjona÷em dzia÷aniem
Sm =
gdzie R to skalar krzywizny,
Z
dx4
p
1 a
r ra
2
g
1
R
2
1 2
m
2
2
2
,
(111)
to dowolna liczba rzeczywista określajaca
¾ sprze¾z·enie pola z krzy-
wizna,
¾ a m to masa pola. Poprzez analogie¾ z pó÷
klasyczna¾ elektrodynamika,
¾ gdzie klasyczne pole
elektromagnetyczne jest sprze¾z·one z wartościa¾ oczekiwana¾ operatora pradu,
¾ poszukiwana jest teoria
oparta na równaniach Einsteina, gdzie tensor energii-pedu
¾ jest traktowany jako wartość oczekiwana
operatora Tab ; czyli
1
Rgab + gab = 8 hTab i .
2
Rab
(112)
Zak÷adajac,
¾ z·e znany jest obiekt hTab i ; moz·na podjać
¾ próbe¾ rozwiazania
¾
powyz·szego równania i
poznać wp÷yw uk÷adu kwantowego na geometrie¾ czasoprzestrzeni. Problem ten moz·e być przeformu÷
owany w taki sposób, z·e poszukiwane jest dzia÷anie efektywne W , którego pochodna funkcjonalna
liczona wzgledem
¾
metryki wynosi
p2
W
g g ab
= hTab i. Dzia÷anie efektywne W jest zwiazane
¾
z opera-
torowa¾ postacia¾ propagatora Feynmana GF znana¾ relacja¾ [135]
1
i trfln ( GF )g.
(113)
2
R
p
Operacja trf:::g zde…niowana jest jako trM = dx4
g hxj M jxi, gdzie jxi to wektory w÷
asne
W =
operatora x : x jx0 i = x0 jx0 i ; hx00 jx0 i =
(x00 ; x0 ). Operator GF jest zwiazany
¾
z propagatorem
Feynmana poprzez element macierzowy GF (x; x0 ) = hxj GF jx0 i. Zde…niowanie dzia÷ania efektywnego
hout;0jT
j0;ini
poprzez (113) powoduje, z·e hT i jest reprezentowany przez element macierzowy hout;0 jin;0i , gdzie
j0; ini oraz j0; outi oznaczaja¾ stany próz·ni in i out. Funkcja Greena G (x; x0 ) spe÷nia równanie
R
m2 G x; x0 =
47
(x
p
x; )
,
g
(114)
3
48
gdzie
Zwiazek
¾
kwantowej teorii pola w zakrzywionej czasoprzestrzeni z teoria¾ z wyz·szymi cz÷onami
krzywiznowymi
= g r r jest kowariantnym operatorem D’Alemberta. W przypadku pola skalarnego
funkcja Greena jest biskalarem, to znaczy obiektem dwupunktowym, który transformuje sie¾ jak
skalar ze wzgledu
¾ na zmiane¾ wspó÷rzednych
¾
zarówno w punkcie x, jak i x0 . Moz·na ja¾ wyrazić wykorzystujac
¾ formalizm czasu w÷
asnego DeWitta-Schwingera [5]. Pierwszym krokiem tego formalizmu
jest zapisanie funkcji Greena w postaci ca÷
kowej
Z1
G x; x = i ds hx; s x0 ; 0 ,
0
(115)
0
gdzie funkcja hx; s jx0 ; 0i jest wyraz·ona w postaci
hx; s x0 ; 0 =
i
e
(4 is)2
im2 s
exp
Jest to tzw. „ansatz”DeWitta [5]. Funkcja
1
X
i
2s
41=2
=
(x; x0 ) to funkcja dwupunktowa, która zde…niowana
(is)n an x; x0
lim a0 = 1.
x; !x
n=0
(116)
jest jako po÷owa kwadratu d÷ugości geodezyjnej poprowadzonej miedzy
¾
punktami x i x0 . Funkcja
4 = 4 (x; x0 ) zde…niowana jest przez
4 = 4 x; x0 = ( g)
1=2
(x) det (rb0 ra ) ( g)
1=2
x0
(117)
i nazywana wyznacznikiem Van Vlecka-Morette [5]. Wspó÷czynniki an sa¾znane pod wieloma nazwami:
wspó÷czynniki jadra
¾ cieplnego (ang. „heat kernel coe¢ cients”), wspó÷czynniki HaMiDeW, wspó÷
czynniki HMDS, wspó÷czynniki DeWitta, wspó÷czynniki Seeleya-Gilkeya lub wspó÷czynniki MinakshisundaramaPlejela. Nazwy te pochodza¾od nazwisk osób, które wnios÷y znaczacy
¾ wk÷ad w rozwój dziedziny …zyki
matematycznej dotyczacej
¾ tych obiektów. Wykorzystujac
¾ równanie Greena (114), moz·na pokazać,
z·e an spe÷nia równanie rekurencyjne
;a
an+1;a + (n + 1) an+1
4
1=2
41=2 an
a
;a
=
R an ,
(118)
an = an x; x0 ,
Szczególnie istotne dla rozwiazania
¾
problemu zwrotnego dzia÷ania pola na geometrie¾ czasoprzestrzeni
jest policzenie wspó÷czynników an w granicy koincydencji. Granica koincydencji an oznaczona jako
[an ] jest zde…niowana nastepuj
¾ aco:
¾
[an ] = lim0 an x; x0 .
(119)
x!x
Wykorzystujac
¾ wzory (113), (115) oraz (116) moz·na pokazać, z·e dzia÷
anie efektywne W wia¾z·e sie¾ ze
wspó÷czynnikami [an ] poprzez
W =
1
32
2
1 Z
X
n=0 0
1
1
ds 3 e
s
48
im2 s
n
(is)
Z
dx4
p
g [an ] .
(120)
3 Zwiazek
¾
onami
krzywiznowymi
49
Fundamentalne znaczenie dla znajomości dzia÷ania efektywnego maja¾zatem wspó÷czynniki [an ]. Dzia÷anie W moz·na symbolicznie zapisać jako sume¾ obiektów: nieskończonego Wdiv oraz skończonego
Wren . W wyniku procedury regularyzacji nieskończoności dzia÷
anie Wdiv skutkuje pojawieniem sie¾
w dzia÷aniu Einsteina dodatkowych cz÷onów: R2 ; R R ; Rabcd Rabcd [135]. Dzia÷anie Wren po uprzednim wyca÷kowaniu po zmiennej s wynosi
1
=
32
Wren
2
Z
1
X
p
(n 3)!
g[an ].
d4 x
(m2 )n 2
(121)
n=3
Wspó÷czynniki [an ] w jawnej postaci to niezmienniki krzywiznowe, których rzad
¾ jest tym wyz·szy, im
wyz·szy jest indeks n. Chcac
¾ zatem rozwiazać
¾ równania Einsteina nalez·y poszukać rozwiazań
¾
teorii z
wyz·szymi cz÷onami krzywiznowymi. Policzenie Wren wymaga znajomości wszystkich wspó÷
czynników
[an ] ; gdzie n=3, 4, 5,..., 1. Operacja ta jest niemoz·liwa ze wzgledu
¾ na szybki wzrost komplikacji
obliczeń wraz ze wzrostem indeksu n wspó÷czynnika [an ]. W pewnych przypadkach uzasadnione jest
rozpatrywanie jedynie kilku pierwszych wyrazów sumy (121), np. n = 3; 4, a pominiecie
¾ pozosta÷
ych.
Takie uproszczenie jest uzasadnione w przypadku, gdy masa m pola jest dostatecznie duz·a.
3.2
Bitensory , 41=2 , 4
1=2
oraz ich granice koincydencji
Najwaz·niejszym obiektem niezbednym
¾
w obliczeniach wspó÷czynników HaMiDeW jest funkcja Synge’a
(x; x0 ) (tzw. „world function”) [136,137]. Funkcja ta jest po÷owa¾ kwadratu d÷ugości geodezyjnej
pomiedzy punktami x0 i x [136] i dla czasoprzestrzeni p÷
askiej ma postać
=
1
2 ab (x
x0 )a (x
x0 )b .
Najprostsze w÷asności funkcji Synge’a i jej pochodnych kowariantnych to [136,137]
[ ] =
[
[
;a ]
=
;ab ]
=
x; x0 = 0,
lim
x!x0
x; x0 = 0,
lim
;a
lim
;ab
x!x0
x!x0
(122)
(123)
x; x0 = ga0 b0 ,
(124)
oraz
g ab
;a ;b
= .
(125)
Wyznacznik Van Vlecka-Morette [5,136] jest zde…niowany jako
4 = 4 x; x0 = ( g)
1=2
(x) det (rb0 ra ) ( g)
1=2
x0 .
(126)
Biorac
¾ granice¾ koincydencji powyz·szego równania, moz·na otrzymać
[4] =
Obiekt [
ab0 ]
g0
1
det ([
moz·na obliczyć wykorzystujac
¾ w÷asność [
[A:::a0 ] = [A::: ];a0
49
ab0 ]) .
ab ]
(127)
= ga0 b0 oraz twierdzenie Synge’a
[A:::a ]
(128)
3
50
Zwiazek
¾
krzywiznowymi
s÷
uszne dla dowolnego bitensora A, gdzie kropki oznaczaja¾ dowolne indeksy (primowane i nieprimowane) [5,136]. Z obliczeń wynika toz·samość [
ab0 ]
=
ga0 b0 , co prowadzi do
[4] = 1.
1=2
Pierwiastek wyznacznika Van Vlecka-Morette
;a
441=2 = 2 41=2
;a
(129)
spe÷nia równanie
+ 41=2
;a
a
,
(130)
które analogicznie jak (125) w przypadku , umoz·liwia obliczenie granic koincydencji
h
1=2
a1 :::an
i
w
sposób rekurencyjny (dowód [136]). Nalez·y zwrócić uwage,
¾ z·e do obliczeń niezbedna
¾
jest znajomość
granic koincydencji pochodnych funkcji .
1=2
a1 :::an ]
Obliczenie [
wymaga skorzystania z toz·samości
41=2 4
1=2
przy za÷oz·eniu, z·e znane sa¾ odpowiednie obiekty [
3.3
3.3.1
=1
(131)
1=2
a1 :::as ].
Metody obliczania wspó÷
czynników [an ]
Metoda rekurencyjna jawnie kowariantna
Podstawowa¾ metoda¾ obliczania wspó÷czynników [ak ] i [rw1 rw2 :::rwn ak ] jest metoda rekurencyjna
jawnie kowariantna [138, 137, 5, 139]. Pierwszym jej krokiem jest utworzenie równania umoz·liwia-
jacego
¾
obliczenie [an ]. Do tego celu wykorzystywane jest równanie (118) rozpatrywane w granicy
koincydencji. Po zamianie indeksów n ! n
1 i elementarnych przekszta÷ceniach pozwala ono
otrzymać toz·samość
[an ] =
1
n
R [an
1]
+ [4
1=2
41=2 an
a
1
;a
]
[
;a
an;a ] .
(132)
Korzystajac
¾ z w÷
asności [AB] = [A] [B], gdzie A i B to dowolne funkcje dwupunktowe moz·na otrzymać
[an ] =
1n
R [an
n
+[41=2 ][an
1]
+ [4
a
1;a ]
] [41=2 ;aa ] [an
o
[ ;a ] [an;a ] .
1=2
1]
+ 2[41=2;a ] [an
Zatem do obliczenia [an ] wymagana jest znajomość obiektów [an;a ], [an
1=2
41=2 i [4
;a
a
1;a ]
(133)
1 ],
[an
]. Metoda otrzymywania granic koincydencji bitensorów
a
1=2 ,
1;a ], 4
, 41=2 , 4 1=2
ich pochodnych zosta÷
a przedstawiona w rozdziale 3.2, dlatego za÷
oz·ono, z·e funkcje 4
50
1=2
[
, [
;a ],
oraz
;a ],
3 Zwiazek
¾
onami
krzywiznowymi
51
1=2
41=2 , [4
;a
a
] sa¾ juz· znane. Ich jawna postać to
[
;a
] = [4
1=2;a
] = 0,
[41=2 ] = [4 1=2 ] = 1,
1
[41=2 ;aa ] =
R.
6
(134)
Po uwzglednieniu
¾
powyz·szych toz·samości w (133) moz·na otrzymać
[an ] =
1
n
R [an
1]
1
+ R[an
6
1]
a
1;a ]
+ [an
.
(135)
Równanie (135) ma charakter rekurencyjny w tym sensie, z·e posiadanie informacji o granicy koincydencji dwóch wspó÷
czynników niz·szego rzedu
¾ [an 1 ] oraz [an 1;aa ] umoz·liwia obliczenie wspó÷
czynników wyz·szego rzedu
¾ [an ]. Kolejnym krokiem jest obliczenie wspó÷czynników [an 1 ] i [an 1;aa ]
przy ponownym wykorzystaniu równania (118). Na podstawie równania (118) moz·na określić prawid÷owość, która wskazuje, jakie obiekty nalez·y obliczyć, z·eby uzyskać poszukiwany [an ]. Stosujac
¾ oz(m)
(0)
(0)
(1)
naczenia [ak;a1 :::am ] = [ak ], aby obliczyć [an ] = [an ] nalez·y uprzednio obliczyć obiekty [an 1 ], an 1 ],
(2)
[an
(1)
1 ],
(0)
[an
2 ],
(2)
(1)
(2)
(3)
(4)
(0)
2 ], [an 2 ], [an 2 ], [an 2 ], [an 3 ],
(2n)
[a0 ]. Na przyk÷ad, jeśli celem
an
[a0 ], [a0 ],...,
(1)
an
3 ],
(2)
[an
3 ],
(3)
[an
3 ],
(4)
[an
3 ],
(5)
[an
3 ],
(6)
[an
3 ],...,
(0)
[a0 ],
jest obliczenie wspó÷czynnika [a1 ], to do obliczeń
(0)
(1)
(2)
niezbedna
¾
jest znajomość trzech wspó÷
czynników [a0 ], [a0 ], [a0 ]. Ogólna zasada obliczeń mówi,
(0)
z·e im wyz·szy jest indeks n wspó÷
czynnika [an ], tym wieksz
¾ a¾ liczbe¾ wspó÷czynników niz·szego rzedu
¾
nalez·y obliczyć aby go uzyskać i tym samym wzrasta komplikacja obliczeń. Oprócz wspó÷
czynników
(i)
[ak ] nalez·y równiez· posiadać odpowiednie wspó÷
czynniki [41=2(m) ], [4 1=2(n) ], [ (s) ], co wynika z
(n)
równania (133). Równiez· dla tych bitensorów istnieje zasada, która mówi, z·e aby obliczyć [ak ]
nalez·y posiadać granice koincydencji
[41=2 ], [41=2(1) ],:::, [41=2(n+2) ],
[4
1=2
], [4
1=2(1)
],:::, [4
1=2(n)
(136)
]
(137)
oraz
[ ], [
(1)
],:::, [
(n+4)
].
(138)
Cztery pierwsze wspó÷czynniki HaMideW w granicy koincydencji maja¾ postać:
[a0 ] = 1,
1
R,
6
1 2 1 2 1
[a2 ] =
R
R +
72
6
2
1
acbd
+
R
R
,
270 abcd
(139)
[a1 ] =
(140)
2
R2 +
1
R a
60 ;a
1
1
R;aa + Rab;ba
6
30
1
1
Rab Rab +
R
Rabcd
180
270 abcd
(141)
51
3
Zwiazek
¾
krzywiznowymi
52
(0)
(1)
[a3 ] = a3 + a3 +
2 (2)
a3
3 (3)
a3 ,
+
(142)
gdzie
11 3
17
1
1
1
1
a
R +
R;a R;a
Rab;c Rab;c
Rab;c Rac;b +
Rabcd;e Rabcd;e +
RR;a
1680
5040
2520
1260
560
180
1
1
109
73
1
R;aab b +
R;ab Rab
Rab;c c Rab
RRab Rab +
Rab Rc a Rbc
+
280
420
630
2520
1890
1
19
1
1
RRabcd Rabcd +
Rab;cd Racbd +
Rab Rcd Racbd
Rabcd Ref ab Rcdef ,
(143)
+
210
105
630
189
1 3
1
11
1
1
1
=
R
R;a R;a
RR;a a
RRabcd Rabcd
R;a ab b
R;ab Rab
72
30
180
180
60
90
1
+
RRab Rab ,
180
1
1
1 3
1 3
(3)
a3 =
(144)
R + R;a R;a + RR;a a ,
R ,
=
12
12
6
6
(0)
a3
=
(1)
a3
(2)
a3
3.3.2
Metoda obliczania z wykorzystaniem wspó÷
czynników Hadamarda
Metoda ta wykorzystuje zwiazek
¾ pomiedzy
¾
dwiema reprezentacjami propagatora Feynmana: reprezentacja¾DeWitta-Schwingera (wspó÷czynniki an (x; x0 )) i reprezentacja¾Hadamarda (wspó÷czynniki Hadamarda).
Zwiazek
¾
ten pozwala znaleźć odpowiednie wspó÷
czynniki HaMiDeW majac
¾ odpowiednie wspó÷czynniki Hadamarda. Pierwszym krokiem tej metody jest wyraz·enie d-wymiarowego propagatora Feynmana w reprezentacji Hadamarda [139, 140, 71, 141, 142] w postaci
"
(d=2
2)!
U (x; x0 )
GF (x; x0 ) = i
2(2 )d=2 [ (x; x0 ) + i ]d=2
1
#
+ V (x; x0 ) ln[ (x; x0 ) + i ] + W (x; x0 ) ,
(145)
gdzie U (x; x0 ), V (x; x0 ) i W (x; x0 ) to nieosobliwe biskalary, natomiast d jest wymiarem czasoprzestrzeni.
Powyz·sza reprezentacja jest s÷
uszna dla czasoprzestrzeni o wymiarze parzystym. Po przedstawieniu
funkcji U (x; x0 ), V (x; x0 ) i W (x; x0 ) za pomoca¾ szeregu
d=2 2
X
0
U (x; x ) =
V (x; x0 ) =
n=0
+1
X
Vn x; x0
n=0
+1
X
W (x; x0 ) =
n
Un x; x0
Wn x; x0
n
n
x; x0 ,
(146)
x; x0 ,
(147)
x; x0
(148)
n=0
i wykorzystaniu równania Greena (114) moz·na pokazać, z·e kaz·dy ze wspó÷czynników Hadamarda
Un (x; x0 ), Vn (x; x0 ) i Wn (x; x0 ) spe÷nia równania rekurencyjne. Dla wspó÷czynnika Un maja¾ one
52
3 Zwiazek
¾
onami
krzywiznowymi
53
postać [140]
(n + 1)(2n + 4
d)Un+1 + (2n + 4
+
m2
x
;a
d)Un+1;a
(2n + 4
R Un = 0 dla n = 0; 1; :::; d=2
1=2
U0 =
1=2
d)Un+1
1=2
3,
;a
;a
(149)
.
(150)
Wspó÷czynniki Vn spe÷niaja¾ równania
(n + 1)(2n + d)Vn+1 + 2(n + 1)Vn+1;a
+
(d
2)V0 + 2V0;a
x
;a
m2
2V0
;a
1=2
2(n + 1)Vn+1
1=2
;a
;a
R Vn = 0 dla n 2 N,
1=2
1=2
;a
;a
+
m2
x
(151)
R Ud=2
2
= 0.
(152)
Wspó÷czynniki Wn spe÷niaja¾ równania
(n + 1)(2n + d)Wn+1 + 2(n + 1)Wn+1;a
+ (4n + 2 + d) Vn+1 + 2Vn+1;a
+
x
m2
;a
;a
2(n + 1)Wn+1
2Vn+1
1=2
1=2
1=2
;a
1=2
;a
;a
;a
R Wn = 0 dla n 2 N.
(153)
Miedzy
¾
wspó÷
czynnikami an oraz Vn istnieje zwiazek
¾
( 1)n+1
A~n+d=2
2n+d=2 1 n!(d=2 2)!
1=2
an (x; x0 ) = A~n (m2 = 0; x; x0 ).
Vn (x; x0 ) =
2
0
1 (m ; x; x ),
dla n 2 N,
(154)
Równania (149-152) pozwalaja¾ obliczyć wspó÷czynniki [Vn ] dla czasoprzestrzeni o wymiarze d = 4, a
nastepnie
¾
otrzymać za pomoca¾ relacji (154) odpowiadajace
¾ im wspó÷czynniki [ak ].
3.3.3
Metoda obliczania poprzez rozwiniecie
¾
Taylora we wspó÷
rzednych
¾
normalnych
Prekursorem obliczania wspó÷czynników [ak ] poprzez rozwiniecie
¾
normalnych by÷Sakai [143]. Metoda ta do otrzymania wspó÷czynników [ak ] wykorzystuje wyróz·niony uk÷
ad
wspó÷rzednych
¾
tzw. wspó÷rzednych
¾
normalnych. W pierwszym kroku metody nalez·y przedstawić
funkcje¾ hx; s jx0 ; 0i w alternatywnej do (116) postaci
hx; s x0 ; 0 =
gdzie
i
e
(4 is)2
im2 s
exp
i 2
4s
U x; x0 ; s ,
(155)
to po÷owa kwadratu d÷
ugości geodezyjnej pomiedzy
¾
punktami x0 i x. Zamiast dowolnej
wspó÷rzednej
¾
x nalez·y wprowadzić szczególne wspó÷rzedne
¾
tzw. wspó÷rzedne
¾
normalne (ang. „Riemann normal coordinates”) oznaczone y. Wspó÷
rzedne
¾
normalne y maja¾ swój poczatek
¾
w punkcie
53
3
54
Zwiazek
¾
krzywiznowymi
x0 oraz spe÷niaja¾ w÷
asności [144, 145, 146, 147]
gab jx0
c
(ab;a1 )
x0
=
c
ab ;
c
= 0;
ab jx0
= 0;
(ab;a1 a2 )
x0
c
= 0;
(ab;a1 a2 a3 )
x0
= 0 itd.
(156)
Po szeregu przekszta÷ceń [148, 149], wykorzystujac
¾ równanie Greena (114), moz·na otrzymać
toz·samość, która¾ spe÷nia funkcja U (y; 0; s) we wspó÷rzednych
¾
normalnych
i
@U
=
@s
ra ra U + RU
Po podstawieniu U (y; 0; s) = ( g)
to
(n + 1) fn+1 = ( g)
i
iy a h
ra U + U ra ln ( g)1=4 .
s
n
1=4 P1
n=0 (is) fn (y; 0)
1=4
@a
np
h
gg ab @b ( g)
(157)
alternatywna postać powyz·szego wzoru
1=4
fn
io
Rfn
y a ra fn+1 .
(158)
Poniewaz· celem jest otrzymanie wspó÷czynnika [an ], nalez·y znać relacje¾ wia¾z·ac
¾ a¾ go z fn : Jest ona
zadana przez [fn ] = [an ]. Rozwiniecie Taylora funkcji fn wokó÷punktu y = 0 do rzedu
¾ k to
fn(0;k) = fn(0) (0) +
k
X
"m fn(m) (0) y a1 :::y am ,
(159)
m=1
(m)
gdzie fn
(0)
(0) = fn;(a1 :::an ) =m!, fn (0) = [fn ]. Parametr " ma znaczenie informacyjne, a potega
¾
(m)
przy nim znakuje rzad
¾ rozwiniecia Taylora. Wspóczynnik fn
(0) wia¾z·e sie¾ z [an ] poprzez relacje¾
= [an ]. Równanie (158) moz·na przedstawić w postaci szeregu Taylora wokó÷punktu y = 0.
Poszukiwane rozwiazanie
¾
równania (158) jest wtedy równowaz·ne poszukiwaniu rozwiazania
¾
kaz·dego
(0)
fn (0)
jego m-tego rzedu
¾ rozwiniecia
¾
(m)
(n + m + 1) fn+1 (0) y a1 :::y am
1 @
( g)
"!0 m! @"m
= lim
1=4
Rfn(0;m) .
@a
np
gg ab @b ( g)
1=4
fn(0;m+2)
o
(160)
1 @
Operacja lim m!
¾ Tay·enia, na które dzia÷a, jego m-tego rozwiniecia
@"m ma na celu wydobycie z wyraz
"!0
(0)
lora. Powyz·sze równania nalez·y rozwiazać
¾ aby znaleźć fn (0) = [an ]. Jest to moz·liwe tylko wtedy,
p
gdy znamy rozwiniecia
¾ Taylora obiektów
g, g ab ,( g) 1=4 . Zatem kluczowym posunieciem
¾
bedzie
¾
teraz znalezienie rozwiniecia
¾
we wspó÷rzednych
¾
normalnych wszystkich elementów metrycznych10 ,
analogicznie jak to ma miejsce w równaniu (159). Tradycyjna metoda rozwijana jest skomplikowana
obliczeniowo [144], dlatego pos÷
uz·ono sie¾ bardziej efektywna¾ [150]. Podstawa¾ tej metody jest algo( )
rytm rozwijania tetrady11 ea (y) w szereg Taylora we wspó÷rzednych
¾
normalnych. Opiera sie¾ on na
p
Elementy metryczne to wszelkie obiekty skonstruowane przy pomocy metryki, miedzy
¾
innymi g,
g, R.
( )
W kaz·dym wyraz·eniu, w którym pojawia sie¾ tetrada ea litery greckie znakuja¾ numer tetrady, natomiast ÷acińskie
sk÷adowe tetrady.
10
11
54
3 Zwiazek
¾
onami
krzywiznowymi
55
rekurencyjnym zwiazku
¾
określajacym
¾
wspó÷
czynniki rozwiniecia
¾
(y r0 )n e(a ) (0) =
n 1
(y r0 )n
n+1
2
h
i
R:: (0) e(a ) (0) ,
(161)
( )
gdzie R:: (0) = R ab (0) y a y b , natomiast obiekty r0 , R:: (0), ea (0) liczone sa¾ w punkcie y = 0.
Wynikiem zastosowania tego algorytmu jest
gdzie R =R::a (0), b
1=
a,
1
1
e=b
1+ R+
(y r0 ) R + :::,
6
12
(162)
( )
e = ea (y), oraz y r0 = y a r0a . Powyz·szy wzór celowo zosta÷przed-
stawiony w sposób bezindeksowy. Wprowadzenie niekonwencjonalnego bezindeksowego formalizmu
jest uzasadnione. Unikniecie
¾ jawnej manipulacji indeksami przyspiesza lub w pewnych przypadkach
umoz·liwia jakiekolwiek obliczenia. Taka sytuacja pojawia sie¾ w przypadku obliczeń [a4 ], poniewaz·
nalez·y wtedy rozwinać
¾ tetrade¾ do ósmego rzedu,
¾
co w przypadku klasycznych metod (indeksowych)
p
g, g ab w postaci rozwiniecia,
¾
anajest bardzo skomplikowane. Po przedstawieniu ( g) 1=4 ,
logicznie jak w przypadku tetrady we wzorze (162), moz·na przystapić
¾ do końcowej fazy obliczeń
wspó÷czynnika [an ]. Poszukiwany obiekt [an ] moz·na otrzymać rozwiazuj
¾ ac
¾ uk÷
ad równań (160), oraz
(0)
wykorzystujac
¾ zwiazek
¾
[an ] = fn (0).
3.3.4
Metoda rekurencyjna jawnie kowariantna bezindeksowa
W pierwszym kroku metoda rekurencyjna jawnie kowariantna rozwija kaz·dy obiekt metryczny w
postaci kowariantnego szeregu Taylora. Pod tym wzgledem
¾
jest podobna do metody omawianej w
poprzednim podrozdziale, dalej jednak koncepcja jest juz· inna. Zasadniczy pomys÷Avramidiego twórcy tej metody [151] - polega÷na zapisie rozwiniecia
¾ Taylora w sposób bezindeksowy, w postaci
analogicznej do notacji Diraca. Nowościa¾ jest równiez· wprowadzenie operatorów, które dzia÷
aja¾
na wektory bazowe rozwiniecia
¾
Taylora („wektory Diraca”). Wszystkie te zabiegi maja¾ na celu
maksymalne uproszczenie obliczeń12 .
0
m
Kowariantne rozwiniecie
¾ Taylora dowolnego pola tensorowego Aba11:::b
:::an w punkcie x jest zde…n-
iowane wzorem
m
Aba11:::b
:::an = P
X ( 1)k
k!
k 0
c01
:::
c0k
b0 :::b0
Aa10 :::am0 c0 :::c0 ;
1
n 1
k
h
i
b0 :::b0
b0 :::b0
Aa10 :::am0 c0 :::c0 = r(c1 ::: rck ) Aa10 :::am0 ,
1
n 1
k
1
n
(163)
gdzie przesuniecie
¾ równoleg÷e z punktu x0 do x określone zosta÷o umownie operatorem P [7, 69].
12
Przyk÷ad obliczeń ukazujacy
¾ praktyczne wykorzystanie formalizmu Avramidiego przedstawiony zosta÷w dodatku
„Formalizm Avramidiego - przyk÷ad obliczeń”.
55
3
56
Zwiazek
¾
krzywiznowymi
Wprowadźmy notacje¾ analogiczna¾ do notacji Diraca
j0i = 1,
( 1)k a01
0
::: ak ,
k!
m
hmj = ha;1 :::a;m j = ( 1)m gaa;11 :::gaa;m
r(a1 :::ram )
jni =
jni
jki =
a01 :::a0n =
(164)
x; x0 ,
(n + k)!
jn + ki ,
n!k!
(165)
gdzie hmj to funkcja dualna do jmi. Iloczyn skalarny miedzy „wektorami Diraca” jest zde…niowany
nastepuj
¾ aco
¾
hmj ni =
hmj ni =
Z
dn x a01 :::a0m b01 :::b0n ,
mn 1(n) ,
b1
bn
(a1 ::: an ) .
1(n) =
(166)
Korzystajac
¾ z wprowadzonej notacji Diraca kowariantny szereg Taylora(163) dowolnego tensora '
moz·na przedstawić w postaci
j'i = P
X
n 0
jni hnj 'i ,
(167)
natomiast dowolny liniowy operator róz·niczkowy F dzia÷ajacy
¾ na ' moz·na wyrazić nastepuj
¾ aco:
¾
F =
X
m;n 0
P jmi hmj P
1
F P jni hnj P
1
.
(168)
Kluczowym krokiem tej metody jest wyraz·enie wszelkich obiektów (operatorów i tensorów) w
bazie wektorów jni. Pierwszym operatorem wprowadzonym w metodzie Avramidiego jest D
r .
0
Moz·na udowodnić, z·e
i
to funkcje w÷asne operatora D z wartościami w÷asnymi równymi 1.
Posi÷
kujac
¾ sie¾ ta¾ w÷asnościa¾ moz·na pokazać
D jni = n jni .
(169)
Istotne jest równiez· wprowadzenie nowych obiektów
0
0
Obiekt
0
0
= r
0
= g
s0
,
0
0
,
0
0
0
=b
1, X
=g
0
0
de…niujemy jako macierz odwrotna¾13 do
a0
0
13
Uz·ywana jest notacja macierzowa
=
0
,
=
0
.
56
,
czyli
n
o
b
1 D2 + D + S b = S
gdzie S jest to macierz o elementach S b0 = Ra c0 b0 d0
0 0
i
c0 d0 .
=
=
=
0
0
g
,
(170)
b
1 + b.
1.
h i
b = 0,
Równania określajace
¾ b to
(171)
Traktujac
¾ S jako perturbacje¾ moz·na
3 Zwiazek
¾
onami
krzywiznowymi
57
formalnie rozwiazać
¾ powyz·sze równanie otrzymujac
¾
b=
1
X
( 1)k+1
k=1
n
1
D2 + D
S
ok
b
1.
(172)
Aby przedstawić b w bazie „wektorów Diraca” (165) nalez·y uprzednio w bazie tej wyrazić kaz·dy z
1
obiektów D2 + D
i S:
S =
X
0
1) Ra (a0 jb0 ja0 :::a0 ) jki ,
k (k
1
k 2
D2 + D
1
=
X
n 0
2
(173)
k
1
jni hnj .
+n
n2
Stosujac
¾ powyz·sze toz·samości w równaniu (172), moz·na otrzymać b w postaci
b=
X
k 2
b(k) jki ,
(174)
czynniki rozwiniecia.
¾
Obiekt ten ÷
aczy
¾
sie¾ z wyznacznikiem Van Vlecka-Morette
gdzie b(k) to wspó÷
poprzez zwiazek
¾
= det ( ) = det (
1
=
T r log ( ) .
2
)
1
= exp (2 )
(175)
Wyznacznik Van Vlecka-Morette, podobnie jak b, moz·na przedstawić w bazie „wektorów Diraca”
=
X
(k) jki .
k 0
Z (175) moz·na otrzymać równiez· relacje¾
(176)
z takimi obiektami jak
n.
Kolejnym operatorem w
metodzie Avramidiego, który nalez·y przedstawić w bazie funkcji w÷asnych operatora D (168) jest
= ra ra . Operator r moz·na wyrazić przy pomocy operatora rb0 = @ @b0 poprzez toz·samość
b0
a rb0 .
ra =
(177)
Wykorzystujac
¾ (170) i (175) moz·na udowodnić
= Yw
0
0
0
gdzie Y w = rs0 X s w i
jn
s0
0
2
s0 X
s0 w 0
= rs0 . Operator r
0
0
0
r w 0 + X s w r s0 r w 0 ,
(178)
ma bardzo proste obliczeniowo dzia÷anie: rs0 jni
1i, a z tego z kolei wynika, z·e rs0 ma podobna¾ w÷asność jak operator anihilacji w mechanice
kwantowej. Równanie (118) moz·na napisać w postaci
57
3
58
Zwiazek
¾
krzywiznowymi
1
ak+1 = (k + 1 + D)
F ak
(179)
lub
ak+1 = (k + 1 + D)
1
F (k + D)
1
F:::(1 + D)
1
F a0 ,
(180)
gdzie
F =4
Operator (k + 1 + D)
1
1=2
41=2
1
=
X
n 0
natomiast obiekt ak to ak = P
X
n 0
X
(181)
w formie rozwiniecia w bazie jni to
(k + 1 + D)
hnj ak+1 i =
R .
n1 ;:::;nk 0
1
jni hnj ,
k+1+n
(182)
jni hnj ak i. Ostatecznie po wykorzystaniu (180) moz·na otrzymać
1
1
1
:::
hnj F jnk i hnk j F jnk
k + 1 + n k + nk 1 + n1
1 i ::: hn1 j F
j0i .
(183)
Uzyskanie h0j ak+1 i z powyz·szego równania oznacza znalezienie [ak+1 ] na podstawie toz·samości
h0j an i = [an ] .
(184)
Ze wzoru (183) wynika, z·e kluczowe znaczenie w uzyskaniu [an ] ma policzenie elementów macierzowych hnk j F jnm i.
58
4
Czarne dziury w grawitacji kwadratowej
4
59
W tym rozdziale przedstawione bed
¾ a¾ rozwiazania
¾
czarnodziurowe równań pola grawitacji kwadratowej. W podrozdziale 4.1 analizowane sa¾ rozwiazania
¾
kwadratowej grawitacji sprze¾z·onej z elektrodynamika¾ klasyczna.
¾ Zbadane bed
¾ a¾ w÷asności otrzymanych rozwiazań:
¾
horyzont zdarzeń (czy
rozwiazanie
¾
opisuje czarna¾ dziure),
¾ po÷oz·enie horyzontu wewnetrznego
¾
i zdarzeń oraz w÷asności termodynamiczne czarnych dziur.
Rozdzia÷ten opiera sie¾ na wynikach publikacji:
J. Matyjasek and D. Tryniecki, Charged black holes in quadratic gravity, Phys. Rev. D69,
124016 (2004).
W podrozdziale 4.2 poddana bedzie
¾
analizie teoria kwadratowa sprze¾z·ona z elektrodynamika¾
nieliniowa.
¾ Poszukiwane bedzie
¾
rozwiazanie
¾
opisujace
¾ czarna¾ dziure¾ nie posiadajace
¾ osobliwości w
centrum symetrii.
Rozdzia÷ten opiera sie¾ na wynikach publikacji:
W. Berej, J. Matyjasek and D. Tryniecki, M. Woronowicz, Regular black holes in quadratic
gravity, Gen. Rel. Grav. 38, 885 (2006).
4.1
Na÷
adowana czarna dziura w grawitacji kwadratowej
Jak juz· zosta÷o napisane wcześniej grawitacje¾ kwadratowa¾ opisuje dzia÷anie
Ig =
1
16
Z
p
d4 x g R + R2 + Rab Rab .
(185)
Równania pola grawitacyjnego z uwzglednieniem
¾
pó÷materii Im maja¾ postać
Lba = Gba
Jawna postać tensorów
(1)
(2)
H
ab
=
H ab =
(1) H ab
1
g 1=2
gab
1
g 1=2
gab
Z
Z
i
(2) H ab
(1)
Hab
(2)
Hab = 8 Tab .
(186)
to
d4 x g 1=2 R2 = 2R; ab
1
2RRab + g ab R2
2
d4 x g 1=2 Rab Rab = R; ab
Rab
4 R ,
1
2Rcd Rcbda + g ab Rcd Rcd
2
(187)
R .
(188)
Teoria kwadratowa zaliczana jest do teorii z wyz·szymi pochodnymi, poniewaz· w równaniach pola
maksymalna¾ pochodna¾ metryki jest czwarta, a nie druga, jak w przypadku klasycznych równań
Einsteina. Poszukiwany bedzie
¾
analogon czarnodziurowego rozwiazania
¾
Reissnera-Nordströma dla
kwadratowej grawitacji sprze¾z·onej z polem elektromagnetycznym. Analiza równań Maxwella pozwala
59
60
stwierdzić, z·e tensor energii-pedu
¾ ma postać
Tba = diag(
e2
;
8 r4
e2
e2
e2
;
;
).
8 r4 8 r4 8 r4
(189)
Aby otrzymać metryk¾
e czasoprzestrzeni, nalez·y rozwiazać
¾
uk÷ad równań róz·niczkowych (186). W
równaniach tych pojawiaja¾ sie¾ wyz·sze cz÷ony krzywiznowe, co powoduje, z·e sa¾ one o wiele bardziej
skomplikowane niz· przypadek klasyczny. Z tego powodu rozwiazanie
¾
bedzie
¾
poszukiwane z wykorzystaniem metody przybliz·onej jaka,
¾ jest metoda perturbacyjna.
Metoda perturbacyjna moz·e być z powodzeniem stosowana do poszukiwania rozwiazań
¾
przybliz·onych teorii z wyz·szymi cz÷onami krzywiznowymi. Teorie¾ taka¾moz·na symbolicznie opisać funkcjona÷
em dzia÷
nia
1
16
S = Ig + Im =
gdzie pierwsze dwa cz÷
ony
Z
p
g f 2 + R + J1 + J2 + J3 + ::: + Lm g ,
d4 x
(190)
i R dotycza¾ klasycznej grawitacji Einsteina, kolejne J1 , J2 , J3 , ... ,
Jk ; ..., to cz÷ony zawierajace
¾ obiekty krzywiznowe rzedu
¾ 2k + 2, a ostatni element Lm opisuje pola
materii. Róz·niczkujac
¾ funkcjonalnie dzia÷anie S, wzgledem
¾
metryki moz·na otrzymać równania pola
grawitacyjnego w postaci
8 T ab = Gab
n
o
J1ab + J2ab + J3ab + ::: ,
(191)
1
ab
ab
ab ab
ab
ab
2 Rg + g , J1; J2 ; J3 ; ... , Jk to
2
obiekty pochodzace
¾ od teorii wyz·szego rzedu,
¾
a tensor T ab = g1=2
¾ pola
gab Lm to tensor energii-p edu
ab
ab
ab
ab
materii. Jeśli cz÷ony wyz·szego rzedu
¾ J1; J2 ; J3 ; ... , Jk daja¾ niewielki wk÷ad do równań pola, to
gdzie Gab to tensor Einsteina określony jako Gab = Rab
moz·na wówczas zastosować metode¾ perturbacyjna.
¾ Pierwszym krokiem tej metody jest rozwiazanie
¾
klasycznych równań Einsteina
(0)
Rab
1 (0) (0)
(0)
(0)
R gab + gab = 8 Tab .
2
(192)
(0)
Rozwiazanie
¾
tych równań oznaczone jako gab nazywane jest zerowym rzedem
¾
rozwiazania
¾
perturbacyjnego. Jest to najprostsze przybliz·enie rozwiazań
¾
dla teorii wyz·szymi cz÷onami krzywiz(1)
nowymi. Aby otrzymać dok÷
adniejsze przybliz·enie, jakim jest rozwiazanie
¾
pierwszego rzedu
¾ gab ,
nalez·y rozwiazać
¾ równanie
(1)
Rab
n
o
1 (1) (1)
(1)
(1)
(0)
(0)
(0)
R gab + gab = 8 Tab + J1ab + J2ab + J3ab + ::: .
2
(193)
(0)
Konsekwencja¾ dok÷adności wyz·szej niz· gab jest bardziej skomplikowany uk÷ad równań róz·niczkowych
(0)
(0)
(0)
(0)
wynikajacy
¾ z pojawienia sie¾ w równaniach cz÷
onów J1 ab , J2 ab , J3 ab ,::: . Indeks zero w cz÷onach J1 ab ,
(0)
(0)
(0)
J2 ab , J3 ab ,::: wskazuje, z·e otrzymano je dla metryki gab . Równania (193) moz·na uprościć zastepuj
¾ ac
¾
cześć
¾ obiektów krzywiznowych tensorem energii-pedu
¾ stosujac
¾ toz·samości typu: R(0) =
60
8 T (0)
4
(0)
oraz Rab = 8
(0)
1 (0) (0)
gab
2T
Tab
61
. Wyraz·enie (193) moz·na uogólnić na dowolny rzad
¾ perturbacji co
prowadzi do równania
(n)
Rab
n
1 (n) (n)
(n)
(n)
(n
R gab + gab = 8 Tab + J1ab
2
1)
(n 1)
+ J2ab
(n 1)
+ J3ab
o
+ ::: .
(194)
Prawa¾ strone¾ powyz·szego równania określa sie¾ mianem efektywnego tensora energii-pedu,
¾
który ma
postać
ef f (n)
Tab
(n)
= Tab +
1 n (n
J1ab
8
(n)
1)
(n 1)
+ J2ab
1 (n) (n)
gab
2R
Równania moz·na wówczas zapisać jako Rab
(n 1)
+ J3ab
o
+ ::: .
(195)
ef f (n)
(n)
+ gab = 8 Tab
. Ogólne przybliz·one
rozwiazanie
¾
moz·e być przedstawione jako suma elementów
(n)
(0)
(1)
gab = gab +
(k)
gdzie
(k)
gab = gab
(k 1)
gab
gab +
(2)
(n)
gab + ::: +
gab ,
(196)
oznaczaja¾ poprawk¾
e do metryki pochodzac
¾ a¾ od k-tej perturbacji. Nalez·y
(n)
zwrócić uwage,
¾ z·e aby znaleźć gab , czyli rozwiazanie
¾
n-tego rzedu,
¾
nalez·y rozwiazać
¾
n+1 uk÷
adów
równań róz·niczkowych, poczawszy
¾
od klasycznych równań Einsteina, a skończywszy na równaniach
n-tego rzedu.
¾
Zastosowanie metody perturbacyjnej do teorii kwadratowej (186) prowadzi do otrzymania tensora
efektywnego w postaci
ef f (n)
Tab
(n)
1 (n
J
8 1ab
(n 1)
+
= Tab +
1)
,
(197)
gdzie
(n 1)
J1ab
=
(1)
Hab
(2)
(n 1)
Hab
.
(198)
(0)
¾
Reissnera-Nordströma
Zerowy rzad
¾ perturbacji gab opisywany jest przez klasyczne rozwiazanie
ds2 =
1
2
r
r+
e2
+
2
2r+
e2
2r
dt2 +
2
r
1
n
dr2
r+
2
+
e2
2r+
e2
2r
o + r2 d
2
+ sin2 d
2
.
(199)
(1)
Aby otrzymać rozwiazanie
¾
pierwszego rzedu
¾ gab nalez·y rozwiazać
¾ równanie
1 (1) (1)
ef f (1)
R gab = 8 Tab
.
2
(1)
Rab
ef f (1)
Jednym ze sk÷adników tensora efektywnego Tab
jest obiekt
(200)
(1) H (0) ,
ab
który moz·na przekszta÷
cić do
postaci
1
8
(1)
n
H (0) = 2 T;rr
r
(0)r
T;r
h
g (0) g (0)rr T;rr
gdzie T to ślad tensora energii-pedu,
¾
T;r =
@T
@r .
g
(0)r
T;r
2 T2 + 8 TT
io
,
(201)
Sumowanie wystepuje
¾
jedynie po indeksach , ale nie
(1)
po indeksach . Charakterystyczna¾ cecha¾ rozwiazań
¾
gab jest fakt, z·e nie zalez·a¾ one od parametru
61
62
, a tym samym cz÷on (187) w ogóle nie wp÷
ywa na rozwiazania.
¾
Dzieje sie¾ tak dlatego, z·e ślad
tensora energii-pedu
¾ T wynosi zero, zatem cz÷
on (201) nie daje z·adnego wk÷adu do równań pola.
(n)
Rozwiazanie
¾
gab obliczone w dowolnym rzedzie
¾
perturbacji równiez· nie zalez·y od sta÷
ej .
Poniewaz· rozwaz·ana jest czasoprzestrzeń sferycznie symetryczna i statyczna nalez·y znaleźć tylko
(n)
(n)
dwie sk÷
adowe metryki: gtt (r) oraz grr (r). Ze wzgledów
¾
rachunkowych wygodnie jest stosować
(n)
funkcje m(n) (r) i
(r) zamiast metryki, z która¾ funkcje te zwiazane
¾
sa¾ relacja¾
gtt (r) =
2m (r) =r) e2
(1
grr (r) = 1= (1
Zwiazek
¾
reprezentacji m(n) (r) ,
(n)
(n)
=
(0)
+
(1)
+
(2)
,
2m (r) =r) .
(202)
(n)
(n)
i reprezentacji metrycznej gtt (r), grr (r) zadany jest przez
toz·samość (202). Aby przejść z reprezentacji m(n) (r) ,
równania (202) funkcje m(n) (r) i
(r)
(n)
(n)
m(n) i
, gdzie
(n)
do gtt (r), grr (r) nalez·y wstawić do
w postaci m(n) = m(0) +
(n)
+ :::+
(n)
(n)
m(1) +
m(2) + :::+
m(n) i
oznaczaja¾ poprawki pochodzace
¾ od
n-tej perturbacji. Nastepnie
¾
nalez·y wprowadzić bezwymiarowy parametr " dokonujac
¾ podstawienia
m(n) (r) ! "n m(n) (r),
(n)
(n)
! "n
i rozwinać
¾ prawa¾ strone¾ równania (202) w szereg
Taylora wzgledem
¾
" do rzedu
¾ n. Parametr pomocniczy " nalez·y na końcu wyeliminować poprzez
podstawienie " = 1.
Zastosowanie nowej reprezentacji powoduje, z·e aby otrzymać poprawk¾
e pierwszego rzedu
¾ do me(1)
(1)
tryki Reissnera-Nordströma 4m (r) i 4
(r) nalez·y rozwiazać
¾ dwa równania róz·niczkowe. Pierwsze z nich to
4m(1)0 = Stt ,
(203)
gdzie prim oznacza pochodna¾ po r, a
Stt
=
2 m(0)0
r2
+m(0)000
8 m(0) m(0)0 2 m(0)0
+
r3
r2
m(0) m(0)000
r
2
2 m(0)00 5 m(0) m(0)00
+
r
r2
!
m(0)0 m(0)000 + r m(0)0000
2 m(0) m(0)0000
.
m(0)00
m(0)0 m(0)00
+
r
2
2
(204)
Natomiast drugie równanie ma postać
(1)
=
m(0)000
4
m(0)0 + C1 .
r2
(205)
Po przyjeciu,
¾
z·e sta÷a r+ jest horyzontem zdarzeń czyli spe÷
nia równanie
gtt (r+ ) = 0
oraz warunku asymptotycznej p÷askości
(n)
(206)
(r ! 1) = 0, pierwszy rzad
¾ rozwiazania
¾
ma postać [93]
62
4
(1)
m(1) (r) = m(0) (r) + 4m(1) (r),
m(1) (r)
=
(1)
=
(r)
r+
e2
+
2
2r+
(0)
(r) =
e2
+
2r
63
(1)
(r) + 4
2 e2
r3
(r) i wynosi
3 e2 r+
2 r4
3 e4
6 e4
+
2 r+ r 4
5 r5
e2
3 e4
+
3
5
2 r+
10 r+
,
e2
.
r4
(207)
Równania róz·niczkowe wraz ze wzrostem rzedu
¾ perturbacji staja¾ coraz bardziej skomplikowane, a
ich rozwiazania
¾
prowadza¾ do
351 e4 r+
36 e2
1156 e4
76 e2 r+
76 e4
+
+
4 r8
r5
7 r7
r6
r 6 r+
e6
351 e6
3 e4
9 e6
1 e6
40 2 7 +
+
+
3
5
9
4 r+ r 8
2 r+ r 4
10 r4 r+
12 r+
r+ r
4m(2) =
4
(2)
704 e6
15 r9
3 e4
7
28 r+
2
2
=
4m(3) =
3
4
e2 r+
e4
+ 32 7
7
r
r r+
32
e2
r7
1440
e2
r6
41
e4
r8
2
e2 r+
r7
,
(208)
,
(209)
e2 r+
e4 12392664 e6
331624 e8 2229 e8
+
21168
+
+
+
13
r8
r9
385
r11
65 r13 572 r+
5508
e2
652 e4
+
7
9
55 r+
r+
24
40
2587 e6
e6
+
6816
11
2
220 r+
r 9 r+
76
e4
3
r 6 r+
2744
3
e2 r+
228 e6
+
5
r10
5 r 6 r+
2
e4
130732 e4 r+ 130732 e6
115176 e4 r+
51347 e6 r+
+
r+ r 8
5
r10
5
r10 r+
11
r11
4
r12
2
e2 r+
115176 e8
51347 e8
e8
e4
e6
+
2744
+
80
+
32
+
6816
2 r 11
3 r 10
2 r7
4 r7
11 r+
4 r+ r12
r9
r+
r+
r+
5508
48
(3)
4
3
=
e8
6 r7
r+
351 e6
1053 e8
+
3 r8
5 r8
4 r+
20 r+
96 e6
5
5 r 7 r+
+2352
3264
e2 r+
r9
3264
e4
r 9 r+
e8
9 e6
+
9
7 r4
28 r+
4 r 4 r+
32
e4
3
r 7 r+
,
(210)
74560 e4 r+
11 r11
2
e2 r+
48384 e4
e6
69572 e6
e2
+
+
+
2352
+
1080
2
r10
5 r10
15 r12
r8
r10 r+
74560 e6
11 r11 r+
.
(211)
W przypadku metryki Reissnera-Nordströma (rozwiazanie
¾
zerowego rzedu)
¾
istnieja¾ dwa horyzonty: horyzont zdarzeń rH = r+ i horyzont wewnetrzny
¾
r
=
e2
r+ .
