DTTV

Całka oznaczona.
Def.1.
Podziałem odcinka
na n części, nN, nazywamy zbiór
przy czym
.
Wprowadzamy oznaczenia:
długość k-tego odcinka podziału P
średnica podziału P
punkt pośredni k-tego odcinka podziału P
Def.2 (suma całkowa)
Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale
oraz P będzie
podziałem tego przedziału.
Sumą całkową funkcji f odpowiadającą podziałowi P oraz punktom
pośrednim
, 1kn, tego podziału, nazywamy liczbę:
n
 ( f , P)   f ( xk* )xk
k 1
Suma całkowa jest przybliżeniem pola obszaru ograniczonego wykresem
funkcji y=f(x) (wartości nieujemne), osią Ox i prostymi x=a oraz x=b przez
sumę prostokątów o podstawach
i wysokości
.
Def. 3. ( całka oznaczona Riemanna)
Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale
.
Całkę oznaczoną Riemanna z funkcji f na przedziale
definiujemy
wzorem:
b

f ( x)dx  lim
a
n
 f ( x )x
( P )0 k 1
*
k
k
o ile po prawej stronie równości granica istnieje oraz nie zależy od sposobu
podziału P przedziału
ani od sposobu wyboru punktów pośrednich
1kn.
Ponadto