Horyzont zdarzeń w przy-
padku zmody…kowanym przez kwadratowa¾ grawitacje¾ nadal wynosi rH = r+ , natomiast horyzont
wewnetrzny
¾
ulega mody…kacji poniewaz· jego promień z dok÷adnościa¾ do drugiego rzedu
¾ obliczeń jest
równy
r
=
e2
+
r+
5
+
206
3
525r+
3e4
5
r+
2e2
3
r+
2
r+
3
3r+
2r+
+
e2
e4
+
2
3
5
58 r 4
374 r+
131
542 r+
+
e
+
+
105e2 r+
105 +
525 e6
525 e8
63
e6
9
6r+
214 e4
38 e2
+
7
5
525 r+
525 r+
7
191 r+
150 e10
+ O(
3
).
(212)
64
Metryk¾
e moz·na przedstawić w bardziej standardowej reprezentacji niz· przy pomocy parametrów r+
i e, wyraz·ajac
¾ ja¾ poprzez mase¾ widziana¾ przez obserwatora odleg÷ego M1 oraz e. Masa M1 jest
określona jako
M1 =
lim m(r) =
r!1
3
4e2
7
r+
3e4
5
10r+
r+
e2
+
+
2
2r+
652e4
2587e6
+
9
11
55r+
220r+
e2
3
2r+
2229e8
13
572r+
e6
9
12r+
2
+
+ O(
4
3e4
7
28r+
).
Metryka w reprezentacji M1 , e liczona z dok÷adnościa¾ do cz÷
onu O(
(213)
4
) policzona zosta÷a przez
Campanelli, Lousto i Audretscha [1]. Podstawienie do metryki Campanelli, Lousto i Audretscha
masy (213) powinno doprowadzić do otrzymania metryki w reprezentacji r+ i e, okazuje sie¾ jednak,
z·e tak nie jest [93]. W celu sprawdzenia tych rozbiez·ności powtórzono obliczenia Campanelli, Lousto
i Audretscha. Otrzymana poprawka pochodzaca
¾ od trzeciego rzedu
¾ perturbacji okaza÷a sie¾ być róz·na
od przedstawionej w ich pracy i wynosi [93]
e2
e2
e2 M1
6 e4
+
2 3 3
+
,
2r
r
r4
5r5
e2 M1 596 e4 704 e6
e2 M1 2 351 e4 M1
e2
+ 2 152
160
+
36
r6
7 r7
15 r9
r7
2
r8
r5
2
2
2
2
6
e M1
e M1
e
4330344 e
179144 e4 M1
+ 3 27264
11016
+
1440
+
r9
r8
r7
385 r11
5
r10
331624 e8
460704 e4 M1 2 51347 e6 M1
e2 M1 3
e4
+
+
21952
+
7536
+ O(
65 r13
11
r11
2
r12
r10
r9
m(3) (r) = M1
4
),
(214)
(3)
(r)
2
2
e2
64e2 M1
41e4
24864e4
9408e2 M1
2 24e
+ 8
+ 3
+
4
6
7
10
10
r
r
r
r
5r
r
6
2
2
4
69572e
1080e
6528e M1
149120e M1
+
+
+ O( 4 ).
12
7
9
15r
r
r
11r11
=
(215)
Powyz·sze wyniki zosta÷y sprawdzone poprzez wykorzystanie relacji (213) w obliczeniach wykonanych
w reprezentacji M1 , e. W wyniku tej operacji idealnie odtworzona zosta÷a metryka w reprezentacji
r+ , e co wykazuje poprawność obliczeń.
W reprezentacji M1 , e promień horyzontu zdarzeń nie ma juz· trywialnej postaci, ale wynosi
r+
=
e2 5r02
5r03 r02
r0 +
e2
3
r02
e2
5
3e2
e2
2
e4 2925r06
17268913 e10
75075 r07
26686967 e8
436497 e14
+
75075 r05
35750 r011
6515r04 e2 + 5095r02 e4
1050r07 r02
61234643 e12
750750 r09
8 r03
64
3064 2
e r0
55
e2
1337e6
3
137993 e4 3265043 e6
+
770 r0
10010 r03
+ O(
4
),
(216)
4
2
gdzie r0 = M1 + M1
e2
1=2
65
.
Zmiana parametrów M1 , e skutkuje zmiana¾ po÷oz·enia horyzontu zdarzeń co moz·e doprowadzić
do po÷
aczenia
¾
sie¾ horyzontów (r+ = r ) - taki przypadek nazywany jest horyzontem ekstremalnym.
Wartość parametrów M1 , e dla przypadku ekstremalnego wyznacza granice¾ przejścia pomiedzy
¾
rozwiazaniem
¾
opisujacym
¾
czarna¾ dziure,
¾ a rozwiazaniem
¾
bed
¾ acym
¾
naga¾ osobliwościa¾14 . Przypadek
ekstremalny jest wyjatkowy
¾
równiez· ze wzgledu
¾ na swoje nietypowe w÷
asności termodynamiczne
oraz pojawiajace
¾ sie¾ kontrowersje na ich temat. Po obliczeniu temperatury Hawkinga dla rozwiaza¾
nia nieekstremalnego Reissnera-Nordströma, a nastepnie
¾
po przejściu z parametrami M1 , e do przy-
padku ekstremalnego, temperatura da¾z·yć bedzie
¾
do zera TH ! 0. Jednak jak sugeruje Hawking, Ross
i Horowitz temperatura ekstremalnej czarnej dziury nie jest przypadkiem granicznym rozwiazania
¾
nieekstremalnego, ale moz·e być dowolna [152]. Propozycja ta jest motywowana tym, iz· topologia
nieekstremalnej i ekstremalnej czarnej dziury jest jakościowo odmienna. Jeśli chcemy otrzymać temperature¾ Hawkinga przypadku nieekstremalnego, nalez·y ustalić temperature¾ tak, aby zapobiega÷
a
ona pojawieniu sie¾ osobliwości stoz·kowej w przestrzeni Euklidesowej. Inaczej jest z przypadkiem
ekstremalnym, gdzie na pojawienie sie¾ osobliwości stoz·kowej nie ma wp÷ywu zakres czasu urojonego
, a tym samym wartość temperatury. Zatem w przypadku ekstremalnym temperatura nie jest
zwiazana
¾
w z·aden sposób z geometria¾ czasoprzestrzeni. Kolejna¾ konsekwencja¾ odmienności topologii
przypadku ekstremalnego jest zerowanie sie¾ entropii S = 0 [152, 153], co stoi w sprzeczności z regu÷
a¾
Bekensteina-Hawkinga S = A=4 (A to powierzchnia horyzontu zdarzeń). Moz·liwość odstepstwa
¾
temperatury ekstremalnej czarnej dziury T od wartości TH = 0 niesie ze soba¾ jednak niepoz·adane
¾
konsekwencje …zyczne. Rozpatrujac
¾ kwantowe pole skalarne bed
¾ ace
¾ w równowadze temperaturowej z
ekstremalna¾czarna¾dziura,
¾ moz·na pokazać, z·e jeśli T 6= TH , to tensor energii-pedu
¾ pola jest rozbiez·ny
[154, 155]. Wersja w której entropia ekstremalnej czarnej dziury ma klasyczna¾ wartość (S = A=4)
wsparta jest równiez· ze strony teorii strun [156].
Rozpatrujac
¾ przypadek bez poprawek kwadratowych, moz·na zauwaz·yć, z·e horyzont zdarzeń i
2
horyzont wewnetrzny
¾
rH = r+ , r = re+ ÷acz
¾ a¾ sie,
¾ gdy r+ = jej (tzw. przypadek ekstremalny).
Analiza ekstremalności horyzontów z uwzglednieniem
¾
poprawek kwadratowych pokazuje, z·e dwa
horyzonty rH = r+ i r ÷acz
¾ a¾ sie¾ dla tej samej wartości r+ = jej. Zachodzi podejrzenie, z·e wartość
promienia rekstr = jej jest idealnym (nieperturbacyjnym) rozwiazaniem
¾
przypadku ekstremalnego
dla kwadratowej grawitacji. Aby sprawdzić te¾ hipoteze¾ wykorzystana bedzie
¾
postać metryki ds2 =
f (r) e2
(r) dt2
+
dr2
f (r)
+ r2 d
2
+ sin2 d
2
. Funkcja f (r) moz·e być rozwinieta
¾ w szereg Taylora
wzgledem
¾
horyzontu zdarzeń
f (r) = f (r+ ) +
Warunek gtt (r+ ) = f (r+ ) e2
(r+ )
df
(r
dr jr=r+
r+ ) +
1 d2 f
(r
2 dr2 jr=r+
r+ )2 + ::: .
(217)
= 0, który określa promień horyzontu zdarzeń jest równowaz·ny
równaniu f (r+ ) = 0 (przy za÷oz·eniu j (r+ )j < 1). Zatem, przy uwzglednieniu
¾
f (r+ ) = 0 w
14
Naga osobliwość (ang. „naked singularity”) jest czasoprzestrzenia¾ z osobliwościa,
¾ która nie posiada horyzontu
zdarzeń.
65
66
równaniu (217), moz·na wywnioskować, z·e istnieje drugi horyzont r
tylko wtedy, gdy
Podsumowujac,
¾ horyzont zdarzeń jest ekstremalny, kiedy spe÷nione sa¾równania f (r+ ) =
Równania Einsteina na horyzoncie ekstremalnym maja¾ postać
(
(
+2 )
+2 )
"
"
2
1 00
f (r+ )
2
2
1 00
f (r+ )
2
#
1
4
r+
df
dr jr=r+
df
dr jr=r+
6= 0.
= 0.
1
4
r+
#
1
2
r+
=
8 Trr (r+ ),
(218)
+
1 00
f (r+ )
2
=
8 T (r+ ).
(219)
Równania pola oraz sferyczna symetria narzucaja¾szczególna¾postać tensora energii-pedu
¾ na horyzon= T , Ttt (r+ ) = Trr (r+ ). Wykorzystujac
¾ równania (218) i (219) oraz uwzgledniaj
¾
ac
¾
cie zdarzeń T
2
= 8 T (r+ ), gdzie T
postać tensora energii-pedu
¾ na horyzoncie, moz·na pokazać, z·e f 00 (r+ )
2
r+
to ślad tensora energii-pedu.
¾
Jeśli ślad ten znika, a tak jest w rozwaz·anym przypadku, z równania
e2
4
8 r+
(218) oraz sk÷adowej Trr (r+ ) =
moz·na wywnioskować, z·e rekstr = jej.
Waz·na¾ wielkościa¾ charakteryzujac
¾ a¾ czarna¾ dziure¾ jest temperatura Hawkinga TH i entropia S.
Temperatura Hawkinga liczona z dok÷adnościa¾ do trzeciego rzedu
¾ przybliz·enia ze wzgledu
¾ na parametr
ma postać
TH
=
1
4 r+
+
e2
2
r+
1
3 2
e
1
13
440 r+
+
e2
5
4 r+
e2
2
r+
1
4
880r+
2 4
e
e2
2
r+
9
8 r+
e2
2
r+
1
2
3232e2 r+
+ 2455e4 + O(
4
).
(220)
Struktura wyniku pokazuje, z·e dla przypadku ekstremalnego r+ = jej temperatura sie¾ zeruje. Jeśli
zostanie uwzgledniony
¾
warunek nontachyon
< 0, to pierwsze dwa cz÷ony pochodzace
¾ od teorii
kwadratowej (stojace
¾ przy
2
i
) sa¾ zawsze dodatnie, trzeci natomiast ujemny. Moz·na zatem
stwierdzić, z·e w drugim rzedzie
¾
dok÷adności temperatura jest zawsze obniz·ana. Rozsadnym
¾
jest
przypuszczać, z·e w÷asność ta zostanie zachowana w dowolnym rzedzie
¾
dok÷adności ze wzgledu
¾ na
ma÷
a¾ wartość parametru . Entropia wynosi
S=
A
4
8
gdzie A = 4
2
A
e2
2
r+
1024 4 e2
A5
3
A
4 e2
2
4
16384 5 e2
A7
+
A
4 e2
2
26 e2
5A + O(
5
),
(221)
to powierzchnia horyzontu zdarzeń. Analiza podobna, jak w przypadku temper-
atury pozwala stwierdzić, z·e pierwsze dwa cz÷ony pochodzace
¾ od teorii kwadratowej daja¾ dodatni
wk÷
ad do entropii, a znak trzeciego zalez·y od po÷oz·enia horyzontu zdarzeń i ÷adunku. W przypadku
ekstremalnym r+ = jej entropia degeneruje sie¾ do przypadku
S=
A
4
2
+ O(
5
),
(222)
co oznacza, z·e wk÷
ad do entropii pochodzacy
¾ od teorii kwadratowej zalez·y jedynie od sta÷ej sprze¾z·enia
.
66
4
4.2
67
Regularna czarna dziura w kwadratowej grawitacji sprze¾z·onej z nieliniowa¾
elektrodynamika¾
Problem osobliwości czasoprzestrzeni Reissnera-Nordströma moz·na rozwiazać
¾
mody…kujac
¾ równania Maxwella poprzez wykorzystanie elektrodynamiki nieliniowej (NED) zamiast elektrodynamiki
klasycznej. Dla klasycznego dzia÷
ania Einsteina sprze¾z·onego z nieliniowa¾ elektrodynamika¾
1
S=
16
Z
p
d4 x
g [R
L (F )]
(223)
Ayon-Beato, Garcia i Bronnikov (ABGB) dokona÷a analizy rozwiazań
¾
pod katem
¾
ich regularności
[3, 4]. Analogicznie jak w przypadku czarnej dziury Reissnera-Nordströma poszukiwano rozwiazań
¾
statycznych sferycznie symetrycznych pochodzacych
¾
od bezźród÷owych równań pola elektromagnetycznego
ra LF F ab
= 0,
F ab;a = 0,
gdzie LF = dL=dF , a symbol
(224)
oznacza operator Hodge’a15 . Tensor energii-pedu
¾ dla rozwaz·anego
przypadku to
Tab =
1
diag (L + 2fe LF ; L + 2fe LF ; L
16
gdzie fe = 2F01 F 01 = 2e2 LF 2 r
4,
fm = 2F23 F 23 = 2Q2 r
4.
2fm LF ; L
2fm LF ) ,
(225)
Sta÷a e i Q interpretowane sa¾ odpowied-
nio jako ÷adunek elektryczny i magnetyczny. Analogonem rozwiazania
¾
Reissnera-Nordströma jest
rozwiazanie
¾
z warunkami e 6= 0, Q = 0, nie jest ono jednak regularne. Dowód nieregularności polega
na poczatkowym
¾
za÷
oz·eniu, z·e czasoprzestrzeń jest regularna. Takie za÷oz·enie prowadzi jednak do
nie…zycznego zachowania funkcji L (F ). Nie…zyczność polega na niezgodności z elektrodynamika¾
klasyczna¾ w granicy s÷abych pól. Funkcja L (F ) powinna wtedy spe÷niać warunek
F ! 0 to
(
L!F
LF ! 1
.
(226)
Rozszerzenie rozwiazań
¾
na przypadek e 6= 0, Q 6= 0 równiez· nie dostarcza rozwiazań
¾
regularnych.
Jedyne potencjalnie regularne rozwiazanie
¾
to e = 0, Q 6= 0. Wykorzystujac
¾ charakterystyczna¾
w÷asność tensora energii-pedu
¾ T00 = T11 moz·na pokazać, z·e rozwiazaniem
¾
równań Einsteina jest
metryka
dr2
ds2 = f (r) dt2 +
+ r2 d 2 + sin2 d 2 ,
(227)
f (r)
15
Operator Hodge’a oznaczony jako „*” zde…niowany jest poprzez toz·samość F
p
ca÷kowicie antysymetryczny oraz 0123 =
g.
67
=
1
2
F
. Tensor
jest
68
gdzie
Z
1
2r
f (r) = 1
L (F ) r2 dr.
(228)
Dalsze rozwaz·ania wymagaja¾ jawnej specy…kacji lagranz·janu L (F ). Biorac
¾ pod uwage¾ propozycje¾
Ayon-Beato, Garcia, Bronnikova
h
L (F ) = F 1
tanh2 s
p
4
F
i
,
(229)
metryka ma postać
ds2 =
d
2
= d
1
2
2M
r
+ sin2 d
1
2
tanh
Q2
2Mr
dt2 + dr2 = 1
2M
r
1
tanh
Q2
2Mr
:
+ r2 d
2
(230)
Parametr s zosta÷ustalony tak, aby metryka nie by÷
a osobliwa (lim gab < 1). Czasoprzestrzeń ta
r!0
jest regularna poniewaz· wszystkie niezmienniki krzywiznowe utworzone z tensora Riemanna i jego
pochodnych kowariantnych sa¾ skończone.
Czarna dziura ABGB posiada dwa horyzonty (horyzont zdarzeń i wewnetrzny),
¾
których promień
wyraz·a sie¾ przy pomocy funkcji Lamberta16 W [85,98, 157, 158] w postaci
( )
r0
4q 2 M
=
q2
4
4W
exp
q2
4
,
gdzie q = Q=M. Przy odpowiednim doborze parametru q = qc = 2
÷
acz
¾ a¾ sie¾ przyjmujac
¾ wartość
rc =
4qc2
M
4 qc2
0; 8712M.
(231)
q2
p
W+ (e
1)
1; 0554, horyzonty
(232)
W zalez·ności od wartości parametru q moz·na wyróz·nić trzy typy regularnych rozwiazań:
¾
czarnodziurowe z horyzontem zdarzeń i horyzontem wewnetrznym
¾
dla q < qc , ekstremalne dla q = qc , oraz
pozbawione horyzontów dla q > qc . Rozwiazanie
¾
ABGB wykazuje podobieństwa z rozwiazaniem
¾
Reissnera-Nordströma, poniewaz· dla duz·ych wartości promienia r lub ma÷
ych wartości q, upodabnia sie¾ do niego. Zasadnicze róz·nice polegaja¾ natomiast na osobliwym zachowaniu czasoprzestrzeni
Reissnera-Nordströma w centrum symetrii oraz typie geometrii otoczenia ekstremalnego horyzontu
zdarzeń. Geometria otoczenia horyzontu ekstremalnego czarnej dziury Reissnera-Nordströma jest
typu Bertottiego-Robinsona, natomiast geometria otoczenia horyzontu ekstremalnego czarnej dziury
ABGB jest ogólniejszego typu AdS2
S 2 [158].
Czarna dziura ABGB (230) oparta o klasyczne dzia÷anie Einsteina sprze¾z·one z nieliniowa¾ elektrodynamika¾ nie posiada osobliwości. Powstaje pytanie, czy uogólnienie rozwiazanie
¾
ABGB na przypadek kwadratowej grawitacji sprze¾z·onej z nieliniowa¾ elektrodynamika¾ równiez· nie bedzie
¾
posiadać
osobliwości. Teoria kwadratowa moz·e generować rozwiazania
¾
róz·nego rodzaju, w tym i te nieosobliwe.
16
Funkcja Lamberta spe÷nia równanie W (z) eW
(z)
= z.
68
4
69
Analiza rozwiazań
¾
próz·niowych kwadratowej grawitacji pokazuje, z·e istnieje rozwiazanie
¾
statyczne
sferycznie symetryczne, które nie posiada osobliwości w centrum symetrii r = 0 [159, 160].
Aby wykazać nieosobliwość, nalez·y najpierw znaleźć rozwiazanie
¾
równań pola dla sprze¾z·onej z
nieliniowym polem elektromagnetycznym kwadratowej grawitacji opisanej dzia÷aniem
Z
1
S=
16
p h
g R + R2 + Rab Rab
d4 x
i
L (F ) .
(233)
Nastepnie
¾
nalez·y wykazać regularność czasoprzestrzeni czarnej dziury, czyli pokazać, iz· wszystkie
niezmienniki krzywiznowe maja¾ wartość skończona.
¾ Rozwiazanie
¾
bedzie
¾
poszukiwane metoda¾ perturbacyjna¾ w pierwszym rzedzie
¾
dok÷adności. Regularność czasoprzestrzeni moz·na zatem udowodnić
jedynie z dok÷adnościa¾ tego rzedu.
¾
Do dalszych rozwaz·hań wybrany zosta÷Lagran
z·jan zaproponowany przez Ayon-Beato, Garcie¾ i
i
p
4
2
Bronnikova L (F ) = F 1 tanh s F . Tensor energii-pedu
¾ dla takiej teorii przedstawiony jest
we wzorze (225). W rozwaz·aniach ograniczono sie¾ do przypadku z niezerowym ÷adunkiem magne-
tycznym e = 0, Q 6= 0 ze wzgledu
¾ na swoja¾ potencjalna¾ regularność. Parametr s moz·na zapisać w
równowaz·nej postaci s =
jQj
2(b1 +b2 ) .
Sta÷a b1 powinna być ustalona tak, aby gwarantowa÷a regularność
w zerowym rzedzie
¾
perturbacji (rozwiazanie
¾
klasyczne), sta÷a b2 natomiast odzwierciedla poprawk¾
e
do sta÷ej b1 , a uwzglednienie
¾
jej powinno gwarantować regularność w pierwszym rzedzie
¾
perturbacji.
Do dalszych obliczeń niezbedne
¾
sa¾ sk÷adowe rr i tt tensora energii-pedu
¾ majace
¾ postać
8 Ttt = 8 Trr =
Q2
r4
tanh2
1
Q2
2b1 r
b2 Q4
b21 r5
cosh
2
Q2
Q2
tanh
2b1 r
2b1 r
.
(234)
Nalez·y zwrócić uwage,
¾ z·e tensor ten przedstawiony zosta÷w pierwszym rzedzie
¾
rozwiniecia
¾ ze wzgledu
¾
na parametr b2 . W zerowym rzedzie
¾
obliczeń tensor efektywny wynosi
ef f (0)
Tab
=
Q2
r4
1
tanh2
Q2
2b1 r
,
(235)
ef f (1)
zatem cz÷on zwiazany
¾
z b2 zosta÷pominiety.
¾ W pierwszym rzedzie
¾
perturbacji Tab
zawiera cz÷
on
zwiazany
¾
z b2 oraz cz÷ony pochodzace
¾ od kwadratowej grawitacji. Rozwiazanie
¾
perturbacyjne 1-ego
rzedu
¾ oznacza znalezienie funkcji m(1) (r) = m(0) (r) +
tym samym otrzymanie
(n)
gtt (r)
i
(n)
grr (r)
m(1) (r) i
(1)
(r) =
(0)
(r) +
(1)
(r), a
po uprzednim wykorzystaniu relacji (202).
Rozwiazanie
¾
zerowego rzedu
¾ to
m(0) (r) = C2
(0)
b1 tanh
Q2
,
2b1 r
(236)
(r) = 0.
Korzystajac
¾ z de…nicji masy widzianej przez obserwatora odleg÷
ego lim m(0) (r) = M sta÷a¾C2 moz·na
r!1
interpretować jako masa M. Regularności elementu liniowego lim gab < 1, gdy r ! 0 wymaga aby
r!0
b1 = M. Ostatecznie funkcja
m(0) (r)
ma postać
m(0) (r)
69
=M
2
(0)
Q
M tanh 2Mr
, a zatem metryka gab
70
jest identyczna z klasycznym rozwiazaniem
¾
ABGB (230).
Rozwiazanie
¾
pierwszego rzedu
¾ m(1) (r) = m(0) (r) +
m(1) (r)
wymaga obliczenia funkcji
8
ef f (1)
Tab
.
(1)
i
m(1) (r) i
(1)
(r) =
(r), z wykorzystaniem równań pola
(0)
(1)
(r) +
(1)
Rab
(r)
1 (1) (1)
2 R gab
=
Tensor energii-pedu
¾ nieliniowej elektrodynamiki nie jest bezśladowy T 6= 0 tak, jak w
przypadku elektrodynamiki klasycznej, zatem moz·na przypuszczać, z·e równania pola bed
¾ a¾ zalez·a÷
y
(1)
od sta÷ej . Moz·na pokazać, z·e funkcja
(r) spe÷nia zmody…kowane równanie (205) postaci
(1)
natomiast
(r) = (2 + )m(0)
4
(3 + )m(0)0 + C1 ,
r2
000
(237)
m(1) (r) spe÷nia równanie (203), gdzie funkcja Stt (204) ma postać
(0)t
Stt = St
(1)t
+ St
,
(238)
gdzie
(0)t
St
2 m(0)0
r2
=
+m(0)000
8 m(0) m(0)0 2 m(0)0
+
r3
r2
m(0) m(0)000
r
2
2 m(0)00 5 m(0) m(0)00
+
r
r2
!
m(0)0 m(0)000 + r m(0)0000
2
4 m(0)0
8 m(0)00 18 m(0) m(0)00
+
m(0)00
r2
r
r2
!
6 m(0) m(0)000
+
2 r m(0)0000 + 4 m(0) m(0)0000 ,
r
(1)t
St
=
b2 Q4
2b21 r3
cosh
2
Q2
Q2
tanh
2b1 r
2b1 r
Uwzgledniaj
¾
ac
¾ warunek brzegowy
(1)
2 m(0) m(0)0000
2
+
2 m(0)0 m(0)00
r
1 (1)
2
8m(0)0
r2
4 m(0)000 + 2 m(0)0 m(0)000
(239)
(240)
= 0 oraz jawna¾ postać m(0) , moz·na pokazać, z·e [161]
2
Cecha¾ charakterystyczna¾ funkcji
24 m(0) m(0)0
r3
.
2
Q2
Q2 (2 + ) Q6
2 Q
+
tanh
2Mr r4
2M2 r6
2Mr
6
2
(2 + ) Q
Q
cosh 4
.
4M2 r6
2Mr
(r) = cosh
m(0)00
m(0)0 m(0)00
+
r
2
3 (2 + ) Q4
Q2
tanh
Mr5
2Mr
(241)
(1)
(r) jest to, z·e jej pochodne nie sa¾ osobliwe w punkcie r = 0.
R (0)t
Obliczenie m(1) polega na sca÷kowaniu równania 4m(1)0 = Stt . Policzenie ca÷ki St dr jest niR
etrywialne poniewaz· sprowadza sie¾ do policzenia sumy ca÷ek typu up (tanh u)s du, gdzie p i s to
liczby ca÷
kowite dodatnie. Ca÷
k¾
e te¾ moz·na zredukować do przypadku s = 1, a nastepnie
¾
wyrazić ja¾
poprzez funkcje polilogarytm. Formu÷
y (1.4.22.3) i (1.4.22.4) z tablic ca÷ek [162] pozwalaja¾ przed-
70
4
71
stawić wspomniana¾ ca÷k¾
e w postaci
Z
Z
n
X1
1
up
p+1
n+k n
u (tanh u) du =
du,
u
+
( 1)
p+1
k
(cosh u)2n 2k
k=0
Z
Z
n
X1 ( 1)n+k n
up
p
2n+1
u (tanh u)
du =
up tanh u du +
2n 2k k
(cosh u)2n 2k
k=0
Z
up 1
+p
du .
(cosh u)2n 2k
p
2n
(242)
(243)
Poprzez wielokrotne zastosowanie toz·samości17
Z
up
du =
(cosh u)q
pup 1
up sinh u
+
(q 1)(q 2)(cosh u)q 2 (q 1)(cosh u)q 1
Z
Z
p(p 1)
up 2
q 2
up
du
+
(q 1)(q 2)
(cosh u)q 2
q 1
(cosh u)q
2
du,
(244)
moz·na obniz·yć do potegi
¾ drugiej rzad
¾ parzystych poteg
¾ funkcji 1= cosh u wystepuj
¾ acych
¾
pod ca÷
ka¾ w
(242-243). Korzystajac
¾ nastepnie
¾
z ca÷kowania przez cześci
¾ moz·na pokazać, z·e
Z
up
du = up tanh u
(cosh u)2
co doprowadza do konieczności obliczenia ca÷
ki
R
p
Z
up
1
tanh u du,
up tanh u du. Ca÷
k¾
e
R
(245)
up tanh u du moz·na wyrazić
poprzez polilogarytmy Lin (z), n = 1; 2; :::; p + 1. Polilogarytm rzedu
¾ m > 1 (m jest ca÷
kowite)
P1 z k
posiada de…nicje¾ [163, 164] Lim (z) = k=1 km , co prowadzi do w÷asności
Lin (z) =
d
Lin (z) =
dz
Z
Lin
1
Lin
z
1 (z)
z
dz + C,
1 (z).
(247)
Wykorzystujac
¾ ca÷kowa¾ reprezentacje¾ Li2 (z) (dilogarytmu) [163] Li2 (z) =
(247) moz·na otrzymać polilogarytmy dwóch najniz·szych rzedów
¾
Li1 (z) =
z
1 z.
(246)
Rz
0
ln(1 t)
t
ln(1
dt i w÷
asność
z), Li0 (z) =
Wykorzystujac
¾ wzór (247), który nalez·y sca÷
kować wielokrotnie przez cześci
¾ moz·na przedstawić
Lin (z) w postaci
Lin (z) = C +
Z
(ln z)0 Lin
1 (z)dz
= ::: = C + ln z Lin
( 1)n 1
(ln z)3 Lin 3 (z) + ::: +
(ln z)n
2 3
(n 2)!
Z
( 1)n 1
(ln z)n 1
+
dz.
(n 1)!
1 z
+
17
1
Zob. tablice ca÷ek [162], formu÷a (1.4.24.1).
71
1
(ln z)2 Lin 2 (z)
2
( 1)n 1
2
Li2 (z) +
(ln z)n
(n 1)!
1 (z)
1
ln(1
z)
(248)
72
Rysunek 1: Grupa programów, których celem jest obliczenie
¾
Form.
Podstawienie z =
( 1)n
1
Z
e
2u
wykonane w ca÷ce
(ln z)n 1
dz = 2n
1 z
Z
un
1
R
(ln z)n
1 z
e u
u
e +e
1
up tanh u du = C +
up+1
+ up ln(1 + e
p+1
du = 2n
u
i w konsekwencji obliczyć poszukiwana¾ ca÷k¾
e
R
2u
(0)t
St
dr. Niebieski kolor bloku oznacza,
dz prowadzi do toz·samości
Wstawienie powyz·szego do wyraz·nia (248) i zmiana sum n
Z
R
)
p
X
k=1
un
n
1
Z
un
1
tanh u du .
(249)
1 ! p pozwala otrzymać
p!
up
2k (p k)!
k
Lik+1 ( e
up tanh u du. Obliczenia ca÷
ki
R
(0)t
St
2u
)
(250)
dr z wykorzys-
taniem powyz·szych toz·samości wykonane zosta÷y za pomoca¾ grupy programów przedstawionych na
R
R
rysunku 1. Program „ up (tanh u)n ” oblicza ca÷
ki up (tanh u)n dla określonych wartości ca÷kow-
itych p; n wykorzystujac
¾ toz·samości (242-245) oraz (250). Program „m(0)0:::0 ” oblicza pochodna¾
R (0)t
R (0)t
d
(0) dla p = 1; 2; 3; ::: korzystajac
¾ z (236). Program „ St dr” oblicza ca÷k¾
e St dr wykodrp m
(0)t
rzystujac
¾ de…nicje¾ (239) obiektu St
oraz wyniki dwóch poprzednich programów.
Po wykorzystaniu toz·samości ca÷kowych funkcja
m(1) wyraz·a sie¾ poprzez polilogarytmy Lii (s)
i ma postać
m(1) (r) =
6
X
( )
fi
( )
+ fi
Lii (
) + b2
2Q2
Li0 (
Mr(1 + )
1
i=0
Sta÷a
.
(251)
określona jest poprzez de…nicje¾ masy lim m(1) (r) = M i wynosi
r!1
=
gdzie
)
= exp
Q2
Mr
2 M5
Q6
8
31
315
4
+
7
8
+
3 45
( )
, natomiast jawna postać funkcji fi
72
2
( )
i fi
31
630
4
,
(252)
przedstawiona zosta÷a w dodatku
4
( )
„Funkcje fi
73
( )
i fi ”. Moz·na pokazać, z·e lim m(1) (r) =
+ b2 . Aby w r = 0 czasoprzestrzeń
r!0
by÷a regularna w sensie metrycznym, nalez·y za÷oz·yć, z·e lim
r!0
przyjać
¾ jako b2 =
.
m(1) (r)
= 0, zatem parametr b2 nalez·y
Istotna¾ cecha¾ elementu liniowego klasycznej czarnej dziury typu ABGB jest to, z·e jeśli ÷
adunek
wynosi zero, to geometria ulega drastycznej zmianie i czasoprzestrzeń nie jest wtedy regularna. Aby
czasoprzestrzeń by÷a regularna, wystarczy jednak uwzglednić
¾
in…nitezymalny ale niezerowy ÷
adunek
Q. O ile klasyczne rozwiazanie
¾
ABGB w granicy Q ! 0 redukuje sie¾ do czasoprzestrzeni Schwarz-
schilda, to rozwiazanie
¾
uwzgledniaj
¾
ace
¾ cz÷ony kwadratowe juz· takiej w÷
asności nie posiada. Moz·na
pokazać, z·e gdy Q ! 0, to element liniowy przechodzi w
"
2
2M
2M
2M
ds2 =
1
k dt2 + (1
)
4
r
r
r
+r2 d
gdzie k
(5:781
przestrzeń (b2 =
2
+ sin2 d
0:486 )
2
1
+ 1
,
2M
r
2
#
2M2
k dr2
r4
(253)
b2 . Jest to konsekwencja¾ na÷oz·enia warunku regularności na czaso-
). W przypadku na÷oz·enia innego warunku: b2 = 0, a tym samym k = 0, element
liniowy (253) przechodzi w metryk¾
e Schwarzschilda, lecz czasoprzestrzeń nie jest wtedy regularna.
Promień horyzontu zdarzeń r+ oraz temperatura Hawkinga TH równiez· nie redukuja¾ sie¾ do
wielkości czasoprzestrzeni Schwarzschilda, poniewaz· wynosza¾ wtedy
k
,
8M2
k
1+
.
4M2
r+ = 2M 1 +
TH
=
1
8 M
(254)
Jak moz·na zauwaz·yć, zarówno metryka, horyzont zdarzeń, jak i temperatura Hawkinga redukuja¾
sie¾ do odpowiedników czasoprzestrzeni Schwarzschilda w szczególnym przypadku k = 0, co oznacza,
z·e
i
musza¾ spe÷niać warunek
=
1680+98 2 31
2(31 4 2520)
4
.
W odniesieniu do problemu regularności czasoprzestrzeni obliczenia zostana¾ ograniczone do pierwszego rzedu
¾ perturbacji. Aby wykazać, z·e czasoprzestrzeń jest regularna, nalez·y udowodnić, z·e
wszystkie skalary krzywizny sa¾ nieosobliwe. Jako przyk÷ad moz·na rozwaz·yć zachowanie jednego ze
skalarów - skalara Kretschmanna K (1) = Rabcd Rabcd . Skalar ten moz·na zapisać w postaci K (1) =
K0 +
K, gdzie cz÷
on K0 pochodzacy
¾ od teorii bez poprawek kwadratowych jest nieosobliwy [2].
Nalez·y zatem dowieść regularności (nieosobliwości) obiektu
73
K, którego pojawienie sie¾ jest skutkiem
74
w÷
aczenia
¾
do teorii poprawek kwadratowych. Obliczenia pokazuja,
¾ z·e
K =
K wynosi
128m(0) m(0)0 16m(0) 80m(0)2 16m(0)0 24m(0) m(0)00 24m(0) m(0)00
+
+
r4
r4
r5
r3
r3
r2
!
48m(0)02
8m(0)00 16m(0) m(0)00 32m(0)2 16m(0)0
(1)0
+
+
+
+
r3
r
r2
r4
r2
!
!
(0)00
(0)
(0)0
32m(0) m(0)0 16m(0)
16m
96m
64m
(1)00
+
+
m(1)
r3
r3
r4
r6
r5
!
!
(0)00
(0)0
(0)
16m
64m
64m
16m(0)0 16m(0) 8m(0)00
m(1)00 +
+
m(1)0 .
+
r3
r4
r2
r3
r4
r5
(255)
Jedynym punktem, w którym moz·na spodziewać sie¾ osobliwości jest r = 0. Regularność
z w÷
asności lim
r!0
(1)
dk
drk
< 1 oraz z zachowania pochodnych
dk m(0)
drk
2k
X
ci r
i
dk m(0)
w
drk
exp( Q2 =Mr).
K wynika
pobliz·u r = 0 w postaci
(256)
i=k+1
Analogicznie do obliczeń przeprowadzonych dla skalara Kretschmana moz·na udowodnić regularność
innych niezmienników krzywiznowych.
74
5
¾
5
75
¾
Niniejszy rozdzia÷sk÷
ada sie¾ z dwóch podrozdzia÷ów. Pierwszy z nich 5.1 dotyczy wp÷
ywu skalarnego
masywnego pola kwantowego na geometrie¾ czarnych dziur. W szczególności poruszane sa¾ problemy:
konstrukcja dzia÷ania efektywnego wysokiej dok÷adności (rzedu
¾ 1=m4 ) a wiec
¾ równiez· obliczanie
wspó÷czynników HaMideW wysokiego rzedu,
¾
wp÷
yw tej wysokiej dok÷
adności na tensor energiipedu
¾ w czasoprzestrzeni Reissnera-Nordströma, zwrotne dzia÷anie pola na geometrie¾ Schwarzschilda,
wp÷yw wysokiej dok÷adności na geometrie¾ otoczenia horyzontu zdarzeń ekstremalnej czarnej dziury
Reissnera-Nordströma, której geometria jest zaburzona przez pole.
Podrozdzia÷ten opiera sie¾ na wynikach sześciu publikacji:
J. Matyjasek, D. Tryniecki and M. Klimek, Regular black holes in an asymptotically de Sitter
universe, Mod. Phys. Lett. A23, 3377 (2009).
J. Matyjasek and D. Tryniecki, Next-to-leading term of the renormalized stress-energy tensor
of the quantized massive scalar …eld in Schwarzschild spacetime. The back reaction, Phys. Rev.
D79, 084017 (2009).
J. Matyjasek and D. Tryniecki, ADS 2 S 2 geometries and the extreme quantum-corrected black
holes, Mod. Phys. Lett. A24, 2517 (2009).
J. Matyjasek, D. Tryniecki and K. Zwierzchowska, Vacuum polarization of the quantized massive
scalar …eld in Reissner-Nordstrom spacetime, Phys. Rev. D81, 124047 (2010).
Podrozdzia÷5.3 dotyczy uogólnienia rozwiazań
¾
czarnodziurowych teorii Lovelocka.
Podrozdzia÷ten opiera sie¾ na publikacji:
J. Matyjasek, M. Telecka and D. Tryniecki, Higher dimensional black holes with a generalized
gravitational action, Phys. Rev. D73, 124016 (2006).
5.1
5.1.1
Zwrotne dzia÷
anie pola skalarnego na metryke¾ czarnych dziur
Wspó÷
czynniki HaMiDeW - praktyczna realizacja obliczeń
Aby poznać zwrotne dzia÷anie pola skalarnego na metryk¾
e czarnej dziury (wp÷
yw polaryzacji próz·ni
na geometrie¾ czarnej dziury) nalez·y rozwiazać
¾
pó÷klasyczne równania Einsteina (112). W równaniach tych kluczowe znaczenie ma znajomość jawnej postaci zrenormalizowanego tensora energii-pedu
¾
hTab iren . To z kolei wymaga znajomości wszystkich wspó÷czynników [an ] (n=3,...,1). Wspó÷
czynnik [a3 ] policzy÷Sakai [143] dla pola skalarnego propagujacego
¾
sie¾ w zakrzywionej czasoprzestrzeni
oraz Gilkey [165] w ogólnym przypadku dla pól tensorowych zde…niowanych na rozmaitościach Riemanna. Wspó÷czynnik [a4 ] zosta÷policzony przez Amsterdamskiego, Berkina i O’Connora [9] dla pola
skalarnego oraz przez Avramidiego [7, 8] dla pola skalarnego, wektorowego i spinorowego. Wspó÷
czynnik [a5 ] obliczy÷Van de Ven dla pola skalarnego, wektorowego i spinorowego [166], a takz·e Ottewill i
75
76
5
¾
Rysunek 2: Dwa etapy obliczeń zrenormalizowanego tensora energii-pedu:
¾
obliczenie Wren i obliczeab
nie T .
Wardell [167]. Znajomość kilku pierwszych wspó÷czynników HaMiDeW nie pozwala jednak obliczyć
dzia÷ania efektywnego Wren (121). Jego niekompletna postać
Wren
1
=
32
2
1
m2
Z
p
1
d x
g[a3 ] + 4
m
4
Z
p
d4 x
g[a4 ] + :::
(257)
moz·e być jednak dobrym przybliz·eniem, gdy masa pola m jest duz·a. Obliczenie przybliz·onego
dzia÷ania Wren , wymagajace
¾ znajomości wspó÷
czynników [a3 ] oraz [a4 ], jest pierwszym z dwóch
etapów prowadzacym
¾
do otrzymania zrenormalizowanego tensora energii-pedu
¾ (rysunek 2). We
wstepnej
¾
fazie tego etapu porównane zosta÷y wspó÷czynniki [a4 ] wystepuj
¾ ace
¾ w róz·nych pracach
[7, 8, 9] i zauwaz·ono, z·e nie sa¾ one identyczne. Do obliczeń wspó÷
czynników HaMiDeW uz·yto
czterech metod: jawnie kowariantnej, wykorzystujacej
¾ wspó÷czynniki Hadamarda, poprzez rozwinie¾
cie Taylora we wspó÷rzednych
¾
normalnych oraz jawnie kowariantnej bezindeksowej. W ramach tych
metod wykorzystano róz·ne sposoby obliczeń. Obliczenia wspó÷
czynników [an ] wykonywane zosta÷
y
przez projekt programistyczny, który ma kilka wersji w zalez·ności od metody, sposobu ich obliczeń
i uz·ytych jezyków
¾
programowania18 (rysunek 3). Wspó÷czynniki [an ] policzone zosta÷
y na 27-em
sposobów. Kaz·demu sposobowi odpowiada jeden projekt programistyczny. Praktyczna realizacja
obliczeń wspó÷
czynników [an ] zostanie przedstawiona na przyk÷
adzie projektu napisanego w jezyku
¾
Form opartego na metodzie rekurencyjnej jawnie kowariantnej - sposób podstawowy. Pozosta÷
e projekty przedstawione zosta÷
y w podrozdziale 6.1.
Struktura programistyczna projektu opartego na jezyku
¾
Form przedstawiona zosta÷a na rysunku
4. Ciemnoniebieskie bloki oznaczaja¾ programy komputerowe napisane w jezyku
¾
Form. Nazwa bloku
odpowiada wielkości, która¾ program ten oblicza, natomiast strza÷ki obrazuja,
¾ gdzie przekazywany
jest wynik obliczeń.
Pierwszym z programów jest „[
a1 :::an ]”,
którego zadaniem jest obliczenie granic koincydencji
pochodnych funkcji . Do obliczeń tych wielkości wykorzystywana jest relacja g
18
= . Na-
W obliczeniach wspó÷czynników HaMideW wykorzystywano jezyki
¾
Form, Perl, Mathematica (w tym pakiety Invar
i MathTensor), Maple (w tym pakiety GRTensor) oraz Lisp.
76
5
¾
77
Rysunek 3: Metody, sposoby oraz jezyki,
¾
którymi wykonane zosta÷y obliczenia [an ], a tym samym
obliczenia przybliz·onej wartości Wren . Plus oznacza, z·e dany projekt programistyczny zosta÷wykonany w oparciu o dana¾ metode,
¾ sposób oraz jezyk.
¾
Rysunek 4: Szczegó÷
owa struktura Wren w przypadku obliczeń wspó÷
czynników HaMiDeW metoda¾
rekurencyjna jawnie kowariantna¾ - sposób podstawowy. Niebieski kolor bloku oznacza, z·e program
¾
Form.
77
78
5
jprostsze obiekty [
a1 :::an ]
wygenerowane przez program maja¾ postać
[
[
a1 a2 a3 a4 a5 ]
¾
a1 a2 a3 a4 ]
=
1
(Ra1 a3 a2 a4 + Ra1 a4 a2 a3 ) ,
3
(258)
1
fRa1 a3 a2 a4 a5 + Ra1 a3 a2 a5 a4 + Ra1 a4 a2 a3 a5 + Ra1 a4 a2 a5 a3 + Ra1 a5 a2 a3 a4
4
(259)
+Ra1 a5 a2 a4 a3 g .
=
a1 a2 a3 a4 ]
Jak moz·na zauwaz·yć, [
jest suma¾ dwóch obiektów krzywiznowych, a [
Obiekty wyz·szych rzedów
¾
sa¾ o wiele bardziej skomplikowane, poniewaz· [
[
a1 :::a7 ]
ma 790 elementy, [
a1 :::a8 ]
ma 13306 elementów, [
a1 :::a9 ]
a1 a2 a3 a4 a5 ]
a1 :::a6 ]
sześciu.
ma 92 elementy,
ma 196196 elementów, a [
a1 :::a10 ]
ma 4 miliony elementów. Duz·a liczba cz÷
onów dwóch ostatnich wspó÷
czynników niesie konsekwencje
w postaci duz·ego rozmiaru pliku zawierajacego
¾
wynik - wspó÷czynnik [ a1 :::a9 ] zajmuje 5 MB, natomiast wspó÷czynnik [
a1 :::a10 ]
- 100 MB. Wiedza na temat przyrostu wielkości danych pozwala osza-
cować, z·e rozmiar pliku zawierajacego
¾
[ a1 :::a12 ] wynosi÷by oko÷
o kilkudziesieciu
¾ GB, a zatem moz·na
przypuszczać, z·e obliczenie
wspó÷
h
i czynnika [a5 ] nie jest moz·liwe na niewyspecjalizowanych komputerach. Kolejny blok „
1=2
a1 :::an
” do obliczeń wykorzystuje równanie
441=2 = 2 41=2
;a
;a
+ 41=2
;a
a
,
(260)
a zatem hw obliczeniach
niezbedna
¾
jest równiez· znajomość granic koincydencji funkcji . Najprostsze
i
funkcje
1=2
a1 :::an
to
h
i
1
Ra a ,
(261)
6 1 2
h
i
1
1=2
=
fRa1 a2 ;a3 + Ra1 a3 ;a2 + Ra2 a3 ;a1 g .
(262)
a1 a2 a3
12
h
i
1=2
Do obliczeń wspó÷czynnika [a4 ] wymagana jest znajomość wspó÷czynników
¾ ósmego
a1 :::an do rzedu
h
i
1=2
w÷acznie.
¾
Program „ a1 :::an ” wykorzystuje równanie 41=2 4 1=2 = 1, generujac
¾ na przyk÷ad:
h
h
1=2
a1 a2
1=2
a1 a2
1=2
a1 a2 a3
i
i
=
=
=
1
Ra a ,
6 1 2
1
fRa1 a2 ;a3 + Ra1 a3 ;a2 + Ra2 a3 ;a1 g .
12
(263)
(264)
Kluczowym programem jest „[an ]” korzystajacy
¾ z równania rekurencyjnego
;a
an+1;a + (n + 1) an+1
4
1=2
41=2 an
a
;a
=
R an .
(265)
Z powyz·szego równania wynika, z·e obliczenia wspó÷czynnika [a4 ] wymagaja¾ uprzednich obliczeń
granic koincydencji wspó÷
czynników niz·szego rzedu.
¾
Tymi wspó÷
czynnikami sa¾ [a3;a1 a2 ], [a3;a1 ], [a3 ],
78
5
¾
79
[a2;a1 :::a4 ], [a2;a1 a2 a3 ], [a2;a1 a2 ], [a2;a1 ], [a2 ], [a1;a1 :::a6 ], [a1;a1 :::a5 ], [a1;a1 :::a4 ], [a1;a1 a2 a3 ], [a1;a1 a2 ], [a1;a1 ]
i [a1 ]. Po obliczeniach i uproszczeniach wykonanych za pomoca¾ pakietu Invar19 [168] wspó÷
czynnik
[a4 ] ma postać
(0)
(1)
[a4 ] = a4 + a4 +
2 (2)
a4
+
3 (3)
a4
+
4 (4)
a4 ,
(266)
gdzie
(0)
a4
19
=
1
229
241
1
R;a a b bc c +
RR;a R;a
RRab;c Rab;c
RRab;c Rac;b
3780
30240
15120
840
1
1
13
1
+
RRabcd;e Rabcd;e +
R;a a R;b b +
R;ab R;ab
RRabcd Ref ab Rcdef
672
1800
25200
405
13
1
13
1
c ab d
+
R;ab Rab ;c c
R
R ;d +
Rab;cd Rab;cd
Rab;cd Rac;bd
37800
8400 ab;c
12600
450
1
11
1
13
Rab;cd Rcd;ab +
Rabcd;ef Rabcd;ef +
R;a R;b ab +
Rab;c R;abc
+
12600
3150
7560
1890
1
1
1
13
Rab;c Rab;c dd
Rab;c Rac;b dd +
Rabcd;e Rac;bde
R;a R;b Rab
7560
3780
315
15120
1
1
13
5
c ab
R
+
Rabcd Ref g b Rh gcd Rahef +
RR;ab Rab
RRab;c c Rab +
R
9450
4200
504
1890 ;abc
29
1
1
c d ab
+
Rabcd Ref gh Rabcd Ref gh
R
R +
R;a Rb a;c Rbc
75600
7560 ab;c d
630
17
7253 2
271
22
R Rab Rab
R;a Rbc ;a Rbc
R;a a Rbc Rbc +
RRab Rc a Rbc
302400
7560
3150
675
89
1
83
4
c
+
Rab;c Rd a;c Rbd +
Rab;c Rd c;a Rbd +
R
Rd a Rbd +
R2 R;a a
1890
378
6300 ab;c
1575
5743
29
341
4
Rab;cd Rac Rbd
Rab Rcd Rac Rbd
Rab;c Rd a;b Rcd +
R4
4725
18900
945
1814400
109
703
71
+
Rab;cd Rab Rcd +
Rab Rcd Rab Rcd +
Rab;c Rd ae b;c Rde
18900
151200
3780
1
1
1
1
+
Rab;c Rd ae c;b Rde
Rabcd;e Rf ace;b Rdf
R;a Rbc;d Rabcd +
RR;a ab b
126
140
945
1680
67
29
1
1
+
R2 Rabcd Rabcd +
RRab;cd Racbd +
Rab;cde e Racbd +
Rab;c Rab;d Rcd
33600
6300
945
1260
17
83
29
+
R;ab Rcd Racbd +
RRab Rcd Racbd +
Rab;c Rde ;c Radbe
18900
10800
1890
32
22
1
c
adbe
b adce
+
Rab;c Rde R
Rab;cd Re R
+
Rab;cd Re cf d Raebf
4725
4725
4725
4
2
103
Rab;c Rde ;b Raecd +
Rabcd;ef Rbd Raecf +
Rab Rcd Re a f b Rcf de
945
1575
12600
1
29
1
Rab;c Rd a;e Rbcde +
R;a Rbcde ;a Rbcde +
R a Rbcde Rbcde
945
7560
1400 ;a
73
1
1
Rab;cd Ref ad Rbcef +
Rab Rcd Ref ac Rbdef +
Rab;c Rdef c;a Rbf de
9450
10800
315
1
13
547
ab;e cdf g
ab
cdef
Rab R Rcdef R
Rabcd;e Rf g R
+
Rabcd Ref gh Rabef Rcdgh
302400
168
18900
;
(267)
Pakiet Invar opracowany zosta÷przez Renato Portugala i Leona R. U. Manssura.
79
80
5
(1)
a4
(2)
a4
(3)
a4
(4)
a4
¾
11 4
1
1
1
1
R
RR;a R;a +
RRab;c Rab;c +
RRabcd Ref ab Rcdef +
RRab;c Rac;b
1680
112
2520
189
1260
1
41 2
1
1
1
RRabcd;e Rabcd;e
R R;a a
R aR b
R;ab R;ab
R;ab Rab ;cc
560
5040
180 ;a ;b
210
630
1
1
1
2
1
R;a R;b ab
Rab;c R;abc
R;a a Rbcde Rbcde
RR;a ab b
R a b c
72
420
840
315
840 ;a b c
17
1
1
1
+
R;a R;b Rab
RR;ab Rab
R;a Rbcde ;a Rbcde +
RRab;c c Rab
2520
315
420
630
109 2
1
1
1
R;abc c Rab +
R Rab Rab +
R;a Rbc ;a Rbc +
R;a Rb a;c Rbc
420
2520
1260
630
1
73
1
1 2
+
R;a a Rbc Rbc
RRab Rc a Rbc +
R;a Rbc;d Rabcd
R Rabcd Rabcd
504
1890
630
210
1
1
19
RRab;cd Racbd
R;ab Rcd Racbd
RRab Rcd Racbd ,
(268)
105
210
630
1
1 4
17
2
1
1
=
R +
RR;a R;a + R2 R;a a + R;a a R;b b + R;ab R;ab + R;a R;b ab
144
360
45
72
90
30
1
1
1
1
1
+ RR;a ab b
R;a R;b Rab + RR;ab Rab
R2 Rab Rab +
R2 Rabcd Rabcd ,
(269)
60
60
90
360
360
1 4
1
1 2
=
R
RR;a R;a
R R;a a
(270)
36
12
12
1 4
R .
(271)
=
24
=
Porównanie otrzymanego wyniku wspó÷
czynnika [a4 ] z obliczeniami Avramidiego [7, 8] wykaza÷
o
ich identyczność. Ponadto wynik zosta÷poddany testom. Testem wstepnym
¾
by÷
o obliczenie granic
koincydencji pochodnych bitensorów , 4
1=2 ,
41=2 i porównanie ich z literatura¾[5]. Wyniki okaza÷
y
sie¾ takie same. W literaturze znane sa¾ ponadto wartości wspó÷czynnika [a4 ] dla niektórych geometrii
czasoprzestrzeni. Dla czasoprzestrzeni de Sittera jest on opisany formu÷a¾ Dowkera
dS
[a4 ]
=
4
6 X j(22k 1
(4a2 )4
k!(4
k=0
1)B2k j
=
k)!
1
,
105a8
(272)
gdzie B2k to liczby Bernoulliego, natomiast a to promień krzywizny [169]. Z kolei dla czasoprzestrzeni
Nariai ma on postać
[a4 ] = 0.
(273)
Uzyskane wyniki [a4 ] wykaza÷y zgodność z powyz·szymi. Testem g÷ównym by÷
a zgodność z literatura¾
[135, 5] czterech pierwszych wspó÷czynników HaMiDeW ([a0 ], [a1 ], [a2 ] i [a3 ]). Test ten potwierdzi÷
prawid÷owość uzyskanych wyników.
Ostatni program „[An ]”ma na celu uproszczenie pochodzacej
¾ od wspó÷czynnika [an ] cześci
¾ dzia÷
ania efektywnego w taki sposób, aby obliczenia tensora energii-pedu
¾ dla czasoprzestrzeni określonego
typu by÷y szybsze. G÷
ównym czynnikiem majacym
¾
wp÷yw na szybkość otrzymania wyników sa¾
wysokie pochodne tensora Riemanna wystepuj
¾ ace
¾ w tensorze energii-pedu.
¾
Jedna¾ ze strategii upraszczajacych,
¾
majacych
¾
na celu obniz·enie wysokich pochodnych, jest wykorzystanie twierdzenia
80
5
¾
81
Gaussa oraz w÷
asności znikania wariacji na brzegach. Twierdzenie Gaussa ma postać
Z
Gi;i
p
gdx =
I
Gi
Obliczenia wariacji powyz·szego obiektu po metryce g
p
gdSi .
(274)
przy wykorzystaniu faktu, z·e ca÷ka okre¾z·na
liczona jest na brzegach, a wariacja na brzegach znika, pozwalaja¾ wywnioskować, z·e
Z
Gi;i
p
b
gdx = 0.
(275)
R
p
Powyz·sza w÷asność umoz·liwia pominiecie
¾ dowolnego wyraz·enia o strukturze Gi;i
gdx w dzia÷
aniu efektywnym Wren . Moz·na równiez· skonstruować bardziej zaawansowany algorytm upraszczania
oparty na twierdzeniu (275). Algorytm ten zosta÷zaimplementowany w programie „[An ]”, a istote¾
jego dzia÷ania najlepiej obrazuje przyk÷ad jednego z cz÷onów Wren . Przyk÷
adowy cz÷on ma postać
Wren = ::: +
Z
p
d4 x
gR;ab Rab + ::: .
W celu uproszczenia moz·na dodać do niego element
wk÷
adu do
T ab ,
Wren = ::: +
R
p
d4 x
g R;a Rab
(276)
;b
, który nie wnosi z·adnego
co wynika ze wzoru (275). Otrzymano wówczas
Z
p
g R;ab Rab
d x
4
R;a R
ab
;b
+ ::: = :::
Z
p
d4 x
gR;a Rab ;b + ::: .
(277)
Moz·na zauwaz·yć, z·e w efekcie tej operacji rzad
¾ maksymalnej pochodnej tensora Riemanna uleg÷
obniz·eniu o jeden, co by÷
o celem uproszczenia. Po zastosowaniu programu „[An ]” na obiekcie
R 4 p
R
p
d x
g[a3 ], który jest cześci
¾ a¾ dzia÷ania efektywnego Wren (257) otrzymano wynik d4 x
g[A3 ],
gdzie
1
1 2 3
1 3 3
169
1
R3 +
R
R
R;a R;a +
R;a R;a
72
12
6
50400
30
1 2
1
13
1
R;a R;a
R
Rab;c +
R
Rac;b
R
Rabcd;e
12
1400 ab;c
12600 ab;c
16800 abcd;e
1
1
11
1
Rabcd;e Rabce;d
R Rab Rab +
R Rab Rab +
R R a Rbc
8400
1080
180
113400 ab c
1
17
1
+
R Rabcd Rabcd
R Rabcd Rabcd
R R Racbd
1080
180
37800 ab cd
2
1
1
Rabcd Reaf c Rbedf +
Rabcd Ref ab Rcdef +
R R a Rbecd .
(278)
14175
2025
9450 ab cde
[A3 ] = R3 =1296
Porównujac
¾ powyz·szy wynik z [a3 ] (142), moz·na zauwaz·yć, z·e ilość cz÷onów z k÷opotliwymi wysokimi
pochodnymi tensora Riemanna zmala÷
a.
81
82
5
5.1.2
¾
Tensor energii-p edu
¾ i jego w÷
asności w czasoprzestrzeni
Fluktuacja kwadratowa
Fluktuacja kwadratowa jest jednym ze sk÷adników tensora energii-pedu.
¾
Jej zbadanie moz·e być potraktowane jako pierwszy krok w analizie potencjalnych nieskończoności tego tensora. Fluktuacja
kwadratowa jest zwiazana
¾
z propagatorem Feynmana relacja¾
2
= lim
0
x0
(x)
x !x
=
i lim
GF x; x0 .
0
x !x
(279)
Zwiazek
¾
GF ze wspó÷czynnikami an pozwala wykazać toz·samość
2
k
k
1 X (n 2)!
=
[an ] ,
16 2
m2(n 1)
n=2
2
gdzie indeks k oznacza stopień dok÷
adności obliczeń. Obliczenia
ników [a2 ],..., [ak
1]
(280)
k
wymagaja¾znajomości wspó÷czyn-
i [ak ]. Ze wzgledu
¾ na znajomość tylko niektórych wspó÷czynników HaMiDeW
‡uktuacje¾ kwadratowa¾ moz·na policzyć z ograniczona¾ dok÷adnościa.
¾ Wymagane do obliczenia
2
4
wspó÷czynniki HaMiDeW w czasoprzestrzeni Reissnera-Nordströma maja¾ postać
[a2 ] =
[a3 ] =
[a4 ] =
M e2
e4
1
2
12M
24
+
13
,
45r6
r
r2
1
194 M 3 9 2 1111 M 2 e2 132 M e2 3644 M e4 908 e4
+ M +
+
r8
63 r
7
105 r2
35 r
315 r3
315 r2
6
1156 e
,
+
315 r4
1
16549 e8 50132 e6 373652 e6 M
571027 e4 M 2 612 e4
+
+
+
r10
315 r6
675 r4
1575 r5
1575
r4
25 r2
318476 M e4 3757 M 2 e2 113522 M 3 e2 4352 M e2 32 2
+
+
M
1575 r3
25
r2
525
r3
175 r
5
23264 M 4 240 M 3
.
+
525 r2
7 r
Rysunki 5 i 6 przedstawiaja¾ wykresy przeskalowanej ( = 16
2
2
2M 2)
(281)
(282)
(283)
‡uktuacji kwadratowej lic-
2
zonej z róz·na¾ dok÷adnościa.
¾ Fluktuacja
,
,
oznaczona jest odpowiednio linia¾
2
3
4
kropkowana,
¾ kreskowana¾ i ciag÷
¾ a.
¾ Jest ona liczona na horyzoncie zdarzeń i zalez·y od parametru
q = e=M . Wykresy pozwalaja¾ zaobserwować róz·nice¾ w obliczeniach przeprowadzonych z róz·na¾
2
2
dok÷adnościa.
¾ Moz·na zauwaz·yć, z·e
tylko nieznacznie róz·ni sie¾ od
, podczas gdy
4
3
2
2
od
juz· zauwaz·alnie. Zatem wk÷ad wspó÷
czynnika [a3 ] do ‡uktuacji jest o wiele
3
2
wiekszy
¾
niz· wk÷ad wspó÷czynnika [a4 ]. Zasadne jest wiec
¾ za÷
oz·enie, z·e obliczenie przeskalowanej ‡uktuacji kwadratowej z dok÷
adnościa¾
2
3
jest dobrym przybliz·eniem. Analogiczna¾ w÷asność ma
przeskalowana ‡uktuacja¾ poza horyzontem zdarzeń.
82
5
¾
83
2
Rysunek 5: Przeskalowana ‡uktuacja kwadratowa
( = 16 2 M 2 ) w czasoprzestrzeni
Reissnera-Nordströma liczona na horyzoncie zdarzeń dla mM = 2. Oś pozioma to q = e=M , za2
kres parametru to q 2 h0; 0:8i. Linia kropkowana odpowiada
, linia kreskowana odpowiada
2
2
2
,
linia
ci
ag÷
¾
a
odpowiada
.
3
4
2
Rysunek 6: Przeskalowana ‡uktuacja kwadratowa
( = 16 2 M 2 ) w czasoprzestrzeni
Reissnera-Nordströma liczona na horyzoncie zdarzeń dla mM = 2. Oś pozioma to q = e=M , za2
kres parametru to q 2 h0:8; 1i. Linia kropkowana odpowiada
, linia kreskowana odpowiada
2
2
2
, linia ciag÷
¾ a odpowiada
.
4
3
83
84
5
¾
Cecha¾charakterystyczna¾‡uktuacji kwadratowej obliczonej w czasoprzestrzeni Reissnera-Nordströma
jest jej niezalez·ność od sta÷
ej sprze¾z·enia . Jest to sytuacja wyjatkowa
¾
poniewaz· analiza ‡uktuacji
kwadratowej w innych typach czasoprzestrzeni ujawnia jej zalez·ność od tego parametru. Przyk÷adem
moz·e być czasoprzestrzeń ABGB-dS bed
¾ aca
¾ mody…kacja¾czasoprzestrzeni ABGB poprzez uogólnienie
jej na przypadek z niezerowa¾ sta÷a¾ kosmologiczna¾ . Opisuje ja¾ element liniowy
ds2 =
2M
r
1
+r2 d
2
1
tanh
Q2
2Mr
r2
3
dt2 + dr2 = 1
2M
r
1
tanh
Q2
2Mr
.
r2
3
(284)
Sta÷a kosmologiczna
zmienia strukture¾ horyzontów poniewaz· jej obecność moz·e powodować po-
jawienie sie¾ oprócz horyzontu wewnetrznego
¾
r
i zdarzeń r+ takz·e horyzontu kosmologicznego rc .
W zalez·ności od po÷oz·enia horyzontów rozwiazania
¾
moz·na podzielić na cztery klasy: r < r+ < rc ,
r = r+ < rc (degeneracja pierwszego rodzaju, tzw. czarna dziura „cold”), r < r+ = rc (zdegenerowany horyzont drugiego rodzaju), r
analiza, przy za÷oz·eniu
rcr wynosi
= r+ = rc (tzw. kon…guracja „ultracold”). Przybliz·ona
' 0 pokazuje, z·e dla rozwiazania
¾
typu „cold”÷adunek Q i horyzont zdarzeń
Q2cr = M2 4w0 +
64w03
1024w05 (5 + 3w0 )
2 +
3 (1 + w0 )
9 (1 + w0 )5
2
32768
2
3
+O 4
8 59 + 65w0 + 18w0
81 (1 + w0 )
"
1024w05 25 + 18w0 + 3w02
4w0
64w03 (3 + w0 )
= M
+
+
1 + w0
3 (1 + w0 )4
9 (1 + w0 )7
+
rcr
+
gdzie w0 = W+ e
niemoz·liwe jeśli
1
32768w07
413 + 461w0 + 162w02 + 18w03
81 (1 + w0 ) 10
3
+O
4
(285)
2
;
(286)
[170]. Dok÷adne rozwiazanie
¾
równań określajacych
¾
horyzont zdarzeń jest
jest dowolne, jednak dla poszczególnych wartości liczbowych
moz·na dokonać
analizy numerycznej [170]. Analiza ta pokazuje, z·e:
1. gdy
M2 < 1=9, to nie istnieje taka wartość ÷
adunku, dla którego r+ = rc ,
M2 < 0; 246019, to istnieja¾ wartości ÷
adunku takie, z·e moz·liwa jest zarówno
degeneracja horyzontów pierwszego jak i drugiego rodzaju,
2. gdy 1=9 <
3. gdy
M2 > 0; 246019, to degeneracja nie jest moz·liwa.
Charakterystyczna¾ wartościa¾ jest
M2 = 0; 246019, kiedy to kon…guracja jest typu „ultracold”,
a wartości horyzontów i ÷adunku wynosza¾ r = r+ = rc = 1; 34657M i Q = 1; 1082M. Przybliz·ona
wartość ‡uktuacji kwadratowej 2 2 liczona na horyzoncie zdarzeń rcr dla przypadku „cold” i po-
84
5
¾
85
Rysunek 7: Metody i jezyki,
¾
którymi zosta÷y wykonane obliczenia T ab . Plus oznacza, z·e dana¾metoda,
¾
sposobem oraz jezykiem
¾
zosta÷wykonany projekt programistyczny.
dana w postaci szeregu Taylora wzgledem
¾
2
2
=
wynosi
1
1
0; 17 0; 87 + 0; 69 2 + 0; 26 + 0; 5 + 1; 65
16 2 m2 M4
+ 0; 66 + 3; 66
0; 86 2 2 M4 + 0; 37 + 2; 93
5; 66
2
M2
2
3
M6 + O
4
.
(287)
Jest ona wartościa¾ dok÷adna,
¾ gdy
= 0 (dla czasoprzestrzeni typu ABGB). Konieczność obliczeń
przybliz·onych wynika z tego, z·e znane sa¾ jedynie przybliz·one wartości horyzontu zdarzeń rcr (286)
oraz Qcr (285) dla przypadku „cold”.
Obliczenia ogólnej postaci tensora energii-p edu
¾
Obliczenia ogólnej postaci tensora energii-pedu
¾ 20 hTab iren przeprowadzone zosta÷
y dwiema metodami:
z wykorzystaniem jego de…nicji oraz za pomoca¾metody redukcji dzia÷ania efektywnego przy za÷
oz·eniu
sferycznej symetrii czasoprzestrzeni. Obliczenia realizowano z wykorzystaniem projektu programisty-
cznego reprezentowanego przez cześć
¾ „T ab ”przedstawiona¾ na rysunku 2. Projekt ten ma kilka wersji
w zalez·ności od metody obliczeń i uz·ytych jezyków
¾
programowania (rysunek 7).
Pierwsza z metod obliczeń tensora energii-pedu
¾ opiera sie¾ na de…nicji
2
hTab iren = p
Wren
.
g g ab
(288)
Metoda ta przedstawiona zostanie na przyk÷adzie projektu programistycznego relizujacego
¾
te obliczenia
z wykorzystaniem wielu jezyków
¾
programowania (rysunek 8). Projekt napisany w jezyku
¾
Mathematica i oparty na tej samej metodzie znajduje sie¾ w podrozdziale 6.3.
20
Ogólna postać tensora energii-p edu
¾ oznacza, z·e jest on wyraz·ony poprzez tensory Riemanna, Ricciego, skalary
krzywizny oraz ich pochodne kowariantne.
85
86
5
¾
Rysunek 8: Szczegó÷
owa struktura T ab w przypadku obliczeń tensora energii-pedu
¾ z de…nicji. Projekt
oparty jest na wielu jezykach
¾
¾
szary - Perl,
czerwony - Mathematica, zielony - Maple, niebieski - Form.
Zadaniem pierwszego z programów „Form!MT”jest dokonanie translacji dzia÷ania efektywnego
Wren z jezyka
¾
Form do postaci zgodnej z pakietem MathTensor21 . Na szczególna¾ uwage¾ zas÷uguja¾
tutaj wyraz·enia regularne bed
¾ ace
¾ integralna¾ cześci
¾ a¾ jezyka
¾
Perl. To w÷
aśnie na nich oparta jest
g÷
ówna cześć
¾ programu.
Kolejny z programów - „Upr”ma za zadanie uproszczenie dzia÷
ania efektywnego przy wykorzystaniu w÷asności tensora Riemanna. Do celów uproszczeń wykorzystywane by÷
y pakiety: MathTensor
oraz pakiet Invar. Ponadto stosowane by÷y wstepne
¾
uproszczenia bazujace
¾ na jezyku
¾
Form. Zasada
upraszczania, na której opieraja¾ sie¾ pakiety polega na stworzeniu bazy sk÷
adajacej
¾ sie¾ z niezmienników krzywiznowych, a nastepnie
¾
wyraz·enia dowolnego wielomianu sk÷
adajacego
¾
sie¾ ze skalarów w
tej bazie [171, 172, 173, 174]. W praktyce pakiety najpierw grupuja¾ wszystkie jednomiany rzedu
¾ n
(rzad
¾ oznacza liczbe¾ tensorów Riemanna) w podzbiór Rf
1 ;:::; n g
, gdzie
i-tego tensora Riemanna. Tensor jest sortowany wed÷
ug porzadku
¾
i
i
oznacza rzad
¾ pochodnej
i+1 .
Przyk÷adem wyraz·enia
nalez·acego
¾
do Rf0;1;5g jest jednomian
Rabcd R;acbgd RRf g;f .
(289)
P
Grupa jednomianów Rf 1 ;:::; n g posiada N = 4n + ni=1 i indeksów oraz jest rzedu
¾
= 2n +
Pn
jest zawsze liczba¾ parzysta¾ poniewaz· wyraz·enie, które jest
·na zauwaz·yć, z·e N i
i=1 i . Moz
21
Pakiet MathTensor opracowany zosta÷przez Stevena M. Christensena.
86
5
¾
87
upraszczane jest skalarem, a zatem liczba indeksów musi być parzysta. Kaz·dy podzbiór Rf
1 ;:::; n g
posiada indywidualna¾baze¾ jednomianów, której liczba jest tym mniejsza, im wiecej
¾ toz·samości, które
posiada tensor Riemanna zostanie uwzglednione
¾
w obliczeniach. Do uproszczeń moz·e byc uz·ytych
pieć
¾ toz·samości:
1. Symetria i antysymetria tensora Riemanna
Rcdab = Rabcd
Rbacd =
Rabcd :
(290)
Zastosowanie tej toz·samości oraz doprowadzenie do postaci kanonicznej pozwala na zredukowanie
bazy jednomianów klasy Rf0;1;5g z 1; 1 1014 do 53160 elementów. Element bazy numerowany
liczba¾ m i nalez·acy
¾ do klasy Rf
1 ;:::; n g
oznacza sie¾ symbolem If
1 ;:::; n g;m
.
2. Cykliczność tensora Riemanna
Rabcd + Racdb + Radbc = 0.
(291)
W÷asność cykliczności redukuje liczbe¾ elementów bazowych klasy Rf0;1;5g z 53160 elementów
do 22330.
3. Toz·samość Bianchi
Rabcd;e + Rabde;c + Rabec;d = 0.
(292)
4. Symetrie pochodnych kowariantnych
rd rc T
a1 :::an
b1::: bm
rc r d T
a1 :::an
b1::: bm
=
n
X
Rcde
ak
T
a1 :::e:::an
b1 :::bm
n
X
Rcdbk e T a1 :::an
b1 :::e:::bm .
k=1
k=1
(293)
5. W÷asności zalez·ne od wymiaru (tzw. w÷asności typu Lovelocka) opierajace
¾ sie¾ na tym, z·e antysymetryzacja wszystkich indeksów tensora o liczbie indeksów d+1 w przestrzeni d-wymiarowej
wynosi zero [175].
Zastosowanie wszystkich pieciu
¾ toz·samości do klasy Rf0;1;5g redukuje liczbe¾ elementów bazowych
do 44 (zak÷adajac
¾ z·e czasoprzestrzeń jest czterowymiarowa).
Przyk÷
adem uproszczeń jest zastosowanie wszystkich powyz·szych toz·samości do niezmiennika
Rc a db
;a
;d;c;b
klasy Rf4g , co powoduje jego transformacje¾ do postaci
Rc a db
;a
;d;c;b
=
Rbc
;a Rbc
;a
+ Rc b;a Rc a;b
Rabcd Rac;b;d .
(294)
Program „MT!Form”dokonuje translacji uproszczonego dzia÷ania efektywnego ze sk÷
adni pakietu MathTensor do sk÷adni jezyka
¾
Form.
87
88
5
¾
Najwaz·niejszym programem bloku „T ab ”jest program „T ab (R)”wykonujacy
¾ operacje¾ pochodnej
Wren
gab
funkcjonalnej
wystepuj
¾ acej
¾ w de…nicji tensora energii-pedu
¾ (288). Poniewaz· dzia÷anie efektyp
wne sk÷ada sie¾ z sumy skalarów krzywizny takich jak m.in.
g, R2 , Rab;c Rab;c , to fundamentalnym
problemem jest znajomość pochodnej funkcjonalnej obiektów krzywiznowych. Aby ja¾ otrzymać najwaz·niejszym etapem pośrednim jest policzenie wariacji dowolnego obiektu Rabcd;e1 :::en . W tym celu
skorzystano z nastepuj
¾ acej
¾ toz·samości
(Rabcd;e1 :::en ) =
Rabcd;e1 :::en
s
en
1 en
1
s
aen Rsbcd;e1 :::en
;en
Rabcd;e1 :::en
2s
1
s
ben Rascd;e1 :::en
:::
1
.
(295)
Toz·samość ta pozwala znaleźć pochodna¾funkcjonalna¾ Rabcd;e1 :::en ; jeśli znane sa¾
s
ac
i
Rabcd;e1 :::en
1
Ma ona zatem charakter rekurencyjny w tym sensie, z·e znajac
¾ pochodna¾ funkcjonalna¾ niz·szego rzedu
¾
Rabcd;e1 :::en
1
moz·na obliczyć pochodna¾ funkcjonalna¾ wyz·szego rzedu
¾
Rabcd;e1 :::en . Toz·samość ta
jest podstawa¾ algorytmu zaimplementowanego w programie. Przyk÷adem dzia÷ania programu jest
R
p
obliczenie pochodnej funkcjonalnej wyraz·enia d4 x
gRab;c cba , którego wynikiem jest
2
p
g gxy
Z
p
d4 x
gRab;c
Ray;bxab + Ray;bxba
cba
=
Rab;xyba + Rab;yxab
Rxy;abab + Rxy;abba
+2 Raxby;cd Radbc + R;ab Raxby
+2 Rabcd Reyac Rbedx
4 Rabcd Reacy Rbxde
Rabcd Reyab
Rax;bbya + Rax;ybab
Rax;bc Rabcy
2 Raxby;cd Racbd + Rax;bc Racby
R;ab Raybx + Rab Rcady Rbdcx
2 Rabcd Rexac Rbedy
Rax;ybba + Ray;bbxa
2 Rab Rcadx Rbdcy
Rab Rcday Rbxcd + Rab Rca Rbxcy
1
R R ax Rbycd + 2 Rab Rcadx Rbycd + 2 Rabcd Rexac Rbyde
2 ab cd
Rcedx + 2 Rabcd Rexab Rcedy + 4 Rabcd Reacx Rbyde .
(296)
Program „Form!MT” dokonuje translacji ze sk÷
adni jezyka
¾
Form do sk÷adni pakietu MathTensor, natomiast „Upr” ponownie upraszcza, tym razem tensor energii-pedu.
¾
Nastepnie
¾
„MT!GRT”
dokonuje translacji do sk÷adni pakietu GRTensor. Ostatni z programów T ab (g) umoz·liwia obliczenie
¾ dla szczególnej postaci czasoprzestrzeni (np. Schwarzschilda).
Kolejna¾ metoda,
¾ alternatywna¾ do metody obliczania hT iren z de…nicji, jest metoda obliczania
¾ opierajaca
¾ sie¾ na wstepnej
¾
redukcji dzia÷ania efektywnego Wren . Warunkiem
koniecznym do tego, aby moz·na by÷
o stosować te¾ metode¾ jest wstepne
¾
za÷oz·enie, z·e czasoprzestrzeń
posiada pewna¾ symetrie.
¾ Pierwszy wykorzysta÷te¾ metode¾ Hermann Weyl [52], który rozwiaza÷
¾ za jej
pomoca¾ próz·niowe równania Einsteina otrzymujac
¾ metryk¾
e Schwarzschilda. Poszukujac
¾ rozwiazania
¾
R 4 p
Schwarzschilda standardowo, najpierw dokonuje sie¾ wariacji dzia÷ania Einsteina gab d x
gR ze
wzgledu
¾ na metryk¾
e, co pozwala otrzymać próz·niowe równania Einsteina. Nastepnie
¾
zak÷ada sie¾
rozwiazania
¾
o symetrii sferycznej i w takiej uproszczonej postaci poszukuje rozwiazań.
¾
Weyl postapi÷
¾
niekonwencjonalnie poniewaz· najpierw za÷oz·y÷, z·e rozwiazanie
¾
ma symetrie¾ sferyczna¾ i nie zalez·y od
88
.
5
¾
89
czasu. Wybra÷tez· szczególne cechowanie (cechowanie Schwarzschilda) w postaci
a (r) b (r)2 dt2 +
ds2 =
dr2
+ r2 d
a (r)
2
+ sin2 d
2
,
(297)
a nastepnie
¾
uprości÷za jego pomoca¾ dzia÷anie Einsteina
I=
Z
p
gR ! Ired =
d x
4
Z1
drr (a
1)
d
b.
dr
(298)
0
Końcowym etapem by÷o otrzymanie dwóch równań Eulera-Lagarange’a dla dwóch zmiennych a i b, a
nastepnie
¾
rozwiazanie
¾
ich, co doprowadzi÷
o do otrzymania metryki Schwarzschilda a = 1
c1 =r, b =
c2 . Mimo, z·e powyz·sza procedura jest niezgodna z konwencjonalna¾ metoda¾ rozwiazywania
¾
równań,
pozwoli÷a ona otrzymać poprawny wynik. Nalez·y zwrócić uwage,
¾ z·e Weyl nie dowodzi÷ani nawet
pobiez·nie nie uzasadnia÷motywów takiego sposobu rozwiazywania
¾
równań. Pe÷ny matematyczny
dowód przedstawiony zosta÷pó÷wieku później przez Palais’a [176] nie tylko w kontekście ogólnej teorii
wzgledności,
¾
ale i równiez· pól dowolnych. Metoda zredukowanego dzia÷ania by÷
a z powodzeniem
stosowana w teoriach z wyz·szymi cz÷onami krzywiznowymi czwartego i szóstego rzedu
¾ dowolnego
wymiaru do poszukiwania rozwiazań
¾
o wysokiej symetrii [177].
W obliczeniach tensora energii-pedu
¾ hT iren za pomoca¾ metody zredukowanego dzia÷
ania (ana-
logicznie jak to zrobi÷Weyl) wstepnie
¾
za÷oz·ono postać metryki o symetrii sferycznej (5). Zredukowana
postać dzia÷ania efektywnego (257) ma wtedy postać
WRreduced =
1
32
2 m2
Z
dr[a3 ](f (r) h (r))1=2 r2 +
1
32
2 m4
Z
dr[a4 ](f (r) h (r))1=2 r2 ,
gdzie funkcje f (r) i h (r) wia¾z·a¾ sie¾ z metryka¾ poprzez f (r) =
1
2m(r)
r
1
e
(r)
2m(r)
r
1
(299)
oraz h (r) =
. Symbolicznie powyz·sze dzia÷anie moz·na zapisać w postaci
L = L1 + L2 ,
(300)
L1 = L1 f (0) (r); :::; f (6) (r); h(0) (r); :::; h(5) (r); r ,
(301)
L2 = L2 f (0) (r); :::; f (8) (r); h(0) (r); :::; h(7) (r); r ,
(302)
gdzie
a f (k) =
df k
,
drk
h(k) =
dhk
.
drk
Pe÷
na postać cz÷onów L1 i L2 zawiera odpowiednio 531 oraz 2157 elementów.
Aby otrzymać sk÷adowe Ttt i Trr dla sferycznej symetrii nalez·y skorzystać z dwóch równań EuleraLagrange’a
Ttt = 2
f (0)
h(0)
!1=2 "
n
k
X
@
k+1 d
L
+
(
1)
drk
@f (0)
k=1
89
@
L
@f (k)
#
,
(303)
90
5
¾
Rysunek 9: Szczegó÷owa struktura T ab w przypadku obliczeń metoda¾ poprzez redukcje¾ dzia÷ania
efektywnego. Niebieski kolor bloku oznacza, z·e program zosta÷napisany w jezyku
¾
Form.
oraz
Trr = 2
h(0)
f (0)
!1=2 "
s
k
X
@
k+1 d
L
+
(
1)
drk
@h(0)
k=1
@
L
@h(k)
#
,
(304)
gdzie symbole n i s wystepuj
¾ ace
¾ w granicy sumowania oznaczaja¾rzad
¾ maksymalnej pochodnej funkcji
f (r) i h (r) wystepuj
¾ acej
¾ w L. Metoda ta nie pozwala w sposób bezpośredni otrzymać sk÷adowych
katowych
¾
tensora energii-pedu,
¾
moz·na je jednak otrzymać wykorzystujac
¾ toz·samość ra T ab = 0,
która dla rozwaz·anej metryki prowadzi do
T =T =
r
Tt
4f t
Trr
d
r d r
f+
T + Trr .
dr
2 dr r
(305)
Obliczenia bloku „T ab ” oparte na metodzie poprzez redukcje¾ dzia÷ania wykonane zosta÷
y za pomoca¾ programów napisanych w jezyku
¾
Form (rysunek 9). W sk÷
ad bloku „T ab ” wchodzi program
„T ab gsf er_sym ”, który oblicza zredukowane dzia÷
anie efektywne oraz tensor energii-pedu
¾ wykorzystujac
¾ równania Eulera-Lagrange’a.
Obliczenia tensora energii-pedu
¾ oparte na metodzie poprzez redukcje¾ dzia÷ania wykonywane
zosta÷y równiez· poprzez inny projekt oparty na wielu jezykach
¾
programowania. Szczegó÷
owe informacje na temat tego projektu znajduja¾ sie¾ w podrozdziale 6.3.
90
5
¾
91
W÷
asności tensora energii-p edu
¾ w czasoprzestrzeni Reissnera-Nordströma
Tensor energii-pedu,
¾
otrzymany z dzia÷ania efektywnego Wren (257), moz·e być zapisany w postaci
sumy
(1)b
gdzie Ta
D
Tab
E
ren
= Ta(1)b + Ta(2)b ,
(306)
(2)b
to wk÷ad do tensora energii-pedu
¾ pochodzacy
¾ od wspó÷czynnika [a3 ], z kolei Ta
pochodzi
od [a4 ]. Dla przypadku czasoprzestrzeni sferycznie symetrycznej statycznej kaz·da ze sk÷
adowych
(2)b
tensora Ta
posiada oko÷o 3000 cz÷
onów. Jeśli rozpatrzeć szczególna¾ postać tej czasoprzestrzeni
opisanej metryka¾
ds2 =
f (r) dt2 +
1
dr2 + r2 d
f (r)
2
+ sin2 d
2
,
(307)
w której zawiera sie¾ wiele interesujacych
¾
z punktu widzenia …zyki przypadków, to liczba cz÷
onów
(2)b
¾ Ta
(2)b
ulega redukcji do kilkudziesieciu
¾ (Dodatek: „Sk÷
adowa Ta
(1)b
Ta
”). W wyniku
(2)b
Ta
obliczeń moz·na zauwaz·yć, z·e elementy sk÷adowe
i
¾ w czasoprzestrzeni
Reisnera-Nörsdstroma zalez·a¾ w sposób liniowy od parametru i moga¾ być zapisane w postaci
Ta(i)b =
gdzie
=
1
Ca(i)b + Da(i)b ,
2 m2i r 2(3+i)
(i)b
1=6. Pe÷
na postać funkcji Ca
jest w dodatku Funkcje
(i)b
Ca
oraz
(i)b
oraz Da
(308)
dla rozwaz·anej czasoprzestrzeni przedstawiona
(i)b
Da .
(1)b
Nalez·y zwrócić uwage,
¾ z·e Ta by÷juz· wczesniej policzony
[95, 64]. W pracy Andersona, Hiscocka i Samuela [64] policzono zrenormalizowany tensor energiipedu
¾ metodami numerycznymi z dok÷adnościa¾ do kwadratu odwrotności masy pola. Przedstawiono
¾ tensora energii-pedu
¾
w niej równiez· wykresy konforemnej C i pozakonforemnej D cześci
D
T
E
ren
(309)
=C + D
w czasoprzestrzeni Schwarzschilda. Poniewaz· znana jest wyz·sza dok÷
adność obliczeń uwzgledniaj
¾
aca
¾
w dzia÷
aniu efektywnym cz÷on pochodzacy
¾ od [a4 ] [178] moz·na dokonać porównania z wynikami
Andersona, Hiscocka i Samuela.
Na rysunku 10 przedstawiono przeskalowane liczba¾
= 90
2 (8M )4
dwie funkcje¾ C w czaso-
przestrzeni Schwarzschilda: obliczona¾ przez Andersona, Hiscocka i Samuela (wykres górny patrzac
¾
na punkt x = 0) oraz obliczona¾ z wyz·sza¾ dok÷
adnościa¾ (wykres dolny). Rysunek 11 przedstawia
analogiczne porównanie, tym razem dla funkcji D . Funkcje te zalez·a¾ od parametru x =
r r+
M ,
a poczatek
¾
uk÷
adu wspó÷
rzednych
¾
pokazuje ich zachowanie na horyzoncie zdarzeń. Oba wykresy
pokrywaja¾ sie,
¾ gdy r ! 1, jednak w miare¾ jak r maleje coraz bardziej sie¾ róz·nia.
¾ Róz·nice te sa¾
znaczace
¾ na horyzoncie, co powoduje, z·e wk÷
ad poprawki wyz·szego rzedu
¾ moz·e prowadzić do istotnej
zmiany wyniku.
Analogiczne wykresy moz·na narysować dla czasoprzestrzeni Reissnera-Nordströma (rysunek 12 i
13) wybierajac
¾ wartość ÷
adunku róz·na¾ od zera e=0,95M. Obserwacja obu funkcji C i D , równiez·
jak w przypadku czasoprzestrzeni Schwarzschilda, ujawnia róz·nice spowodowane obliczeniem ich z
91
92
5
¾
( = 90 2 (8M )4 ) zalez·ne od parametru x =
Rysunek 10: Dwie przeskalowane funkcje C
(r r+ ) =M obliczone w czasoprzestrzeni Schwarzschilda dla mM = 2: górna (patrzac
¾ na punkt
x = 0) obliczona przez Andersona, Hiscocka i Samuela, dolna obliczona z wyz·sza¾ dok÷adnościa.
¾
Rysunek 11: Dwie przeskalowane funkcje D
(r r+ ) =M obliczone w czasoprzestrzeni Schwarzschilda dla mM = 2: dolna (patrzac
¾ na punkt
x = 0) obliczona przez Andersona, Hiscocka i Samuela, górna obliczona z wyz·sza¾ dok÷adnościa.
¾
92
5
¾
93
Rysunek 12: Dwie przeskalowane funkcje C
(r r+ ) =M obliczone w czasoprzestrzeni Reissnera-Nordströma (e=0,95M) dla mM = 2: linia
¾
linia ciag÷
¾ a¾ odpowiada wyz·szej dok÷
adności
obliczeń.
róz·na¾ dok÷adnościa.
¾ Róz·nice te sa¾ istotne i moga¾ być pominiete
¾ tylko po wnikliwej analizie.
Zrenormalizowany tensor energii-pedu
¾ jest regularny, jeśli moz·na pokazać, z·e w nieosobliwym
uk÷adzie wspó÷
rzednych
¾
ma skończona¾ wartość. Poniewaz· metryka Reissnera-Nordströma jest osobliwa, gdy r ! r+ nie moz·na sprawdzić w tym punkcie regularności. Nalez·y zatem przejść do
nowego uk÷
adu wspó÷rzednych,
¾
w którym metryka na horyzoncie zdarzeń jest nieosobliwa. Takim
uk÷adem wspó÷rzednych
¾
jest uk÷ad zwiazany
¾
ze swobodnie spadajac
¾ a¾ czastk
¾ a.
¾ Dokonujac
¾ obliczeń
¾ na horyzoncie zdarzeń w nowych wspó÷
rzednych
¾
moz·na wykazać:
T(0)(0) (r+ ) =
hTrr iren (r+ )
Ttt
f (r+ )
ren
(r+ )
T(1)(1) (r+ ) =
hTrr iren (r+ )
Ttt
f (r+ )
ren
(r+ )
93
hTrr iren (r+ ) ,
(310)
+ hTrr iren (r+ ) ,
(311)
94
5
¾
Rysunek 13: Dwie przeskalowane funkcje D
(r r+ ) =M obliczone w czasoprzestrzeni Reissnera-Nordströma (e=0,95M) dla mM = 2: linia
¾
linia ciag÷
¾ a¾ odpowiada wyz·szej dok÷
adności
obliczeń.
T(0)(1) (r+ ) =
T(2)(2) (r+ ) =
T(3)(3) (r+ ) =
D
D
p
1
T
E
T
f hTrr iren (r+ )
f (r+ )
Eren
ren
Ttt
ren
(r+ )
,
(312)
,
(313)
,
(314)
Moz·na przypuszczać iz· pierwsze trzy sk÷
adowe sa¾ osobliwe poniewaz· f (r1+ ) ! 1. Przypuszczenie to
nie potwierdza sie¾ jednak gdyz· moz·na pokazać, z·e Ttt
jest regularna na horyzoncie zdarzeń.
5.1.3
ren
hTrr iren = f (r)P (r), gdzie funkcja P (r)
Zwrotne dzia÷
anie pola na metryke¾ Schwarzschilda
Zwrotne dzia÷
anie pola na metryk¾
e Schwarzschilda to inaczej wp÷yw polaryzacji próz·ni na te¾ geometrie.
¾
Obliczone dzia÷anie efektywne (257) pozwala rozpatrywać to zagadnienie jako poszukiwanie rozwiaza¾
nia równań pola wynikajacych
¾
z dzia÷
ania
1
S=
16
Z
p
d4 x g R + R2 + Rab Rab +
+ Wren .
(315)
Rozwaz·ajac
¾ przypadek uproszczony, w którym zarówno cz÷ony kwadratowe, jak i sta÷a kosmologiczna
sa¾ pominiete
¾ (
=
=
= 0), wykorzystano do obliczeń metode¾ perturbacyjna (193), w której
94
5
¾
95
cz÷
¾ reprezentowane sa¾ przez Wren (257). Otrzymanym rozwiazaniem
¾
zerowego
(0)
(1)
rzedu
¾ gab jest metryka Schwarzschilda. Odwrotność rozwiazania
¾
pierwszego rzedu
¾ grr (r) ma postać
1
=1
(1)
grr (r)
(1)
2M
M2
M2
(1)
+
P
(r)
+
P (2) (r),
r
5 m2 r6 r
m4 r8 r
(316)
(2)
gdzie funkcje Pr (r) i Pr (r) to
Pr(1) (r) =
Pr(2) (r) =
22M
313M 19
4
+ ,
3r
756r
84
2
36 1649M2
2833M 11 13583M
+
+
+
2100r
35
9450r2
7
63r2
(317)
47M
2r
.
(318)
(1)
Wynik obliczeń gtt to
(1)
gtt (r) =
1
exp (2 (r)) ,
grr (r)
(319)
gdzie
(r) =
M2
m2 r6
7
15
13
504
+
M2
2042M
m4 r8 4725r
7
40
485M
63r
81
28
+ C2 .
(320)
Sta÷a¾C2 nalez·y ustali tak, aby metryka pokrywa÷
a sie¾ z czasoprzestrzenia¾Minkowskiego, gdy r ! 1.
W celu policzenia horyzontu zdarzeń nalez·y rozwiazać
¾
równanie gtt (r+ ) = 0. Po rozwiazaniu
¾
równania z wykorzystaniem metody CLA uzyskano
1
480 M3 m2
(1)
r+ = 2M +
29
504
+
1
2016 M5 m4
17
1200
.
(321)
Analogicznie obliczenia temperatury Hawkinga TH prowadza¾ do
TH =
1
( gtt grr )
4
1=2
j
dgtt
1
jjr=r+ =
+
dr
8 M
1
2 m2 (4M)5
1
11
+
1980 9450M2 m2
.
(322)
Moz·na zaobserwować, z·e temperatura Hawkinga nie zalez·y od sta÷ej =
1=6 mimo, z·e równania
pola zalez·a¾ od tej sta÷ej oraz, z·e bez wzgledu
¾ na wybór parametrów m i M, cz÷on pochodzacy
¾ od
pola skalarnego zawsze podwyz·sza wartość temperatury Hawkinga. O ile w przypadku duz·ej masy
M mody…kacje¾ wynikajaca
¾ z w÷
aczenia
¾
pola skalarnego moz·na zaniedbać, to dla ma÷ej masy M jej
wp÷yw jest juz· istotny.
5.1.4
Ekstremalna kwantowo zmody…kowana czarna dziura
Geometria w otoczeniu horyzontu zdarzeń kwantowo zmody…kowanej ekstremalnej czarnej
dziury Reissnera-Nordströma
Ekstremalne czarne dziury maja¾szczególna¾geometrie¾ w bliskim otoczeniu horyzontu zdarzeń. Geome95
96
5
¾
tria ta jest iloczynem prostym dwóch dwuwymiarowych przestrzeni, z których kaz·da ma sta÷
a¾ krzywizne.
¾ Dla ekstremalnej czarnej dziury Reissnera-Nordströma [155] bliskie otoczenie horyzontu
zdarzeń jest geometria¾ Bertottiego-Robinsona [102, 103], z kolei dla ekstremalnej czarnej dziury
Schwarzschilda-de Sittera bliskie otoczenie horyzontu zdarzeń jest geometria¾ Nariai [179, 180, 181].
Czasoprzestrzenie bed
¾ ace
¾ iloczynem prostym dwóch przestrzeni o sta÷ej krzywiźnie moga¾ być
sklasy…kowane na podstawie typu podprzestrzeni sk÷adajacych
¾
sie¾ na ca÷a¾ czasoprzestrzeń. PierE 2 bed
¾ aca
¾ iloczynem dwuwymi-
wszym i najprostszym typem jest geometria Minkowskiego M2
arowej przestrzeni Minkowskiego i dwuwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Kolejny typ to neutralna
geometria Nariai
ds2 =
1
sin2
2
d
+d
2
+d
2
+ sin2 d
2
,
(323)
bed
¾ aca
¾ rozwiazaniem
¾
próz·niowego równania Einsteina z dodatnia¾sta÷a¾kosmologiczna¾ . W powyz·szym
równaniu zakres sk÷adowych
i
zmienia sie¾ od 0 do , natomiast
ma okres 2 . Jeśli do dzia÷ania
Einsteina wprowadzone zostanie dodatkowo pole elektromagnetyczne, powyz·sze rozwiazanie
¾
moz·na
rozszerzyć do
ds2 =
R20
K0
sin2
2
d
2
+d
+ R20 d
2
+ sin2 d
2
,
gdzie R0 jest sta÷
a¾ dodatnia¾ a K0 jest sta÷a¾ nalez·ac
¾ a¾ do zakresu 0 < K0
(324)
1 [182, 183, 184]. To
uogólnione rozwiazanie
¾
Nariai moz·na przedstawić w bardziej dogodnej reprezentacji poprzez zmiane¾
p
¾ w wyniku metryk¾
e
K0 =R20 R2 , = K0 =R20 T otrzymujac
wspó÷rzednych
¾
sin2 = 1
ds2 =
1
K0 2
R dT 2 +
R20
1
1
K0 2
R
R20
dR2 + R20 d
2
+ sin2 d
2
.
(325)
Powyz·sza postać ujawnia, z·e przestrzeń jest typu dS2 S 2 , a zatem jest iloczynem (1+1)-wymiarowej
przestrzeni de Sittera i dwuwymiarowej sfery o sta÷ym promieniu R0 .
Robinsona jest rozwiazaniem
¾
równań Einsteina-Maxwella dla
ds2 = R20
gdzie wspó÷rzedna
¾
sinh2
d
jest nieograniczona,
2
wspó÷rzednych
¾
sinh
=
ds2 =
R2 =R20
R2 =R20
1,
2
2
+d
+ R20 d
Geometria Bertottiego-
= 0 i wyrazić ja¾ moz·na poprzez
2
+ sin2 d
2
zmienia sie¾ od 0 do , natomiast
,
(326)
ma okres 2 . Zmiana
= T =R0 , prowadzi do
1 dT 2 +
a zatem geometria ta jest typu AdS2
1
R2 =R20
1
dR2 + R20 d
2
+ sin2 d
2
,
(327)
S 2 , czyli jest iloczynem dwuwymiarowej przestrzeni anty-de
Sittera i dwuwymiarowej sfery o sta÷ym promieniu R0 . Przestrzeń anty-Nariai opisana jest przez
ds2 =
gdzie wspó÷rzedne
¾
i
R20
K0
sinh2
d
sa¾nieograniczone a
2
+d
2
+ R20 d
2
+ sinh2 d
2
,
(328)
ma okres 2 [185, 186]. Przestrzeń ta jest rozwiazaniem
¾
96
5
¾
97
równania Einsteina-Maxwella z ujemna¾ sta÷a¾ kosmologiczna¾
< 0. Po zmianie wspó÷
rzednych
¾
p
2
2
2
2
sinh
=1
K0 =R0 R , = K0 =R0 T czasoprzestrzeń anty-Nariai ma postać
ds2 =
1+
K0 2
R dT 2 +
R20
1
1+
K0 2
R
R20
dR2 + R20 d
2
+ sinh2 d
2
,
(329)
a zatem ma strukture¾ AdS2 H 2 czyli iloczynu przestrzeni anty-de Sittera i hiperboloidy o promieniu
R0 . Ostatnim typem czasoprzestrzeni jest geometria Plebańskiego-Hacyana [187] bed
¾ aca
¾ iloczynem
przestrzeni AdS2
E 2 lub M2
S2.
Moz·na rozwaz·yć czarna¾dziure¾ Reissnera-Nordströma, na której geometrie¾ wp÷yne÷
¾ o pole skalarne.
Gdy dzia÷
anie efektywne jest obliczone w najniz·szym rzedzie
¾
dok÷adności22 , to geometria otoczenia
horyzontu ekstremalnego jest typu Bertottiego-Robinsona [102, 103, 188]. Policzenie dzia÷
ania efektywnego z wyz·sza¾ dok÷adnościa¾ umoz·liwia zbadanie geometrii otoczenia horyzontu ekstremalnego
równiez· z wyz·sza¾ dok÷
adnościa.
¾ W tym celu nalez·y rozwiazać
¾ problem zwrotnego dzia÷
ania pola na
geometrie¾ Reissnera-Nordströma, a nastepnie
¾
zbadać, kiedy temperatura Hawkinga czarnej dziury sie¾
zeruje. Do znalezienia metryki wykorzystana zosta÷a metoda perturbacyjna analogicznie, jak w przypadku czasoprzestrzeni Schwarzschilda. Rozwiazanie
¾
sparametryzowane zosta÷o za pomoca¾ ÷
adunku
e oraz dok÷
adnego po÷oz·enia horyzontu zdarzeń r+ , zamiast masy i ÷
adunku czarnej dziury. Warunek
na ekstremalność w przypadku rozwiazań
¾
opisanych metryka¾ statyczna¾ sferycznie symetryczna¾ (5)
to
df (r)
dr r!r
+
= 0, gdzie f (r) =
1
2m(r)
r
, lub równowaz·nie r
= r+ (horyzont wewnetrzny
¾
i
horyzont zdarzeń ÷
acz
¾ a¾ sie).
¾ Aby go spe÷
nić, nalez·y wybrać szczególna¾ wartość ÷
adunku e [189]
2
e2 = r+
+
11
4 .
18900 m4 r+
4 21
2
1890 m2 r+
(330)
W otoczeniu horyzontu ekstremalnego moz·na dokonać przybliz·enia funkcji f (r) wyraz·eniem f (r) '
(r
r+ ) (r
r ), gdzie
jest sta÷
a.
¾ Czarna dziura bliska kon…guracji ekstremalnej posiada ÷
adunek
2
e2 = r+
+
gdzie parametr
4 21
2
1890 m2 r+
11
4
18900 m4 r+
,
(331)
określa odchylenie od ekstremalności. Po÷oz·enie horyzontu wewnetrznego
¾
r
wyraz·a sie¾ wtedy za pomoca¾ dwóch parametrów r+ i
r = r+
Przybliz·ona¾ wartość parametru
1
+
r+
2
5
945 m2 r+
funkcji f (r) '
22
poprzez wyraz·enie
5
90 m2 r+
(r
r+ ) (r
11
7
9450 m4 r+
.
(332)
r ) moz·na obliczyć z równania
Z najniz·szym rzedem
¾
dok÷adności dzia÷ania efektywnego mamy do czynienia wtedy, gdy obliczone jest ono z dok÷adnościa¾ uwzgledniaj
¾
ac
¾ a¾ tylko wspó÷czynnik [a3 ], a z wyz·szym gdy, [a3 ] i [a4 ].
97
98
5
f (rd ) =
(r+
rd )(rd
=
1
r+
¾
r ), gdzie rd = (r+ + r )=2. Obliczenia pokazuja,
¾ z·e
11
8 +
9450 m4 r+
8
8
945 m2 r+
2
8
45 m2 r+
22
10
4725 m4 r+
.
(333)
Dokonujac
¾ transformacji metryki poprzez zmiane¾ wspó÷rzednych
¾
r = rd + cosh ,
t =
gdzie
e
(r+ )
22
3
4725 m4 r+
3
2r+
+
= r+ rd i przechodzac
¾ z parametrem
ds2 =
2
sinh2
d
2
4
1
+
8
8
2
945 m r+ 45 m2 r+
,
(334)
do zera moz·na otrzymać nastepuj
¾ ac
¾ a¾postać metryki
+d
2
2
+ r+
d
2
+ sin2 d
2
,
(335)
gdzie
2
2
= r+
+
11
4 .
9450 m4 r+
(336)
Metryka (335) odzwierciedla strukture¾ czasoprzestrzeni w pobliz·u horyzontu ekstremalnego i jest
ona typu AdS 2
S 2 , ale nie Bertottiego-Robinsona, co mia÷oby miejsce, gdyby
2
2 . Przy= r+
4 , który zmienia
czyna¾ zmiany jest dodatkowy cz÷on w równaniu (336) wynoszacy
¾ 11=9450 m4 r+
czasoprzestrzeń Bertottiego-Robinsona na AdS 2
S 2 i pochodzi od wspó÷czynnika [a4 ]. Zwieksze¾
nie dok÷adności obliczeń dzia÷
ania efektywnego poprzez w÷
aczenie
¾
wspó÷czynnika [a4 ] zmieni÷
o zatem
geometrie¾ otoczenia horyzontu zdarzeń.
Geometria Bertottiego-Robinsona jako rozwiazanie
¾
dok÷
adne pó÷
klasycznego równania
Einsteina
Czasoprzestrzeń Bertottiego-Robinsona jest dok÷adnym rozwiazaniem
¾
pó÷klasycznych równań pola
[95, 190, 191]
1
R
2
Rij
j
i
(1)j
= 8 Ti
.
(337)
Znajomość wspó÷czynnika [a4 ] pozwala zadać pytanie czy czasoprzestrzeń Bertottiego-Robinsona jest
równiez· rozwiazaniem
¾
pó÷klasycznego równania Einsteina z tensorem energii-pedu
¾
D
Czasoprzestrzeń AdS 2
Tab
E
ren
= Ta(1)b + Ta(2)b .
(338)
S 2 jest opisana metryka¾
ds2 =
1
h
sinh2 dt2 + d
2
+ r02 d
2
(339)
i jeśli parametr h wynosi h = 1=r02 , to przechodzi ona w czasoprzestrzeń Bertottiego-Robinsona.
Charakterystyczna¾ cecha¾ tej czasoprzestrzeni jest jej jednorodność Rabcd;d = 0, zerowy tensor krzy-
98
5
¾
99
wizny R = 0, zerowy tensor Weyla Cabcd = 0 oraz spe÷nianie toz·samości Rainicha
1
Ria Raj = Rab Rab ji .
4
(340)
(1)b
Wspomniane cechy czasoprzestrzeni pozwalaja¾ przedstawić sk÷adowe tensora energii-pedu
¾ Ta
(2)b
Ta
i
w prostej postaci [189]
32
2
m2 T (1)ij
=
32
2
m4 T (2)ij
=
5
14
Rab Rab Rij ,
1260
11
Rab Rab Rcd Rcd g ij .
75600
(341)
Tensory te dla metryki Bertottiego-Robinsona transformuja¾ sie¾ do
(1)j
=
(2)j
=
8 Ti
8 Ti
5 14
diag[ 1; 1; 1; 1],
1260 m2 r06
11
diag[1; 1; 1; 1].
18900 m4 r08
(342)
Mimo, z·e nie sa¾ znane wszystkie wspó÷czynniki HaMiDeW, moz·na przewidzieć ogólna¾ strukture¾
(n)j
matematyczna¾ kaz·dej poprawki Ti na podstawie w÷asności czasoprzestrzeni Bertottiego-Robinsona
(n)j
oraz analizy wymiarowej obiektów Ti
. Z analizy tej wynika, z·e poprawki podzielić moz·na na dwie
grupy: o indeksie nieparzystym
(2n 1)j
Ti
=
A(2n
1)
diag[
2 (m2 )2n 1 r 4n+2
0
1; 1; 1; 1]
(343)
oraz o indeksie parzystym
(2n)j
Ti
=
A(2n)
diag[1; 1; 1; 1],
2 (m2 )2n r 4n+2
0
(n)j
gdzie A(n) jest wspó÷czynnikiem sta÷ym, a tensor n-tego rzedu
¾ Ti
(344)
skonstruowany jest ze wspó÷
czyn-
nika [an+2 ].
Znajomość (342) pozwala sprawdzić czy rozwiazanie
¾
równań Einsteina dla takiej dok÷adności tensora energii-pedu
¾ istnieje. Aby rozszerzyć zakres rozwaz·ań, w÷aczona
¾
zostanie sta÷a kosmologiczna ,
(em)a
a takz·e odzia÷ywanie elektromagnetyczne reprezentowane przez tensor Tb
=
e
diag [
r04
1; 1; 1; 1].
Pó÷klasyczne równania Einsteina to
Rij
1
R
2
j
i
+
j
i
=8
(em)j
Ti
99
(1)j
+ Ti
(2)j
+ Ti
,
(345)
100
5
¾
które prowadza¾ do
5 14
e2
+
4
r0
1260 m2 r06
e2
5 14
4
r0
1260 m2 r06
11
1
+ 2
8
4
18900 m r0
r0
11
1
8
4
18900 m r0
r02
Sumujac
¾ oba równania i zak÷adajac
¾ z·e sta÷
a kosmologiczna
= 0
(346)
= 0.
sie¾ zeruje, moz·na pokazać, z·e nie sposób
znaleźć takiej wartości r0 , dla której równanie to jest spe÷nione, co dowodzi, z·e czasoprzestrzeń
Bertottiego-Robinsona nigdy nie moz·e być rozwiazaniem.
¾
Przyczyna¾ jest w÷aczenie
¾
do rozwaz·ań
1
m4
wspó÷czynnika [a4 ] (cz÷on proporcjonalny do
w równaniach (346)). Aby rozwiazanie
¾
istnia÷
o,
nalez·y przywrócić niezerowa¾ sta÷a¾ kosmologiczna.
¾ Po rozwiazaniu
¾
równań (346) ze wzgledu
¾ na r0 i
, moz·na otrzymać wynik
r0 =
oraz
r0 =
s
s
e2
p
4
p
4
e4
2
e2 +
e4
2
,
4
16
p
e2 + e4
4
e2
,
=
gdzie
=
16
p
e4
=
5 14
,
1260 m2
=
4
(347)
4,
(348)
11
.
18900 m4
(349)
Przypadek szczególny rozwiazań,
¾
gdy pole elektromagnetyczne znika (e = 0) to
r0 =
14
5
1260 m2
1=4
,
11
=
18900 m4 r08
=
924
.
(5 14 )2
(350)
Moz·na równiez· zauwaz·yć, z·e powyz·sze rozwiazanie
¾
jest moz·liwe tylko wtedy, gdy > 5=14. Wartość
tego parametru nie zawiera ani minimalnego = 0, ani konforemnego = 1=6 przypadku pola.
Poszukiwanie rozwiazania
¾
równań pola dla zerowej sta÷
ej kosmologicznej
ogólniejszej klasy czasoprzestrzeni
AdS 2
S2
= 0 jest moz·liwe dla
opisanej metryka¾ (339). Moz·na rozwaz·yć przybliz·enie,
opierajace
¾ sie¾ na za÷oz·eniu, z·e czasoprzestrzeń ta jest ma÷a¾ deformacja¾ czasoprzestrzeni Bertottiego¾ acy
¾ w (339) moz·na zapisać jako 2 = r02 + , gdzie określa
Robinsona. Parametr h1 = 2 wystepuj
wspomniana¾ deformacje.
¾ Pó÷klasyczne równania Einsteina prowadza¾ do dwóch równań. Jedno z nich
jest identyczne z pierwszym z równań (346), drugie natomiast ma postać
r04
+
e2
r04
5 14
1260 m2 r06
11
18900 m4 r08
100
1
= 0.
r02
(351)
5
¾
101
Rozwiazuj
¾ ac
¾ ten uk÷ad równań moz·na obliczyć, z·e
=
11
.
9450 m4 r04
(352)
Równanie wia¾z·ace
¾ e i r0 ma wtedy postać
4 21
11
+
.
2
2
1890 m e
18900 m4 e4
r02 = e2
Moz·na zauwaz·yć identyczność
2
= r02 +
= r02 +
11
9450 m4 r04
(353)
oraz (353) z wynikami (336) i (330) z
poprzedniego rozdzia÷
u. Powyz·sze obliczenia moz·na potraktować jako alternatywna¾ droge¾ do otrzymania horyzontu zdarzeń dla przypadku ekstremalnej czarnej dziury.
5.2
Tensor energii-pedu
¾ w czasoprzestrzeni ABGB-(AdS)dS w przypadku pól o
ogólnym spinie
Rozwaz·ania dotyczace
¾ czarnych dziur ABGB moz·na rozszerzyć na przypadek kwantowo zmody…kowawych czarnych dziur ABGB z niezerowa¾ sta÷a¾ kosmologiczna.
¾ Najwaz·niejszym krokiem jest
analiza tensora energii-pedu
¾ pola w tego typu czasoprzestrzeniach pod katem
¾
jego zachowania w
otoczeniu centrum czarnej dziury (regularność), zachowanie w otoczeniu horyzontu ektremalnego.
Pole skalarne
(0)
, spinorowe
(1=2)
(1)
oraz wektorowe
+ R + m2
r + m2
r r
gdzie
R +
spe÷niaja¾ odpowiednio równania
(0)
= 0
(354)
(1=2)
= 0
(355)
= 0,
(356)
m2
(1)
oznacza macierze Diraca. Analogicznie tak jak w przypadku pola skalarnego z polem
spinorowym i wektorowym zwiazane
¾
jest zrenormalizowane dzia÷
anie efektywne Wren , które w swoim
(1)
najniz·szym przybliz·eniu Wren moz·na zapisać w postaci
10
(1)
Wren
=
=
X (s)
1
i Wi
192 m2
i=1
Z
1
d4 xg 1=2
192 m2
+
+
gdzie
(s)
i
(s)
5 RR
(s)
8 R R
R
R
(s)
1 R
+
R+
(s)
6 R R
(s)
+ 9 R
(s)
2 R
R +
R
(s)
7 R
R
+
(s) 3
3 R
+
(s)
4 RR
R
R R
R
+
(s)
10 R
R
R
; (357)
zalez·a¾ od spinu i przedstawione sa¾ w tabeli (14).
W otoczeniu zdegenerowanego horyzontu zdarzeń rd (r+ = r ) metryk¾
e (5) przedstawiona¾ w
postaci
ds2 =
e2
(r)
f (r) dt2 +
101
dr2
+ r2 d
f (r)
2
(358)
102
5
(s)
i
Rysunek 14: Wspó÷czynniki
dla przypadku
¾
dla skalarnych, spinorowych i wektorowych pól masywnych.
(r) = 0 moz·na przybliz·yć poprzez wybór funkcji f (r) w postaci f (r) = 12 f 00 (rd ) (r
r ) (r
Natomiast tensor energii pedu
¾ redukuje sie¾ do postaci
(q)t
Tt
T
(q)b
gdzie T a
= 96
2 m2
(q)
(q)r
= Tr
=T
(q)b
Ta
(q)
(i) (f
= s1
=
(i) f
s1
2
d ))
2
2r+
00 (r
00 (r
(i)
+ s2
f 00 (rd )
1 (i) 00
s
f (rd )
2 2
d)
4
r+
(j)
a wspó÷czynniki si
3
(i)
+ 4s2
3
1
6
r+
(359)
1
6
r+
(360)
(i)
8s2
dla pola skalarnego, spinorowego i wektorowego
przedstawiono w tabeli
(j)
j=0
j=1
1
30
si
j=2
j=
8
+ 15
1
1
105
10
3
+
2
+6
1 2
2
3
3
1
2
j=1
1
120
1
168
1
10
1
35
Otoczenie czasoprzestrzeni bliskie ekstremelanemu ma geometrie¾ mogac
¾ a¾ być opisana¾ elementem
liniowym
2dudv
ds2 =
1
1
2 2
2 "1 uva
+
2d d
1 + 12 "2
b
;
2 2
gdzie a i b sa¾ zwiazane
¾
z krzywizna¾ Gausa podprzestrzeni poprzez K1 = "1 a
moga¾ przyjmować wartości
(361)
2,
K2 = "2 b
2,
a "1 i "2
1, 0, 1. Sześć …zycznych geometrii opisanych ta¾ metryka¾ przedstawione
102
r+ ).
5
¾
103
sa¾ w tabeli
rozmaitość
topologia
"1
"2
Minkowski
M2
E2
0
0
Plebański-Hacyan
M2
S2
0
1
Plebański-Hacyan
AdS2
Nariai
E2
dS2
Bertotti-Robinson
anty-Nariai
1
S2
0
1
AdS2
S2
1
AdS2
H2
1
1
1
1
Niezerowe elementy tensora energii-pedu
¾ dla tych sześciu geometrii moz·na napisać w zwartej postaci
Tu = Tv =
8
2"1 b6 + "21 b4 "2 a2 "2 a6 (2c3 + c4 + 2c5 )
"21 "2
2
b2 a4
b6 a6
T =T =
8
" 1 b6
"22 "1 c3
+2
a2 b4
gdzie ci =
(s)
i .
u
v
"22 "1 b2 a4
2"1 b6
"2 a6 (2c3 + c4 + 2c5 ) "1 b6
+
b6 a6
"2 a6 (c6 + c7 + 2c8 + 4c9 )
b6 a6
(362)
2"2 a6 (c6 + c7 + 2c8 + 4c9 )
b6 a6
(363)
Moz·na pokazać, z·e tensor (359) i (360) obliczony dla geometrii BertottiegoRobinsona, Nariai oraz Plebański-Hacyana (M2 S 2 ) redukuje sie¾ do (362) i (363) poprzez zwiazek
¾
a2 =
gdzie "3 =
2"3
00
jf (r+ )j
oraz b = r+ ,
(364)
1 dla geometrii Nariai oraz "3 = 1 dla geometrii Bertottiego-Robinsona.
Dalsze rozwaz·ania wymagaja¾ konkretnej specy…kacji metryki. Metryka czasoprzestrzeni ABGB(AdS)ds ma postać
ds2 =
1
2M
r
1
tanh
gdzie sta÷a kosmologiczna
Q2
2Mr
"l2 r2
3
dt2 +dr2 = 1
jest wyraz·ona poprzez
2M
r
1
tanh
Q2
2Mr
"l2 r2
+r2 d
3
(365)
= "l2 a " przyjmuje odpowiednio -1 i 1 dla
dodatniej lub ujemnej sta÷
ej kosmologicznej. W otoczeniu centrum czarnej dziury tensor energii-pedu
¾
da¾z·y do skończonej i opisanej prosta¾ formu÷a¾ wartości
Ta(i)b =
1 6
"l (144c3 + 36c4 + 24c5 + 9c6 + 9c7 + 6c8 + 4c9 + 2c10 ) diag[1; 1; 1; 1]ba ;
9
(366)
gdzie wyraz·enie w nawiasach redukuje sie¾ do
1
185
315
3654 + 22680
2
45360
3
(367)
dla pola skalarnego
31
1260
103
(368)
2
;
104
5
¾
Rysunek 15: Przeskalowane sk÷adowe tensora energii-pedu
¾ konforemnie sprze¾z·onego masywnego pola
skalarnego w pobliz·u horyzontu ultraextremalnego regularnej czarnej dziury. Krzywe od góry do do÷
u
reprezentuja¾ odpowiednio radialna,
¾ czasowa¾ i kontowa¾ sk÷adowa.
¾ [ = M 6 m2 =102 ]
dla spinorowego oraz
5
21
(369)
dla wektorowego.
Aby przeanalizowac tensor energii-pedu
¾ wewnatrz
¾ czarnej dziury wprowadzmy dwie funkcje
1
tanh
Q2 =2Mr
Q2 =2Mr
, ! (r) = 1 + tanh
tensor energii-pedu
¾ moz·na wyrazić w postaci
(i)b
Ta
15
=
6
6
2
8
1 X XXXX
[
M6
(r) =
oraz dwa parametry q = jQj =M, = lM. Wtedy
(i)
bq
npstu ]a
n=1 p=1 s=1 t=0 u=1
2s l2t
xn
! p (x)
u
(x) + Ta(i)b ;
(370)
gdzie pierwszy cz÷on znika gdy r ! 0. Róz·nica pomiedzy
¾
radialna¾ i czasowna¾ sk÷adowa¾ tensora
energii pedu
¾ wynosi
r
Tr
t
T t = gtt F (r)
(371)
gdzie funkcja F (r) jest regularna z wartościa¾ F (0) = 0 zatem tensor energii-pedu
¾ jest regularny w
sensie …zycznym. Tensor (370) ma bardzo skomplikowana¾ postać dlatego wygodniej jest przedstawić
jego analize¾ numeryczna.
¾
Skupmy sie¾ na przypadku ultraextremalnym i regularnym dla pola skalarnego (dla pól spinorowego
i wektorowego zachowanie tensora energii-pedu
¾ jest podobne). Analiza zachowania tensora energiipedu
¾ pokazuje (rysunek 15 - 17), z·e chociaz· w okolicy centrum symetrii oraz zdegenerowanego horyzontu tensor energii-pedu
¾ jest ma÷y to jest ca÷
kiem duz·y w rejonie 0:003 < x < 0:25. Stosunek
104
5
¾
105
¾ konforemnie sprze¾z·onego masywnego pola
skalarnego w pobliz·u horyzontu ultraextremalnego regularnej czarnej dziury. Krzywe od góry do do÷
u
6
2
2
w punkcie x= 0.1 reprezentuja¾ odpowiednio radialna,
¾ czasowa¾ i kontowa¾ sk÷adowa.
¾ [ = M m =10 ]
skalarnego pola kwantowego w otoczeniu centrum czarnej dziury. Tensor w centrum jest identyczny z odpowiednikiem dla geometrii de Sittera. [ = M 6 m2 =102 ]
105
106
5
¾
maksymalnej wartości tensora do jego wartości w otoczeniu horyzontu ekstremalnego (xcrit ) i centrum symetrii x = 0 wynosi Tab
max
= Tab
xcrit
107 i Tab
max
= Tab
x=0
109 . Rysunek 16 ujaw-
nia, z·e znajduje sie¾ obszar w którym tensor energii-pedu
¾ jest ujemny. Zachowanie tensora stwarza
dwa pytania. Pierwsze to pytanie czy pólklasyczne przybliz·enie jest dozwolone w tym obszarze.
Odpowiedź brzmi tak bo d÷ugość Comptona zwiazana
¾
z polem jest znacznie mniejsza od charakterystycznej krzywizny geometrii. Drugie pytanie dotyczy asymptotycznych szeregów i pytania czy
kolejne poprawki do dzialania efektywnego maja¾ bardzo niewielki wk÷ad w stosunku do pierwszego
(2)
(1)
przybliz·enia (Wren =Wren < 1). Obliczenia wykonane przy pomocy algebry symbolicznej mówia,
¾ z·e
tak ale wymagane jest określenie dla danej masy czarnej dziury minimalnej dozwolonej masy pola.
Tensor energii-pedu
¾ moz·na porównać do przypadku czarnej dziury Reissnera-Nordströma-de Sittera. Kon…guracja ultraextremalna scharakteryzowana jest poprzez dobór parametrów rozwiazania
¾
2
1 2
1
M = r+ ; e2 = r+
; l 2 = r+ 2 ;
3
2
2
dla elementu liniowego (358) z
(372)
(r) = 0 oraz
f (r) =
r2
1
2
6r+
r+
r
3
1+
3r+
r
:
(373)
Tensor energii-pedu
¾ ma dla tego przypadku postać
(i)b
Ta
=
12
X
[
n 6
(i) b r+
n ]a
n
r
n=4
gdzie
i b
5 a
= 0; oraz
+ Ta(i)b ;
(374)
(i)b
zalez·a¾ od spinu pola oraz . Tensor Ta
ma postać (366) z wartościa¾ l
(372).
5.3
Wielowymiarowa sferycznie symetryczna czarna dziura w teoriach wysokiego
rzedu
¾
Analogonem rozwiazania
¾
Schwarzschilda dla przestrzeni D-wymiarowej jest rozwiazanie
¾
Tangherliniego [192, 193]. Rozszerzenie klasycznej teorii do teorii z wyz·szymi cz÷onami krzywiznowymi moz·e
zmody…kować rozwiazanie
¾
Tangherliniego. W dalszej cześci
¾ pracy rozpatrywana bedzie
¾
teoria zawierajaca
¾ cz÷ony krzywiznowe drugiego, czwartego i szóstego rzedu
¾ bez pól materii z pominieciem
¾
sta÷ej kosmologicznej. Teoria taka jest reprezentowana przez dzia÷anie
I = I1 + I2 + I3
106
(375)
5
¾
107
bed
¾ ace
¾ suma¾ wyrazów
Z
I1 = a dD x( g)1=2 R,
Z
I2 = dD x( g)1=2 b1 R2 + b2 Rab Rab + b3 Rabcd Rabcd ,
Z
I3 = dD x( g)1=2 c1 R3 + c2 RRab Rba + c3 RRabcd Rcdab + c4 Rab Rcd Rbdac + c5 Rab Rbc Rca
+c6 Rab Rbcde Rdeac + c7 Rabcd Rcdef Refab + c8 Rceab Rafcd Rbdef ,
gdzie a = (16 GD )
1
I
( g)1=2 gab
(376)
(377)
(378)
1.
Geometrie¾ takiej czasoprzestrzeni moz·na znaleźć rozwiazuj
¾ ac
¾ równania pola
= 0, lub równania skonstruowane przy uz·yciu metody zredukowanego dzia÷
ania [177, 194,
195]. Stosowanie metody zredukowanego dzia÷
ania jest zasadne, poniewaz· rozwaz·any bedzie
¾
przypadek czasoprzestrzeni sferycznie symetrycznej. Element liniowy statyczny i sferycznie symetryczny
dla D = d + 2 wymiarowej czasoprzestrzeni ma postać ds2 =
d
2
D 2
oznacza element liniowy D
f 2 (r)dt2 + h
2 (r)dr 2 + r 2 d 2
D 2,
gdzie
2 wymiarowej sfery jednostkowej. Podstawowym sk÷
adnikiem
dzia÷ania I jest tensor Riemanna, którego postać dla rozwaz·anej metryki wynosi
Rij km = r
Rtr tr =
2
(1
f
1
k m
i j
h2 )
m k
i j
h(f 0 h)0 ; Rti tj =
r
; Rir jr =
1
f
r
1
hh0 ji ,
1 2 0 j
h f i,
(379)
(380)
gdzie prim oznacza pochodna¾ po r. Po wstawieniu powyz·szych tensorów do dzia÷
ania I i wyliczeniu
pochodnej funkcjonalnej ze wzgledu
¾ na funkcje f i h otrzymuje sie¾ uk÷ad równań pola.
Na potrzeby tej pracy równania pola obliczone zosta÷
y przy pomocy grupy programów przedstawionych na rysunku 18. Pierwszy z programów „Ired ” (jezyk
¾
Form) oblicza jawna¾ postać dzia÷
ania
zredukowanego dla przypadku sferycznej symetrii. W obliczeniach wykorzystywane sa¾ toz·samości
(379-380). Drugi program „Form!Maple”(jezyk
¾
Perl) dokonuje translacji zredukowanego dzia÷
ania
ze sk÷adni jezyka
¾
Form do sk÷adni jezyka
¾
Maple. Ostatni z programów „Field Eq”generuje dwa równania pola wykonujac
¾ pochodna¾funkcjonalna¾po funkcjach f i h. Uk÷ad tych równań moz·na uprościć
po podstawieniu f 2 (r) = e2
(r)
1
2m(r)
rd 1
, h2 (r) = 1
2m(r)
.
rd 1
Pozostaje on jednak nadal zbyt skom-
plikowany, aby otrzymać dok÷adne rozwiazanie.
¾
Nalez·y zatem poszukać rozwiazania
¾
przybliz·onego
przy wykorzystaniu metody perturbacyjnej. Aby uz·yć metody perturbacyjnej nalez·y za÷
oz·yć, z·e
cz÷
¾ maja¾ nieporównywalnie mniejszy wk÷ad niz· cz÷
ony niz·szych rzedów.
¾
Pociaga
¾
to za soba¾ za÷
oz·enia, z·e wspó÷czynniki bi i ck spe÷niaja¾ warunki jbi j =a << 1 i jck =bi j << 1 dla
i = 1; ::; 3 i k = 1; :::; 8. Rozwiazanie
¾
moz·na przedstawić przy pomocy funkcji m(n) (r) i (n) (r),
gdzie n oznacza rzad
¾ perturbacji. Równania pola zerowego rzedu
¾ dla m(0) (r) i
(0)
(r) daja¾ klasyczne
rozwiazania
¾
Tangherliniego [192]
m(0) (r) = M0 (r) = C,
(0)
(r)
=
107
0 (r)
= B,
(381)
108
5
¾
Rysunek 18: Realizacja programistyczna obliczeń równań pola przy wykorzystaniu metody dzia÷ania
zredukowanego. Projekt oparty jest na wielu jezykach
¾
jezyka:
¾
niebieski - Form, szary - Perl, zielony - Maple.
jeśli zastosowane zostana¾ naturalne warunki asymptotycznej p÷
askości
(0)
(1) = 0. Rozwiazanie
¾
Tangherliniego jest D-wymiarowym uogólnieniem rozwiazania
¾
Schwarzschilda i jest ono opisane metryka¾
ds2 =
1
2C
rD 3
dt2 + 1
2C
rD 3
2
dr2 + r2 d
2
D 2.
(382)
W czterech wymiarach rozwiazanie
¾
to jest tez· rozwiazaniem
¾
równań w przybliz·eniu s÷
abego pola,
¾ C = M. Analogicznie, rozszerzajac
¾ rozwaz·ania
gdzie gtt = grr1 = 1 + 2 a = M=r, a wiec
do teorii D-wymiarowej, moz·na znaleźć relacje¾ pomiedzy
¾
sta÷a¾ C, a masa¾ czarnej dziury M, która
wynosi [196, 197, 198, 199]
C=
8 GD
M,
d! d
(383)
gdzie parametr ! d to powierzchnia sfery jednostkowej wynoszaca
¾
!d =
Funkcje
rzedu
¾ (n
m(n) = m(n)
m(n
1)
(n)
i
2 (d+1)=2
.
((d + 1) =2)
=
(n)
(n 1)
(384)
oznaczaja¾ poprawki do rozwiazania
¾
1). Pierwsze z nich wynosza¾
m(1) =
(1)
2C 2 b3
(d
a rd+1
= 0.
108
2)(d
1),
(385)
5
¾
109
Rysunek 19: Realizacja programistyczna obliczeń jawnej postaci obiektów Rk . Projekt oparty jest
na wielu jezykach
¾
¾
niebieski - Form, szary Perl, zielony - Maple.
Drugi rzad
¾ obliczeń daje bardziej skomplikowany wynik [200] w postaci
C 3 (d 1)
4c3 d(5 + 8d + 3d2 ) 2c6 (3 5d2 2d3 ) 2c7 (10 + 16d 21d2 7d3 )
ar2+2d
1
8b1 b3
8b23
+ c8 (2 + 25d 24d2 7d3 )
(d 2)(d + 1)(3d + 5)
(d 2)(4d2 + 19d + 9)
2
a
a
16b2 b3
C 2 (d2 1) (d + 1)
(d 2)(d + 1)(d + 2)
[8c3 d c6 (2 3d) + 12c7 (d 1)
a
a rd+3
12b2 b3
32b23
16b1 b3
(d 2)
(d 2)
(d 2)],
(386)
3c8 (d 1)
a
a
a
C 2 (d2 1)
3
(2)
=
4c3 d(3 + 2d) 2c6 (1 2d d2 ) 6c7 (2 2d d2 ) + c8 (2 3d d2 )
2
a r2d+2
2
8b1 b3
8b2 b3
8b3
(d 2)(2d + 3)
(d 2)(d + 2)
(d 2)(2d + 5)].
(387)
a
a
a
m(2) =
Powyz·sze rozwiazanie
¾
jest uogólnieniem rozwiazań
¾
juz· istniejacych.
¾
Otrzymana metryka dla D =
4 redukuje sie¾ do wyników pracy Lu i Wise’a [84]. Jeśli natomiast w równaniu (378) jedynie sta÷
a c7
(spośród ci ) jest niezerowa to odtworzony zostanie wynik pracy Dobado i Lopeza [94]. Metryk¾
e moz·na
zdegenerować do przypadku grawitacji Lovelocka wybierajac
¾ szczególne wartości parametrów a, bi ,
ck . Aby odnaleźć wartości tych parametrów, nalez·y obliczyć jawna¾ postać lagranz·janu Lövelocka, co
prowadzi do konieczności obliczeń obiektów Rk . Obliczenia te realizowane sa¾ przez trzy programy
przedstawione na rysunku 19. Pierwszy z programów o nazwie „Rk ” oparty jest na jezyku
¾
Form
i oblicza obiekty Rk korzystajac
¾ z de…nicji (21). Drugi z programów - „Form ! Invar” oparty na
jezyku
¾
Perl dokonuje translacji wygenerowanego wyniku do sk÷
adni odpowiedniej dla pakietu Invar.
Trzeci z programów - „Upr” dokonuje uproszczeń Rk przy pomocy pakietu Invar (jezyk
¾
Maple).
Obliczenia Rk wykonuje równiez· program oparty na jezyku
¾
programowania Mathematica (ry-
sunek 20).
109
110
5
¾
Rysunek 20: Realizacja programistyczna obliczeń jawnej postaci obiektów Rk . Czerwony kolor bloku
¾
Mathematica.
Rysunek 21: Realizacja programistyczna obliczeń jawnej postaci obiektów Rk . Obliczenia oparte na
pakiecie GiNaC. Projekt oparty jest na wielu jezykach
¾
jezyka:
¾
…oletowy - pakiet GiNaC, szary - Perl, czerwony - Mathematica.
Kolejny sposób obliczania „Rk ” oparty jest na pakiecie GiNaC (kolor …oletowy bloków), który
rozszerza funkcjonalność jezyka
¾
C++ (rysunek 21).
Wygenerowane przez programy obiekty R1 , R2 , i R3 to
R1 = R,
R2 =
4Rab Rab + R2 + Rabcd Rabcd ,
R3 = 16Ra c Rab Rbc
12Rab Rab R + R3 + 24Rab Rcd Racbd + 3RRabcd Rabcd
24Rab Ra cde Rbcde
8 Ra e c f Rabcd Rbf de + 2Rab ef Rabcd Rcdef .
(388)
Na podstawie powyz·szych wyników moz·na wywnioskować, z·e a = 1 ; bi = 2~bi i ci = 3 c~i , gdzie
~b1 = ~b3 = ~b2 =4 = 1, c~1 = 1, c~2 = 12, c~3 = 3, c~4 = 24, c~5 = 16, c~6 = 24, c~7 = 2, c~8 = 8. Po
uproszczeniu i wyraz·eniu C przez mase¾ M moz·na otrzymać wyraz·enie f 2 (r) = h2 (r), gdzie
h2 (r) = 1
+
3 M2
16 M
+
4096
d ! d rd 1
d2 ! 2d r2d
4 M3
3 65536 3 3 3d+1 (d
d !dr
4)(d
2
1
3)(d
110
512
2M
d! d rd+1
2)(d
1).
(d
2)(d
1) (d
2)(d
1)
(389)
5
¾
111
Powyz·sze równanie poprawnie odtwarza typowa¾ w÷asność teorii Lovelocka, jaka¾ jest przejście w
rozwiazania
¾
klasyczne, gdy D = 4 (d = 2). Rozwiazanie
¾
staje sie¾ wtedy metryka¾ Schwarzschilda
(dwa ostatnie cz÷
ony wynosza¾ zero).
Entropia wielowymiarowej czarnej dziury moz·e być obliczona przy uz·yciu róz·nych metod. Jedna¾
z nich jest uogólnienie toz·samości (8) z czterech do D-wymiarów. Entropie¾ moz·na przedstawić w
postaci ca÷
ki powierzchniowej
AH
S=
+4
4GD
Z
@L ? ? p d
g g
d gd x,
@Rabcd ac bd
(390)
H
gdzie g ? to metryka podprzestrzeni ortogonalnej do horyzontu zdarzeń [51,106,47]. Obliczenie entropii moz·na wykonać w trzech krokach. Pierwszym jest parametryzacja metryki poprzez po÷
oz·enie
horyzontu zdarzeń r+ , a nie poprzez sta÷
a¾ ca÷
kowania C. Wymaga to obliczenia po÷oz·enia horyzontu
zdarzeń
r+ = (2C)1=(d
1)
d
2
a
b3 (2C)
1=(d 1)
1
1
c7 [2 (d 1)(5d 4)d] + c8 (10
2
8
1
+ b23 (d 2)(4 + 6d 13d) ,
2a
1
(2C)
a
3=(d 1)
13d + 12d2
c3 (d2
5d3 )
1
1)d + c6 (d2
2
2
(b1 b3 + b2 b3 )(d2
a
1)(d
1)(d
1)
2)
(391)
a nastepnie
¾
wyraz·eniu sta÷ej C poprzez r+ za pomoca¾ powyz·szej relacji. Moz·na zauwaz·yć, z·e dla
D = 4 (d = 2) po÷oz·enie horyzontu zdarzeń odtwarza wynik pracy Lu i Wise’a [84]
r+ = 2GM 1
G3 M 4
3
6c3 + 5c7 + c6
2
c8
.
(392)
Po ca÷kowaniu równania (390) entropia przyjmuje postać
S =
AH
d
d 2
+ 4 ! d r+
" 2b1 R + 2b2 pq Rqp + 4b3 Rtr tr jH + 4 ! d r+
" c3 Riem2
4Gd
h
i
h
io
+c6 2(Rtr tr )2 + Rpiqj Rqjpi + 12c7 (Rtr tr )2 + 3c8 Rti tj Rrjri (Rtr tr )2
,
jH
(393)
gdzie Riem2 = Rabcd Rabcd . Wszystkie wielkości obliczane sa¾na horyzoncie zdarzeń, a sposób sumowania zalez·ny jest od rodzaju indeksów: p; q = 0; 1 (czas, wspó÷rzedna
¾
r), a i; j = 2; :::; d + 1. Parametr
" ma charakter informacyjny: potega
¾ przy parametrze " informuje o rzedzie
¾
dok÷adności obliczeń
(im wyz·sza potega
¾ w rozwiazaniu
¾
tym stopień dok÷adności wyz·szy). Z równania (393) wynika, z·e
aby obliczyć entropie¾ w drugim rzedzie
¾
wystarczy znać obiekty krzywiznowe w pierwszym rzedzie
¾
dok÷adności (Dodatek: „D-wymiarowe obiekty krzywiznowe w pierwszym rzedzie
¾
przybliz·enia”). Po
111
112
5
¾
wyraz·eniu w jawny sposób obiektów krzywiznowych entropia (393) wynosi
d 4
d!
! d r+
r+
1
d
d 2
+
b3 (d 1)dr+
!d
(d 2)(d 1)d(d + 1) b1 b3 + b2 b3 + 3b23
4GD
2aGD
2a2 GD
d (d 1)
1
3
d 4
+
! d r+
d(d + 1)c3 + (d2 1)c6 + 3d(d 1)c7
(394)
(d 1)2 c8 .
4aGD
2
4
S=
Moz·na zauwaz·yć, z·e zasada „entropia=1/4 powierzchni horyzontu zdarzeń” zosta÷a z÷amana.
Entropia moz·e być równiez· obliczona przy wykorzystaniu toz·samości dM = T dS, która po
R
ca÷
kowaniu przybiera postać S = T 1 dM + S0 . Sta÷
a¾ ca÷kowania S0 moz·na wyznaczyć poprzez
…zycznie umotywowany warunek, z·e entropia znika kiedy promień horyzontu zdarzeń da¾z·y do zera
[129,201]. Entropia policzona ta¾ metoda¾ jest identyczna z (394).
Do uproszczeń entropii prowadzi przekszta÷cenie jej w taki sposób, aby zalez·a÷a nie od po÷
oz·enia
horyzontu zdarzeń r+ , ale sta÷ej C (lub masy M). Takie przekszta÷
cenie powoduje, z·e ma ona postać
S =
!d
(2C)d=(d
4GD
1
c8 4 + 5d
4
1)
"! d
"2 ! d
(2C)(d 2)=(d 1) d2 b3 +
(2C)(d
4aGD
8aGD
1 2
6d2 + d3
b (d 2)2 (1 + 2d) .
a 3
+
4)=(d 1)
c7 2 + 2d
3d2 + d3
(395)
Uproszczenie polega na zmniejszeniu liczby sta÷ych bi i ci , poniewaz· wynik zalez·y juz· tylko od parametrów b3 ; c7 i c8 . Brak niektórych sta÷
ych bi i ci w entropii moz·na zauwaz·yć juz· po obliczeniu
temperatury Hawkinga
T =
+
d
1
4
(2C)
1=(d 1)
(d
2)(d
4 a
1)d
b3 (2C)
d 1
c7
(2C) 5=(d 1) f
(d 4)[2 + (d
4 a
2
b23
(d 2)2 (4 + 7d 4d2 )g.
2a
2)(d
3=(d 1)
1)d] +
c8
(d
8
4)[4 + (d
5)(d
1)d]
(396)
Ograniczajac
¾ do przypadku czasoprzestrzeni czterowymiarowej D = 4 (d = 2) moz·na otrzymać
S = 4 GM 2 + 64
2
"b3 +
2 2
(4c4 + c8 ) "2 .
G2 M 2
(397)
Wynik róz·ni sie¾ od obliczeń Lu i Wise’a [84], poniewaz· w swoich obliczeniach zaniedbali oni cz÷
on
Gaussa-Bonetta.
Sprowadzenie wyniku do przypadku grawitacji Lovelocka redukuje entropie¾ do
S=
d!
r+
d
4GD 1
1
+
2 2
2 d(d
r+
1) +
112
3 3
4 d(d
r+
3)(d
2)(d
1) .
(398)
5
¾
113
Identyczny wynik moz·na otrzymać z formu÷y
S=
m
d X
! d r+
nd
c^n (r+2 )n
4GD
d + 2 2n
1
dla m = 3,
n=1
określajacej
¾ dok÷adna¾ postać entropii dla grawitacji Lovelocka [129], co moz·e byc potraktowane jako
kolejny test poprawności obliczeń.
Znajac
¾ temperature¾ Hawkinga (396), poprzez analize¾ pojemności cieplnej CBH = @M=@T , moz·na
stwierdzić czy czarna dziura jest termodynamicznie stabilna. Dla czarnej dziury Tangherliniego
pojemność cieplna ma postać
T
CBH
=
d! d
4GD
d 1
4 T
d
,
(399)
zatem jest ciagle
¾ ujemna. Oznacza to, z·e dla d > 1 czarna dziura jest niestabilna. Po uwzglednie¾
niu w teorii wyz·szych cz÷
onów krzywiznowych metryka Tangherliniego nie jest juz· rozwiazaniem
¾
i
pojemność cieplna ulega mody…kacji
T
CBH = CBH
+
CBH ,
(400)
gdzie
CBH
=
!d
1 d 2
d! d
d 1 d
2 d
(d 3)(d 2)d
b3 +
(d 5)(d 4)
4aGD
4 T
8aGD
4 T
1
1
1
(d 2)2 (d + 1)2 b23 + [8 + 4(d a)(d 1)d] c7
[4 (d 5)(d
a
4
4
4
1)d] c8 .
(401)
Powyz·sza poprawka
CBH sprawia, z·e istnieje moz·liwość zmiany znaku CBH ze wzgledu
¾ na wybór
określonej wartości sta÷ych sprze¾z·enia. Nalez·y pamietać,
¾
z·e powyz·sze wyraz·enie jest przybliz·eniem,
które za÷
amuje sie¾ dla czarnych dziur o bardzo ma÷ej masie.
113
6
114
6
Metody komputerowe w kwantowej teorii pola w zakrzywionej czasoprzestrzeni: szczegó÷
y
obliczeniowe
Metody komputerowe w kwantowej teorii pola w zakrzywionej
czasoprzestrzeni: szczegó÷
y obliczeniowe
W tym rozdziale przedstawiona jest struktura projektów komputerowych. W podrozdziale 6.1 znajduje sie¾ opis projektów dotyczacych
¾
obliczeń wspó÷
czynników HaMiDeW. W podrozdziale 6.2 przedstawiona jest analiza efektywności metod obliczeń wspó÷czynników HaMiDeW [an ] oraz samych
jezyków
¾
komputerowych. W podrozdziale 6.3 znajduje sie¾ opis projektów dotyczacych
¾
obliczeń
tensora energii-pedu.
¾
Wyniki generowane przez te programy prezentowane by÷y w rozdziale 5.
6.1
6.1.1
Wspó÷
czynniki HaMiDeW - projekty programistyczne
¾
kowariantnej - sposób podstawowy
Projekt ten opiera sie¾ na jezyku
¾
TForm23 i jest zmody…kowanym projektem opartym na jezyku
¾
Form prezentowanym w podrozdziale 5.1.1. Mody…kacja polega na dostosowaniu go do obliczeń
równoleg÷
ych (wykorzystujacych
¾
wiele procesorów na raz). Sumaryczny czas obliczeń wykonanych
na komputerze z procesorem czterordzeniowym trwa wtedy oko÷
o 2,5 raza krócej.
6.1.2
¾
Mathematica oparty na metodzie rekurencyjnej jawnie
Obliczenia metoda¾ rekurencyjna¾ jawnie kowariantna¾ - sposób podstawowy zosta÷y wykonane równiez·
za pomoca¾ projektu programistycznego opartego na jezyku
¾
Mathematica (rysunek 22, czerwony
kolor bloków oznacza program napisany w jezyku
¾
Mathematica).
To, co odróz·nia projekt
napisany w jezyku
¾
Mathematica od projektu opartego na jezyku
¾
Form i przedstawionego na rysunku
4, to warstwah programistyczna
wynikaj
aca
¾ z odmiennej struktury kaz·dego z jezyków.
¾
Programy
i
h
i
1=2
1=2
„[ a1 :::an ]”, „ a1 :::an ”, „ a1 :::an ” oraz „[an ]” spe÷niaja¾ te¾ sama¾ funkcje,
¾ co bliźniacze odpowiedniki programów jezyka
¾
Form. Nowa¾ cecha¾ jest pojawienie sie¾ dodatkowego programu „Program
koordynujacy”
¾ . Program „Program koordynujacy”
¾
ma za zadanie zautomatyzowanie uruchamiania
kaz·dego z pozosta÷ych programów. Powyz·sza grupa programów umoz·liwi÷
a obliczenie wspó÷czynnika
[a3 ].
6.1.3
¾
Obliczenia zosta÷y wykonane równiez· za pomoca¾ projektu opartego na jezyku
¾
Maple (rysunek 23,
kolor bloków zielony oznacza, z·e program jest napisany w jezyku
¾
Maple). Uz·yte programy odróz·niaja¾
sie¾ od analogicznych napisanych w jezyku
¾
Form (rysunek 4) i Mathematica (rysunek 22) warstwa¾programistyczna.
¾ Jezyk
¾
Maple pozwala manipulować wyraz·eniami matematycznymi podobnie jak Form
23
TForm jest to wersja jezyka
¾
Form umoz·liwiajaca
¾ wykorzystywanie wielu procesorów jednocześnie.
114
6 Metody komputerowe w kwantowej teorii pola w zakrzywionej czasoprzestrzeni: szczegó÷
y
obliczeniowe
115
Rysunek 22: Szczegó÷owa struktura Wren w przypadku obliczeń wspó÷czynników HaMiDeW metoda¾
¾ Czerwony kolor bloku oznacza, z·e program zosta÷napisany w
jezyku
¾
Mathematica.
115
6
116
y
obliczeniowe
¾ Zielony kolor bloku oznacza, z·e program zosta÷napisany w jezyku
¾
Maple.
116
y
obliczeniowe
117
Rysunek 24: Szczegó÷owa struktura Wren w przypadku obliczeń wspó÷
¾ Pomarańczowy kolor bloku oznacza, z·e program zosta÷napisany
w jezyku
¾
Lisp.
i Mathematica w sposób symboliczny,
¾
tym
h jednak
i w jhezyku
i manipulacje te sa¾ o wiele bardziej skom1=2
1=2
plikowane. Programy „[ a1 :::an ]”, „ a1 :::an ”, „ a1 :::an ”oraz „[an ]”spe÷niaja¾ ta¾ sama¾ funkcje,
¾ co
bliźniacze odpowiedniki programów jezyka
¾
Form i Mathematica. Grupa tych programów umoz·liwi÷
a
obliczenie wspó÷czynnika [a3 ].
6.1.4
¾
Lisp oparty na metodzie rekurencyjnej jawnie kowariantnej - sposób podstawowy
Obliczenia zosta÷
y wykonane równiez· za pomoca¾ projektu opartego na jezyku
¾
Lisp (rysunek 24,
kolor pomarańczowy bloku oznacza, z·e program jest napisany w jezyku
¾
Lisp). Programowanie
przy uz·yciu jezyka
¾
Lisp róz·ni sie¾ od programowania w jezyku
¾
Form, Maple i Mathematica tym,
z·e jest to jezyk
¾
niz·szego poziomu, który jest nieprzystosowany do obliczeń symbolicznych. Struktura
jezyka
¾
Lisp nie pozwala wykonywać automatycznie upraszczania równań na sposób symboliczny
(np. 3ab + 2ab = 5ab), dlatego nalez·y takie operacje samodzielnie zaimplementować do jezyka.
¾
Celem bloku „Procedury pomocnicze” jest stworzenie operacji, które emuluja¾ polecenia podobne do
tych, które posiada jezyk
¾
Form, Mathematica i Maple, a tym samym stworzenie struktury jezyka
¾
wysokopoziomowego przystosowanego do matematycznych obliczeń symbolicznych.
¾ „[ani]”
i Cz
h eść
h
1=2
1=2
wykonuje wszystkie operacje wykonywane przez programy „[ a1 :::an ]”, „ a1 :::an ”, „ a1 :::an ”,
„[an ]” w jezyku
¾
Form (rysunek 4), Mathematica (rysunek 22) i Maple (rysunek 23). W oparciu
117
6
y
obliczeniowe
118
rekurencyjna¾ jawnie kowariantna¾ zmody…kowana¾ typu I. Niebieski kolor bloku oznacza, z·e program
¾
Form.
o te¾ metode¾ obliczono wspó÷
czynnik [a3 ].
6.1.5
¾
Form oparty na metodzie rekurencyjnej jawnie kowariantnej - mody…kacja I
Metoda rekurencyjna jawnie kowariantna - sposób podstawowy nie pozwala obliczyć wspó÷
czynnika
[a5 ], moz·liwa jest jednak taka jej mody…kacja (mody…kacja I), która bedzie
¾
to umoz·liwia÷a (rysunek
25). Celem mody…kacji I jest zmniejszenie objetości
¾
wyników pośrednich. Pierwszy blok „[an
oznacza grupe¾ programów liczac
¾ a¾ wspó÷czynnik [an
1]
metoda¾ rekurencyjnie jawnie kowariantna¾
sposób podstawowy. Grupa ta generuje odpowiednie granice koincydencji pochodnych ,
i ai niezbedne
¾
do obliczeń [an
1 ].
1 ]”
1=2 ,
1=2
Próba obliczeń [a5 ] przy pomocy programów sposobu podstawowego
nie jest moz·liwa poniewaz· wymaga÷oby to obliczeń obiektu [
a1 :::a12 ],
którego wielkość wynosi÷aby
az· kilkadziesiat
¾ gigabajtów. Jednym z rozwiazań,
¾
pozwalajhacym
¾
unikn
¾ problemu obliczenia obieki ać
1=2
tów o tak duz·ej wielkości, jest uz·ycie do obliczeń [a5 ] nie
· nie [ a1 :::a12 ],
a1 :::a10 , a zatem równiez
ale
5
1=2
i w konsekwencji
5
wyników
1=2
i
6
6
. Zabieg ten jest istota¾ sposobu zmody…kowanego I. Objetość
¾
jest kilkadziesiat
¾ razy mniejsza, przez co operowanie nimi za pomoca¾
jezyka
¾
Form jest nieporównywalnie prostsze. Obliczenia
gram „
n
1=2
”i „
n+1
5
1=2
i
6
realizowane sa¾ przez pro-
”. Grupa programów „[an ]” oblicza wspó÷czynnik [an ], wykorzystujac
¾
wyniki grupy programów „[an
1 ]” oraz
„
n
1=2
”.
118
y
obliczeniowe
119
rekurencyjna¾ jawnie kowariantna¾ zmody…kowana.
¾ Czerwony kolor bloku oznacza, z·e program zosta÷
napisany w jezyku
¾
Mathematica.
6.1.6
¾
Zoptymalizowanie powyz·szych programów pod katem
¾
obliczeń równoleg÷ych (jezyk
¾
TForm) powoduje
przyspieszenie obliczeń na komputerze z procesorem czterordzeniowym oko÷o 2,5 raza.
6.1.7
¾
Zasada dzia÷
ania projektu opartego na jezyku
¾
Mathematica (rysunek 26) jest podobna do zasady
dzia÷ania projektu opartego na jezyku
¾
Form (rysunek 25). Programy „[an
„
n+1
1 ]”,
„[an ]”, „
n
1=2
”i
”spe÷niaja¾ te¾ sama¾ funkcje,
¾ co ich odpowiedniki w jezyku
¾
Form (rysunek 25). W projekcie
wykorzystywany jest równiez· program „Program koordynujacy”
¾ , który automatycznie uruchamia
programy. Metoda ta pozwala obliczyć wspó÷czynnik [a4 ].
6.1.8
¾
Form oparty na metodzie rekurencyjnej jawnie kowariantnej - mody…kacja II
Kolejna mody…kacja metody rekurencyjnej jawnie kowariantnej - mody…kacja II równie
h z· ma iza
1=2
zadanie zmniejszenie objetości
¾
wyników pośrednich (rysunek 27). Programy „[ a1 :::an ] ”, „ a1 :::an ”,
119
6
y
obliczeniowe
120
rekurencyjna¾ jawnie kowariantna¾ zmody…kowana¾ typu II. Niebieski kolor bloku oznacza, z·e program
¾
Form.
h
„
1=2
a1 :::an
i
”, „[an ] ”to odpowiedniki programów „[
h
]”
,
„
a1 :::an
1=2
a1 :::an
i
h
”, „
1=2
a1 :::an
i
”, „[an ]”metody
podstawowej (rysunek 4). Róz·nia¾ sie¾ one od swoich odpowiedników tym, z·e wyniki ich dzia÷
ania nie
zalez·a¾ tylko i wy÷acznie
¾
od tensorów krzywiznowych. Programy te generuja¾ obiekty, które zalez·a¾ od
granic koincydencji pochodnych samych bitensorów ,
1=2 ,
1=2 ,
an . Bitensory te nie sa¾wyraz·one
w jawnej postaci zalez·nej tylko od tensorów Riemanna, w odróz·nieniu od bitensorów wyraz·onych przy
uz·yciu sposobu podstawowego i zmody…kowanego I. Sposób zmody…kowany II pozwala zmniejszyć
objetość
¾
wyników, jednak odbywa sie¾ to kosztem ich niepe÷
nego obliczenia. Kluczowym programem,
dzieki
¾ któremu ze wspomnianych niepe÷
nych obliczeń moz·na otrzymać dowolny wspó÷
czynnik [an ]
obliczony w sposób pe÷ny, jest program „Po÷
acz
¾ tensory”. Program ten, aby obliczyć wspó÷czynnik
[an ] w sposób pe÷ny poczatkowo
¾
pobiera wspó÷czynnik [an ] (obliczony w sposób niepe÷
ny) i stopniowo
podstawia do niego wszystkie wspó÷czynnik niz·szego rzedu
¾ [an 1;ab ], [an 1;a ], [an 1 ], [an 2;abcd ],
[a
¾ h krokui podstawiane
czynniki
h n 2;abc ],i [ahn 2;ab ], [ani 2;ah ], [an 2 ],...,
i [a1h]. W nast
i epnym
h
i sa¾h wspó÷
i
h
1=2
a1 :::a2n
1=2
a1 a2
i
,
1=2
a1 :::a2n
1
,
1=2
a1 :::a2n
2
,...,
1=2
a1 a2
. Końcowym etapem jest podstawienie
oraz
a1 :::a2n+2
1=2
a1 :::a2n
,
,
a1 :::a2n+1
1=2
a1 :::a2n
, [
1
,
1=2
a1 :::a2n
a1 :::a2n ],...,
[
2
,...,
a1 a2 a3 a4 ].
Metoda ta pozwala obliczyć wspó÷czynnik [a5 ].
6.1.9
¾
kowariantnej - mody…kacja II
Programy realizujace
¾ obliczenia w jezyku
¾
Mathematica przedstawione sa¾ na rysunku 28. Sa¾ to
programy analogiczne do napisanych w jezyku
¾
Form (rysunek 27). Jedyna róz·nica to dodatkowy
120
y
obliczeniowe
121
rekurencyjna¾ jawnie kowariantna¾ zmody…kowana¾ typu II. Czerwony kolor bloku oznacza, z·e program
¾
Mathematica.
program „Program koordynujacy”automatyzuj
¾
acy
¾ uruchamianie wszystkich programów. Metoda ta
pozwala obliczyć wspó÷czynnik [a4 ].
6.1.10
¾
kowariantnej - mody…kacja II
¾
Maple sa¾ przedstawione na rysunku 29. Sa¾ to programy
analogiczne, do tych napisanych w jezyku
¾
Form (rysunek 27) i Mathematica (28). Programy te
umoz·liwiaja¾ obliczenie wspó÷czynnika [a4 ].
6.1.11
¾
Lisp oparty na metodzie rekurencyjnej jawnie kowariantnej - mody…kacja II
Projekt realizujacy
¾
Lisp przedstawiony zosta÷na rysunku 30. G÷
ównym programem jest „[an ] +Po÷acz
¾ tensory”sk÷
¾
Cześć
¾ „[an ] ”wykonuje te same
h adajacy
i¾ sie¾h z dwóchi cześci.
operacje, co programy „[
a1 :::an ]
”, „
1=2
a1 :::an
”, „
1=2
a1 :::an
”, „[an ] ”w jezyku
¾
Form (rysunek 27),
Mathematica (rysunek 28) i Maple (rysunek 29). Cześć
¾ „Po÷acz
¾ tensory”spe÷nia te¾ sama¾ funkcje,
¾ co
analogiczny program w pozosta÷ych jezykach.
¾
Blok „Procedury pomocnicze” pe÷ni te¾ sama¾ funkcje,
¾
co odpowiednik dla jezyka
¾
Lisp w metodzie podstawowej. W oparciu o te¾ metode¾ obliczony zosta÷
wspó÷czynnik [a3 ].
121
6
122
y
obliczeniowe
rekurencyjna¾ jawnie kowariantna¾ zmody…kowana¾ typu II. Zielony kolor bloku oznacza, z·e program
¾
Maple.
rekurencyjna¾ jawnie kowariantna zmody…kowana typu II. Pomarańczowy kolor bloku oznacza, z·e
¾
Lisp.
122
y
obliczeniowe
123
czynników HaMiDeW z wykorzystaniem wspó÷czynników Hadamarda. Niebieski kolor bloku oznacza, z·e program zosta÷napisany
w jezyku
¾
Form.
6.1.12
¾
czynników
[an ] z wykorzystaniem wspó÷
czynników Hadamarda - sposób podstawowy
Projekt programistyczny
¾
Form przedstawiony jest na rysunku 31. Programy
h
i
hoparty na
i jezyku
1=2
1=2
„[ a1 :::an ]”, „ a1 :::an ”i „ a1 :::an ”sa¾identyczne z programami projektu programistycznego opartego
na jezyku
¾
Form wykorzystujacego
¾
metode¾ rekurencyjna¾ jawnie kowariantna¾ (rysunek 4). Program
„[Vn ]” s÷uz·y do obliczeń granic koincydencji wspó÷
czynników Hadamarda Vn bazujac
¾ na trzech równaniach (150-152). Ograniczajac
¾ wynik do przypadku czasoprzestrzeni czterowymiarowej d = 4
oraz wykorzystujac
¾ zwiazek
¾
(154) moz·na obliczyć wspó÷
czynniki [an ]. Z relacji (154) wynika, z·e aby
obliczyć wspó÷
czynnik [an ] nalez·y posiadać wspó÷
czynnik [Vn 1 ], a zatem w przypadku [a4 ] bedzie
¾
to [V3 ]. Obliczenia [V3 ] wymagaja¾ uprzednich obliczeń granic koincydencji wspó÷
czynników niz·szych
rzedów,
¾
takich jak: [V2a1 a2 ], [V2a1 ], [V2 ], [V1a1 :::a4 ], [V1a1 a2 a3 ], [V1a1 a2 ], [V1a1 ], [V1 ], [V0a1 :::a6 ], [V0a1 :::a5 ],
[V0a1 :::a4 ], [V0a1 a2 a3 ], [V0a1 a2 ], [V0a1 ] i [V0 ]. Najprostsze z wygenerowanych przez programy wspó÷
czynników to
[V0 ] =
[V0;a1 ] =
1 2 1 1
m
2
2 6
R;a1
R;a1
+
,
24
4
123
R,
(402)
(403)
6
124
y
obliczeniowe
R;a1 a2
R;a1 a2
R;a1 a2
RR;a1 a2
RR;a1 a2
Rpa1 Ra2 p
Ra1 a2 ;p p
+
+ m2
+
+
40
6
120
12
72
12
90
Rpq Ra1 p a2 q
Rpqra1 Ra2 rpq
+
,
(404)
180
180
R2
m2 R
R2
R2 R;p p
R;p p Rpq Rpq
m4 m2 R
+
+
+ 2
+
(405)
[V1 ] =
8
24
288
4
24
8
120
24
720
pqrs
Rpqrs R
+
.
(406)
720
[V0;a1 a2 ] =
Dla wspó÷
czynników [V0 ], [V1 ] relacja (154) prowadzi do dwóch zwiazków
¾
[a1 ] =
2 lim [V0 ] oraz
m!0
[a2 ] = 4 lim [V1 ], co pozwala potwierdzić zgodność tak otrzymanych wspó÷
czynników [a1 ] i [a2 ] z
m!0
wynikami juz· znanymi: (140) oraz (141). W analogiczny sposób wykorzystujac
¾ zwiazki
¾ (154), otrzymano wspó÷czynniki [a3 ] oraz [a4 ].
6.1.13
¾
TForm oparty na metodzie obliczeń wspó÷
czynników
Zoptymalizowanie powyz·szych programów pod katem
¾
obliczeń równoleg÷
ych (jezyk
¾
TForm) umoz·liwia przyspieszenie obliczeń na komputerze z procesorem czterordzeniowym oko÷o 2,5 raza.
6.1.14
¾
czynników [an ] z wykorzystaniem wspó÷
Programy realizuj
ace
¾ iobliczenia
w ijezyku
¾
Mathematica przedstawione sa¾ na rysunku 32). Programy
h
h
1=2
1=2
„[ a1 :::an ]”, „ a1 :::an ”, „ a1 :::an ”sa¾bliźniacze do tych wykorzystywanych do obliczeń wspó÷czyn-
ników HaMiDeW bazujacych
¾
na jezyku
¾
Mathematica (rysunek 22). Programy „[V0 ]” i „[Vn ]” wyko-
rzystuja¾w obliczeniach odpowiednio w÷asności (152) i (151). Wszystkimi programami kieruje g÷ówny
program „Program koordynujacy”
¾ . Projekt ten umoz·liwia obliczenie wspó÷czynników [V2 ] (a tym
samym [a3 ]).
6.1.15
¾
Maple oparty na metodzie obliczeń wspó÷
czynników
Projekt programistyczny napisany w jezyku
¾
Maple przedstawia rysunek 33 (zielony kolor bloków oznacza, z·e program jest napisany w jezyku
¾
Maple). Kaz·dy z programów spe÷nia te same funkcje co ich
odpowiedniki w jezyku
¾
Form (rysunek 31). Grupa programów umoz·liwi÷a obliczenie wspó÷czynnika
[V2 ] (a tym samym [a3 ]).
6.1.16
¾
czynników
Projekt programistyczny napisany w jezyku
¾
Lisp przedstawia rysunek 34 (pomarańczowy kolor
bloków oznacza, z·e program jest napisany w jezyku
¾
Lisp). Cześć
¾ projektu „Procedury pomocnicze”
jest bliźniacza z ta¾ zastosowana¾ w projekcie obliczeń wspó÷czynników HaMiDeW za pomoca¾ metody
124
y
obliczeniowe
125
czynników Hadamarda. Czerwony kolor bloku oznacza, z·e program zosta÷napisany
w jezyku
¾
Mathematica.
czynników HaMiDeW z wykorzystaniem wspó÷czynników Hadamarda. Zielony kolor bloku oznacza, z·e program zosta÷napisany
w jezyku
¾
Maple.
125
6
126
y
obliczeniowe
czynników HaMiDeW z wykorzystaniem wspó÷czynników Hadamarda. Pomarańczowy kolor bloku oznacza, z·e program zosta÷
napisany w jezyku
¾
Lisp.
jawnie kowariantnej - podstawowej w jezyku
¾
Lisp h(24). G÷
¾ „
iówna
h cześć
i[Vn ]” wykonuje wszystkie
1=2
1=2
operacje wykonywane przez programy „[ a1 :::an ]”, „ a1 :::an ”, „ a1 :::an ”, „[V0 ]”, „[Vn ]” w jezyku
¾
Form (rysunek 31), Mathematica (rysunek 32) i Maple (rysunek 33). Programy umoz·liwiaja¾ obliczenie wspó÷czynnika [V2 ] (a tym samym [a3 ]).
6.1.17
¾
czynników
czynników Hadamarda - mody…kacja I
Aby obliczyć wspó÷czynnik [a5 ] nalez·y posiadać wspó÷czynnik [V4 ]. Metoda podstawowa nie umoz·liwia obliczeń tego wspó÷czynnika bez uprzedniej jej mody…kacji (rysunek 35). Mody…kacja ma ten sam
charakter, co w przypadku obliczeń wspó÷
czynnika [a5 ] metoda¾ rekurencyjna¾ jawnie kowariantna¾ mody…kacja I. Pierwszy blok „[Vn
1 ]”oznacza
grupe¾ programów liczac
¾ a¾wspó÷
czynnik [Vn
podstawowa.
¾ Grupa ta generuje odpowiednie granice koincydencji pochodnych ,
niezbedne
¾
do obliczeń [Vn
sa¾ przez programy „
n
1 ]. Obliczenia
1=2 ”i „ n+1
5
1=2
i
6
1=2 ,
1]
metoda¾
1=2
i Vi
(wymagane do obliczeń [V4 ]) realizowane
”. Ostatnia grupa programów „[Vn ]”oblicza wspó÷
czynnik
[Vn ] wykorzystujac
¾ wyniki grupy programów „[Vn
1 ]” oraz
126
„
n
1=2
”.
y
obliczeniowe
127
czynników Hadamarda metoda¾ rekurencyjna¾ jawnie kowariantna¾ zmody…kowana¾
typu I. Niebieski kolor bloku oznacza, z·e program zosta÷napisany w jezyku
¾
Form.
6.1.18
¾
TForm oparty na metodzie obliczeń wspó÷
czynników
Zoptymalizowanie programów napisanych w jezyku
¾
Form pod katem
¾
obliczeń równoleg÷
ych (jezyk
¾
TForm) umoz·liwia przyspieszenie obliczeń na komputerze z procesorem czterordzeniowym oko÷
o 2,8
raza.
6.1.19
¾
Projekt oparty na jezyku
¾
Mathematica przedstawia rysunek 36. Blok „[Vn
gramów liczac
¾ a¾ wspó÷czynnik [Vn
koincydencji pochodnych ,
i „
n+2
1=2 ,
1]
1 ]” oznacza
grupe¾ pro-
metoda¾ podstawowa.
¾ Grupa ta generuje odpowiednie granice
1=2
i Vi niezbedne
¾
do obliczeń [Vn
1 ].
Programy „
n+1
1=2
”
” realizuja¾ te same funkcje co ich odpowiedniki w projekcie opartym na jezyku
¾
Form.
Program „[V0 ]” oblicza granice koincydencji odpowiednich pochodnych V0 . Program „[Vn ]” oblicza
wspó÷czynnik [Vn ] wykorzystujac
¾ wyniki grupy programów „[Vn
1 ]”
oraz „
n+1
1=2
”. Wyko-
rzystywany jest równiez· program „Program koordynujacy”automatycznie
¾
uruchamiajacy
¾ programy.
127
6
128
y
obliczeniowe
typu I. Czerwony kolor bloku oznacza, z·e program zosta÷napisany w jezyku
¾
Mathematica.
6.1.20
¾
czynników
czynników Hadamarda - mody…kacja II
Kolejna mody…kacja metody obliczeń wspó÷
czynników [Vn ] umoz·liwia obliczenie [V4 ], a zatem i
[a5 ]. Istota tej metody jest podobna do metody jawnie kowariantnej - mody…kacja II.h Obliczenia
i
1=2
wykonywane sa¾ przez programy przedstawione na rysunku 37. Programy „[ a1 :::an ] ”, „ a1 :::an ”,
h
i
1=2
„ a1 :::an ” oraz program „Po÷acz
¾ tensory” to programy majace
¾ taka¾ sama¾ zasade¾ dzia÷ania, co
odpowiedniki projektu napisanego w jezyku
¾
Form opartego na metodzie jawnie kowariantnej - mody-
…kacja II (rysunek 27). Grupa programów „[Vn ] ”s÷uz·y do obliczeń [Vn ] i spe÷nia analogiczna¾ funkcje¾
jak program „[an ] ”w projekcie napisanym w jezyku
¾
Form opartym na metodzie jawnie kowariantnej
- mody…kacja II. Metoda ta umoz·liwia obliczenie wspó÷
czynnika [V4 ] (a tym samym [a5 ]).
6.1.21
¾
Wspó÷czynnik [V3 ] moz·na obliczyć równiez· za pomoca¾ jezyka
¾
Mathematica (rysunek 38). Kaz·dy
z programów spe÷nia analogiczna¾ funkcje,
¾ jak w projekcie napisanym w jezyku
¾
Form opartym na
metodzie jawnie kowariantnej - mody…kacja II (rysunek 37).
128
y
obliczeniowe
129
typu II. Niebieski kolor bloku oznacza, z·e program zosta÷napisany w jezyku
¾
Form.
czynników Hadamarda metoda¾ rekurencyjna jawnie kowariantna¾ zmody…kowana¾
typu II. Czerwony kolor bloku oznacza, z·e program zosta÷napisany w jezyku
¾
Mathematica.
129
6
130
y
obliczeniowe
typu II. Zielony kolor bloku oznacza, z·e program zosta÷napisany w jezyku
¾
Maple.
6.1.22
¾
Maple oparty na metodzie obliczeń wspó÷
czynników
Wspó÷czynnik [V3 ] moz·na obliczyć równiez· za pomoca¾ jezyka
¾
Maple (rysunek 39). Kaz·dy z programów przedstawionych na rysunku spe÷nia analogiczna¾ funkcje¾ jak programy napisane w jezyku
¾
Form (rysunek 37) oraz Mathematica (rysunek 38).
6.1.23
¾
czynników
¾
Lisp przedstawiono na rysunku 30. G÷
ównym programem
acz
¾ i tensory”sk÷adajacy
¾ sie¾ z dwóch cześci.
¾
Cześć
¾ „[Vn ] ”oblicza bitensory [ a1 :::an ],
hjest „[Vni] h+ Po÷
1=2
1=2
ny, cześć
¾ „Po÷
acz
¾ tensory”natomiast podstawia w odpowieda1 :::an ,
a1 :::an i [Vn ] w sposób niepe÷
niej kolejności wszystkie bitensory do wspó÷czynnika [Vn ] otrzymujac
¾ w konsekwencji [Vn ] zalez·ny je-
dynie od tensorów Riemanna. Program spe÷nia te¾ sama¾funkcje¾ jak programy napisane w jezyku
¾
Form
(rysunek 37). Celem bloku „Procedury pomocnicze” jest stworzenie operacji, które emuluja¾ polecenia podobne do tych, które posiada jezyk
¾
Form, Maple czy Mathematica, a tym samym stworzenie
struktury jezyka
¾
wysokopoziomowego przystosowanego do matematycznych obliczeń symbolicznych.
Programy te umoz·liwiaja¾ obliczenie wspó÷czynnika [V2 ] (a tym samym [a3 ]).
130
y
obliczeniowe
131
typu II. Pomarańczowy kolor bloku oznacza, z·e program zosta÷napisany w jezyku
¾
Lisp.
6.1.24
¾
czynników
[an ] poprzez rozwiniecie
¾
Taylora we wspó÷
rzednych
¾
normalnych-sposób podstawowy
Grupe¾ programów projektu opartego na jezyku
¾
Form przedstawia rysunek 41. Kluczowym pro( )
¾
a ” rozwijajacym
( )
tetrade¾ w postaci e a =
gramem jest „e
stawiajac
¾
tetrade¾ w szereg Taylora we wspó÷
rzednych
¾
normalnych. Przeda
+ Xa
(y rn0 ) e(a ) (0) =
(2)
+ Xa
(3)
+ Xa
n 1
(y r0 )n
n+1
2
h
(4)
+ :::, program w oparciu o formu÷
e¾
i
R :: (0) e(a ) (0) ,
pozwala w sposób perturbacyjny otrzymać kaz·dy element rozwiniecia
¾ tetrady Xa
wspó÷czynnika [a4 ] wymagana jest znajomość elementów Xa
(n)
(407)
(n)
. Do obliczenia
do ósmego rzedu
¾ w÷acznie.
¾
W przy-
padku uz·ycia zapisu bezindeksowego obiekty te maja¾ postać
X (2) =
X (3) =
X (4) =
X (5) =
1
R,
6
1
(y r) R,
12
1
1
(y r)2 R +
RR,
40
120
1
1
1
(y r)3 R+
(y r) RR+
R (y r) R,
180
180
360
131
(408)
(409)
(410)
(411)
6
132
y
obliczeniowe
poprzez rozwiniecie
¾
normalnych. Niebieski kolor bloku oznacza, z·e program zosta÷napisany w jezyku
¾
Form.
X (6) =
X (7) =
X (8) =
1 5
5
5
1
(y r)4 R+ (y r)2 RR+ (y r) R (y r) R+ R (y r)2 R
5! 42
21
21
14
1
(412)
+ RRR ,
42
1 3
5
15
9
(y r)5 R+ (y r)3 RR+ (y r)2 R (y r) R+ (y r) R (y r)2 R
6! 28
14
28
28
1
1
1
3
+ (y r) RRR + R (y r)3 R+ R (y r) RR + RR (y r) R ,
(413)
28
14
14
28
35
35
7
1 7
(y r)6 R+ (y r)4 RR+ (y r)3 R (y r) R+ (y r)2 R (y r)2 R
7! 72
72
36
8
7
7
7
+ (y r)2 RRR+ (y r) R (y r)3 R+ (y r) R (y r) RR
24
18
18
7
5
5
4
+ (y r) RR (y r) R+ + R (y r) R+ R (y r)2 RR
36
72
36
5
1
1
+ R (y r) R (y r) R+ RR (y r)2 R+ RRRR .
(414)
36
24
72
Obiekty X (6) i X (8) zosta÷y przedstawione w pracy Amsterdamskiego, Berkina i O’Connora [9],
jednak róz·nia¾ sie¾ od powyz·szych, co moz·e być przyczyna¾ niezgodności wspó÷czynnika [a4 ] z otrzymanymi w pracy [168] wynikami oraz wynikami Avramidiego [7, 8].
132
y
obliczeniowe
133
Rysunek 42: Alternatywna metoda otrzymania rozwiniecia
¾ Taylora metryki we wspó÷rzednych
¾
normalnych. Niebieski kolor bloku oznacza, z·e program zosta÷napisany w jezyku
¾
Form.
Program „g ” rozwija metryk¾
e w szereg Taylora we wspó÷
rzednych
¾
normalnych poprzez wykorzystanie zwiazku
¾
metryki z tetrada¾ gab = e(
dokonujac
¾ obliczeń rozwiniecia
¾ gab
( )
)a e b .
Wyniki tego programu moz·na przetestować
za pomoca¾ alternatywnej metody. Metoda ta oparta jest na zas-
tosowaniu de…nicji wspó÷
rzednych
¾
normalnych (156) oraz wykorzystaniu w÷
asności znikania pochodnej kowariantnej metryki [145]. Realizacja programistyczna tej metody sprowadza sie¾ do stworzenia
grupy programów napisanych w jezyku
¾
Form przedstawionych na rysunku 42.
Pierwszy z programów - „
sym ” oblicza
zsymetryzowane pochodne koneksji
a
d(b;a1 :::an ) y=0
lic-
zone w poczatku
¾
uk÷adu wspó÷
rzednych
¾
normalnych korzystajac
¾ z toz·samości (156). Program ma
charakter rekurencyjny w tym sensie, z·e majac
¾ informacje¾ o pochodnej koneksji a d(b;a1 :::an )
y=0
pozwala obliczyć pochodna¾ koneksji wyz·szego rzedu
¾
a
d(b;a1 :::an+1 ) y=0 .
Drugi z programów - „@g”
¾ z w÷
asności gab;a1 :::an = 0. Program ten równiez· ma
oblicza pochodne gab;a1 :::an jy=0 korzystajac
charakter rekurencyjny poniewaz· posiadajac
¾ pochodna¾ metryki niz·szego rzedu,
¾
moz·na za jego pomoca¾ obliczyć pochodna¾ rzedu
¾ wyz·szego. Ostatni z programów - „grozw ” ma za zadanie wykorzystanie wyników poprzedniego programu i wyświetlenie metryki w postaci rozwiniecia
¾
do pewnego
rzedu.
¾
Wyniki generowane przez te¾ metode¾ pozwoli÷
y sprawdzić dzia÷anie programu „g ” (rysunek
41) do szóstego rzedu
¾ rozwiniecia
¾ w÷acznie.
¾
Kolejne cztery programy: „g ab ”, „det ( gab )”, „det ( gab )1=2 ”i „det ( gab )
1=4
”rozwijaja¾odpowiada-
jace
¾ ich nazwom obiekty w szereg Taylora we wspó÷rzednych
¾
normalnych, korzystajac
¾ z ich zwiazku
¾
z metryka¾ g .
(m)
Najwaz·niejszym programem jest „[fn ]” obliczajacy
¾ wspó÷
czynniki fn
przy wykorzystaniu rów-
(0)
(0)
nania (160). Aby obliczyć [a4 ] wykorzystujac
¾ [an ] = fn , nalez·y znać f4 , co prowadzi do
(0)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(0)
(1)
(2)
(3)
(4)
(0)
(1)
(2)
obliczeń f1 , f1 , f1 , f1 , f1 , f1 , f1 , f2 , f2 , f2 , f2 , f2 , f3 , f3 i f3 .
133
konieczności
Najprostsze
6
134
y
obliczeniowe
poprzez rozwiniecie
¾
normalnych. Czerwony kolor bloku oznacza, z·e program zosta÷napisany w jezyku
¾
Mathematica.
(m)
wspó÷czynniki fn
wygenerowane przez program to
(0)
=
(1)
=
f1
f1
1
R,
6
1
1
Ra1 b ;b + R;a1
12
24
(415)
1
R;a .
2 1
(416)
Otrzymane wspó÷czynniki HaMideW (w tym [a4 ]) sa¾zgodne ze wspó÷czynnikami obliczonymi poprzednimi metodami. Moz·liwe jest równiez· obliczenie ta¾metoda¾wspó÷
czynnika [a5 ] (Dodatek: „Wspó÷
czynnik [a5 ]”). Porównanie tego wspó÷czynnika z obliczeniami [a5 ] Ottewilla i Wardella [167] wykaza÷
o
ich identyczność.
6.1.25
¾
czynników [an ] poprzez rozwiniecie
¾
Taylora we wspó÷
rzednych
¾
normalnych-sposób
podstawowy
Powyz·sze obliczenia wykonywane by÷y za pomoca¾ jezyka
¾
Form (rysunek 41). Analogiczne obliczenia
moz·na wykonać za pomoca¾ jezyka
¾
Mathematica (rysunek 43). Programy oparte na jezyku
¾
Mathematica realizuja¾te same funkcje, co odpowiedniki oparte na jezyku
¾
Form. Wyjatkiem
¾
jest dodatkowy
program „Program koordynujacy”
¾ , który automatyzuje dzia÷anie pozosta÷
ych programów. Programy
(0)
te pozwalaja¾obliczyć wspó÷
czynnik f4 , a zatem [a4 ]. Ich cecha¾charakterystyczna¾jest wykorzystanie
do otrzymania wyników pośrednich pakietu Invar. Zadaniem pakietu jest upraszczanie tensorów, ale
i równiez· sprawdzenie czy wygenerowane wyniki maja¾ poprawna¾ strukture¾ tensorowa.
¾
134
y
obliczeniowe
135
rekurencyjna¾ jawnie kowariantna¾ bezindeksowa. Niebieski kolor bloku oznacza, z·e program zosta÷
napisany w jezyku
¾
Form.
6.1.26
¾
Form oparty na metodzie rekurencyjnie jawnie
kowariantnej bezindeksowej
Ostatnia¾grupa¾ programów s÷uz·acych
¾
do obliczeń Wren sa¾ programy wykorzystujace
¾ metode¾ rekurencyjna¾ jawnie kowariantna¾ bezindeksowa.
¾ Projekt programistyczny napisany w jezyku
¾
Form przedstawiony zosta÷na rysunku 44.
Pierwszy z programów ma za zadanie obliczyć funkcje¾ b z dok÷adnościa¾ do określonego rzedu
¾
rozwiniecia
¾ Taylora. W obliczeniach wykorzystywany jest zwiazek
¾
(172) majacy
¾ postać
b=
1
X
k=1
( 1)k+1
n
D2 + D
1
S
ok
b
1.
(417)
Przyk÷
adem dzia÷ania programu jest obliczenie b w szóstym rzedzie
¾
rozwiniecia.
¾
Wygenerowany
wynik ma postać
b =
1
1
3
1
1
2
K(2) j2i + K(3) j3i +
K(4)
K(2) K(2) j4i +
K(2) K(3)
K K +
3
2
5
5
3
3 (3) (2)
2
1
3
10
10
5
K
j5i +
K K K
K K
K K
K K + K
j6i .
3 (5)
7 (2) (2) (2) 7 (2) (4)
7 (3) (3)
7 (4) (2) 7 (6)
(418)
Aby obliczyć wspó÷
czynnik [a4 ], nalez·y posiadać b do ósmego rzedu
¾ rozwiniecia
¾ w÷acznie.
¾
Kolejny
135
6
y
obliczeniowe
136
program oblicza , korzystajac
¾ z de…nicji
1
1
3
K j2i
K j3i +
K
3 (2)
2 (3)
5 (4)
2
31
K(5) j5i +
K K K
3
21 (2) (2) (2)
=
1.
=
Wygenerowany wynik szóstego rzedu
¾ ma postać
7
4
K K
j4i +
K K
K(3) K(2) +
15 (2) (2)
3 (2) (3)
18
25
11
5
K(2) K(4)
K(3) K(3)
K(4) K(2)
K
j6i .
7
7
7
7 (6)
(419)
0 0
¾ w÷acznie.
¾
Program „X a b ”oblicza
Aby obliczyć wspó÷czynnik [a4 ], nalez·y posiadać do ósmego rzedu
0 0
a0
d0
d0
c0
0 0
wielkość zde…niowana¾ poprzez zwiazek
¾
X a b = gb c
. Wynik piatego
¾
rzedu
¾ wygenerowany
przez program w postaci konwencjonalnej (indeksowej) ma postać
0 0
Xa b
1 0 0
1 a0 b0
1 a0 b0
0 0
0
0
0
0
0
= g a b + Ra c0 b d0 c d
R d0 e0 ;c0 d e c +
R 0 0 0 0
3
6
20 e f ;c d
0
0
1 a0 b0
1
0
c0 d0 e0 f 0
+
R 0 0 0 0 0
+ Ra e0 g0 f 0 Rb c0 g d0
15
90 f g ;c d e
0
13
11 a0
0
0
0
0
c0 d0 e0 f 0 g 0
.
R e0 h0 f 0 ;c0 Rb g0h d0
R f 0 h0 g0 R d0 h c0 ;e0
360
360
(420)
0 0
Aby obliczyć wspó÷czynnik [a4 ], nalez·y posiadać X a b do ósmego rzedu
¾ w÷acznie.
¾
Powyz·sze wyniki
0
0
0
b, , X a b sa¾ zgodne z literatura¾ [6, 9]. Program „Y w ” do obliczeń wykorzystuje de…nicje¾ Y w0 =
0
0
rs0 X s w , program „ ” natomiast w obliczeniach korzysta z de…nicji obiektu
(175). Przyk÷adem
wykonywanych przez te programy obliczeń jest wynik piatego
¾
rzedu
¾
=
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
Ra0 b0 a b
Ra0 b0 ;c0 a b c +
Ra0 b0 ;c0 d0 +
Ra0 e0 b0 f 0 Rc0f d0
12
24
80
360
0
0
1
1
1
a0
+
Ra0 b0 ;c0 d0 e0
Ra0 f 0 b0 g0 ;c0 Rd0 ge0 f
Raf bg Rc0g d0f;e0
360
1440
480
e0
a0 b0 c0 d0
b0 c0 d0 e0
, (421)
który jest zgodny z literatura¾ [6, 9]. Programy „ a0 ” i „ a0 b0 ” wykonuja¾ odpowiednio pochodne
pierwszego i drugiego rzedu
¾
na obiekcie , czyli
a0
oblicza rozwiniecie
¾ obiektu zde…niowanego poprzez
Z = Ya
0
0
a0 X
a0
a0 b0
= r a0
b0
oraz
0 0
+ Xa b
b0 a0
a0 b0
= ra0 rb0 . Program „Z”
,
(422)
0 0
wykorzystujac
¾ wyniki programów „Y a ”, „X a b ”, „ a0 ”i „ a0 b0 ”. Najwaz·niejszym programem maja¾
cym bezpośredni zwiazek
¾
z obliczeniami [an ] jest program „an ” wykorzystujacy
¾ równanie
1
ak+1 = (k + 1 + D)
w którym operator F = 4
1=2
41=2
F ak ,
(423)
R zosta÷przekszta÷cony do równowaz·nej postaci
0
0
0
F = Z + Y w r w 0 + X s w r s0 r w 0 .
136
(424)
y
obliczeniowe
137
Moz·na zauwaz·yć, z·e wszystkie wymienione programy mia÷y na celu obliczenie sk÷
adowych elementów operatora F . Aby obliczyć wspó÷
czynnik [a4 ], program „an ” najpierw utoz·samia wszystkie
X
wspó÷czynniki an z wektorami jan i =
jki hkj an i, a nastepnie
¾
poszukuje pierwszego elementu
rozwiniecia
¾ ja4 i =
X
k 0
k 0
jki hkj a4 i czyli h0j a4 i = [a4 ]. Poszukiwanie h0j a4 i pociaga
¾ za soba¾konieczność
uprzedniego znalezienia wektorów ja3 i, ja2 i, ja1 i z dok÷adnościa¾ rozwiniecia
¾ odpowiednio drugiego,
czwartego i szóstego rzedu.
¾
Przyk÷
adem wyniku wygenerowanego przez program „an ” jest wektor
ja1 i = j0i h0j a1 i + j1i h1j a1 i obliczony z dok÷adnościa¾ pierwszego rzedu
¾ i majacy
¾ postać24
ja1 i =
1
6
1
0
R 0 0b
12 a1 ;b
R+
1
1
R 0 + R 0
24 a1 2 ;a1
Z powyz·szego rozwiniecia
¾ moz·na wywnioskować, z·e h0j a1 i =
1
2
R;a01 , a zatem [a1 ] =
1
6
1
6
a01
.
R, h1j a1 i =
(425)
1
1
b0
0
12 Ra01 ;b0 + 24 Ra1
R. Porównanie wspó÷
czynników [a2 ], [a3 ], [a4 ] z odpowiednikami
policzonymi poprzednimi metodami wykaza÷y ich identyczność.
6.2
Efektywność obliczeń wspó÷
czynników [an ]
Na wyniki obliczeń wspó÷czynników [an ] moz·na spojrzeć pod katem
¾
ich efektywności (szybkości
obliczeń). Efektywność moz·e być mierzona zdolnościa¾ obliczeń wspó÷czynników [an ] o róz·nych indeksach. Im wyz·szy indeks wspó÷czynnika obliczonego przy uz·yciu danego jezyka,
¾
tym efektywność
wyz·sza (rysunek 45). Biorac
¾ pod uwage¾ podstawowy sposób obliczeń, najbardziej efektywna okaza÷
a
sie¾ metoda poprzez rozwiniecie
¾ Taylora. Po uwzglednieniu
¾
mody…kacji metod, wyz·sza¾efektywność osiaga
¾ metoda rekurencyjna jawnie kowariantna - mody…kacja II i metoda z wykorzystaniem wspó÷
czynników Hadamarda - mody…kacja II. Najbardziej efektywnym jezykiem
¾
w obliczeniach okaza÷sie¾
TForm oraz Form. Rodzi sie¾ wiec
¾ pytanie czy moz·na jeszcze bardziej poprawić wydajność obliczeń
i w jakim stopniu jest to moz·liwe. Jedna¾ z operacji najcześciej
¾
uz·ywanych w obliczeniach symbolicznych jest pochodna kowariantna. Dla operacji tej zosta÷o przeprowadzone porównanie szybkości
obliczeń poprzez dwa jezyki:
¾
Form oraz C. Test polega÷na sprawdzeniu czasu wykonywania pochodnych kowariantnych dzia÷ajacych
¾
na iloczyn tensorów
(
a
a
);k1 k2 :::kn
(426)
wraz ze wzrostem rzedu
¾ pochodnej n. Jezyk
¾
C zosta÷wybrany do porównania z jezykiem
¾
Form
nie tylko ze wzgledu
¾ na potencjalnie najwyz·sza¾ szybkość dzia÷
ania, ale i równiez· na moz·liwość
niskopoziomowej ingerencji w strukture¾ programu. Grupa programów napisanych w jezyku
¾
C przedstawiona zosta÷a na rysunku 46. Grupa ta sk÷ada sie¾ z trzech programów: „Procedury niskiego
poziomu”, „Procedury wyz·szego poziomu” oraz „Programu g÷
ównego”. Programy te maja¾ strukture¾ hierarchiczna.
¾ Oznacza to, z·e program „Program g÷ówny” korzysta z programu „Procedury
wyz·szego poziomu”, a ten z kolei korzysta z programu „Procedury niskiego poziomu”. Program
24
Program generuje wektory jni w postaci jawnej, czyli w przypadku j0i i j1i b ed
¾ a¾ to j0i = 1, j1i =
137
1
.
6
138
y
obliczeniowe
Rysunek 45: Maksymalny wspó÷
czynnik [an ] obliczony za pomoca¾danej metody, sposobu oraz jezyka
¾
programowania.
Rysunek 46: Szczegó÷owa struktura programu do obliczeń pochodnej kowariantnej. Kolor czarny
¾
C.
138
y
obliczeniowe
139
Rysunek 47: Program do obliczeń pochodnej kowariantnej. Niebieski kolor bloku oznacza, z·e program
¾
Form.
„Procedury niskiego” poziomu zawiera podstawowe operacje niskiego poziomu wykonywane na tensorach, na przyk÷ad: dodawanie, usuwanie, kopiowanie i wyświetlanie tensora. Program „Procedury
wyz·szego poziomu”, korzysta z powyz·szych operacji, aby utworzyć procedury wyz·szego rzedu,
¾
na
przyk÷
ad: wykonanie pochodnej, wyświetlenie ca÷ego równania. Program „Program g÷
ówny” s÷
uz·y
do utworzenia równania (426) i wykonania na nim operacji pochodnej kowariantnej oraz wyświetlenie
ca÷ego wyniku.
Odpowiednik grupy programów „Pochodna kowariantna” dla jezyka
¾
Form sk÷ada sie¾ tylko z
jednego programu (rysunek 47).
Wynik testu pokazuje, z·e projekt oparty na jezyku
¾
C przewyz·sza pod wzgledem
¾
szybkości program napisany w jezyku
¾
Form. Róz·nice w szybkości sa¾tym wieksze,
¾
im rzad
¾ pochodnej w obliczeniach
(426) jest wyz·szy. Dla n=10 projekt jezyka
¾
C jest oko÷o 30 razy szybszy, dla n=15 jest 635 razy
szybszy, natomiast dla n=17 jest 1400 razy szybszy.
6.3
6.3.1
Tensor energii-pedu
¾ - projekty programistyczne
¾
Mathematica oparty na metodzie obliczeń tensora
energii-p edu
¾ z wykorzystaniem jego de…nicji
Obliczenia tensora energii-pedu
¾ opierajace
¾ sie¾ na de…nicji (288) realizowane by÷
y równiez· przez projekt napisany tylko i wy÷acznie
¾
w jezyku
¾
Mathematica (rysunek 48). Obliczenia przeprowadza jeden
program „T ab (g)”, który w uproszczeniach wyników pośrednich wykorzystuje pakiet XTensor.
6.3.2
¾
Mathematica, Maple i Perl oparty na metodzie
obliczania tensora energii-p edu
¾ poprzez redukcje¾ dzia÷
ania efektywnego Wren
Obliczenia bloku T ab realizowane by÷y równiez· za pomoca¾ jezyka
¾
Mathematica, Maple, Perl oraz
pakietu GRTensor (rysunek 49). Pierwsze trzy programy „Form!GRT”, „Upr”, „MT!GRT”maja¾
za zadanie wstepnie
¾
uprościć dzia÷anie efektywne. Program „T ab gsf er_sym ” pozwala najpierw
obliczyć zredukowane dzia÷anie efektywne za pomoca¾pakietu GRTensor, a nastepnie
¾
oblicza w jezyku
¾
Maple tensor energii-pedu
¾ wykorzystujac
¾ równania Eulera-Lagrange’a.
139
6
140
y
obliczeniowe
Rysunek 48: Szczegó÷owa struktura T ab w przypadku obliczeń z de…nicji tensora energii-pedu.
¾
Czerwony kolor bloku oznacza, z·e program zosta÷napisany w jezyku
¾
Mathematica.
Rysunek 49: Szczegó÷owa struktura T ab w przypadku obliczeń metoda¾ poprzez redukcje¾ dzia÷ania
efektywnego. Projekt oparty jest na wielu jezykach
¾
jezyka:
¾
szary - Perl, czerwony - Mathematica, zielony - Maple.
140
7
7
Podsumowanie
141
Podsumowanie
Celem niniejszej rozprawy by÷o rozszerzenie wiedzy na temat czarnych dziur w teoriach z wyz·szymi
cz÷
onami krzywiznowymi. W autorskiej cześci
¾ rozprawy dokonano analizy tych teorii zaczynajac
¾ od
najprostszej, jaka¾ jest kwadratowa grawitacja, poprzez teorie¾ szóstego rzedu
¾ rozpatrywana¾ w Dwymiarach, a kończac
¾ na teorii ósmego rzedu
¾ wynikajacej
¾ z efektu polaryzacji próz·ni.
Pierwszym z celów g÷ównych postawionych w niniejszej pracy by÷a analiza teorii kwadratowej
sprze¾z·onej z elektrodynamika¾ w kontekście rozwiazań
¾
czarnodziurowych. Mimo, z·e jest to jedna
z najprostszych teorii z wyz·szymi cz÷
onami krzywiznowymi, to równania pola sa¾ skomplikowane
ze wzgledu
¾ na wystepowanie
¾
wysokich pochodnych metryki. Do otrzymania rozwiazań
¾
równań
zastosowano przybliz·ona¾ metode¾ perturbacyjna,
¾ która pozwoli÷
a otrzymać analogon klasycznego
rozwiazania
¾
Reissnera-Nordströma. Juz· na etapie analizy równań metody perturbacyjnej pokazano,
z·e bez wzgledu
¾ na rzad
¾ przybliz·enia rozwiazanie
¾
nie zalez·y od sta÷ej
wystepuj
¾ acej
¾ w dzia÷
aniu
Oznacza to, z·e cz÷
on R2 wystepuj
¾ acy
¾ w dzia÷aniu kwadratowym nie
wnosi z·adnego wk÷adu do poszukiwanych rozwiazań
¾
równań pola. Przy uz·yciu wyz·ej wymienionej
metody obliczono metryk¾
e w trzecim rzedzie
¾
perturbacji, a takz·e po÷oz·enie horyzontu wewnetrznego,
¾
kwadratowej grawitacji.
zewnetrznego,
¾
temperature¾ Hawkinga i entropie.
¾ Wszystkie te wielkości okaza÷y sie¾ róz·ne od swoich
klasycznych odpowiedników liczonych dla czasoprzestrzeni Reissnera-Nordströma, co świadczy o
tym, z·e kwadratowa grawitacja ma wp÷yw na rozwiazania.
¾
Zauwaz·ono tez·, z·e entropia narusza
regu÷
e:
¾ „entropia=1/4 Powierzchni horyzontu zdarzeń”. Przeanalizowany zosta÷równiez· przypadek
ekstremalnej czarnej dziury. Pokazano, z·e czarna dziura jest ekstremalna, gdy rekstr = jej, co oznacza, z·e promień ten jest identyczny z odpowiednikiem klasycznym dla czasoprzestrzeni ReissneraNordströma (wartość promienia ekstremalnego obliczona by÷a dok÷adnie, a nie w sposób przybliz·ony).
Charakterystyczny okaza÷sie¾ równiez· wynik entropii dla przypadku ekstremalnej czarnej dziury.
Pokazano, z·e obliczona w sposób przybliz·ony poprawka do entropii pochodzaca
¾ od cz÷
onów kwadratowych nie zalez·y od z·adnego parametru swobodnego (÷
adunku lub promienia) i jest wartościa¾ sta÷a.
¾
Drugim celem g÷ównym by÷
a odpowiedź na pytanie czy uk÷
ad kwadratowej grawitacji sprze¾z·onej
z nieliniowa¾ elektrodynamika¾ moz·e generować nieosobliwe rozwiazanie
¾
czarnodziurowe.
Analize¾
ograniczono do obliczeń przybliz·onych w pierwszym rzedzie
¾
rachunku perturbacyjnego. Otrzymanie
metryki w wyz·szym rzedzie
¾
dok÷adności jest bardzo skomplikowane ze wzgledu
¾ na zastosowanie elektrodynamiki nieliniowej zamiast klasycznej. Otrzymano rozwiazanie
¾
sparametryzowane za pomoca¾
÷adunku magnetycznego i masy czarnej dziury, które okaza÷o sie¾ nieosobliwe. Tym, co wyróz·nia otrzymana¾metryk¾
e, jest jej nietypowe zachowanie w granicy zerowego ÷
adunku, poniewaz· nie odtwarza ona
wtedy metryki Schwarzschilda. Konsekwencja¾ powyz·szej w÷asności jest to, z·e temperatura Hawkinga
TH oraz promień horyzontu zdarzeń r+ nie przechodza¾ w swoje odpowiedniki dla czasoprzestrzeni
Schwarzschilda.
Trzecim celem g÷
ównym by÷o zbadanie wp÷ywu efektu polaryzacji próz·ni kwantowego masywnego
pola skalarnego na czasoprzestrzeń opisujac
¾ a¾czarna¾dziure.
¾ Na wstepie
¾ obliczono dzia÷anie efektywne
Wren z dok÷adnościa¾ do cz÷onu 1=m4 , a nastepnie
¾
dokonano analizy wartości tensora energii-pedu
¾
pochodzacego
¾
od Wren w czasoprzestrzeni Reissnera-Nordströma. Analiza ta wykaza÷a, z·e celowe jest
141
142
7
Podsumowanie
przeprowadzenie obliczeń z dok÷
adnościa¾ wyz·sza,
¾ niz· znana dotad
¾ w literaturze, poniewaz· pozwala
znaczaco
¾ lepiej określić wartość tensora energii-pedu.
¾
Wp÷yw wyz·szej dok÷
adności obliczeń jest najmniejszy, gdy wspó÷rzedna
¾
r ! 1, natomiast w obszarze horyzontu zdarzeń jest istotny. Powyz·sze
wyniki wykorzystano do zbadania wp÷
ywu polaryzacji na geometrie¾ Schwarzschilda. Obliczenia
przeprowadzone przy pomocy metody perturbacyjnej w pierwszym rzedzie
¾
przybliz·enia pokazuja,
¾ z·e
efekt polaryzacji próz·ni zaburza geometrie¾ Schwarzschilda. Zaburzenie to jest najbardziej znaczace
¾
w obszarze horyzontu zdarzeń. Efekt polaryzacji zawsze podwyz·sza wartość temperatury Hawkinga,
a jej wartość nie zalez·y od sta÷
ej =
1=6.
Czwarty cel dotyczy zbadania wp÷
ywu polaryzacji próz·ni pola skalarnego na geometrie¾ czarnej dziury Reissnera-Nordströma dla przypadku ekstremalnego. Pokazano, z·e wyz·sza dok÷adność obliczeń
dzia÷ania efektywnego sprawia, iz· geometria otoczenia horyzontu zdarzeń nie moz·e być geometria¾
typu Bertottiego-Robinsona. Natomiast po w÷aczeniu
¾
sta÷ej kosmologicznej geometria BertottiegoRobinsona jest rozwiazaniem
¾
dok÷adnym równań pola przy uwzglednieniu
¾
efektu polaryzacji próz·ni.
Piaty
¾ cel dotyczy analizy zachowania tensora energii-pedu
¾ dla pól o dowolnym spinie w czasoprzestrzni ABGB z niezerowa¾ sta÷a¾ kosmologiczna¾ wewnatrz
¾ czarnej dziury. Dokonano identy…kacji
typu geometrii jakie moz·e przyjmować otoczenia horyzontu dla przypadku ekstremalnego (geometria
Bertottiego - Robinsona, Plebańskiego - Hacyana, Nariai). Stwierdzono regularność (nieosobliwość)
tensora energii-pedu,
¾
dokonano analizy numerycznej zachowania tensora energii. Analiza wykaza÷
a
oscylacyjne zachowanie tensora energii - pedu
¾ wewnatrz
¾ czarnej dziury oraz to, z·e wartość maksymalna tensora energii - pedu
¾ nie znajduje sie¾ w jego centrum, ale w obszarze pomiedzy
¾
centrum
a horyzontem zdarzeń. Zachowanie to jest jakościowo inne od zachowania tensora energii-pedu
¾ w
czasoprzestrzeni Reissnera - Nordströma, gdzie dla r ! 0 da¾z·y on do nieskończoności.
Szósty cel dotyczy uogólnienia teorii Lovelocka i p÷ynacych
¾
stad
¾ konsekwencji dla rozwiazań
¾ czarn-
odziurowych. Rozwaz·ana by÷a teoria bez pól materii zawierajaca
¾ cz÷
ony krzywiznowe nie wyz·sze niz·
szóstego rzedu.
¾
D-wymiarowe sferycznie symetryczne rozwiazanie
¾
czarnodziurowe otrzymano wykorzystujac
¾ przybliz·ona¾ metode¾ perturbacyjna.
¾ Pokazano równiez·, z·e stopień komplikacji obliczonej
entropii czarnej dziury zalez·y od parametryzacji rozwiazania.
¾
Jeśli rozwiazanie
¾
jest sparametryzowane poprzez promień horyzontu zdarzeń, entropia jawnie zalez·y od siedmiu wyz·szych cz÷onów
krzywiznowych, jeśli natomiast rozwiazanie
¾
jest sparametryzowane poprzez mase¾ czarnej dziury,
entropia jawnie zalez·y juz· tylko od trzech cz÷onów. Rozwiazanie
¾
sprowadzono do teorii mniej ogólnej, jaka¾ jest teoria Lovelocka ograniczona do maksymalnie D=8 wymiarów. Moz·na zauwaz·yć, z·e
rozwiazanie
¾
odtwarza wtedy typowe w÷
asności teorii Lovelocka: metryka przechodzi w rozwiazanie
¾
Schwarzschilda dla D=4, a entropia odtwarza formu÷e¾ określajac
¾ a¾ entropie¾ dla grawitacji Lovelocka.
W niniejszej rozprawie równie istotne by÷y cele pośrednie, bez których powyz·sze cele g÷
ówne dotyczace
¾ tematyki polaryzacji próz·ni nie mog÷yby być osiagni
¾ ete.
¾ Pierwszy z celów pośrednich dotyczy÷
obliczeń wspó÷
czynników HaMideW. Obliczenia Wren wymagaja¾ znajomości wspó÷
czynników [a3 ] i
[a4 ], które zosta÷
y obliczone przy wykorzystaniu czterech metod: rekurencyjnej jawnie kowariantnej,
poprzez rozwiniecie
¾
normalnych, rekurencyjnej jawnie kowariantnej bezindeksowej oraz wykorzystujacej
¾ wspó÷
czynniki Hadamarda. W literaturze moz·na znaleźć wspó÷czynnik
142
7
Podsumowanie
143
[a4 ] obliczony za pomoca¾ wielu metod, jednak uzyskane wyniki nie sa¾ identyczne. Wspó÷czynnik [a4 ]
obliczony w niniejszej pracy porównano z policzonym przez Avramidiego [7, 8] co wykaza÷
o, z·e sa¾
one takie same. Wspó÷czynnik [a4 ] zosta÷ponadto poddany testom sprawdzajacym
¾
jego poprawność,
które zakończy÷
y sie¾ pozytywnym wynikiem. Policzono równiez· wspó÷czynnik [a5 ] za pomoca¾ trzech
metod: rekurencyjnej jawnie kowariantnej, poprzez rozwiniecie
¾
normalnych oraz wykorzystujacej
¾ wspó÷czynniki Hadamarda. Porównanie tego wspó÷czynnika z obliczeniami
Ottewilla i Wardella [167] wykaza÷o ich identyczność.
Drugi cel pośredni dotyczy stworzenia metodologii obliczeń opartej na komputerowej algebrze
symbolicznej. Opracowana metodologia w pierwszej kolejności dotyczy rozwiazywania
¾
równań w celu
otrzymania biskalarów w granicy koincydencji. Obliczenia realizowane by÷y w oparciu o jezyki
¾
Form,
Mathematica, Maple i Lisp. Napisane projekty programistyczne zastosowane zosta÷y do obliczeń
wspó÷czynników HaMiDeW. Kolejnym krokiem by÷o stworzenie metodologii s÷uz·acej
¾ do znalezienia
¾ pochodzacego
¾
od dzia÷ania efektywnego. Uz·ywajac
¾ jezyków
¾
Maple, Mathematica, Form, Perl, napisano szereg programów, które obliczaja¾ tensor energii-pedu
¾ dwiema metodami.
Pierwsza metoda polega na obliczeniu tensora energii-pedu
¾ poprzez pochodna¾ funkcjonalna¾ po metryce (metoda tradycyjna), druga - szybsza od poprzedniej - polega na wstepnym
¾
za÷
oz·eniu, z·e
czasoprzestrzeń ma symetrie¾ sferyczna,
¾ co prowadzi do uproszczenia równań pola (metoda redukcji
dzia÷ania efektywnego). Niezbednym
¾
elementem w powyz·szych obliczeniach by÷o upraszczanie tensorów. Uproszczenia te oparte by÷y na w÷
asnościach symetrii obiektów krzywiznowych i realizowane
by÷y przede wszystkim w oparciu o pakiet komputerowy Invar i MathTensor. W obliczeniach …zycznych wykorzystano pieć
¾ jezyków
¾
programowania: Form, Maple, Mathematica, Lisp, C++ (pakiet
GiNaC). Bardziej technicznym, ale koniecznym etapem w obliczeniach by÷a translacja wyników ze
sk÷adni jednego z tych jezyków
¾
do drugiego. Zadanie to wykonywa÷
y programy napisane w jezyku
¾
Perl, a ich dzia÷
anie by÷o oparte na zaimplementowanych w tym jezyku
¾
wyraz·eniach regularnych.
Trzeci cel pośredni dotyczy÷nie tylko wykonania obliczeń symbolicznych za pomoca¾wielu strategii
programistycznych i wielu jezyków
¾
programowania, ale i równiez· oceny samych jezyków
¾
programowania przez pryzmat wykonywanych obliczeń. Do obliczeń symbolicznych wykorzystywane by÷
o siedem
jezyków:
¾
Mathematica, Maple, Form, Lisp, Perl, C++ (pakiet GiNaC) oraz C. W oparciu o te
jezyki
¾
napisano wiele wersji projektów programistycznych (wśród nich znajduje sie¾ 27 wersji obliczeń
wspó÷czynników HaMiDeW). Analiza szybkości pokazuje, z·e jezyk
¾
C jest najbardziej wydajny, ale
trudny w zastosowaniu poniewaz· nie jest naturalnie przystosowany do obliczeń symbolicznych. Jezyk
¾
Form nalez·y do grupy jezyków
¾
o duz·ej wydajności i ÷atwości zastosowania. Naj÷atwiejszym w zastosowaniu do takich obliczeń jest jezyk
¾
Mathematica - jest to jezyk
¾
o średniej wydajności. Jezyk
¾
Maple jest jezykiem
¾
o wydajności porównywalnej z jezykiem
¾
Mathematica, jednak nie jest az· tak
÷atwy w zastosowaniu. Pakiet GiNaC, rozszerzajacy
¾ jezyk
¾
C++ o moz·liwość obliczeń symbolicznych,
ma średnia¾ wydajność i równiez· tak jak Maple nie nalez·y do jezyków
¾
przyjaznych. Jezyk
¾
Lisp jest
jezykiem
¾
wydajnym, choć nie jest naturalnie przystosowany do komputerowych obliczeń symbolicznych. Aby przystosować go do takich obliczeń napisano szereg procedur, które sprawi÷y, z·e na tle
jezyka
¾
Lisp emulowane by÷o środowisko naśladujace
¾ jezyk
¾
do obliczeń symbolicznych.
143
144
7
Podsumowanie
Nie mniej waz·ne od realizacji celów rozprawy sa¾ dalsze perspektywy badawcze wynikajace
¾ z
ich realizacji. Perspektywy te moga¾ być podzielone na dwa rodzaje - …zyczne i informatyczne:
Fizyczne: Prezentowane w niniejszej rozprawie metody …zyczne (np. rozwiazywanie
¾
równań
pola metoda¾ perturbacyjna)
¾ moga¾ być z powodzeniem stosowane do analizy innych teorii
w wyz·szymi cz÷onami krzywiznowymi. Zagadnienie wp÷ywu skalarnego pola masywnego na
geometrie¾ czasoprzestrzeni moz·e być uogólnione na pola o niezerowym spinie. Analiza metod
obliczeń wspó÷czynników HaMideW otwiera kierunki do tworzenia nowych oryginalnych sposobów
ich obliczeń.
Informatyczne: Wiekszość
¾
obliczeń wymaga÷a napisania projektów programistycznych. Projekty te moga¾ być podstawa¾ do napisania wielu pakietów komputerowych w róz·nych jezykach
¾
programowania. Wykonywanie obliczeń symbolicznych za pomoca¾ wielu jezyków
¾
programowania pozwala wy÷
uskać zalety i wady samych jezyków.
¾
To posuniecie
¾ moz·e być traktowane jako
pierwszy krok w kierunku stworzenia jezyka
¾
do obliczeń symbolicznych pozbawionego wad.
144
8
Dodatek
8
145
Dodatek
W tym rozdziale znajduja¾ sie¾ informacje, które odbiegaja¾ od g÷ównego nurtu rozprawy, niektóre
wyniki oraz przyk÷ady kodu źród÷owego rozprawy.
8.1
Formalizm Avramidiego - przyk÷
ad obliczeń
Przyk÷
adem wykorzystania formalizmu Avramidiego do uproszczeń moz·e być obliczenia rozwiniecie
¾
0
0
a
Taylora obiektu ra b 0 . Obiekt b 0 = b w rozwinieciu
¾ do czwartego rzedu
¾ przy uz·yciu formalizmu
Avramidiego to
b = 1 K(2) j2i + 1 K(3) j3i +
3
2
3
K
5 (4)
1
K K
j4i + :::.
5 (2) (2)
(427)
Aby przedstawić istote¾ uproszczeń wynik celowo przedstawiono w postaci bezindeksowej. We wzorze
wprowadzono nowy obiekt zde…niowany jako K(n) = R
0
(
0 j 0 j 0 ::: 0 )
n
1
2
0
malizmu, nalez·y przejść do postaci indeksowej, czyli b ! b
R
0
(
0 ja0 j 0 )
1
2
0
Ra (
0 j 0j 0 )
1
2
oraz jni !
( 1)
k!
k
0
1
:::
0
k
0
. Aby wrócić do tradycyjnego for-
, K(n) ! R
0
(
0 j 0 j 0 ::: 0 )
n
1
2
. Chcac
¾ policzyć rozwiniecie
¾
ar
, K(2) K(2) !
ab
0
0
, wszelkie
obiekty nalez·y wyrazić przy pomocy nowych wprowadzonych przez Avramidiego operatorów. Ko0
rzystajac
¾ z tego, z·e D = a ra , obiekt a ra b 0 moz·na zapisać jako D b. Nastepnie
¾
wykorzystujac
¾
równanie (427) moz·na wykazać
1
1
3
1
K(2) j2i + K(3) j3i +
K(4)
K K
j4i + ::: =
3
2
5
5 (2) (2)
1
1
3
1
K D j2i + K(3) D j3i +
K
K K
D j4i + :::.
3 (2)
2
5 (4) 5 (2) (2)
Db = D
(428)
Po wykorzystaniu w÷asności D jni = n jni otrzymujemy poszukiwane rozwiniecie
¾ Taylora obiektu
0
ar b
0 , które wynosi
a
2
3
D b = K(2) j2i + K(3) j3i + 4
3
2
3
K
5 (4)
1
K K
j4i + ::: .
5 (2) (2)
(429)
Warto zauwaz·yć, z·e ze wspó÷czynników rozwiniecia
¾ p÷ynie informacja o zsymetryzowanej pochodnej
kowariantnej określonego rzedu
¾ w granicy koincydencji (163). Powyz·szy przyk÷ad obrazuje istote¾
uproszczeń p÷ynac
¾ a¾ z zastosowania bezindeksowego formalizmu Avramidiego. Obliczenia wykonane
tradycyjnymi metodami (indeksowymi) sa¾ bardziej z÷oz·one.
8.2
( )
Funkcje fi
( )
i fi
( )
Jawna postać funkcji fi
( )
i fi , wystepuj
¾ acych
¾
we wzorze (251), to
145
146
8
( )
f0
4Q6 1 4 + 2
48M3 4MQ2 (
16M2
1)
+
Q2 r2
r3 (1 + )
r4 (1 + )2
M2 r5 (1 + )3
2Q6 75 425 + 125 2 +
4Q4 M 1 + 86
89 2 + 25r 2 1
+
5Mr5 (1 + )3
15Mr6 (1 + )4
=
Dodatek
3
,
(430)
( )
f1
6r3 M3 (
f3
Q6
( )
f0
16M3
Q2 r2
=
+
=
( )
=
f3
=
4Q4 96M4
(
,
f2
5r5
Q4 r
2r2 M2 ( ) rM (
f4 = 2 f5
Q4
Q
16M2
3r3 (1 + )
75
425 + 125
2
+
3
2Q4
5r5
8M2
r3
4MQ2
r4
)
=
)
= f6
( )
2Q2 12r (1 + ) + M 3
15Mr6 (1 + )4
( )
f1
8.3
Q6
)
=
96M5
,
Q6
96M5
=
,
Q6
2
36 +
(431)
(432)
2Q6 1
4 +
2
3r4 (1 + )2
2Q4 M 1 + 96
M2 r5 (1 + )3
109 2 + 30r 2 1
,
(433)
5Mr5 (1 + )3
8M2 32M4
32M5 2MQ2
( )
,
f
=
+
2
3r3
Q4 r
Q6
r4
16M4
16M5 24M3 rM (
( )
,
f
=
+ 2 2 ;
f
4
Q4 r
Q6
Q r
Q2 5
8M3
,
Q2 r2
)
( )
= f6
(434)
=
48M5
.
Q6
(435)
Wspó÷
czynnik [a5 ]
Jawna postać wspó÷czynnika [a5 ] to
(0)
(1)
[a5 ] = a5 + a5 +
2 (2)
a5
+
146
3 (3)
a5
+
4 (4)
a5
+
5 (5)
a5 ,
(436)
8
Dodatek
147
gdzie
(0)
a5
=
h
1
900736Rab Rab Rc e Rcd Rde 1297920Ra c Rab Rb d Rcd R
119750400
+1858640 Ra c Rab Rbc R2 1332402Rab Rab R3 + 152693R5 + 219000Rab Rcd R2 Racbd
+89530R3 Rabcd Rabcd + 156312 Rab Rcd RRac ef Rbdef
107800R2 Rab ef Rabcd Rcdef
1021632Ra c Rab Rb d Ref Rcedf
471360 Rab Rab Rcd Ref Rcedf
332262Rab Rab RRcdef Rcdef
142656Ra c Rab Rde Rb f c g Rdf eg + 7200Rab R;a;b R;c ;c
+16512Rab Rcd Ra e b f Rce gh Rdf gh
15620R3 R;a ;a
122400RRab ef Rabcd Rce gh Rdf gh
82656Rab Rcd Rac ef Rbd gh Ref gh + 61200R Rab ef Rabcd Rcd gh Ref gh + 27648R;a;b R;a;b ;c ;c
+77376Rab Rcd Racbd Ref gh Ref gh + 39984RRabcd Rabcd Ref gh Ref gh
45696Rab ef Rabcd Rcd gh Ref ij Rghij
29088R;a R;b;c Ra b;c
34368Rabcd Rabcd Ref ij Ref gh Rghij
4045236R2 R;a R;a + 807696Rab RRcd ;a Rcd;b
1932624Rab Rcd R;a Rcd;b
+807072Rab Rcd Ref ;a Rcedf ;b + 274008Rab R2 R;a;b + 27408Rab Rcdef Rcdef R;a;b
+44568RR;a ;a R;b ;b + 2748R;a R;a R;b ;b + 281568RR;a R;a ;b ;b + 27900R2 R;a ;a ;b ;b
+357672R;a R;a;b R;b + 210696R R;a;b R;a;b + 241992Ra c Rab Rde ;b Rde;c
651168Ra c Rab R R;b;c + 25920Rbc ;a R;a R;b;c
208080Rab R2 Rab ;c ;c
+84960R;a R;b Rab ;c ;c + 1680RR;a;b Rab ;c ;c + 193776Rab Rab RR;c ;c
21120Rab R;a R;b ;c ;c + 18864 R;a ;a ;b R;b ;c ;c + 6336Rab RR;a;b ;c ;c
+14256R;a ;a R;b ;b ;c ;c + 19440R;a R;a ;b ;b ;c ;c + 5280R R;a ;a ;b ;b ;c ;c
+ 4684080R2 Rac;b Rab;c + 2580132R2 Rab;c Rab;c + 7872RR;a;b;c Rab;c
+ 19558344Rab RRab;c R;c + 5396424Rab Rab R;c R;c + 6240Rab R;a;b;c R;c
31104Rab R;b;c R;a ;c + 7104R;a;b;c R;a;b;c + 1822080Rab Rcd R;a Rbc;d
859920RRabcd R;a Rbc;d + 2472096Rab Rcd Ra e ;c Rbe;d
3291264RRabcd Ra e ;b Rce;d
5280Rab Ra cde Rce;b R;d
349824 Ra e c f Rabcd R;b Ref ;d
3247104Rab Ra cde Rbe;c R;d
+39168Ra e c f Rabcd Rgh ;b Regf h;d
+42336Rabcd R;a;c R;b;d
310128 Rab Rab Rcd R;c;d
221376Rab Rcd RRac;b;d + 215712R2 Rabcd Rac;b;d
96192Rab Rcd Ra e b f Ref ;c;d + 667392Ra c Rab Rb d R;c;d
179904Rab RRa c b d R;c;d + 1056Rab Rcd ;a R;b;c;d
69384RRab;c ;c Rab ;d ;d
178848 Rab R;c ;c Rab ;d ;d
+301824Ra c Rab R Rbc ;d ;d + 48288Rbc ;a R;a Rbc ;d ;d
+6528Rab R;a ;c Rbc ;d ;d
736536 Rab Ra c b d R;c R;d
21120Rc d ;a Rab;c R;b;d + 6528 Ra d ;c Rab;c R;b;d
+173280Rab Rcd R Rab;c;d
+2400Rab Rcd R;a;b;c;d
1651104Rab Rcd Ra e ;b Rce;d
108672R;a Ra b;c Rbc ;d ;d
103488Ra c Rab Rbc R;d ;d + 211152Rac;b Rab;c R;d ;d
147
148
8
124176Rab;c Rab;c R;d ;d
10560 RRab;c Rac;b ;d ;d + 10560Rab R;c Rac;b ;d ;d
607680 RRab;c Rab;c ;d ;d
634560Rab R;c Rab;c ;d ;d + 10656R;a;b;c Rab;c ;d ;d
+33888 Rab Ra c ;b R;c ;d ;d
Dodatek
642144Rab Rab ;c R;c ;d ;d + 14400Rab;c R;a;b;c ;d ;d
99984 Rab RRab ;c ;c ;d ;d + 3456R;a;b Rab ;c ;c ;d ;d
58824Rab Rab R;c ;c ;d ;d
+7200 Rab R;a;b ;c ;c ;d ;d + 1800 R;a ;a ;b ;b ;c ;c ;d ;d + 359040Rab Rcd Racb e R;e;d
+188928Rab Rcd Rac ef Rbe;f ;d + 768Rab Rcd Ra e c f Rbe;f ;d
908832 Rab;c R;c;d Rab ;d + 4992Rab;c R;b;d Rac ;d
9098544Rab RRbd;c Ra c;d
+74016 R;a Rbd;a;c Rbc;d
+145056R;a Rab;c;d Rbc;d
+31056RRcd;a;b Rab;c;d
120576Rab Rcd Ra e b f Rce;f ;d
10000416Rab RRcd;b Ra c;d
10746912Rab RRbc;d Ra c;d
382080R;a Rad;b;c Rbc;d
11712Rab R;b;c;d Ra c;d
1763424R;a Rbc;a;d Rbc;d
6241920Ra c Rab Rbd;c R;d
172224RRac;b;d Rab;c;d
21437712Ra c Rab Rbc;d R;d
358128R Rab;c;d Rab;c;d
+8640R;a;b;c;d Rab;c;d + 24480Rab Rcd;a;b R;c;d + 5376Rab Rac;b;d R;c;d
1028256Rab Rab;c;d R;c;d + 2323680Rab Ra cde R;d Rbc;e + 5065152Rab Ra cde Rb f ;d Rcf ;e
+33120Rab ef Rabcd Rf g;d Rc g ;e
+86016Ra c Rab Rde Rbd;c;e
5450112Rab Ra cde Rb f ;c Rdf ;e
10368Rab R Ra cde Rbd;c;e
15648Rde ;c Rab;c Rab;d;e
39552Ra c Rab Rde Rbc;d;e + 23616 Ra d b e ;c Rab;c R;d;e + 61824Rabcd Ra e ;c R;b;d;e
+211776Rab Ra c;d ;d Rbc ;e ;e + 14400Rabcd R;a;c Rbd ;e ;e
418560 Rc d ;a Rab;c Rbd ;e ;e
+229152Ra d ;c Rab;c Rbd ;e ;e + 198336Rab;c Rac ;d Rbd ;e ;e + 960Ra c Rab Rb d Rcd ;e ;e
206976Rab Rab Rcd Rcd ;e ;e + 12960Rab R Ra c b d Rcd ;e ;e + 81696Rab Rcd ;a;b Rcd ;e ;e
388368Rab;c Rab ;d Rcd ;e ;e
192000 Rab Ra c ;b ;d Rcd ;e ;e + 93408Rab Rab ;c;d Rcd ;e ;e
129696Rab Rcd Racbd R;e ;e + 29580R Rabcd Rabcd R;e ;e + 119808Rabcd Rac;b;d R;e ;e
2736Rab;c ;c ;d Rad;b ;e ;e + 23976Rab Rcd ;a Rcd;b ;e ;e
42768Rab Ra c;d Rcd;b ;e ;e
+ 27648Rab;c;d Rcd;a;b ;e ;e + 26352Rab Ra c;d Rbd;c ;e ;e
91632Rab Rcd ;a Rbc;d ;e ;e
+18912Rabcd Rac;b R;d ;e ;e
1368Rab;c ;c ;d Rab;d ;e ;e
16416Rabcd R;a Rbc;d ;e ;e + 1728624Rab Ra c;d Rbc;d ;e ;e
60672 Rab Rcd Rac;b;d ;e ;e + 48576RRabcd Rac;b;d ;e ;e
62208Rab;c;d Rac;b;d ;e ;e + 51072Rab Rcd Rab;c;d ;e ;e + 27648Rab;c;d Rab;c;d ;e ;e
2448Rab;c ;c Rab ;d ;d ;e ;e + 132288Ra c Rab Rbc ;d ;d ;e ;e
+24192Rab Ra c b d R;c;d ;e ;e
2880Rab;c Rac;b ;d ;d ;e ;e
1440Rab;c Rab;c ;d ;d ;e ;e
5862720Rab Rcd Rce;d Rab ;e
960Rab Rab ;c ;c ;d ;d ;e ;e
8640336Rab Rcd Rcd;e Rab ;e + 5012928Rab Rcd Rbe;d Rac ;e
7426464RRabcd Rbe;d Rac ;e + 8810064Rab Rcd Rbd;e Rac ;e + 1798176RRabcd Rbd;e Rac ;e
148
8
Dodatek
149
+30144Rabcd R;b;d;e Rac ;e + 792000Rab;c Rce;b;d Ra d;e
+2651328Rab;c Rbd;c;e Ra d;e
153792Rab;c Rbe;c;d Ra d;e
341952Rab;c Rbc;d;e Ra d;e + 8320800Ra c Rab Rde;c Rb d;e
+9750384Ra c Rab Rce;d Rb d;e + 11572176Ra c Rab Rcd;e Rb d;e + 193920Rde;a;b Rab;c Rc d;e
197568Rab;c Rae;b;d Rc d;e
194112Rab;c Rad;b;e Rc d;e + 95424Rab;c Rab;d;e Rc d;e
4831872 Rab RRacbe;d Rcd;e + 40320Rab Rce;a;b;d Rcd;e
7634784Rab Rab Rce;d Rcd;e
42240Rab Rae;b;c;d Rcd;e
1655496Rab Rab Rcd;e Rcd;e
+ 442176Rab Rcd;a;b;e Rcd;e
3366432Rab RRacbd;e Rcd;e
931584Rab Rac;b;d;e Rcd;e + 467328Rab Rab;c;d;e Rcd;e
4124208Rab Ra c b d Rcd;e R;e + 241398Rabcd Rabcd R;e R;e
2592384Rab Ra c b d Rce;d R;e
836028RRabcd Rabcd;e R;e
3149568 Rab Rcd Racbd;e R;e + 301248Rabcd Rac;b;d;e R;e
+146592R;a Rce;b;d Ra bcd;e
43776Rab;c R;d;e Racb d;e
101664R;a Rbc;d;e Ra bcd;e
+26880Rab R;c;d;e Ra c b d;e + 171594R2 Rabcd;e Rabcd;e + 273984RRac;b;d;e Rabcd;e
+32832Rab Rcd;b;e Rcd ;a ;e
36864Rabcd Rbc;d;e R;a ;e + 63360Rab Rde;b;c Ra c;d;e
195840Rab Rcd;b;e Ra c;d;e + 161664Rab Rbd;c;e Ra c;d;e + 1341120Rab Rbc;d;e Ra c;d;e
+42624 Rcd;a;b;e Rab;c;d;e
87552Rac;b;d;e Rab;c;d;e + 43008Rab;c;d;e Rab;c;d;e
+ 1156512Rab Rcdef Rac;e Rbd;f + 1191168Rab Rcdef Rac;b Rde;f
470544Rab ef Rabcd R;c Rde;f
33120Rab ef Rabcd Rc g ;e Rdg;f
1375296Rab Rcdef Rab;c Rde;f
89472Ra e c f Rabcd Rb g ;d Reg;f
+134880Rab ef Rabcd Rc g ;d Reg;f + 3409920Rab Rcdef Rc g ;d Raebg;f + 341952Rab Rcdef R;a Rbcde;f
356832 Rab ef Rabcd Rc ghi ;e Rdghi;f + 356832 Rab ef Rabcd Rc ghi ;d Reghi;f
+540672Ra c Rab Rb def Rce;d;f
+34560Rab Rcdef Rce;a;b;d;f
278976Rab Rab Rcdef Rce;d;f + 16128Rab RRcdef Racbe;d;f
19584RRa e c f Rabcd Rbd;e;f + 86976Rab Rcd Ra e b f Rcd;e;f
+142656Rab Ra cde Rbcd f R;e;f
167424Rab Ra c b d Rc e d f R;e;f + 26496Rab Rcd Ref Racbd;e;f
2304Rabcd Ref ;a Rbc;d;e;f + 1920Ra e c f Rabcd R;b;d;e;f + 75744Rabcd Rac ;e ;e Rbd ;f ;f
+ 768Rab Rcd Racb e Rde ;f ;f
302400 Ra d b e ;c Rab;c Rde ;f ;f + 1066560 Rab;c Racb d;e Rde ;f ;f
81024Rabcd Rac;b ;e Rde ;f ;f + 25560Rabcd;e Rabcd;e R;f ;f
43008Rabcd Rac ;e Rbe;d ;f ;f
27936 Rabcd Ra e ;b Rce;d ;f ;f + 93888Rab Ra c b d;e Rce;d ;f ;f
88608Rabcd Ra e ;c Rbd;e ;f ;f
+522048Rabcd Rac ;e Rbd;e ;f ;f + 379392Rab Ra c b d;e Rcd;e ;f ;f + 68760Rabcd Rabcd ;e R;e ;f ;f
+69888 Rab Ra cde Rbd;c;e ;f ;f + 43200Rabcd;e Rac;b;d;e ;f ;f + 67488Rab Ra c b d Rcd ;e ;e ;f ;f
+8640Rabcd Rabcd R;e ;e ;f ;f + 9600Rabcd Rac;b;d ;e ;e ;f ;f
+116160Rab Rcd Rcedf ;b Ra e;f
246528Rab ef Rabcd Rce gh Rdg;h;f
791424Rab Rcd Rbcdf ;e Ra e;f + 806304RRabcd Rbf cd;e Ra e;f
+2304Rabcd Rcf ;b;d;e Ra e;f + 172800Rabcd Rbc;d;e;f Ra e;f
149
1258752Rab Ra cde Rdf ;e Rbc ;f
150
8
Dodatek
+5230464Rab Ra cde Rcf ;e Rbd ;f
4805376Rab Ra cde Ref ;b Rcd ;f + 1174080 Rab Ra c b d Ref ;d Rc e;f
+5089056Rab Ra c b d Rdf ;e Rc e;f
6984576Rab Ra c b d Rde;f Rc e;f + 7328064Ra c Rab Rbdcf ;e Rde;f
+960Rab;c Racbf ;d;e Rde;f
1192224Ra c Rab Rbdce;f Rde;f + 643680 Rab;c Radbe;c;f Rde;f
139200Rab;c Racbd;e;f Rde;f + 1522176Rab Ra cde Rbdcf ;e R;f + 125064Rabcd;e R;e;f Rabcd ;f
+1029888Rab;c Rdf ;b;e Rac de;f
668160Rab;c Rbd;e;f Rac de;f
1588704Rab RRbdcf ;e Ra cde;f
+ 171840Rab Rdf ;b;c;e Ra cde;f + 32448Rab Rbd;c;e;f Ra cde;f + 590400Rab;c Rcf ;d;e Ra d b e;f
+1569024Rab;c Rde;c;f Ra d b e;f
140544Rab;c Rcd;e;f Ra d b e;f + 126720Rab;c Rbf ;d;e Ra d c e;f
260352Rab;c Rbd;e;f Ra d c e;f + 653760R;a Rabcd;e;f Rbcde;f + 176256Rabcd Rcf ;d;e Ra e ;b ;f
205056Rabcd Rce;d;f Ra e ;b ;f
28800Rabcd Rbf ;d;e Ra e ;c ;f
9216Rabcd Ref ;b;d Rac ;e;f
96000Rabcd Rbe;d;f Rac ;e;f + 494208Rabcd Rbd;e;f Rac ;e;f + 32256Rab Raebf ;c;d Rcd;e;f
+486912 Rab Racbe;d;f Rcd;e;f + 360960Rab Racbd;e;f Rcd;e;f + 119040Rabcd Rabcd;e;f R;e;f
+27264R Rabcd;e;f Rabcd;e;f + 69120Rac;b;d;e;f Rabcd;e;f + 89856Rab Rcdef Rc g ;e Radbf ;g
1777152Rab Ra cde Rf g ;d Rbecf ;g
99840Rab Ra cde Rbd f g Rcf ;e;g + 367872Rab Ra c b d Rc ef g Rdf ;e;g
+253440Ra c Rab Rdef g Rbdcf ;e;g + 6912Ra f c g ;e Rabcd;e Rbd;f ;g + 388608Rab Ra cde Rb f d g Rce;f ;g
39456Rab Rcdef Rcdef Rab ;g ;g + 378048Rab Ra cde Rbcd f Ref ;g ;g + 36096Rab Ra c b d Rc e d f Ref ;g ;g
56664Rabcd;e Rabcd ;f Ref ;g ;g + 6528 Rabcd Rabcd;e;f Ref ;g ;g
47616Rabcd Rabc e;f Rdf ;e ;g ;g
46216Rab ef Rabcd Rcdef R;g ;g
76032Rab ef Rabcd Rce;d;f ;g ;g + 6144Ra e c f Rabcd Rbd;e;f ;g ;g
+912000Ra e c f Rabcd Reg;f Rbd ;g + 2898720Ra e c f Rabcd Ref ;g Rbd ;g + 493920Rab ef Rabcd Rdg;f Rce ;g
1507920Rab ef Rabcd Rdf ;g Rce ;g
1821696Rab Ra cde Rbf cg;e Rd f ;g
6791232Rab Rcdef Radbf ;g Rce ;g
3264960Rab Ra cde Rbceg;f Rd f ;g + 4651392Rab Ra cde Rbecg;f Rd f ;g
23185728Rab Ra cde Rbcef ;g Rd f ;g
+10610304Rab Ra cde Rbecf ;g Rd f ;g + 155208Rabcd Rabcd Reg;f Ref ;g + 3936192 Rab Ra c b d Rcedg;f Ref ;g
487944Rabcd Rabcd Ref ;g Ref ;g
326592Rab ef Rabcd Rcdef ;g R;g
2938176Rab Ra c b d Rcedf ;g Ref ;g + 9600Rabcd Rabcd;e;f ;g Ref ;g
482112Rabcd;e Rde;f ;g Rabc f ;g
474864RRabcd Rcdef ;g Rab ef ;g
747648Rabcd Rce;d;f ;g Rab ef ;g + 361008Rab Rcd Rbdef ;g Rac ef ;g + 345600Rab;c Rbecg;d;f Ra def ;g
+293760Rab;c Rbcde;f ;g Ra def ;g
838176Rab Rcd Rcedf ;g Ra e b f ;g
1536Rabcd Rbg;d;e;f Ra e c f ;g
+16896Rabcd Rbd;e;f ;g Ra e c f ;g + 3496512Ra c Rab Rcedg;f Rb def ;g + 17280Rab;c Raebg;d;f Rc def ;g
293028Rab Rab Rcdef ;g Rcdef ;g + 48000Rab Racbe;d;f ;g Rcdef ;g + 251904Rabcd Rbf cd;e;g Ra e;f ;g
+396288Rab Rbdcf ;e;g Ra cde;f ;g + 4800Rabcd;e;f ;g Rabcd;e;f ;g + 1459200Rabcd Ref gh Rae;b Rcdf g;h
+123264Rab ef Rabcd Rcd gh Reg;f ;h + 81216 Rabcd Rabcd Ref gh Reg;f ;h + 116736Rab Ra cde Rc f gh Rbdeg;f ;h
98304Rab Ra cde Rb f gh Rcdeg;f ;h
12288Rab Ra c b d Ref gh Rcedg;f ;h
150
43008Rab ef Rabcd Rc g e h Rdf ;g;h
8
Dodatek
+438768Rab Rcd R Ra e b f Rcedf
151
526200Ra c Rab R;b R;c + 6856176Rab RRac;b R;c
+159136Rab Rab Rcd gh Rcdef Ref gh + 91392Rab ef Rabcd Rcd gh Reg ij Rf hij + 191772Rab RR;a R;b
+1367004Rab Rab Rcd Rcd R + 165312 Rab Rcd Rac ef Rbe gh Rdf gh + 188288Ra c Rab Rbc Rdef g Rdef g
+763296Rab ef Rabcd Rdhef ;g Rc g;h + 453600Rabcd;e Rcdef ;g;h Rab f g;h
2542848Rab Ra cde Rcf eh;g Rbd f g;h + 1998912Rab Ra c b d Rdf eh;g Rc ef g;h
36864Rabcd Rbgdh;e;f Ra e c f ;g;h + 314160Rabcd Ref gh Ref gh;i Rabcd ;i
+1855296Rab Ra c b d Ref ;c Ref ;d + 4167936Rab Rcdef Rdef h;g Racb g;h
156672Rabcd Rcdef ;g;h Rab ef ;g;h
2461824Ra e c f Rabcd Regf h;i Rb g d h;i
+9216Rab;c ;c R;a;b ;d ;d + 356832Rab ef Rabcd Rf ghi;d Rc ghi ;e
+35856Rab ef Rabcd Ref gh;i Rcd gh;i + 202356Rabcd Rabcd
151
426240R Rab ef Rabcd Rce;d;f
i
Ref gh;i Ref gh;i ,
(437)
152
(1)
a5
8
=
Dodatek
h
1
32736Ra c Rab Rb d Rcd R 8436Rab Rab Rcd Rcd R 59136Ra c Rab Rbc R2
1814400
5743R5 13944Rab Rcd R2 Racbd 3618R3 Rabcd Rabcd
168Rab Rcd RRac ef Rbdef
+4480R2 Rab ef Rabcd Rcdef
14832Rab Rcd RRa e b f Rcedf + 3282 Rab Rab RRcdef Rcdef
+2496RRab ef Rabcd Rce gh Rdf gh
5064R3 R;a ;a
22052 R2 R;a R;a
1440Rab RRcd ;a Rcd;b + 7520Rab Rcd R;a Rcd;b
6696Rab R2 R;a;b
816Rab Rcdef Rcdef R;a;b
7080RR;a R;a ;b ;b
1604R2 R;a ;a ;b ;b
+1240Rab RR;a R;b
3156R;a R;a R;b ;b
1248RRab ef Rabcd Rcd gh Ref gh
360Ra c Rab R;b R;c + 13888 Ra c Rab RR;b;c
2880RR;a ;a R;b ;b
3880R;a R;a;b R;b
3840Rbc ;a R;a R;b;c + 18000Rab R2 Rab ;c ;c
+1800R;a R;b Rab ;c ;c
720 RR;a;b Rab ;c ;c + 16440Rab Rab RR;c ;c
+2480Rab R;a R;b ;c ;c
2640 R;a ;a ;b R;b ;c ;c
1264Rab RR;a;b ;c ;c
2088R;a ;a R;b ;b ;c ;c
2760R;a R;a ;b ;b ;c ;c
840R R;a ;a ;b ;b ;c ;c + 7952R;a R;b;c Ra b;c
+ 2160R2 Rac;b Rab;c + 28920R2 Rab;c Rab;c
8480Rab Rcd R;a Rbc;d
4800Ra e c f Rabcd R;b Ref ;d
1360Rab R;a;b;c R;c + 3328Rab R;b;c R;a ;c
1600RRabcd R;a Rbc;d + 1920RRabcd Ra e ;b Rce;d
2640 Rab Ra cde Rce;b R;d + 11840Rab Ra cde Rbe;c R;d
+2640Rab Ra c b d R;c R;d + 11136Rab Rcd RRac;b;d
5856Rabcd R;a;c R;b;d + 1440Rc d ;a Rab;c R;b;d
10464Rab Rcd RRab;c;d
+1184Rab R Ra c b d R;c;d
+1248Rab R;c ;c Rab ;d ;d
480Rab R;a ;c Rbc ;d ;d
8608Ra c Rab Rbc R;d ;d + 240Rac;b Rab;c R;d ;d + 600Rab;c Rab;c R;d ;d
624Rab;c ;c R;a;b ;d ;d + 240R Rab;c Rab;c ;d ;d
720R;a;b;c Rab;c ;d ;d + 640Rab Ra c ;b R;c ;d ;d + 1200Rab Rab ;c R;c ;d ;d
120 R;a ;a ;b ;b ;c ;c ;d ;d
240 R;a;b Rab ;c ;c ;d ;d + 584Rab Rab R;c ;c ;d ;d
2240Rab Rcd Racb e R;e;d
+800Rab R;b;c;d Ra c;d + 960R;a Rbd;a;c Rbc;d
+4032R Rac;b;d Rab;c;d
+4096Rab Rac;b;d R;c;d
480Ra d ;c Rab;c R;b;d + 43518Rab Rab R3
23904 Ra c Rab RRbc ;d ;d + 240Rbc ;a R;a Rbc ;d ;d + 384R;a Ra b;c Rbc ;d ;d
640Rab;c R;b;d Rac ;d + 7680Rab RRcd;b Ra c;d
+960R;a Rab;c;d Rbc;d
2376R R;a;b R;a;b
160Rab Rcd R;a;b;c;d + 216RRab;c ;c Rab ;d ;d
80Rab Rcd ;a R;b;c;d
960Rab;c R;a;b;c ;d ;d + 240Rab RRab ;c ;c ;d ;d
480Rab R;a;b ;c ;c ;d ;d
8352R2 Rabcd Rac;b;d
12352Ra c Rab Rb d R;c;d + 7056Rab Rab Rcd R;c;d
+480RRab;c Rac;b ;d ;d + 480Rab R;c Rac;b ;d ;d
+240Rab R;c Rab;c ;d ;d
3792R;a;b R;a;b ;c ;c
1200R R;a;b;c Rab;c + 2864Rab RRac;b R;c
+100256 Rab RRab;c R;c + 19152Rab Rab R;c R;c
960 R;a;b;c R;a;b;c
1008 Rab R;a;b R;c ;c
3840Ra c Rab Rbd;c R;d
1872RRab;c;d Rab;c;d
80Rab;c R;c;d Rab ;d
4800 Rab RRbd;c Ra c;d
480R;a Rad;b;c Rbc;d
85440Rab RRbc;d Ra c;d
480 R;a Rbc;a;d Rbc;d
47648Ra c Rab Rbc;d R;d
576R;a;b;c;d Rab;c;d
1728Rab Rcd;a;b R;c;d
1728Rab Rab;c;d R;c;d + 1600Rab Ra cde R;d Rbc;e
152
1872RRcd;a;b Rab;c;d
8448Rab RRa cde Rbd;c;e
8
Dodatek
153
1920 Ra d b e ;c Rab;c R;d;e
4160Rabcd Ra e ;c R;b;d;e
1440Rabcd R;a;c Rbd ;e ;e
7680Rab Rcd Racbd R;e ;e
2484RRabcd Rabcd R;e ;e
3648Rabcd Rac;b;d R;e ;e
1920RRabcd Rac;b;d ;e ;e
640Rabcd Rac;b R;d ;e ;e
1888Rab Ra c b d R;c;d ;e ;e
27840RRabcd Rbd;e Rac ;e
2080Rabcd R;b;d;e Rac ;e
6112Rab Ra c b d Rce;d R;e
25664Rab Ra c b d Rcd;e R;e
14560Rab Rcd Racbd;e R;e
3840Rabcd Rac;b;d;e R;e
640Rab;c R;d;e Racb d;e
2400 Rab R;c;d;e Ra c b d;e
14400Rab RRacbe;d Rcd;e
2272Rabcd Rabcd R;e R;e
3744 R;a Rce;b;d Ra bcd;e
696RRabcd Rabcd Ref gh Ref gh
+512Rabcd Rbc;d;e R;a ;e + 1440Rab ef Rabcd R;c Rde;f
960Rab Rcdef R;a Rbcde;f
2304Rab RRcdef Racbe;d;f
384R Ra e c f Rabcd Rbd;e;f
6912Rab Ra cde Rbcd f R;e;f + 4544Rab Ra c b d Rc e d f R;e;f
128Ra e c f Rabcd R;b;d;e;f
+14016RRab ef Rabcd Rce;d;f
660Rabcd;e Rabcd;e R;f ;f
1120 Rabcd Rabcd ;e R;e ;f ;f
3136 Rab Ra cde Rbdcf ;e R;f
272Rabcd Rabcd R;e ;e ;f ;f
600Rabcd;e R;e;f Rabcd ;f
12960Rab RRbdcf ;e Ra cde;f
5760R;a Rabcd;e;f Rbcde;f
640Rabcd Rabcd;e;f R;e;f
576RRabcd;e;f Rabcd;e;f
12288Rab RRa c b d Rcd ;e ;e
34080Rab RRacbd;e Rcd;e
11240RRabcd Rabcd;e R;e
+4320R;a Rbc;d;e Ra bcd;e
5760RRac;b;d;e Rabcd;e
5760RRabcd Rbf cd;e Ra e;f
+480Rabcd R;a Rbc;d ;e ;e + 7680RRabcd Rbe;d Rac ;e + 10800RRabcd Rcdef ;g Rab ef ;g
+1912 Rab ef Rabcd Rcdef R;g ;g + 7824Rab ef Rabcd Rcdef ;g R;g
(2)
a5
=
i
2700R2 Rabcd;e Rabcd;e ,
(438)
1 h
584Ra c Rab Rbc R2 654Rab Rab R3 + 99R5 + 456 Rab Rcd R2 Racbd
30240
80R2 Rab ef Rabcd Rcdef + 162R3 R;a ;a + 257R2 R;a R;a 300Rab RR;a R;b
+238RR;a ;a R;b ;b + 252R;a R;a R;b ;b + 588RR;a R;a ;b ;b + 138R2 R;a ;a ;b ;b
+200RR;a;b R;a;b + 90Ra c Rab R;b R;c + 168Rbc ;a R;a R;b;c
+48RR;a;b Rab ;c ;c
60Rab Rab R R;c ;c + 56Rab R;a;b R;c ;c
24Rab R2 Rab ;c ;c
102Rab R;a R;b ;c ;c
+102R;a ;a ;b R;b ;c ;c + 72Rab R R;a;b ;c ;c + 144R;a;b R;a;b ;c ;c + 84 R;a ;a R;b ;b ;c ;c
+108R;a R;a ;b ;b ;c ;c + 36RR;a ;a ;b ;b ;c ;c
+72RR;a;b;c Rab;c
48Rab RRac;b R;c
128Rab R;b;c R;a ;c + 36 R;a;b;c R;a;b;c
312R;a R;b;c Ra b;c
12R2 Rac;b Rab;c
24Rab RRab;c R;c
26Rab Rab R;c R;c
48RRabcd R;a Rbc;d + 48 Rab Ra c b d R;c R;d
+144R2 Rabcd Rac;b;d + 224Rabcd R;a;c R;b;d + 144Rab R Ra c b d R;c;d
+72R3 Rabcd Rabcd
72R;a R;b Rab ;c ;c
6R2 Rab;c Rab;c + 60Rab R2 R;a;b
+312R;a R;a;b R;b + 72 Rab R;a;b;c R;c + 36RRabcd Rabcd R;e ;e
i
+17 Rabcd Rabcd R;e R;e + 72RRabcd Rabcd;e R;e + 27R2 Rabcd;e Rabcd;e ,
153
(439)
154
8
(3)
=
(4)
=
(5)
=
a5
a5
a5
1 h
2Rab Rab R3 5R5 2R3 Rabcd Rabcd 42R3 R;a ;a
66R2 R;a R;a + 36Rab RR;a R;b
2160
12Rab R2 R;a;b 30RR;a ;a R;b ;b 30R;a R;a R;b ;b 72RR;a R;a ;b ;b 18R2 R;a ;a ;b ;b
i
(440)
36R;a R;a;b R;b 24RR;a;b R;a;b ,
1
R5 + 4R3 R;a ;a + 6R2 R;a R;a ,
144
1 5
R .
120
(i)b
Funkcje Ca
8.4
Dodatek
(442)
(i)b
oraz Da
(1)b
Elementy sk÷adowe Ta
(441)
(2)b
i Ta
¾ (306) w czasoprzestrzeni Reisnera-Nörsdstroma
moga¾ być zapisane w postaci
Ta(i)b =
gdzie
=
=
(1)t
=
Dt
Cr(1)r =
Dr(1)r =
C
(1)
=
D
(1)
=
(2)t
=
Ct
Ca(i)b + Da(i)b ,
(443)
1=6, natomiast
(1)t
Ct
1
2 m2i r 2(3+i)
3 2
13 e6
19
4 M e2
313 M 3
101 e4
769 M 2 e2
2
e
M
+
112
315 r4 672
105 r
5040 r
15120 r2 10080 r2
4
257 M e
,
(444)
+
2520 r3
11 M 3 7 M e2 217 M 2 e2 113 M e4 91 e4 91 e6 1 2
+
+
+
+ M ;
(445)
10 r
5 r
60 r2
30 r3
90 r2 80 r4 2
1
3 2
421 e4
31 M e2
11 M 3
37 e6
709 M 2 e2
M2 +
e +
+
+
96
560
15120 r2 630 r
720 r
2520 r4 10080 r2
4
23 M e
,
(446)
360 r3
7 M e2 49 M 2 e2 13 e4 1 2
7 M e4 13 e6
3 M3
M
+
+
;
(447)
15 r
60 r2
45 r2 5
10 r3
80 r4 10 r
407 M e2 M 2
367 M 3
863 M e4
761 e4
367 M 2 e2
(1)
C
=
+
+
2520 r
32
5040 r
2520 r3
7560 r2 1120 r2
6
2
73 e
9e
,
(448)
4
720 r
560
91 M 2 e2 7 M 3 49 M e2 71 M e4 52 e4 3 2 117 e6
(1)
D
=
+
+ M +
,
20 r2
5 r
30 r
15 r3
45 r2 5
80 r4
(449)
11 2
1 2 255229 e8 2833 M 3 41063 M e4 157 M e2 409 e4
M +
e
+
+
+
40
12
151200 r6 2100 r
6300 r3
350 r
525 r2
13583 M 4 95839 M e6 190013 e6 6131 M 2 e2 287009 M 2 e4
+
8400 r2
12600 r5
75600 r4 1400 r2
25200 r4
83611 M 3 e2
+
,
(450)
12600 r3
154
8
Dodatek
155
(2)t
Dt
=
1649 M 4 56361 M 2 e2
+
56 r2
560
r2
6
2251 M e
594 M e2
15 r5
35 r
2785 M e4 9 2 47 M 3 390577 M 2 e4
+ M
+
21 r3
2
2 r
1680
r4
3
2
4
6
71087 M e
227 e
20207 e
41327 e8
+
+
+
,
504
r3
14 r2
420 r4
1260 r6
(451)
Cr(2)r =
1 2
34463 e8
97 M 3 7897 M e4 239 M e2 247 e4
3
M2 +
e +
+
40
84
151200 r6 300 r
4725 r3
700 r
945 r2
4
6
6
2
2
2
4
151 M e
4321 e
1531 M e
11581 M e
19907 M 3 e2
2753 M
+
+
+
,
+
8400 r2
120 r5
8400 r4 1050 r2
5040 r4
12600 r3
(452)
Dr(2)r =
291
56
254
+
15
M 4 34127 M 2 e2 14911 M e4 9 2 151 M 3
+
M +
r2
1680 r2
630 r3
7
28 r
M e6 297 M e2 1567 M 3 e2
227 e4 9433 e6
+
+
r5
70 r
72
r3
63 r2 1260 r4
3487 M 2 e4
112 r4
3757 e8
,
1260 r6
(453)
C
(2)
D
= C
(2)
3
1 2 386087 e8 163 M 3
M2
e
+
+
10
21
151200 r6 100 r
961 e4 17849 M 4 73417 M e6 137681 e6
+
756 r2
8400 r2
6300 r5
37800 r4
2
4
3
2
138431 M e
18259 M e
+
,
1008 r4
12600 r3
(2)
=
55159 M e4 2101 M e2
+
5400 r3
1400 r
2
2
16657 M e
2100 r2
485 M 4 38663 M 2 e2 189871 M e4 36 2 1521 M 3
+
+
M
14 r2
336
r2
1260 r3
7
56 r
2
4
6
2
3
2
151701 M e
18446 M e
2673 M e
41513 M e
1135 e4
+
+
4
5
3
560
r
105 r
140 r
252
r
63 r2
9869 e6 48841 e8
+
+
.
180 r4
1260 r6
= D
(2)
(454)
=
155
(455)
156
8.5
8
Dodatek
D-wymiarowe obiekty krzywiznowe w pierwszym rzedzie
¾
przybliz·enia
Tensory Riemanna liczone z dok÷adnościa¾pierwszego rzedu
¾ w " i wykorzystywane do obliczeń entropii
(393) to:
Rti tj
(d 1)
2
2r+
= Rri rj =
1
k l
i j
2
r+
d (d 1)
2
2r+
Rij kl =
l k
i j
j
i
+ "b3
(d
2) (d 1) (d + 1)
4
2ar+
j
i
+ O "2 ,
+ O "2 ,
(457)
2) (d 1) d (d + 1)
+ O "2 ,
4
2ar+
(d 2) (d 1) d (d + 1)
Rtt = Rrr = "b3
+ O "2 ,
4
2ar+
(d 2) (d 1) d (d + 1)
+ O "2 ,
R =
"b3
4
2ar+
Rtr tr =
"b3
(456)
3 (d
(458)
(459)
(460)
gdzie i, j, k, l=2,...,d + 1.
8.6
(2)b
Sk÷
adowa Ta
(2)b
Sk÷adowa tensora energii-pedu
¾ Ta
pochodzaca
¾ od wspó÷
czynnika [a4 ] dla czasoprzestrzeni opisanej
metryka¾
ds2 =
f (r) dt2 +
1
dr2 + r2 d
f (r)
2
+ sin2 d
2
(461)
wynosi
Ta(2)b =
1
32
2 m4
156
4
X
i=0
Ta(i)b i ,
(462)
8
Dodatek
157
(i)b
gdzie funkcje Ta
964f 4 f (8) f 3 17f (7) f 3 13f (6) f 3 37f (5) f 3 1387f (4) f 3 2683f (3) f 3
+
+
+
945r8
630
1080r
7560r2
1260r3
6300r4
3150r5
2
1
7321f 00 f 3 20449f 0 f 3 f (4) f 2
1 (3) (5) 2 19f 00 f (6) f 2 17f 0 f (7) f 2
+
+
f f f +
+
315r8
3150r6
4725r7
504
252
1260
1260
2 2
00
(5)
2
0
(6)
2
(3)
00
(4)
2
0
(5)
(3)
(4)
2
37f f f
19f f f
103f
253f f f
11f f f 2
f f f
f
+
+
70r
420r
180r
840r2
1260r2
126r2
2 2
(6)
2
00
(3)
2
0
(4)
2
(5)
2
00
0
(3)
f f
929f f f
127f f f
f f
176f f
6473f f f 2 2f (4) f 2
+
+
+
+
210r2
6300r3
6300r3
90r3
315r4
6300r4
15r4
2 2
0
00
2
(3)
2
0
00
2
0
2
2
47f f f
22f f
5159f f
44f f
44f f
13f
1 00 2 (4)
+
+
+
+
f f f
5
5
6
6
7
8
10r
45r
900r
45r
45r
15r
210
2
1 0 00 (5)
1 0 2 (6)
f 0 3 f (3) 13f 0 f (3) f
f 00 2 f (3) f
1 0 (3) (4)
ff f f+ ff f f+ f f f
+
105
35
42
18r2
840r
210r
2
2
3
2 (4)
0
00
(4)
0
(5)
00
(3)
0
00
(3)
0
127f f f f
19f f f
11f f
f
f
229f f f f
149f f f
+
1260r
140r
140r2
360r2
420r2
630r2
2
2 (3)
2
0
(5)
0
00
0
0
(4)
00
00
(4)
ff f
2573f f f
577f f f
ff f
19f f
5993f 0 2 f 00 f
f f f
+
+
+
+
+
180r2
60r2
6300r3
2100r3
45r3
90r4
6300r4
3
2
0
(3)
(4)
0
0
00
(3)
0
00
37f f f
f f
1361f f
17f f f
f f
103f f
113f f
259f 0 f
+
+
+
90r4
225r4
700r5
10r5
450r5
60r6
450r6
225r7
2
f 00 4
f 0 2 f (3)
1 0 00 2 (3) f 0 3 f (5) f 0 f 00 3 f 0 2 f 00 f (3) f 0 3 f (4)
148f
+
ff f +
+
+
945r8 1680
420
420
210
630r
315r
63r
f 00 3
37f 0 2 f 00 2 f 0 f 00 f (3) f 0 2 f (4) 23f 0 3 f 00
3f 0 4
f 00 2
4f 0 2 f 00 f 0 f (3)
+
+
+
+
945r2
1260r2
315r2
210r2
225r3
175r4 900r4
45r4
450r4
3
2
4f 0
f 0 f 00
26f 0
8f 0
+
,
(463)
15r5 225r5 225r6 945r7
(0)t
Tt
+
+
+
+
+
+
+
maja¾ postać
=
157
158
8
100f 4 f (8) f 3 f (7) f 3 2f (6) f 3 71f (5) f 3 1709f (4) f 3 351f (3) f 3
+
+
+
21r8
70
7r
45r2
210r3
630r4
35r5
2
7517f 00 f 3 1586f 0 f 3 26f 3 23f (4) f 2
3 (3) (5) 2 11 00 (6) 2
17 0 (7) 2
+
+
f f f
f f f
ff f
6
7
8
315r
45r
3r
840
140
84
140
2
127f (3) f (4) f 2 697f 00 f (5) f 2 563f 0 f (6) f 2 77f (3) f 2 3583f 00 f (4) f 2 823f 0 f (5) f 2
+
+
+
420r
1260r
630r
45r2
1260r2
630r2
2 2
00
(3)
2
0
(4)
2
(5)
2
00
0
(3)
2
(6)
2
25f f f
79f f f
f f
4183f f
778f f f
35f (4) f 2
23f f
+
315r2
9r3
315r3
6r3
630r4
63r4
18r4
2 2
0
00
2
(3)
2
0
00
2
0
2
2
2029f f f
20f f
4527f f
28f f
4f f
496f
1
2
+
+
+
+ f 00 f (3) f
5
5
6
6
7
8
35r
3r
70r
3r
r
45r
42
2
2 (3)
0
(3)
00
11 00 2 (4)
101 0 00 (5)
3 0 2 (6)
137f f
13f f f
41f 0 f 00 f (4) f
f
f f f
ff f f
f f f+
+
420
420
14
252r
90r
210r
2
2 (5)
3
2 (4)
0
00
(3)
0
00
(3)
0
00
(4)
317f f f
979f f
f
f
919f f f f
283f f f
7f f f
23f 0 f (5) f
+
+
+
+
315r
1260r2
20r2
140r2
90r2
90r2
90r2
2 (3)
2
2 00
2
0
00
(3)
0
(4)
00
0
0
00
221f f f
5f f f
2f f f
139f f
604f f f
539f 0 f (3) f
443f f f
+
+
+
63r3
45r3
18r3
9r3
45r4
63r4
90r4
3
2
(4)
0
0
00
(3)
0
00
0
4f f
243f f
1133f f f
f f
1889f f
191f f
278f f
766f
+
+
+
+
+
4
5
5
5
6
6
7
45r
10r
45r
15r
90r
45r
15r
315r8
3
3
2
3
4
1 0 2 00 (4) 3f 0 f (5) 4f 0 f 00
31f 0 f 00 f (3) 5f 0 f (4) 11f 00 3
f 00 (3)
f +
f f f
+
210
210
70
315r
315r
63r
630r2
2 00 2
3 (3)
2 (3) 2
2 (4)
0
00
(3)
0
0
0
0
347f f
787f f
f f
2 0 00 2 11f f f
23f f
53f 0 3 f 00
+
+
+
f
f
1260r2
1260r2
40
105
210r2
315r2
35r3
2
4
2
2
3
2
f 0 f (3)
137f 0
f 00
6f 0 f 00 2f 0 f (3) 187f 0
4f 0 f 00 88f 0
44f 0
+
+
+
+
+
18r3
1260r4 45r4
5r4
45r4
45r5
45r5
45r6
315r7
8
13 0 (3) (4)
+
f f f f,
(464)
315r8 105
(1)t
Tt
+
+
+
+
+
Dodatek
=
158
8
Dodatek
26f 4 f (8) f 3 f (7) f 3 14f (6) f 3 11f (5) f 3 487f (4) f 3 551f (3) f 3
+
+
+
r8
30
3r
45r2
9r3
45r4
15r5
2
307f 00 f 3 754f 3 29f (4) f 2 13 (3) (5) 2 13 00 (6) 2 17 0 (7) 2 202f (3) f (4) f 2
+
f f f + f f f + ff f
5r6
9r8
120
60
60
60
45r
2 2
00
(5)
2
0
(6)
2
(3)
00
(4)
2
0
(5)
2
(6)
11f f f
149f f f
1447f
f
1223f f f
589f f f
17f f 2
+
+
15r
90r
180r2
90r2
90r2
45r2
2 2
0
(4)
2
(5)
2
00
0
(3)
2
(4)
00
(3)
2
44f f f
37f f
362f f
2081f f f
143f f 2
173f f f
+
+
+
+
9r3
9r3
45r3
15r4
45r4
15r4
2 2
0
00
2
(3)
2
0
00
2
0
2
2
706f f f
1328f f
3301f f
152f f
716f f
1864f
1 00 (3) 2
+
+
f f
f
5
5
6
6
7
8
3r
45r
15r
15r
5r
45r
10
2
1 00 2 (4)
1 0 2 (6)
91f 0 f (3) f
179f 00 2 f (3) f
229f 0 f 00 f (4) f
0 (3) (4)
f f f ff f f+ f f f
20
2
20r
180r
45r
2
2 (5)
3
2 (4)
0
00
(3)
0
00
(3)
0
00
(4)
38f f f
3f f
9f
f
649f f f f
596f f f
19f f f
119f 0 f (5) f
+
+
45r
4r2
20r2
30r2
45r2
90r2
90r2
2 (3)
2
2 00
2
0
00
(3)
0
(4)
00
0
0
00
1463f f f
40f f f
2f f f
151f f
17f f f
437f 0 f (3) f
1367f f f
+
+
30r3
45r3
9r3
15r3
10r4
r4
15r4
3
2
4
(4)
0
0
00
0
00
0
00
32f f
1493f f
656f f f
1187f f
409f f
1010f f
742f
f
+
+
4
5
5
6
6
7
8
45r
15r
5r
15r
15r
9r
45r
40
3 (5)
3
2 00 (3)
2 (3) 2
0
0
00
0
0
0
1 0 2 00 (4) f f
1
ff
67f f f
11f 3 f (4)
f f
2
+ f 0 f 00 f (3)
f f f +
+
8
10
10
10
15r
90r
45r
11f 00 3 2f 0 2 f 00 2 167f 0 3 f (3) 11f 0 f 00 f (3) 17f 0 2 f (4) 41f 0 3 f 00 8f 0 2 f (3) 37f 0 4
+
+
90r2
5r2
90r2
30r2
45r2
5r3
9r3
10r4
2
2
3
2
8f 00
5f 0 f 00 16f 0 f (3) 212f 0
1 0 00 (5)
32f 0 f 00 38f 0
44f 0
2
+
+
+
f
f
f
f
+
+
45r4
r4
45r4
9r5
4
45r5
3r6
45r7 15r8
18f 0 f 3 7f (3) f
,
(465)
r7
9r5
(2)t
Tt
+
+
+
+
+
+
159
=
159
160
8
Dodatek
932f 4 2f (6) f 3 4f (5) f 3 44f (4) f 3 124f (3 f 3 12f 00 f 3 2632f 0 f 3 1352f 3
+
+
+
+
9r8
3r2
3r3
3r4
3r5
r6
9r7
9r8
2
2
2f (4) f 2 1 00 (6) 2 38f (3 f (4) f 2 20f 00 f (5) f 2 4f 0 f (6) f 2 71f (3 f 2 21f 00 f (4) f 2
+ f f f +
+
+
+
+
3
3
3r
3r
3r
6r2
r2
2 2
(6)
2
00
(3
2
0
(4)
2
(5)
2
00
0
(3
0
(5)
2
2f f
158f f f
56f f f
4f f
82f f
166f f f 2
11f f f
r2
3r2
3r3
3r3
3r3
3r4
3r4
2
52f (4) f 2 1100f 0 f 00 f 2 136f (3 f 2 226f 0 f 2 88f 00 f 2 1744f 0 f 2 32f 2 1 00 (3 2
+
+
f f f
3r4
3r5
3r5
r6
r6
3r7
3r8
3
1 00 2 (4)
8
7
11f 00 2 f (3 f
16f 0 f 00 f (4) f
14f 0 2 f (5) f
113f 00 3 f
f f f + f 0 f (3 f (4) f + f 0 f 00 f (5) f
+
+
6
3
6
3r
r
3r
9r2
2
2
2
2
13f (3 f
28f 0 f 00 f (3 f
14f 0 f (4) f
f 00 f (4) f
7f 0 f (5) f
124f 0 f 00 f
88f 0 f (3 f
+
+
6r2
3r2
r2
r2
3r2
r3
r3
2
2 00
3
00
(3
0
(4)
00
0
0
(3
(4)
0
70f f f
20f f f
80f f
176f f f
154f f f
8f f
1378f f
+
+
+
+
+
3
3
4
4
4
4
3r
3r
3r
3r
3r
3r
9r5
2
2
4
2
4f (3 f
102f 0 f
76f 00 f
856f 0 f
520f
f 00
f 0 f (3
1 0 00 2 (3
868f 0 f 00 f
+
+
+
+
+
+
ff f
3r5
r5
r6
r6
3r7
9r8
12
4
3
1 0 2 00 (4) 2f 0 f 00 3 2f 0 2 f 00 f (3 4f 0 3 f (4) 4f 00 3 8f 0 2 f 00 2 f 0 3 f (3 4f 0 f 00 f (3
f f f
+
+
+
3
9r
3r
3r
9r2
3r2
r2
3r2
2 (4)
3 00
2 (3
4
2
2 00
3
0
0
0
0
00
0
0
(3
0
2f f
52f f
14f f
169f
2f
16f f
4f f
532f
8f 0 f 00
+
+
+
+
+
3r2
3r3
3r3
9r4
3r4
3r4
3r4
9r5
3r5
2
4
53f 0 f (3 f
36f 0 2 32f 0
(3 (5) 2
+
f
f
f
+
,
(466)
r6
9r7
9r8
6r
(3)t
Tt
+
+
+
+
+
+
+
+
242f 4 704f 3 f 0 72f 3 f 00 8f 3 f (3) 4f 3 f (4) 728f 3 108f 2 f 0 2 244f 2 f 0 f 00
+
+
+
3r8
3r7
r6
r5
r4
3r8
r6
r5
2
2
40f 2 f 00 f (3) 4f 2 f 00 f (4) 144f 2 f 00 4f 2 f (3)
18f 2 f 0 f (3) 464f 2 f 0 11f 2 f 00
+
+
+
+
+
r4
r7
r4
r3
r2
r6
r2
3
2 00
2 (3)
2 (4)
2
(4)
2
0
0
0
0
2
(3)
8f f
244f
272f f
124f f f
72f f f
16f f f
72f f 0 2
16f f
+
+
+
r5
r4
r8
3r5
r4
r3
r2
r6
2
2
108f f 0 f 00
106f f 0 f 00 f (3) 8f f 0 f 00 f (4) 248f f 0 f 00 8f f 0 f (3)
20f f 0 f (3) 16f f 0 f (4)
+
+
+
+
r3
r2
r
r5
r
r4
r3
3
2 (3)
0
00
00
00
(3)
00
(4)
224f f
100f f
22f f f
40f f f
4f f f
72f f 00
00 2 (4)
00 (3) 2
+
+
+
f
f
f
+
2f
f
f
r7
3r2
r
r3
r2
r6
2
4
3
3
2
2
2
4f f (3)
8f f (3) 4f f (4) 248f
80f 0
8f 0 f 00 176f 0
7f 0 f 00
4f 0 f 00 f (3)
+
+
+
+
+
r2
r5
r4
3r8
3r4
r3
3r5
r2
r
2 00
2 (3)
2
3
0
0
0
0
00
2
0
(4)
0
00
(3)
0
4f f
8f f
36f
ff
1 0 00 2 (3) 16f f f
2f f f
4f f 00
+
+
f
f
f
+
r4
r3
r6
3r
2
r3
r2
r5
4
3
2
3 (3)
2
0
(3)
0
00
00
00
0
00
2f f
16f
f
2f
f
2
8f f
10f f
+
+
+ 8+
,
(467)
4
7
2
4
2
r
3r
8
3r
r
3r
r
r4
(4)t
Tt
+
+
+
+
+
+
=
=
160
8
Dodatek
161
386f 4 23f (7) f 3 37f (6) f 3 37f (5) f 3 103f (4) f 3 1121f (3) f 3 3097f 00 f 3
+
+
+
945r8
7560r
1512r2
1260r3
1260r4
3150r5
3150r6
2 2
0
3
(4)
(3)
(5)
2
00
(6)
2
0
(7)
2
(3)
(4)
2
00
(5)
7823f f
f
f
f f f
f f f
ff f
f f f
f f f2
+
+
+
+
4725r7
2520
1260
1260
1260
630r
84r
2 2
00
(4)
2
0
(5)
2
00
(3)
2
0
(4)
0
(6)
2
(3)
23f f f
4f f f
183f f f
283f f f 2 f (5) f 2
29f f f
f
f
+
+
+
1260r
168r2
252r2
45r2
700r3
1260r3
90r3
2 2
2 2
00
0
(3)
2
(4)
2
0
00
2
(3)
2
0
00
127f f
1441f f f
2f f
3937f f f
2f f
1511f f
4f f 2
+
+
+
+
3150r4
6300r4
45r4
3150r5
9r5
900r6
9r6
2
4f 0 f 2
f2
1 0 2 (6)
f 0 f (3) f
f 00 2 f (3) f
f 0 f 00 f (4) f
17f 0 2 f (5) f
11f 00 3 f
+
+
f
f
f
+
+
+
9r7
3r8 210
360r
630r
84r
420r
1260r2
2
2
2
2
f (3) f
13f 0 f 00 f (3) f
f 0 f (4) f
f 00 f (4) f
f 0 f (5) f
1291f 0 f 00 f
169f 0 f (3) f
+
840r2
1260r2
126r2
420r2
420r2
6300r3
1260r3
2
2 00
3
0
(4)
00
0
0
(3)
0
0
00
(3)
ff f
f f
1249f f f
ff f
3289f f
41f f f
7f f
113f 0 2 f
+
+
+
+
45r3
18r4
2100r4
18r4
6300r5
90r5
450r5
180r6
2
4
2
3
3
41f 00 f
73f 0 f
68f
f 00
f 0 f (3)
1 0 00 2 (3) f 0 f (5) f 0 f 00
+
+
ff f +
+
450r6
225r7
945r8 1680
420
420
210
630r
3 (4)
3
2 00 2
3 (3)
2 (4)
2 00 (3)
0
00
0
0
0
00
(3)
0
0
f f
f
37f f
f f
ff f
f f
23f 0 3 f 00
f f f
+
+
+
+
315r
63r
945r2
1260r2
18r2
315r2
210r2
225r3
4
2
2 00
3
2
0
00
0
0
(3)
0
0
00
0
0
3f
f
4f f
ff
4f
ff
26f
8f
1
+
+
+
+
,
(468)
4
4
4
4
5
5
6
7
175r
900r
45r
450r
15r
225r
225r
945r
315r8
Tr(0)r =
+
+
+
+
+
+
161
162
8
40f 4 f (7) f 3 8f (6) f 3 71f (5) f 3 191f (4) f 3 281f (3) f 3 3277f 00 f 3 134f 0 f 3
+
+
+
21r8
35r
35r2
210r3
210r4
63r5
315r6
9r7
2
10f 3 f (4) f 2
1 (3) (5) 2
1 00 (6) 2
1 0 (7) 2 41f (3) f (4) f 2 109f 00 f (5) f 2
+
f
f
f
+
f
f
f
ff f +
3r8
280
140
140
140
1260r
1260r
2 2
0
(6)
2
(3)
00
(4)
2
0
(5)
2
00
(3)
2
0
(4)
2
3f f f
118f
f
59f f f
437f f f
1033f f f
25f f f
f (5) f 2
+
+
+
14r
315r2
140r2
630r2
315r3
9r3
6r3
2 2
2 2
0
(3)
2
(4)
2
0
00
2
(3)
2
0
00
00
1234f f f
17f f
1583f f f
152f f
4841f f
224f f 2
199f f
+
+
630r4
315r4
30r4
105r5
45r5
210r6
45r6
0
2
2
44f f
188f
1 00 2 (4)
1 0 (3) (4)
1 0 00 (5)
3 0 2 (6)
f f f+
ff f f+
ff f f
f f f
7
8
45r
45r
420
210
420
70
2
2
169f 0 f (3) f
f 00 2 f (3) f
11f 0 f 00 f (4) f
107f 0 2 f (5) f
71f 00 3 f
23f (3) f
187f 0 f 00 f (3) f
+
1260r
42r
630r
315r
1260r2
1260r2
252r2
2 (4)
2
2 (3)
0
00
(4)
0
(5)
0
00
0
00
(3)
0
137f f f
23f f f
23f f f
647f f f
361f f f
f f f
f f (4) f
+
+
+
+
315r2
630r2
630r2
315r3
315r3
18r3
3r3
2 00
3
2
2
0
0
(3)
0
0
00
(3)
0
00
2738f f f
107f f f
109f f
61f f f
13f f
71f f
59f 00 f
23f f
+
+
+
45r4
315r4
90r4
14r5
9r5
45r5
6r6
45r6
2
1 0 2 00 (4) 3f 0 3 f (5) 4f 0 f 00 3
262f 0 f
326f
f 00 4 f 0 2 f (3)
2 0 00 2 (3)
f
+
+
+
f
f
f f f
45r7
315r8 210
40
105
210
70
315r
31f 0 2 f 00 f (3) 5f 0 3 f (4) 11f 00 3 347f 0 2 f 00 2 787f 0 3 f (3) 11f 0 f 00 f (3) 23f 0 2 f (4)
+
+
+
315r
63r
630r2
1260r2
1260r2
210r2
315r2
3
2
4
2
2
3
53f 0 f 00 f 0 f (3)
137f 0
f 00
6f 0 f 00 2f 0 f (3) 187f 0
4f 0 f 00 88f 0 2
+
+
+
+
+
+
35r3
18r3
1260r4 45r4
5r4
45r4
45r5
45r5
45r6
0
8
44f
,
(469)
7
315r
315r8
Tr(1)r =
+
+
+
+
+
+
Dodatek
162
8
Dodatek
163
10f 4 f (7) f 3 8f (6) f 3 11f (5) f 3 137f (4) f 3 281f (3) f 3 473f 00 f 3 314f 0 f 3
+
+
+
+
r8
15r
15r2
9r3
45r4
15r5
15r6
15r7
2
290f 3 f (4) f 2
1 (3) (5) 2
1 00 (6) 2
1 0 (7) 2 7f (3) f (4) f 2 f 0 f (6) f 2
+
f
f
f
f
f
f
+
ff f
+
9r8
120
60
60
60
15r
2r
2 2
(3)
00
(4)
2
0
(5)
2
00
(3)
2
0
(4)
2
(5)
553f
f
173f f f
59f f f
611f f f
518f f f
37f f 2
+
+
180r2
90r2
90r2
45r3
45r3
45r3
2 2
2 2
0
(3)
2
(4)
2
0
00
2
(3)
2
0
00
1061f f f
101f f
302f f f
88f f
1741f f
76f 00 f 2
107f f
+
+
+
+
15r4
45r4
45r4
5r5
5r5
15r6
5r6
0
2
2
572f f
692f
1 2
1 0 (3) (4)
1 0 00 (5)
1 2
+
+ f 00 f (4) f
ff f f
f f f f + f 0 f (6) f
7
8
15r
45r
20
10
20
10
2
2
2 (3)
2 (5)
3
0
(3)
00
0
00
(4)
0
00
211f f
f
73f f f
34f f f f
26f f f
17f f
17f (3) f
+
+
+
+
180r
180r
45r
45r
60r2
180r2
2 (4)
2
0
00
(3)
0
00
(4)
0
(5)
0
00
53f f f f
161f f f
17f f f
17f f f
109f f f
13f 0 2 f (3) f
+
10r2
45r2
90r2
90r2
30r3
45r3
2
2 00
3
0
(4)
00
0
0
(3)
0
00
(3)
74f f f
f f
703f f f
137f f f
653f f
524f 0 f 00 f
8f f f
+
+
9r3
45r3
10r4
15r4
15r4
15r5
15r5
2
31f (3) f
1231f 0 2 f
101f 00 f
1838f 0 f
302f
f 00 4 f 0 2 f (3)
1
2
+
+
+
+ f 0 f 00 f (3)
5
6
6
7
8
15r
15r
15r
45r
45r
40
8
10
1 0 2 00 (4) f 0 3 f (5) f 0 f 00 3 67f 0 2 f 00 f (3) 11f 0 3 f (4) 11f 00 3 2f 0 2 f 00 2
f f f +
+
+
10
10
15r
90r
45r
90r2
5r2
3
2
3
2
4
167f 0 f (3) 11f 0 f 00 f (3) 17f 0 f (4) 41f 0 f 00 8f 0 f (3) 37f 0
8f 00 2 5f 0 2 f 00
+
+
90r2
30r2
45r2
5r3
9r3
10r4
45r4
r4
44f 0
2
16f 0 f (3) 212f 0 3 32f 0 f 00 38f 0 2
+
+
+
,
(470)
4
5
5
6
7
45r
9r
45r
3r
45r
15r8
Tr(2)r =
+
+
+
+
163
164
8
Dodatek
364f 4 824f 3 f 0 20f 3 f 00 28f 3 f (3) 8f 3 f (4) 4f 3 f (5) 520f 3 258f 2 f 0 2
+
+
+
+
+
+
9r8
9r7
r6
r5
3r4
3r3
9r8
r6
2
268f 2 f 0 f 00 166f 2 f 0 f (3) 16f 2 f 0 f (4) 3f 2 f 0 f (5) 656f 2 f 0 82f 2 f 00
50f 2 f 00 f (3)
+
+
+
3r5
3r4
r3
r2
3r7
3r4
3r3
2
2
00
(4)
2
00
(5)
2
00
2
(3)
2
(3)
(4)
2
(3)
2
(4)
9f f f
2f f f
8f f
41f f
4f f f
104f f
8f f
+
+
+
+
2
6
2
5
r
3r
r
6r
3r
3r
3r4
3
2
2
2
2
4f 2 f (5) 16f 2 1018f f 0
328f f 0 f 00 56f f 0 f (3) 8f f 0 f (4) 2f f 0 f (5) 246f f 0 2
+
+
+
+
3r3
3r8
9r5
3r4
3r3
r2
3r
r6
2
2
0
00
(3)
0
00
(4)
0
(3)
0
00
0
00
6f f f f
8f f f f
17f f f
20f f f
1
212f f f
1
+
+
+
+ f f 0 f 00 f (5) +
+ f f 0 f (3) f (4)
3
2
5
r
r
3r
6
3r
6r
3
3
2 (3)
0
(3)
0
(4)
0
(5)
0
00
00
30f f f
8f f f
ff f
392f f
23f f
5f f f
1 00 2 (4) 32f f 00 2
+
ff f +
r4
3r3
3r2
3r7
9r2
3r
6
3r4
2
4
3 00
00
(4)
00
(3)
(3)
0
0
00
(3)
ff f
12f f
ff
20f f
200f
169f
52f f
f 0 3 f (3)
14f f f
+
+
3r3
3r2
r6
6r2
3r5
9r8
9r4
3r3
r2
2
4f 0 3 f (4) 532f 0 3 8f 0 2 f 00 2 2f 0 2 f 00 f (3) 1 0 2 00 (4) 16f 0 2 f 00 f 0 2 f (3)
14f 0 2 f (3)
f
f
+
+
+
f
+
+
3r
9r5
3r2
3r
3
3r4
4
3r3
2 (4)
2
3
0
0
0
00
0
00
(3)
0
00
0
(3)
0
00
2f f
36f
2f f
1 0 00 2 (3) 4f f f
8f f
4f f
32f
f 4
+
f
f
f
+
+
+
3r2
r6
9r
3
3r2
3r5
3r4
9r7
12
3
2
00
00
4f
2f
4
+
,
(471)
9r2
3r4
9r8
Tr(3)r =
+
+
+
+
94f 4 448f 3 f 0 8f 3 f (3) 280f 3 228f 2 f 0 2 44f 2 f 0 f 00 34f 2 f 0 f (3) 304f 2 f 0
+
+
+
+
+
3r8
3r7
r5
3r8
r6
r5
r4
r7
3
2 00
2 (3)
2
2
00
(3)
2
(3)
2
0
0
0
2
00
8f f f
16f f
92f
368f f
92f f f
40f f f
264f f 0 2
23f f
+
+
+
+
+
r4
r3
r5
r8
3r5
r4
r3
r6
2
3
2
60f f 0 f 00
18f f 0 f 00 f (3) 40f f 0 f 00 36f f 0 f (3) 160f f 0 22f f 00
2f f 00 f (3) 22f f 00 2
+
+
+
+
r3
r2
r5
r4
r7
3r2
r
r4
4
3
3
3
2
2
2
8f f 00 f (3) 8f f (3) 88f
80f 0
8f 0 f 00 8f 0 f (3) 176f 0
7f 0 f 00
4f 0 f 00 f (3)
+
+
+
+
+
+
+
r3
r5
3r8
3r4
r3
r2
3r5
r2
r
2 00
2 (3)
2
3
0
0
0
00
0
00
(3)
0
00
0
8f f
36f
ff
1 0 00 2 (3) 2f f f
4f f
2f 0 f (3) 16f 0
4f f
+
+
+ ff f
+
+
r4
r3
r6
3r
2
r2
r5
r4
3r7
4
3
2
00
00
00
f
2f
f
2
+
+ 8.
(472)
2
4
8
3r
r
3r
Tr(4)r =
W powyz·szych wzorach f 0 (r), f 00 (r), f (k) (r) oznaczaja¾ pierwsza,
¾ druga¾ i k-ta¾ pochodna¾ wzgledem
¾
r. Sk÷adowe katowe
¾
¾ moz·na uzyskać, korzystajac
¾ z zasady zachowania rb Tab = 0,
która prowadzi do toz·samości
T
(2)
=T
(2)
=
1 f0
(2)t
Tt
4f
164
1
0
Tr(2)r + Tr(2)r r + Tr(2)r .
2
(473)
8
Dodatek
8.7
8.7.1
165
Przyk÷
ady kodów źród÷
owych
Jezyk
¾
Form
Fragment programu „[an ]” napisany w jezyku
¾
Form. Program ten jest cześci
¾ a¾ sk÷
adowa¾ projektu
s÷uz·acego
¾
do obliczeń wspó÷czynników HaMiDeW sposobem podstawowym opartym na jezyku
¾
Form.
.
.
.
.
.
Global A{’n’+1}’rzadpoch’=sigma(Lx)*a{’n’+1}(Lx)+(’n’+1)*a{’n’+1}
-([/n]*a’n’)*W(Lx,Lx)*[1/n]+R(Lx,Ly,Lx,Ly)*a{’n’}*xi;
if (’rzadpoch’!=0) ;
Multiply right W(L1,...,L’rzadpoch’);
endif;
repeat;
id W=1;
id R?Fun(?a)*W(b1?,?c)=(R(?a,b1)+W(b1)*R(?a))*W(?c);
endrepeat;
id W(?a)=0;
id a0=1;
id a0(b1?,?a)=0;
id sigma(?a)=siig(?a);
id [/n](?a)=[//nn](?a);
id [1/n](?a)=[1//nn](?a);
id a’n’(?a)=aa’n’(?a);
id a{’n’+1}(?a)=aa{’n’+1}(?a);
id siig(L?)=0;
id siig(U?,L?)=g(U,L);
id siig(b1?,b2?,b3?)=0;
id g(?a,L1?,?b)*siig?(?c,L1?,?d)=siig(?c,?a,?b,?d);
id [//nn]=1;
id [1//nn]=1;
165
166
8
Dodatek
id [//nn](L1?)=0;
id [1//nn](L1?)=0;
id siig(?a)=sigma(?a);
id [//nn](?a)=[/n](?a);
id [1//nn](?a)=[1/n](?a);
id aa’n’(?a)=a’n’(?a);
id aa{’n’+1}(?a)=a{’n’+1}(?a);
id a{’n’+1}(b1?,...,b’rzadpoch’?)=ax{’n’+1}(b1,...,b’rzadpoch’);
repeat;
#do i=1,{’rzadpoch’-1}
#do j=’i’,{’rzadpoch’-1}
id ax{’n’+1}(L{’j’+1},L{’i’},?c)=ax{’n’+1}(L’i’,L{’j’+1},?c);
id ax{’n’+1}(b1?,L{’j’+1},L{’i’},?c)=ax{’n’+1}(b1,L’i’,L{’j’+1},?c)
+a{’n’+1}(Lw)*R(Lw,b1,L{’j’+1},L’i’)*W(?c);
id ax{’n’+1}(b1?,b2?,L{’j’+1},L{’i’},?c)=ax{’n’+1}(b1,b2,L’i’,L{’j’+1},?c)
+(a{’n’+1}(Lw,b2)*R(Lw,b1,L{’j’+1},L’i’)
+a{’n’+1}(b1,Lw)*R(Lw,b2,L{’j’+1},L’i’))*W(?c);
id ax{’n’+1}(b1?,...,b3?,L{’j’+1},L{’i’},?c)=ax{’n’+1}(b1,b2,b3,L’i’,
L{’j’+1},?c)
+(a{’n’+1}(Lw,b2,b3)*R(Lw,b1,L{’j’+1},L’i’)
+a{’n’+1}(b1,Lw,b3)*R(Lw,b2,L{’j’+1},L’i’)
+a{’n’+1}(b1,b2,Lw)*R(Lw,b3,L{’j’+1},L’i’))*W(?c);
id ax{’n’+1}(b1?,...,b4?,L{’j’+1},L{’i’},?c)=ax{’n’+1}(b1,b2,b3,b4,L’i’,
L{’j’+1},?c)
+(a{’n’+1}(Lw,b2,b3,b4)*R(Lw,b1,L{’j’+1},L’i’)
+a{’n’+1}(b1,Lw,b3,b4)*R(Lw,b2,L{’j’+1},L’i’)
+a{’n’+1}(b1,b2,Lw,b4)*R(Lw,b3,L{’j’+1},L’i’)
+a{’n’+1}(b1,b2,b3,Lw)*R(Lw,b4,L{’j’+1},L’i’))*W(?c);
166
8
Dodatek
167
#enddo
#enddo
endrepeat;
repeat;
id W=1;
id R?Fun(?a)*W(b1?,?c)=(R(?a,b1)+W(b1)*R(?a))*W(?c);
endrepeat;
id W(?a)=0;
id ax{’n’+1}(?a)=a{’n’+1}(?a);
#if ’rzadpoch’>2
#do kk=4,{’rzadpoch’+1}
id sigma(L1?,...,L’kk’?)=F’kk’;
#enddo
#endif
argument;
#do k=1,10
repeat id N’k’_?=Lx’k’ ;
#enddo
endargument;
id [/n](L1?,...,L’kk’?)=T’kk’;
#enddo
argument;
#do k=1,10
repeat id N’k’_?=Lx’k’ ;
#enddo
167
168
8
endargument;
#do kk=2,’rzadpoch’
id [1/n](L1?,...,L’kk’?)=OT’kk’;
#enddo
#endif
argument;
#do kk=1,10
repeat id N’kk’_?=Lw’kk’ ;
#enddo
endargument;
#if ’n’!=0 & & ’kk’!=0
id a’n’(L1?,...,L’kk’?)=A’n”kk’;
#elseif ’n’!=0
id a’n’=A’n’0;
#endif
#enddo
#do k=1,{’rzadpoch’-2}
id a{’n’+1}(L1?,...,L’k’?)=A{’n’+1}’k’;
#enddo
#endif
id R(?a)=RR(?a);
sum Lx1,...,Lx10,Lw1,...,Lw10,Lx,Ly,Lw;
AntiSymmetrize RR 1,2;
AntiSymmetrize RR 3,4;
Symmetrize RR (1,2) , (3,4);
id RR(?a)=R(?a);
multiply -1/{’rzadpoch’+1+’n’};
id a{’n’+1}(?a)=0;
168
Dodatek
8
Dodatek
169
.store
save a{’n’+1}’rzadpoch’.sav A{’n’+1}’rzadpoch’;
.end
8.7.2
Jezyk
¾
Mathematica
Program „[an ]” napisany w jezyku
¾
Mathematica.
Program ten jest cześci
¾ a¾ sk÷adowa¾ projektu
s÷uz·acego
¾
do obliczeń wspó÷
czynników HaMiDeW sposobem podstawowym opartym na jezyku
¾
Mathematica.
nn=0;
rzadpoch=0;
sum=11;
F0=si[sum]*Subscript[a, nn+1][sum]+(nn+1)*Subscript[a, nn+1][]
-DD[troj[]*Subscript[a, nn][],sum,sum]*otroj[]
+R[sum,sum+1,sum,sum+1]*Subscript[a, nn][]*n[Xi];
F1=DD[F0,Table[i,{i,rzadpoch}]]/.List->Sequence;
Clear[F0]
DD[n[Xi] B_[x_ _ _]*W_[y_ _ _],c_ _ _]:=n[Xi] DD[B[x]*W[y],c]
DD[A_[x_ _ _]+B_[y_ _ _]]:=DD[A[x]]+DD[B[y]]
DD[A_[x_ _ _]]:=A[x]
DD[A_+B_,c_ _ _]:=DD[A,c]+DD[B,c]
DD[A_?NumericQ*B_,c_ _ _]:=A*DD[B,c]
DD[A_[x_ _ _]*B_[y_ _ _],c_,d_ _ _]:=DD[DD[A[x],c]*B[y]+A[x]*DD[B[y],c],d]
DD[A_[z_ _ _]^n_,c_,d_ _ _]/;n>1:=DD[n*A[z]^(n-1)*DD[A[z],c],d]
DD[si_[x_ _ _],y_ _]:=si[x,y]
F2=Expand[F1];
Clear[F1,DD]
F3=F2/.{si[a_,b_]-> g[a,b],si[a_]->0,si[a_,b_,c_]->0,troj[a_]->0,
otroj[a_]->0,troj[]->1,otroj[]->1,Subscript[a,0][]->1,
Subscript[a, 0][a_ _]->0};
Clear[F2]
SetAttributes[g,Orderless];
F4=F3/.{g[a_,x_]*A_[y_ _ _,a_,z_ _ _]-> A[y,x,z] ,g[a_,a_]->4};
169
170
8
Dodatek
Clear[F3]
F5=F4/.Subscript[a, nn+1][a_ _ _]/;Length[{a}]==rzadpoch->Subscript[aa,
nn+1][a];
Clear[F4]
Subscript[aa, nn+1][y_,x_,c_ _ _]/;y>x:=Subscript[aa, nn+1][x,y,c]
Subscript[aa, nn+1][b1_,y_,x_,c_ _ _]/;y>x:=Subscript[aa, nn+1][b1,x,y,c]
+DD[Subscript[a, nn+1][sum]*RR[sum,b1,y,x],c]
Subscript[aa, nn+1][b1_,b2_,y_,x_,c_ _ _]/;y>x:=Subscript[aa, nn+1][b1,b2,
x,y,c]
+DD[Subscript[a, nn+1][sum,b2]*RR[sum,b1,y,x]
+Subscript[a, nn+1][b1,sum]*RR[sum,b2,y,x],c]
Subscript[aa, nn+1][b1_,b2_,b3_,y_,x_,c_ _ _]/;y>x:=
Subscript[aa, nn+1][b1,b2,b3,x,y,c]
+DD[Subscript[a, nn+1][sum,b2,b3]*RR[sum,b1,y,x]
+Subscript[a, nn+1][b1,sum,b3]*RR[sum,b2,y,x]
+Subscript[a, nn+1][b1,b2,sum]*RR[sum,b3,y,x],c]
Subscript[aa, nn+1][b1_,b2_,b3_,b4_,y_,x_,c_ _ _]/;y>x:=
Subscript[aa, nn+1][b1,b2,b3,b4,x,y,c]
+DD[Subscript[a, nn+1][sum,b2,b3,b4]*RR[sum,b1,y,x]
+Subscript[a, nn+1][b1,sum,b3,b4]*RR[sum,b2,y,x]
+Subscript[a, nn+1][b1,b2,sum,b4]*RR[sum,b3,y,x]
+Subscript[a, nn+1][b1,b2,b3,sum]*RR[sum,b4,y,x],c]
F6=Expand[F5]/.RR[a_ _ _]->R[a]/.Subscript[aa, nn+1][a_ _ _]->0;
Clear[F5]
DD[A_[x_ _ _]*B_[y_ _ _],c_,d_ _ _]:=DD[DD[A[x],c]*B[y]+A[x]*DD[B[y],c],d]
DD[A_+B_,c_ _ _]:=DD[A,c]+DD[B,c]
DD[A_[s_ _ _],x_]:=A[s,x]
DD[A_[x_ _ _]]:=A[x]
F7=Expand[F6];
Clear[F6,DD]
R[b_,a_,c_ _ _]/;b>a:=-R[a,b,c]
R[b1_,b2_,b_,a_,c_ _ _]/;b>a:=-R[b1,b2,a,b,c]
R[b_,b1_,a_,b2_,c_ _ _]/;b>a:=R[a,b2,b,b1,c]
170
8
Dodatek
171
FX=Expand[F7];
Clear[R,F7]
AlfabetBlankAJ={Pattern[a,Blank[]],Pattern[b,Blank[]],Pattern[c,Blank[]],
Pattern[d,Blank[]],Pattern[e,Blank[]],Pattern[f,Blank[]],Pattern[g,Blank[]],
Pattern[h,Blank[]],Pattern[i,Blank[]],Pattern[j,Blank[]]};
Listka=Join[CharacterRange[”a",”z"],{s1,s2,s3,s4,s5,s6}];
Lis={ };
Do[
Lis=Append[Lis,R[a1_ _ _,ii,a2_ _ _]->R[a1,ToExpression[Listka[[ii]]],a2]
]
,{ii,1,10}]
sigma4iWyzejLista=Table[si[Take[AlfabetBlankAJ,{1,i}]//.List->Sequence]->
Get[StringJoin[”sigma",ToString[i]]],{i,4,rzadpoch+1}]//.Lis;
trojk2iWyzejLista=Table[troj[Take[AlfabetBlankAJ,{1,i}]//.List->Sequence]->
Get[StringJoin["trojk",ToString[i]]],{i,2,rzadpoch+2}]//.Lis;
otroj2iWyzejLista=Table[otroj[Take[AlfabetBlankAJ,{1,i}]//.List->Sequence]->
Get[StringJoin[”otrojk",ToString[i]]],{i,2,rzadpoch}]//.Lis;
aniwyzej=Table[aaaa[Take[AlfabetBlankAJ,{1,i}]//.List->Sequence]->
Get[StringJoin[”a",ToString[nn],ToString[i]]],{i,0,rzadpoch+2}]//.Lis/.
aaaa->Subscript[a, nn];
anPlus1iwyzej=Table[aaaa[Take[AlfabetBlankAJ,{1,i}]//.List->Sequence]->
Get[StringJoin[”a",ToString[nn+1],ToString[i]]],{i,0,rzadpoch-2}]//.Lis/.
aaaa->Subscript[a, nn+1];
XXX1=Map[Expand,Take[Apply[List,FX],{1,Length[FX]}]/.sigma4iWyzejLista]
/.trojk2iWyzejLista/.otroj2iWyzejLista/.aniwyzej/.anPlus1iwyzej ;
XXX=Expand[Apply[Plus,XXX1]*(-1/(rzadpoch+1+nn))] ;
Clear[XXX1]
R[b_,a_,c_ _ _]/;b>a:=-R[a,b,c]
R[b1_,b2_,b_,a_,c_ _ _]/;b>a:=-R[b1,b2,a,b,c]
R[b_,b1_,a_,b2_,c_ _ _]/;b>a:=R[a,b2,b,b1,c]
XXX2=XXX;
Clear[XXX,R]
Needs["xAct‘xTensor‘"]
171
172
8
xtensorRAM=MemoryInUse[]-mathRAM
Needs["xAct‘Invar‘"]
DefManifold[M,{1,2,3,4},{a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,
u,v,w,x,y,z,s1,s2,s3,s4,s5,s6}];
DefMetric[-1,metric[-a,-b],CD,{";","n[EmptyDownTriangle]"},
CurvatureRelations->False]
PrintAs[metric]^="g";
PrintAs[epsilonmetric]^="n[Epsilon]";
PrintAs[RiemannCD]^=”R";
PrintAs[RicciCD]^=”R";
PrintAs[RicciScalarCD]^=”R";
PrintAs[WeylCD]^="W";
PrintAs[TFRicciCD]^=”S";
Listka=Join[CharacterRange[”a",”z"],{s1,s2,s3,s4,s5,s6}];
Liscik={ };
Do[
Liscik=Append[Liscik,R[a1_ _ _,ii,a2_ _ _]R[a3_ _ _,ii,a4_ _ _]->
R[a1,-ToExpression[Listka[[ii]]],a2]R[a3,ToExpression[Listka[[ii]]],a4]
]
,{ii,1,30}]
Liscik2={ };
Do[
Liscik2=Append[Liscik2,R[a1_ _ _,ii,a2_ _ _,ii,a3_ _ _]->
R[a1,-ToExpression[Listka[[ii]]],a2,ToExpression[Listka[[ii]]],a3]
]
,{ii,1,30}]
Liscik3={ };
Do[
Liscik3=Append[Liscik3,R[a1_ _ _,ii,a2_ _ _]^2->R[a1,-ToExpression[
Listka[[ii]]],a2]R[a1,ToExpression[Listka[[ii]]],a2]
]
,{ii,1,30}]
Liscik4={ };
Do[
Liscik4=Append[Liscik4,R[a1_ _ _,ii,a2_ _ _]->R[a1,ToExpression[
172
Dodatek
8
Dodatek
173
Listka[[ii]]],a2]
]
,{ii,1,30}]
YYY=XXX2//.Flatten[{Liscik,Liscik2,Liscik3}]//.Liscik4 ;
Clear[XXX2]
DefTensor[R[a,b,c,d],M,RiemannSymmetric[{a,b,c,d}]]
DefConstantSymbol[n[Xi]]
Length[YYY]
FFF=YYY//ToCanonical;
Length[FFF]
Clear[YYY]
If[Head[FFF]===Plus,glebokosc=1,glebokosc=0];
Sum1=Apply[V,FFF,{glebokosc}]//.R[a_ _]^n_Integer->Sequence[R[a]^(n-1),
R[a]]/.R[a_ _ _]->Sequence[R,a]/.V[a_?NumberQ,b_ _]->a*V[b]/.V[n[Xi]^n_,
b_ _]/;n>=1->n[Xi]^n*V[b]/.V[n[Xi],b_ _]->n[Xi]*V[b];
Clear[FFF]
Sum2=Sum1//.V[a_ _ _,-b_,c_ _ _]->V[a,b,c];
Clear[Sum1]
Do[
Sum2=Sum2/.V[q_ _,j_,e_ _ _,j_,r_ _ _]/;!MemberQ[Range[1,100],j]n[And]
(!MemberQ[{R},j])->V[q,iii,e,iii,r] ;
,{iii,26,32}
]
V[R,a_ _,R,b_ _]:=R[a]*V[R,b]
V[R,a_ _]:=R[a]
Liscik4={ };
Do[
Liscik4=Append[Liscik4,R[a1_ _ _,ToExpression[Listka[[ii]]],
a2_ _ _]->R[a1,ii,a2]
]
,{ii,1,10}]
FFF2=Sum2//.Liscik4 ;
Clear[Sum2,V]
173
174
8
Dodatek
Length[Expand[FFF2]]
F10=Expand[FFF2];
Clear[FFF2,sigma]
F10>>”a"<>ToString[nn+1]<>ToString[rzadpoch]
UndefTensor[R];
UndefConstantSymbol[n[Xi]];
SelectionMove[uruchomWszystkieNot,Next,Cell];
SelectionEvaluate[uruchomWszystkieNot];
8.7.3
Jezyk
¾
Maple
¾
Maple. Program ten jest cześci
¾ a¾ sk÷adowa¾ projektu s÷uz·acego
¾
do
obliczeń wspó÷czynników HaMiDeW sposobem podstawowym opartym na jezyku
¾
Maple.
restart;
n:=2;
rzadpoch:=0;
F1:=expand(sigma(Lw)&* ajj(n+1)(Lw)+(n+1)*ajj(n+1)(x1)
-OVleck(x1)&*DD[Lw]&*DD[Lw]&*Vleck(x1)&* ajjn(x1));
F2:=expand(‘&*‘(seq(DD[rzadpoch+1-i],i=1..rzadpoch),F1))+‘&*‘(xi,
seq(DD[rzadpoch+1-i],i=1..rzadpoch),R(Lw,Lx,Lw,Lx),ajjn(x1));
Poch1:=proc(x)
local a,b,c,v,i,zbior,elem;;
if not has(x,{seq(DD[i],i=1..12),DD[Lw]}) then
return x;
elif type(op(1,x),numeric) then
a:=Array([op(op(2,x))]);
if op(0,rhs(op(nops(op(3,a)),op(3,a))))=DD then
return 0;
end if;
v:=op(1,x);
else
a:=Array([op(x)]);
if op(0,rhs(op(nops(op(3,a)),op(3,a))))=DD then
174
8
Dodatek
175
return 0;
end if;
v:=1;
end if;
for i to nops(op(3,a))-1 do
zbior:={sigma,R,Vleck,OVleck,ajjn,ajj(n+1)}:
if op(0,rhs(op(i,op(3,a))))=DD and op(0,rhs(op(i+1,op(3,a)))) in zbior
then
elem:=op(0,rhs(op(i+1,op(3,a)))):
b:=Array(1..nops(op(3,a))-1);
b[1..i-1]:=a[1..i-1];
b[i]:=elem(op(rhs(op(i+1,op(3,a)))),op(1,rhs(op(i,op(3,a)))));
b[i+1..nops(op(3,a))-1]:=a[i+2..nops(op(3,a))];
c:=Array(1..nops(op(3,a)));
c[1..i-1]:=a[1..i-1];
c[i]:=elem(op(rhs(op(i+1,op(3,a)))));
c[i+1]:=DD[op(1,rhs(op(i,op(3,a))))];
c[i+2..nops(op(3,a))]:=a[i+2..nops(op(3,a))];
return v*‘&*‘(op(convert(b,list)))+v*‘&*‘(op(convert(c,list)));
return v*‘&*‘(op(convert(b,list)))+v*‘&*‘(op(convert(c,list)));
end if;
end do;
end proc:
PochAll:=proc(x::evaln)
if has(eval(x),{seq(DD[i],i=1..12),DD[Lw]}) then
if op(0,eval(x))<>‘+‘ then
x:=Poch1(eval(x));
PochAll(x);
else
x:= map(Poch1,eval(x));
PochAll(x);
end if;
175
176
8
end if;
eval(x);
end proc:
F3:=PochAll(F2):
F4:=subs(x1=NULL,F3):
F4:=eval(subs(‘&*‘=‘*‘,F4)):
Wstawa0od0doWiecej:=proc(x)
local a,b,i,h;
a:=Array([op(eval(x))]):
b:=Array([op(eval(x))]):
for i to ArrayNumElems(b) do
for h to nops(b[i]) do
if op(0,op(h,b[i]))=a0 and nops(op(h,b[i]))>0 then
a[i]:=0:
end if;
end do;
end do;
add(a[i], i=1..
ArrayNumElems(b));
end proc:
F5:=Wstawa0od0doWiecej(F4);
sigma(Lw) a3(Lw) + 3 a3() - OVleck() Vleck(Lw, Lw) a2()
- 2 OVleck() Vleck(Lw) a2(Lw) - OVleck() Vleck() a2(Lw, Lw)
+ xi R(Lw, Lx, Lw, Lx) a2()
F6:=subs(a0()=1,F5);
- 2 OVleck() Vleck(Lw) a2(Lw) - OVleck() Vleck() a2(Lw, Lw)
F7:=subs(Vleck()=1,F6);
- 2 OVleck() Vleck(Lw) a2(Lw) - OVleck() a2(Lw, Lw)
WstawVleck1:=proc(x)
local a,b,i,h;
if op(0,op(h,b[i]))=Vleck and nops(op(h,b[i]))=1 then
a[i]:=0:
176
Dodatek
8
Dodatek
177
end if;
end do;
end do;
add(a[i], i=1..
ArrayNumElems(b));
end proc:
F8:=WstawVleck1(F7);
WstawSigma1:=proc(x)
local a,b,i,h;
#DlugWyrazenia:=ArrayNumElems(a):
if op(0,op(h,b[i]))=sigma and nops(op(h,b[i]))=1 then
a[i]:=0:
end if;
end do;
end do;
add(a[i], i=1..
ArrayNumElems(b));
end proc:
WstawSigma3:=proc(x)
local a,b,i,h;
a[i]:=0:
end if;
end do;
end do;
add(a[i], i=1..
ArrayNumElems(b));
end proc:
F9:=WstawSigma1(F8);
F10:=WstawSigma3(F9);
Sigma2naGab:=proc(x,siiigma)
local a,b,i,h,v,elem,zbior;
177
178
8
Dodatek
for v to nops(b[i]) do
elem:=op(0,op(v,b[i])):
zbior:={Vleck,sigma,ajj(n+1)}:
if elem in zbior and not (elem=sigma and nops(op(v,b[i]))=2) then
a[i]:=subs(sigma(op(op(h,b[i])))*elem(op(op(v,b[i])))=siiigma(op(2,
op(h,b[i])),seq(op(L1,op(v,b[i])),L1=2..nops(op(v,b[i])))),b[i]);
elif elem=R then
if op(1,op(h,b[i]))=Lw then
a[i]:=subs(sigma(op(op(h,b[i])))*R(op(op(v,b[i])))=R(op(2,op(h,b[i])),
seq(op(L1,op(v,b[i])),L1=2..nops(op(v,b[i])))),b[i]);
elif op(2,op(h,b[i]))=Lw then
a[i]:=subs(sigma(op(op(h,b[i])))*R(op(op(v,b[i])))=R(op(1,op(h,b[i])),
seq(op(L1,op(v,b[i])),L1=2..nops(op(v,b[i])))),b[i]);
end if;
end if;
end do;
end if;
end do;
end do;
add(a[i], i=1..
ArrayNumElems(b));
end proc:
F11:=Sigma2naGab(F10,aajj(n+1));
F12:=subs(ajj(n+1)(seq(i,i=1..rzadpoch))=aajj(n+1)(seq(i,i=1..rzadpoch)),F11);
WstawOVleck1:=proc(x)
local a,b,i,h;
if op(0,op(h,b[i]))=OVleck and nops(op(h,b[i]))=1 then
178
8
Dodatek
179
a[i]:=0:
end if;
end do;
end do;
add(a[i], i=1..
ArrayNumElems(b));
end proc:
F13:=WstawOVleck1(F12);
F14:=subs(OVleck()=1,F13);
KomutSigmaRaz:=proc(x,m,siiigma,sigma)
local a,b,c,v,i,si,h;
with(ListTools):
if type(op(1,x),numeric) and op(0,op(2,x))=siiigma and nops(op(2,x))=m then
si:=op(2,x);
v:=op(1,x):
if si=siiigma(seq(j,j=1..m)) then
return 0;
end if;
elif nops(x)=m and op(0,x)=siiigma then
si:=x;
v:=1;
if si=siiigma(seq(j,j=1..m)) then
return 0;
end if;
else
return x;
end if;
if (type(op(1,x),numeric) and op(0,op(2,x))=siiigma and nops(op(2,x))=m) or
(nops(x)=m and op(0,x)=siiigma) then
for h to m-1 do
if op(h,si)>op(h+1,si) then
if h=1 then
return v*siiigma(op(2,si),op(1,si),seq(op(L1,si),L1=3..m));
elif h=2 then
return v*siiigma(op(1,si),op(3,si),op(2,si),seq(op(L1,si),L1=4..m))
+v*&*(op(Reverse([seq(DD[op(L1,si)],L1=4..m)])),sigma(Lw),R(Lw,op(1,si),
op(2,si),op(3,si)));
179
180
8
Dodatek
elif h=3 then
return v*siiigma(op(1,si),op(2,si),op(4,si),op(3,si),seq(op(L1,si),L1=5..m))
+v*&*(op(eval(Reverse([seq(DD[op(L1,si)],L1=5..m)]))),sigma(Lw,op(2,si)),
R(Lw,op(1,si),op(3,si),op(4,si)))
+v*&*(op(eval(Reverse([seq(DD[op(L1,si)],L1=5..m)]))),sigma(op(1,si),Lw),
R(Lw,op(2,si),op(3,si),op(4,si)));
elif h=4 then
return v*siiigma(op(1,si),op(2,si),op(3,si),op(5,si),op(4,si),seq(op(L1,si),
L1=6..m))
+v*&*(op(eval(Reverse([seq(DD[op(L1,si)],L1=6..m)]))),sigma(Lw,op(2,si),
op(3,si)),R(Lw,op(1,si),op(4,si),op(5,si)))
+v*&*(op(eval(Reverse([seq(DD[op(L1,si)],L1=6..m)]))),sigma(op(1,si),Lw,
op(3,si)),R(Lw,op(2,si),op(4,si),op(5,si)))
+v*&*(op(eval(Reverse([seq(DD[op(L1,si)],L1=6..m)]))),sigma(op(1,si),
op(2,si),Lw),R(Lw,op(3,si),op(4,si),op(5,si)));
elif h=5 then
return v*siiigma(op(1,si),op(2,si),op(3,si),op(4,si),op(6,si),op(5,si),
seq(op(L1,si),L1=7..m))
op(3,si),op(4,si)),R(Lw,op(1,si),op(5,si),op(6,si)))
op(3,si),op(4,si)),R(Lw,op(2,si),op(5,si),op(6,si)))
op(2,si),Lw,op(4,si)),R(Lw,op(3,si),op(5,si),op(6,si)))
op(2,si),op(3,si),Lw),R(Lw,op(4,si),op(5,si),op(6,si)));
elif h=6 then
return v*siiigma(op(1,si),op(2,si),op(3,si),op(4,si),op(5,si),op(7,si),
op(6,si),seq(op(L1,si),L1=8..m))
op(3,si),op(4,si),op(5,si)),R(Lw,op(1,si),op(6,si),op(7,si)))
op(3,si),op(4,si),op(5,si)),R(Lw,op(2,si),op(6,si),op(7,si)))
op(2,si),Lw,op(4,si),op(5,si)),R(Lw,op(3,si),op(6,si),op(7,si)))
op(2,si),op(3,si),Lw,op(5,si)),R(Lw,op(4,si),op(6,si),op(7,si)))
180
8
Dodatek
181
op(2,si),op(3,si),op(4,si),Lw),R(Lw,op(5,si),op(6,si),op(7,si)));
elif h=7 then
return
v*siiigma(op(1,si),op(2,si),op(3,si),op(4,si),op(5,si),op(6,si),op(8,si),
op(7,si),seq(op(L1,si),L1=9..m))
op(3,si),op(4,si),op(5,si),op(6,si)),R(Lw,op(1,si),op(7,si),op(8,si)))
op(3,si),op(4,si),op(5,si),op(6,si)),R(Lw,op(2,si),op(7,si),op(8,si)))
op(2,si),Lw,op(4,si),op(5,si),op(6,si)),R(Lw,op(3,si),op(7,si),op(8,si)))
op(2,si),op(3,si),Lw,op(5,si),op(6,si)),R(Lw,op(4,si),op(7,si),op(8,si)))
op(2,si),op(3,si),op(4,si),Lw,op(6,si)),R(Lw,op(5,si),op(7,si),op(8,si)))
op(2,si),op(3,si),op(4,si),op(5,si),Lw),R(Lw,op(6,si),op(7,si),op(8,si)));
elif h=8 then
return
op(9,si),op(8,si),seq(op(L1,si),L1=10..m))
op(3,si),op(4,si),op(5,si),op(6,si),op(7,si)),R(Lw,op(1,si),op(8,si),
op(9,si)))
op(3,si),op(4,si),op(5,si),op(6,si),op(7,si)),R(Lw,op(2,si),op(8,si),
op(9,si)))
op(2,si),Lw,op(4,si),op(5,si),op(6,si),op(7,si)),R(Lw,op(3,si),op(8,si),
op(9,si)))
op(2,si),op(3,si),Lw,op(5,si),op(6,si),op(7,si)),R(Lw,op(4,si),op(8,si),
op(9,si)))
op(2,si),op(3,si),op(4,si),Lw,op(6,si),op(7,si)),R(Lw,op(5,si),op(8,si),
op(9,si)))
181
182
8
Dodatek
op(2,si),op(3,si),op(4,si),op(5,si),Lw,op(7,si)),R(Lw,op(6,si),op(8,si),
op(9,si)))
op(2,si),op(3,si),op(4,si),op(5,si),op(6,si),Lw),R(Lw,op(7,si),op(8,si),
op(9,si)));
elif h=9 then
return
op(8,si),op(10,si),op(9,si),seq(op(L1,si),L1=11..m))
op(3,si),op(4,si),op(5,si),op(6,si),op(7,si),op(8,si)),R(Lw,op(1,si),
op(9,si),op(10,si)))
op(3,si),op(4,si),op(5,si),op(6,si),op(7,si),op(8,si)),R(Lw,op(2,si),
op(2,si),Lw,op(4,si),op(5,si),op(6,si),op(7,si),op(8,si)),R(Lw,op(3,si),
op(2,si),op(3,si),Lw,op(5,si),op(6,si),op(7,si),op(8,si)),R(Lw,op(4,si),
op(2,si),op(3,si),op(4,si),Lw,op(6,si),op(7,si),op(8,si)),R(Lw,op(5,si),
op(2,si),op(3,si),op(4,si),op(5,si),Lw,op(7,si),op(8,si)),R(Lw,op(6,si),
op(2,si),op(3,si),op(4,si),op(5,si),op(6,si),Lw,op(8,si)),R(Lw,op(7,si),
op(2,si),op(3,si),op(4,si),op(5,si),op(6,si),op(7,si),Lw),R(Lw,op(8,si),
op(9,si),op(10,si)));
end if;
end if;
end do;
end if;
end proc:
182
8
Dodatek
183
KomutAll:=proc(x::evaln,M,siiigma,sigma)
local a,i;
if has(eval(x),siiigma) then
for i to ArrayNumElems(a) do
a[i]:=KomutSigmaRaz(eval(a[i]),M,siiigma,sigma):
end do;
x:=add(a[i], i=1..
ArrayNumElems(a));
KomutAll(x,M,siiigma,sigma);
else
eval(x);
end if;
end proc:
F15:=F14;
if rzadpoch>0 then
KomutAll(F15,rzadpoch,aajj(n+1),ajj(n+1)):
else
F15:=subs(aajj(n+1)=0,F15);
end if:
F16:=PochAll(F15):
F17:=eval(subs(‘&*‘=‘*‘,F16)):
PodstSigmaNRaz:=proc(x,N,sigma)
local plik,a,b,c,v,i,f1,f2,f3,f4,copyX,sig,B,j;
copyX:=x:
read cat(sigma,N):
for v to nops(copyX) do
if op(0,op(v,copyX))=sigma and nops(op(v,copyX))=N then
if op(0,sigmajjN)<>‘+‘ then
f1:=Array([sigmajjN]):
else
f1:=Array([op(sigmajjN)]):
end if;
for i to ArrayNumElems(f1) do
f1[i]:=&*(op(f1[i]));
f1[i]:=subs(xi^2=(xi,xi),f1[i]);
B:=Array([op(f1[i])]);
183
184
8
for j to ArrayNumElems(B) do
if op(0,B[j])=‘^‘ and op(2,B[j])=2 and op(0,op(1,B[j]))=R then
B[j]:=subsop(2=dwa,B[j]);
end if;
end do;
f1[i]:=‘&*‘(seq(B[ii], ii=1..
ArrayNumElems(B))):
end do;
f2:=subs([seq(i=op(i,op(v,copyX)), i=1..N)],f1):
f3:=subs(‘&*‘=‘*‘,f2):
f4:=add(f3[ii], ii=1..
ArrayNumElems(f3)):
copyX:=subs(sigma(seq(op(i,op(v,copyX)),i=1..N))=f4,copyX):
end if;
end do;
return copyX;
end proc:
PodstSigmaNFull:=proc(x::evaln,N,sigma)
local a,i;
a[i]:=PodstSigmaNRaz(eval(a[i]),N,sigma):
end do;
x:=add(a[i], i=1..
ArrayNumElems(a)):
return x:
end proc:
F18:=F17:
if rzadpoch>2 then
for i from 4 to rzadpoch+1 do
PodstSigmaNFull(F18,i,sigma);
end do :
end if;
F19:=subs(Znacznik=0,F18):
for i from 2 to rzadpoch+2 do
184
Dodatek
8
Dodatek
185
PodstSigmaNFull(F19,i,Vleck);
end do :
F20:=F19:
if rzadpoch>1 then
for i from 2 to rzadpoch do
PodstSigmaNFull(F20,i,OVleck);
end do :
end if;
F21:=F20:
for kk from 0 to (rzadpoch +2) do
if not(n=0) then
PodstSigmaNFull(F21,kk,ajjn);
end if;
end do;
F22:=F21:
if rzadpoch>2 then
for kk from 1 to (rzadpoch -2) do
PodstSigmaNFull(F22,kk,ajj(n+1));
end do;
end if;
F23:=expand(subs(dwa=2,F22)):
ZnajdzIndeks:=proc(x,indeks)
local a,i,v;
if has(x,indeks) then
return true;
else
return false;
end if;
end proc:
ZamienIndeksyFull:=proc(x::evaln,Z1,Z2,Na1,Na2)
local a,i,v,h;
if op(0,eval(x))=‘+‘ then
else
a:=Array([eval(x)]):
end if;
for v from Z1 to Z2 do
for h from Na1 to Na2 do
185
186
8
if ZnajdzIndeks(a[i],v) and (not(ZnajdzIndeks(a[i],h))) then
a[i]:=subs(v=h,a[i]);
end if;
end do;
end do;
end do;
x:=add(a[i], i=1..
ArrayNumElems(a));
end proc:
F24:=expand(F23):
ZamienIndeksyFull(F24,11,39,41,60):
F25:=F24:
ZamienIndekLw:=proc(x::evaln,Na1,Na2)
local a,i,h;
else
end if;
if (not(ZnajdzIndeks(a[i],h))) then
a[i]:=subs(Lw=h,a[i]);
end if;
end do;
end do;
x:=add(a[i], i=1..
ArrayNumElems(a));
end proc:
ZamienIndekLw(F25,41,60):
F26:=F25:
ZamienIndekLx:=proc(x::evaln,Na1,Na2)
local a,i,h;
186
Dodatek
8
Dodatek
187
else
end if;
if (not(ZnajdzIndeks(a[i],h))) then
a[i]:=subs(Lx=h,a[i]);
end if;
end do;
end do;
x:=add(a[i], i=1..
ArrayNumElems(a));
end proc:
F27:=F26:
ZamienIndekLx(F27,41,60):
ZnajdzRiemNieuporzadk:=proc(x)
local a,i,v;
a:=Array([op(x)]);
if op(0,a[i])=R and (op(1,a[i])>op(2,a[i]) or op(3,a[i])>op(4,a[i]) or
op(1,a[i])>op(3,a[i]))then
return true;
elif op(0,a[i])=‘*‘ then
for v to nops(a[i]) do
if op(0,op(v,a[i]))=R and (op(1,op(v,a[i]))>op(2,op(v,a[i])) or
op(3,op(v,a[i]))>op(4,op(v,a[i])) or op(1,op(v,a[i]))>op(3,
op(v,a[i]))) then
return true;
end if;
end do;
end if;
end do;
return false;
187
188
8
end proc:
RiemSymInd12Raz:=proc(x)
local a,b,c,v,i,f1,f2;
if op(0,x)=R and op(1,x)>op(2,x) then
return -R(op(2,x),op(1,x),seq(op(i,x),i=3..nops(x)));
elif op(0,x)=‘*‘ then
for v to nops(x) do
if op(0,op(v,x))=R and op(1,op(v,x))>op(2,op(v,x)) then
f1:=op(1,op(v,x)):
f2:=op(2,op(v,x)):
return -subsop([v,1]=f2,[v,2]=f1,x)
end if;
end do;
end if;
return x;
end proc:
local a,b,c,v,i,f3,f4;
f3:=op(3,x):
f4:=op(4,x):
return -subsop(3=f4,4=f3,x);
for v to nops(x) do
f3:=op(3,op(v,x)):
f4:=op(4,op(v,x)):
return -subsop([v,3]=f4,[v,4]=f3,x)
end if;
end do;
end if;
return x;
end proc:
local a,b,c,v,i,f1,f2,f3,f4;
188
Dodatek
8
Dodatek
189
f1:=op(1,x):
f2:=op(2,x):
f3:=op(3,x):
f4:=op(4,x):
return subsop(1=f3,3=f1,2=f4,4=f2,x);
for v to nops(x) do
f1:=op(1,op(v,x)):
f2:=op(2,op(v,x)):
f3:=op(3,op(v,x)):
f4:=op(4,op(v,x)):
return subsop([v,1]=f3,[v,3]=f1,[v,2]=f4,[v,4]=f2,x);
end if;
end do;
end if;
return x;
end proc:
RiemSymFull:=proc(x::evaln)
local a,i;
if ZnajdzRiemNieuporzadk(eval(x)) then
a[i]:=RiemSymInd12Raz(eval(a[i])):
end do;
x:=add(a[i], i=1..
ArrayNumElems(a));
else
eval(x);
end if;
end proc:
F28:=expand(F27):
F29:=RiemSymFull(F28):
F30:=-1/(rzadpoch+1+n)*F29:
ajj(n+1)jjrzadpoch:=expand(F30):
189
190
8
Dodatek
ajj(n+1)jjrzadpoch:
save ajj(n+1)jjrzadpoch, cat(”a"jj(n+1)jjrzadpoch);
nops(ajj(n+1)jjrzadpoch);
8.7.4
Jezyk
¾
Lisp
¾
Lisp. Program ten jest cześci
¾ a¾ sk÷
adowa¾ projektu s÷uz·acego
¾
do
obliczeń wspó÷czynników HaMiDeW sposobem podstawowym opartym na jezyku
¾
Lisp.
(defparameter *n* 0)
(defparameter sigmy (make-hash-table))
(load ”LispOperatoryDoWspAnKow.lisp")
(loop for ii from 4 to (+ (* 2 *n*) 4) do
(print (format nil ”Obliczanie sigmy~A"ii))
(setq *f1* nil)
(defparameter *f1* (make-array 1 :fill-pointer 0 :adjustable t) )
(vector-push-extend (list -1/2 (list (DDD ii) (list ’si (+ ii 10 ) )
(list ’si (+ ii 10)) )) *f1*)
(pochfull *f1*)
(sortujtensory *f1*)
(sigma1 *f1*)
(sigma3 *f1*)
(SumujDuplikaty *f1* 0);
(sigma2toMetrykaISladujZmodNazw *f1* ’sig)
(KomutTensorRaz *f1* ii ’sig ’si (+ 10 ii))
(pochfull *f1*)
(sigma1 *f1*)
(sigma3 *f1*)
(sigma2toMetrykaISladuj *f1* )
(sigma1 *f1*)
(sigma3 *f1*)
(RiemSymind *f1*)
(SumujDuplikaty *f1* 0)
(PomnozTensorPrzezLiczbe *f1* (/ 1 (- ii 1)))
(UsunTensorRzedu *f1* ’sig ii)
(if (> ii 4)
(progn
190
8
Dodatek
191
(loop for kk from 4 to (- ii 1) do
(PodstNtyTensorZHashTableDoWyrazenia sigmy ’si kk *f1*)
)
)
)
(RiemSymind *f1*)
(makroKopiaVektoraDoHashTable *f1* sigmy ’si ii)
)
(defparameter Vlecki (make-hash-table))
(print (format nil ”Obliczanie Vleck~A"ii))
(setq *f1* nil)
(vector-push-extend (list -2 (list (DDD ii) (list ’tr (+ ii 20 ) )
(list ’si (+ ii 20)) )) *f1*)
(vector-push-extend (list -1 (list (DDD ii) (list ’tr ) (list
’si (+ ii 20) (+ ii 20)) )) *f1*)
(pochfull *f1*)
(sigma1 *f1*)
(sigma3 *f1*)
(troj0 *f1*)
(troj1 *f1*)
(sigma2toMetrykaISladujZmodNazw *f1* ’tr)
(gaa=4 *f1*)
(KomutTensorRaz *f1* ii ’tr ’tr (+ 20 ii))
(pochfull *f1*)
(sigma1 *f1*)
(sigma3 *f1*)
(troj0 *f1*)
191
192
8
(troj1 *f1*)
(sigma2toMetrykaISladuj *f1* )
(gaa=4 *f1*)
(RiemSymind *f1*)
(PomnozTensorPrzezLiczbe *f1* (/ 1 (* 2 ii)))
(UsunTensorRzedu *f1* ’tr ii)
(if (> ii 2)
(progn
(PodstNtyTensorZHashTableDoWyrazenia Vlecki ’tr kk *f1*)
)
)
)
(loop for kk from 4 to (+ ii 2) do
)
;zamiana indeksow z zakresu 14-20 na zakres 21-29
(ZamienIndeksZZakresuNaZakres 14 20 21 29 *f1*)
(RiemSymind *f1*)
(makroKopiaVektoraDoHashTable *f1* Vlecki ’tr ii)
)
(defparameter OdwVlecki (make-hash-table))
(print (format nil ”Obliczanie OdwVleck~A"ii))
(setq *f1* nil)
192
Dodatek
8
Dodatek
193
(vector-push-extend (list -1 (list (DDD ii) (list ’otr ) (list
’tr ) )) *f1*)
(pochfull *f1*)
(troj0 *f1*)
(troj1 *f1*)
(odwtroj0 *f1*)
(odwtroj1 *f1*)
(RiemSymind *f1*)
(UsunTensorRzedu *f1* ’otr ii)
(loop for kk from 2 to ii do
)
(if (> ii 2)
(progn
(PodstNtyTensorZHashTableDoWyrazenia OdwVlecki ’otr kk *f1*)
)
)
)
(RiemSymind *f1*)
(makroKopiaVektoraDoHashTable *f1* OdwVlecki ’otr ii)
)
(defparameter WspAn (make-hash-table))
(loop for ii from 0 to *n* do
193
194
8
Dodatek
(defparameter anPlusJeden (intern (concatenate ’string ”a"
(write-to-string (+ 1 ii)) )))
(defparameter an (intern (concatenate ’string ”a"(write-to-string ii) )))
(loop for rz from 0 to (* 2 (- *n* ii)) do
(print (format nil ”Obliczanie a~A~A"(+ 1 ii) rz))
(setq *f1* nil)
(if (equal rz 0)
(progn
(vector-push-extend (list 1 (list (list ’si (+ ii 40 ) ) (list anPlusJeden
(+ ii 40)) )) *f1*)
(vector-push-extend (list (+ ii 1) (list (list anPlusJeden ) )) *f1*)
(vector-push-extend (list -1 (list (list ’otr ) (list ’DD 100 100) (list
’tr ) (list an ) ) ) *f1*)
(vector-push-extend (list 1 (list (list ’xi) (list ’R 100 200 100
200 ) (list an ) )) *f1*)
)
(progn
(vector-push-extend (list 1 (list (DDD rz) (list ’si (+ ii 40 ) )
(list anPlusJeden (+ ii 40)) )) *f1*)
(vector-push-extend (list (+ ii 1) (list (DDD rz) (list anPlusJeden ) ))
*f1*)
(vector-push-extend (list -1 (list (DDD rz) (list ’otr ) (list ’DD 100
100) (list ’tr ) (list an ) ) ) *f1*)
(vector-push-extend (list 1 (list (list ’xi) (DDD rz) (list ’R 100 200
100 200 ) (list an ) )) *f1*)
)
)
(pochfull *f1*)
(a00 *f1*)
(a0Poch *f1*)
(sigma1 *f1*)
(sigma3 *f1*)
(troj0 *f1*)
(troj1 *f1*)
(odwtroj0 *f1*)
194
8
Dodatek
195
(odwtroj1 *f1*)
(sigma2toMetrykaISladujZmodNazw *f1* anPlusJeden)
(KomutTensorRaz *f1* rz anPlusJeden anPlusJeden (+ 40 ii))
(pochfull *f1*)
(RiemSymind *f1*)
(if (> rz 2)
(progn
(loop for kk from 4 to (+ rz 1) do
)
)
)
)
(if (> rz 1)
(loop for kk from 2 to rz do
(PodstNtyTensorZHashTableDoWyrazenia OdwVlecki ’otr kk *f1*)
)
)
(if (> ii 0)
(progn
(PodstNtyTensorZHashTableDoWyrazenia WspAn an kk *f1*)
)
)
)
195
196
8
Dodatek
(if (> rz 2)
(progn
(loop for kk from 1 to (- rz 2) do
(PodstNtyTensorZHashTableDoWyrazenia WspAn anPlusJeden kk *f1*)
)
)
)
(PomnozTensorPrzezLiczbe *f1* (/ -1 (+ rz 1 ii)))
(UsunTensorRzedu *f1* anPlusJeden rz)
(RiemSymind *f1*)
(makroKopiaVektoraDoHashTable *f1* WspAn anPlusJeden rz)
)
)
(defparameter sigma*n*ToString (concatenate ’string
”LispA"(write-to-string (+ 1 *n*))))
(with-open-file (my-stream sigma*n*ToString :direction :output :if-exists
:supersede)
(print *f1* my-stream))
8.7.5
Jezyk
¾
Perl
Program „Form->MT”oparty na jezyku
¾
Perl wystepuj
¾ acy
¾ w projekcie s÷
uz·acym
¾
do obliczeń ogólnej
postaci tensora energii-pedu
¾ z de…nicji.
use warnings;
$/=undef;
$ww=<stdin>;
$ww=~tr/ nn//d;
$ww=~s/.*n=(.*?)n;.*/$1/gsm;
@LU=(L,U);
@ss=(”l","u");
196
8
Dodatek
197
@litery=("x",”a".."0");
$ww=~s<U16><u$litery[12]>gs;
$ww=~s<U17><u$litery[13]>gs;
for $tab (0..1) {
for (1..11) {
$ww=~s<$LU[$tab]$ _ ><$ss[$tab]$litery[$ _]>gs;
}; };
for (1..6) {
my $c;
$c=$ _+8;
$ww=~s<Lx$ _ ><l$litery[$c]>gs;
};
for (1..6) {
my $c;
$c=$ _+8;
$ww=~s<Ux$ _ ><u$litery[$c]>gs;
};
$ww=~s/Rn((.*?)n)/Riem[$1]/gs;
$ww=~tr/()/[]/;
$ww=~s/gg/g/gs ;
$ww=~s<Riemn[(nw+),(nw+),(nw+),(nw+?)n]><RiemannR[$1,$2,$3,$4]>gs;
$ww=~s<RRicn[(nw+),(nw+)n]><RicciR[$1,$2]>gs;
$ww=~s<RRscal><ScalarR>gs;
$ww=~s<Riemn[(nw+),(nw+),(nw+),(nw+),(.*?)n]><CD[
RiemannR[$1,$2,$3,$4],$5]>gs;
$ww=~s<RRicn[(nw+),(nw+),(.*?)n]><CD[RicciR[$1,$2],$3]>gs;
$ww=~s<ScalarRn[(.*?)n]><CD[ScalarR,$1]>gs;
$ww=~s/Pin^-2/Pi^(-2)/gs;
$ww=~s/mun^-2/mu^(-2)/gs;
print "$ww";
197
198
8
8.7.6
Dodatek
Jezyk
¾
C++ (pakiet GiNaC)
Fragment programu „Rk ”oparty na jezyku
¾
C++ (pakiet GiNaC) wystepuj
¾ acy
¾ w projekcie s÷uz·acym
¾
do obliczeń jawnej postaci obiektow Rk .
#include <fstream>
#include <iostream>
#include <ginac/ginac.h>
using namespace std;
using namespace GiNaC;
int main() {
matrix M(2,2);
symbol Ri(”Ri"),Rj(”Rj"),R(”R");
symbol ii1("i1"),ii2("i2"),ii3("i3"),ii4("i4"),ii5("i5"),ii6("i6"),ii7("i7"),
ii8("i8"),ii9("i9");
symbol jj1("j1"),jj2("j2"),jj3("j3"),jj4("j4"),jj5("j5"),jj6("j6"),jj7("j7"),
jj8("j8"),jj9("j9");
int n=2;
matrix MM(2*n,2*n);
matrix Mi(1,9);
matrix Mj(1,9);
idx i1(ii1,4),i2(ii2,4),i3(ii3,4),i4(ii4,4),i5(ii5,4),i6(ii6,4),i7(ii7,4),
i8(ii8,4),i9(ii9,4);
idx j1(jj1,4),j2(jj2,4),j3(jj3,4),j4(jj4,4),j5(jj5,4),j6(jj6,4),j7(jj7,4),
j8(jj8,4),j9(jj9,4);
Mj=indexed(Rj,j1),indexed(Rj,j2),indexed(Rj,j3),indexed(Rj,j4),indexed(Rj,j5),
indexed(Rj,j6),indexed(Rj,j7),indexed(Rj,j8),indexed(Rj,j9);
Mi=indexed(Ri,i1),indexed(Ri,i2),indexed(Ri,i3),indexed(Ri,i4),indexed(Ri,i5),
indexed(Ri,i6),indexed(Ri,i7),indexed(Ri,i8),indexed(Ri,i9);
ex MM2;
for (int jj=0; jj<=(2*n-1);jj++)
{
for (int ii=0; ii<=(2*n-1);ii++)
{
ex chwila=(Mi[1,ii]*Mj[1,jj]);
198
8
Dodatek
199
MM(ii,jj)=chwila.subs(indexed(Ri,idx(wild(1),4))*indexed(Rj,
idx(wild(2),4))==delta_tensor(idx(wild(1),4),idx(wild(2),4)));
}
}
matrix RR(1,3);
RR= indexed(R, sy_symm(sy_anti(0, 1), sy_anti(2, 3)),i1,i2,j1,j2)
,indexed(R, sy_symm(sy_anti(0, 1), sy_anti(2, 3)),i3,i4,j3,j4)
,indexed(R, sy_symm(sy_anti(0, 1), sy_anti(2, 3)),i5,i6,j5,j6);
ex iloczRiem=1;
for (int ii=0; ii<=(n-1);ii++)
{
iloczRiem*=RR[1,ii];
}
.
.
.
.
.
.
.
.
.
outf<<f3;
outf.close();
std::cout<<f3;
return 0;
}
8.7.7
Jezyk
¾
C
Program „Program g÷ówny” oparty na jezyku
¾
C wystepuj
¾ acy
¾ w projekcie s÷uz·acym
¾
do obliczeń
pochodnej kowariantnej.
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>
199
200
8
#include ”naglowek.h"
int main()
{
struct ElementSumy PoczatekWyrazenia;
PoczatekWyrazenia.licznik=1;
PoczatekWyrazenia.mianownik=1;
PoczatekWyrazenia.WskaznikDoTensora=NULL;
PoczatekWyrazenia.WskaznikNextElementSumy=NULL;
struct ElementSumy *jj=DodajElementSumy(&PoczatekWyrazenia);
jj->licznik=-1;
jj->mianownik=2;
jj->WskaznikDoTensora=NULL;
jj->WskaznikNextElementSumy=NULL;
struct Tensor *ww=DodajTensorDoElementSumy(jj);
ww->NazwaTensora="DDD";
struct Indeks *pp=DodajIndeksDoTensora(ww);
(*pp).WartoscIndeksu=18;
int n=(*pp).WartoscIndeksu;
struct Tensor *uy=DodajTensorDoTensora(ww);
uy->NazwaTensora=”si";
struct Indeks *pi=DodajIndeksDoTensora(uy);
(*pi).WartoscIndeksu=11;
struct Tensor *uu=DodajTensorDoTensora(uy);
uu->NazwaTensora=”si";
struct Indeks *ki=DodajIndeksDoTensora(uu);
(*ki).WartoscIndeksu=11;
ZamienDDDnaIloczynDD(jj);
while (ZnajdzPochodne(&PoczatekWyrazenia))
{
PochRaz2((&PoczatekWyrazenia));
};
printf(”Rownanie nnnn D(n)*D(n-1)*...*D(1)*si(11)*si(11)nnnn dla n=%d
nnnnpo wykonaniu jawnie pochodnych D(i) ma postac:nnnn",n);
printf("nnnnLiczba elementow rownania to:
");
WyswietlLiczbeElementowRownania(&PoczatekWyrazenia);
printf("nnnn");
return 0;
200
Dodatek
Literatura
201
Literatura
[1] M. Campanelli, C. O. Lousto, and J. Audretsch, Phys. Rev. D 51, 6810 (1995).
[2] E. Ayon-Beato and A. Garcia, Phys. Lett. B464, 25 (1999).
[3] K. A. Bronnikov, Phys. Rev. D 63, 044005 (2001).
[4] K. Bronnikov, Phys. Rev. Lett. 85, 4641 (2000).
[5] B. S. DeWitt, Dynamical theory of groups and …elds (Gordon and Breach, New York, 1965).
[6] I. G. Avramidi, Heat Kernel and Quantum Gravity (Springer-Verlag, Berlin, 2000).
[7] I. Avramidi, Nucl. Phys. B355, 712 (1991).
[8] I. G. Avramidi, Nucl. Phys. B509, 557 (1998).
[9] P. Amsterdamski, A. Berkin, and D. O’Connor, Class. Quant. Grav. 6, 1981 (1989).
[10] K. Schwarzschild, Sitzber. Deut. Akad. Wiss. K1. Math.-Phys. Tech. (1916).
[11] J. L. Synge, Proc. Roy. Irish. Acad. A53, 83 (1950).
[12] D. Finkelstein, Phys. Rev. 110, 965 (1958).
[13] C. Fronsdal, Phys. Rev. 116, 778 (1959).
[14] M. D. Kruskal, Phys. Rev. 119, 1743 (1960).
[15] G. Szekeres, Publ. Mat. Debrecent 7, 285 (1960).
[16] I. D. Novikov, Astron. Zh. 40, 772 (1963).
[17] I. D. Novikov, Soobshch. GA1SH No. 132, 3, 43 (1964).
[18] L. Flamm, Phys. Z. 17, 448 (1916).
[19] H. Weyl, Ann. Physik 54, 117 (1917).
[20] A. S. Eddington, Nature 113, 192 (1924).
[21] G. Lemaitre, Ann. Soc. Bruxelles A53, 51 (1933).
[22] A. Einstein and N. Rosen, Phys. Rev. 48, 73 (1935).
[23] S. Chandrasekhar, Astrophys. J. 74, 81 (1931).
[24] L. D. Landau, Physikalische Zeitschrift Sowjetunion 1, 285 (1932).
[25] W. Baade and F. Zwicky, Proc. Nat. Acad. Set 20, 259 (1934).
201
202
Literatura
[26] J. R. Oppenheimer and G. M. Volko¤, Phys. Rev. 55, 374 (1939).
[27] J. R. Oppenheimer and H. Snyder, Phys. Rev. 56, 455 (1939).
[28] R. P. Kerr, Phys. Rev. Lett. 11, 237 (1963).
[29] I. D. Novikov and Y. B. Zel’dovich, Nuovo Cim. Snppl. 4, 810 (1966).
[30] I. S. Shklovsky, Astron. Zh. 44, 930 (1967).
[31] G. R. Burbidge, Comm. Astrophys. Space. Sci. 4, 105 (1972).
[32] K. S. Thorne, Black holes and time warps: Einstein’s outrageous legacy (W.W. Norton Co.,
Cambridge, New York).
[33] R. D. Blandford, K. S. Thorne, S. W. Hawking, and W. Israel, editors, General Relativity, An
Einstein Centenary Survey (Cambridge Univ. Press, New York, 1979).
[34] G. R. Riegler and R. D. Blandford, editors, Proceedings of AIP Conference, The Galactic
Center (Caltech, N. Y., 1982).
[35] M. Begelman and M. Rees, editors, Gravity’s Fatal Attraction: Black Holes in the Universe
(Scienti…c Americal Library, 1996).
[36] H. C. Ford et al., Astrophys. J. 435, L27 (1994).
[37] R. J. Harms et al., Astrophys. J. 435, L35 (1994).
[38] V. P. Frolov and I. D. Novikov, Black Hole Physics (Kluwer, Dordrecht, 1998).
[39] S. Hawking and G. Ellis, The Large scale structure of space-time (Cambridge University Press,
1975).
[40] R. M. Wald, General Relativity (The University of Chicago Press, 1984).
[41] R. Geroch, G. T. Horowitz, S. W. Hawking, and W. Israel, editors, General Relativity, An
Einstein Centenary Survey (Cambridge Univ. Press, New York, 1979).
[42] J. D. Bekenstein, Phys. Rev. D 7, 2333 (1973).
[43] J. M. Bardeen, B. Carter, and S. Hawking, Commun. Math. Phys. 31, 161 (1973).
[44] M. Visser, Phys. Rev. D 46, 2445 (1992).
[45] G. W. Gibbons and S. W. Hawking, Phys. Rev. D 15, 2752 (1977).
[46] M. Visser, Phys.Rev. D48, 583 (1993).
[47] M. Visser, Phys. Rev. D 48, 5697 (1993).
202
Literatura
203
[48] D. V. Fursaev, Phys.Rev. D59, 064020 (1999).
[49] T. Jacobson, G. Kang, and R. C. Myers, (1994), arXiv:gr-qc/9502009.
[50] R. M. Wald, Phys. Rev. D 48, R3427 (1993).
[51] V. Iyer and R. M. Wald, Phys. Rev. D 50, 846 (1994).
[52] H. Weyl, Raum-Zeit-Materie (Springer-Verlag, Berlin, 1921).
[53] E. Pechlaner and R. Sexl, Comm. Math. Phys. 2, 165 (1966).
[54] K. Stelle, Gen. Rel. Grav. 9, 353 (1978).
[55] H.-J. Schmidt, Int. J. Geom. Meth. Mod. Phys. 4, 12 (2006).
[56] Supernova Search Team, A. G. Riess et al., Astron. J. 116, 1009 (1998).
[57] Supernova Cosmology Project, S. Perlmutter et al., Astrophys. J. 517, 565 (1999), The
Supernova Cosmology Project.
[58] S. Nojiri, S. D. Odintsov, and M. Sasaki, Phys. Rev. D 71, 123509 (2005).
[59] M. Gasperini and G. Veneziano, Phys. Rept. 373, 1 (2003).
[60] P. Kanti, J. Rizos, and K. Tamvakis, Phys. Rev. D 59, 083512 (1999).
[61] R. Utiyama and B. S. DeWitt, J. Math. Phys. 3, 608 (1962).
[62] R. Kerner, Gen. Rel. Grav. 14, 453 (1982).
[63] V. P. Frolov and A. I. Zel’nikov, Phys. Rev. D 29, 1057 (1984).
[64] P. R. Anderson, W. A. Hiscock, and D. A. Samuel, Phys. Rev. D 51, 4337 (1995).
[65] B. S. DeWitt, Phys. Rep. 17, 297 (1975).
[66] B. Wardell, Green Functions and Radiation Reaction From a Spacetime Perspective (PhD
thesis University College Dublin, 2009).
[67] W. G. Anderson and A. G. Wiseman, Classical and Quantum Gravity 22, S783 (2005).
[68] T. C. Quinn, Phys.Rev. D62, 064029 (2000).
[69] S. A. Fulling, Aspect of quantum …eld theory in curved space-time (Cambridge University Press,
Cambridge, 1989).
[70] Y. Pinchover and J. Rubinstein, An Introduction to Partial Di¤ erential Equations (Cambridge
University Press, New York, 2005).
203
204
Literatura
[71] J. Hadamard, Lectures on Cauchy’s Problem in Linear Partial Di¤ erential Equations (Yale
University Press, New Haven, 1923).
[72] A. A. Starobinsky, Phys. Lett. B91, 99 (1980).
[73] M. Green, J. Schwarz, and E. Witten, Superstring Theory (Cambridge University Press, Cambridge, 1987).
[74] D. Tong, String Theory , http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/string/string.pdf.
[75] D. Lovelock, J. Math. Phys. 12, 498 (1971).
[76] L. Parker and J. Z. Simon, Phys. Rev. D 47, 1339 (1993).
[77] E. Cartan, J. Math. Pure Appl. 1, 141 (1922).
[78] H. Vermeil, Nachr. Ges. Wiss. Gotingen , 334 (1917).
[79] D. Lovelock, Aequationes Math. 4, 127 (1970).
[80] J. Z. Simon, Phys. Rev. D 41, 3720 (1990).
[81] D. G. Boulware and S. Deser, Phys. Rev. Lett. 55, 2656 (1985).
[82] J. Z. Simon, Phys. Rev. D 43, 3308 (1991).
[83] D. Hochberg, T. W. Kephart, and J. W. York, Phys. Rev. D 49, 5257 (1994).
[84] M. Lu and M. B. Wise, Phys. Rev. D 47, R3095 (1993).
[85] J. Matyjasek, Phys. Rev. D 63, 084004 (2001).
[86] E. C. de Rey Neto, O. D. Aguiar, and J. C. de Araujo, Class. Quant. Grav. 20, 2025 (2003).
[87] J. W. York, Phys. Rev. D 31, 775 (1985).
[88] J. A. Wheeler and R. P. Feynman, Rev. Mod. Phys. 21, 425 (1949).
[89] P. A. Dirac, Proc.Roy.Soc.Lond. A167, 148 (1938).
[90] M. Campanelli, C. O. Lousto, and J. Audretsch, Phys. Rev. D 49, 5188 (1994).
[91] A. Economou and C. O. Lousto, Phys. Rev. D 49, 5278 (1994).
[92] C. W. Misner, K. Thorne, and J. Wheeler, Gravitation (W. H. Freeman and Company, San
Francisco, 1973).
[93] J. Matyjasek and D. Tryniecki, Phys. Rev. D 69, 124016 (2004).
[94] A. Dobado and A. L. Maroto, Phys. Lett. B316, 250 (1993).
204
Literatura
205
[96] B. E. Taylor, W. A. Hiscock, and P. R. Anderson, Phys. Rev. D 61, 084021 (2000).
[98] W. Berej and J. Matyjasek, Phys. Rev. D 66, 024022 (2002).
[99] D. Gar…nkle, G. T. Horowitz, and A. Strominger, Phys. Rev. D 43, 3140 (1991).
[100] J. Matyjasek, Acta Phys.Polon. B34, 3921 (2003).
[101] W. Berej and J. Matyjasek, Acta Phys.Polon. B34, 3957 (2003).
[102] B. Bertotti, Phys. Rev. 116, 1331 (1959).
[103] I. Robinson, Bull. Acad. Pol. Sci. Ser. Sci. Math. Astron. Phys. 7, 351 (1959).
[104] L. Romans, Nucl. Phys. B383, 395 (1992).
[105] J. Matyjasek and O. B. Zaslavskii, Phys. Rev. D 71, 087501 (2005).
[106] T. Jacobson, G. Kang, and R. C. Myers, Phys. Rev. D 49, 6587 (1994).
[108] R.-G. Cai, Phys. Rev. D 65, 084014 (2002).
[109] D. Birmingham, Class. Quant. Grav. 16, 1197 (1999).
[110] R.-G. Cai and Q. Guo, Phys. Rev. D 69, 104025 (2004).
[111] D. L. Wiltshire, Phys. Rev. D 38, 2445 (1988).
[112] T. Torii and H. Maeda, Phys. Rev. D 72, 064007 (2005).
[113] M. Born and L. Infeld, Proc. Roy. Soc. Lond. A144, 425 (1934).
[114] E. Fradkin and A. A. Tseytlin, Phys. Lett. B163, 123 (1985).
[115] M. Aiello, R. Ferraro, and G. Giribet, Phys. Rev. D 70, 104014 (2004).
[116] T. Regge and J. A. Wheeler, Phys. Rev. 108, 1063 (1957).
[117] C. V. Vishveshwara, Phys. Rev. D 1, 2870 (1970).
[118] E. Papantonopoulos, Physics of Black Holes: A Guided Tour (Springer, Berlin Heidelberg,
2009).
[119] G. Dotti and R. J. Gleiser, Class. Quant. Grav. 22, L1 (2005).
205
206
Literatura
[120] G. Dotti and R. J. Gleiser, Phys. Rev. D 72, 044018 (2005).
[121] R. J. Gleiser and G. Dotti, Phys. Rev. D 72, 124002 (2005).
[122] P. Kanti, N. E. Mavromatos, J. Rizos, K. Tamvakis, and E. Winstanley, Phys. Rev. D 57,
6255 (1998).
[123] R.-G. Cai and N. Ohta, Phys.Rev. D74, 064001 (2006).
[124] J. T. Wheeler, Nucl. Phys. B268, 737 (1986).
[125] J. T. Wheeler, Nucl. Phys. B273, 732 (1986).
[126] M. Bañados, C. Teitelboim, and J. Zanelli, Phys. Rev. D 49, 975 (1994).
[127] J. P. Muniain and D. Píriz, Phys. Rev. D 53, 816 (1996).
[128] R.-G. Cai and K.-S. Soh, Phys. Rev. D 59, 044013 (1999).
[129] R.-G. Cai, Phys. Lett. B582, 237 (2004).
[130] R. Zegers, J. Math. Phys. 46, 072502 (2005).
[131] T. Takahashi and J. Soda, Prog. Theor. Phys. 124, 911 (2010).
[132] T. Takahashi and J. Soda, Phys. Rev. D 79, 104025 (2009).
[133] T. Takahashi and J. Soda, Phys. Rev. D 80, 104021 (2009).
[134] T. Takahashi and J. Soda, Prog. Theor. Phys. 124, 711 (2010).
[135] N. Birrell and P. Davies, Quantum …elds in curved space (Cambridge University Press, Cambridge, 1982).
[136] E. Poisson, Living Rev. Rel. 7, 6 (2004).
[137] J. Synge, Relativity: The General theory (The Netherlands, North-Holland, Amsterdam, 1960).
[138] J. Synge, Proc. London Math. Soc. 32, 175 (1985).
[139] B. S. DeWitt and R. W. Brehme, Annals Phys. 9, 220 (1960).
[140] Y. Décanini and A. Folacci, Phys. Rev. D 73, 044027 (2006).
[141] P. R. Garabedian, Partial Di¤ erential Equations (Wiley, New York, 1964).
[142] F. G. Friedlander, The Wave Equation on a Curved Space-Time (Cambridge University Press,
Cambridge, 1975).
[143] T. Sakai, Tohoku Math. J. 23, 589 (1971).
206
Literatura
207
[144] A. Z. Petrov, Einstein spaces (Pergamon Press, New York, 1969).
[145] L. Brewin, Class.Quant.Grav. 26, 175017 (2009).
[146] A. Hatzinikitas, arXiv:hep-th/0001078.
[147] E. Calzetta, S. Habib, and B. L. Hu, Phys. Rev. D 37, 2901 (1988).
[148] S. Minakshisundaram and A. Pleijel, Can. J. Math. 1, 242 (1949).
[149] L. Parker, Recent Developments In Gravitation (Academic Press, New York, 1979).
[150] D. J. O’Connor, Quantum …eld theory in curved spacetime: the e¤ ective action and …nite size
e¤ ects (PhD thesis University Maryland, 1985).
[151] I. Avramidi, Phys. Lett. B238, 92 (1990).
[152] S. W. Hawking, H. G. T., and R. S. F., Phys. Rev. D 51, 4302 (1995).
[153] C. Teitelboim, Phys. Rev. D 51, 4315 (1995).
[154] D. Loranz, W. A. Hiscock, and P. R. Anderson, Phys. Rev. D 52, 4554 (1995).
[155] D. Loranz, W. A. Hiscock, and P. R. Anderson, Phys. Rev. Lett. 74, 4365 (1995).
[156] A. Strominger and C. Vafa, Phys. Lett. B 379, 4365 (1996).
[157] R. Corless, G. Gonnet, D. Hare, D. Je¤rey, and D. Knuth, Adv. Comput. Math. 5, 329 (1996).
[159] K. S. Stelle, Phys. Rev. D 16, 953 (1977).
[160] B. Holdom, Phys. Rev. D 66, 084010 (2002).
[161] W. Berej, J. Matyjasek, D. Tryniecki, and M. Woronowicz, Gen. Rel. Grav. 38, 885 (2006).
[162] A. P. Prudnikov, Y. A. Brychkov, and O. J. Marinov, Integrals and Series, vol. 1 Elementary
Functions (Fizmatlis, Moscow, 2003).
[163] L. Levin, Structural Properties of Polylogarithms (American Mathematical Society, Providence,
1991).
[164] L. Levin, Polylogarithms and Associated Functions (North Holland, New York, 1981).
[165] P. B. Gilkey, J. Di¤. Geom. 10, 601 (1975).
[166] A. E. van de Ven, Class. Quant. Grav. 15, 2311 (1998).
[167] A. C. Ottewill and B. Wardell, Phys.Rev. D84, 104039 (2011).
207
208
Literatura
[168] J. Matyjasek, D. Tryniecki, and K. Zwierzchowska, Phys. Rev. D 81, 124047 (2010).
[169] M. Brown, Class. Quant. Grav. 2, 535 (1985).
[170] J. Matyjasek, D. Tryniecki, and M. Klimek, Mod.Phys.Lett. A23, 3377 (2009).
[171] S. Fulling, R. King, B. Wybourne, and C. Cummins, Class. Quant. Grav. 9, 1151 (1992).
[172] J. M. Martin-Garcia, R. Portugal, and M. L., Comm. Math. Phys. 177, 640 (2007).
[173] J. M. Martin-Garcia, D. Yllanes, R. Portugal, and M. L., Comm. Math. Phys. 179, 586 (2008).
[174] L. Parker and S. M. Christensen, MathTensor: A System for Doing Tensor Analysis by Computer (Addison-Wesley, Wesley, 1994).
[175] S. B. Edgar and A. Hoglund, J. Math. Phys. 43, 659 (2002).
[176] R. S. Palaise, Comm. Math. Phys. 69, 19 (1979).
[177] S. Deser and B. Tekin, Class. Quant. Grav. 20, 4877 (2003).
[178] J. Matyjasek and D. Tryniecki, Phys. Rev. D 79, 084017 (2009).
[179] H. Nariai, Rep. Tohoku Univ. Ser. I. 34, 160 (1950).
[180] H. Nariai, Rep. Tohoku Univ. Ser. I. 35, 62 (1951).
[181] P. H. Ginsparg and M. J. Perry, Nucl. Phys. B 222, 245 (1983).
[182] B. Bertotti, Phys. Rev. 116, 1331 (1959).
[183] I. Robinson, Phys. Rev. 7, 351 (1959).
[184] O. J. C. Dias and J. P. S. Lemos, Phys. Rev. D 68, 104010 (2003).
[185] M. Caldarelli, L. Vanzo, and Z. Zerbini, arXiv:hep-th/0008136.
[186] N. Dadhich, arXiv:gr-qc/0003026.
[187] J. F. Plebanski and S. Hacyan, J. Math. Phys. 20, 1004 (1979).
[188] J. Matyjasek, Acta Phys.Polon. B39, 3 (2008).
[189] J. Matyjasek and D. Tryniecki, Mod. Phys. Lett. A24, 2517 (2009).
[190] L. Kofman and V. Sahni, Phys. Lett. B127, 197 (1983).
[191] V. Sahni and L. Kofman, Phys. Lett. A117, 275 (1986).
[192] F. Tangherlini, Nuovo Cim. 27, 636 (1963).
208
Literatura
209
[193] R. C. Myers and M. Perry, Annals Phys. 172, 304 (1986).
[194] S. Deser, J. Franklin, and B. Tekin, Class. Quant. Grav. 21, 5295 (2004).
[195] S. Deser and J. Franklin, Am. J. Phys. 73, 261 (2005).
[196] R. Padmanabhan, Gravitation Foundations and Frontiers (Cambridge University Press, Cambridge, 2010).
[197] R. Emparan and H. S. Reall, Living Rev. Relativity 11, 6 (2008).
[198] S. Tomizawa and H. Ishihara, arXiv:hep-th/1104.1468.
[199] N. A. Obers, Lect.Notes Phys. 769, 211 (2009).
[200] J. Matyjasek, M. Telecka, and D. Tryniecki, Phys. Rev. D 73, 124016 (2006).
[201] T. Clunan, S. F. Ross, and D. J. Smith, Class. Quant. Grav. 21, 3447 (2004).
209

PhD - Lublin

Transkrypt

Podobne dokumenty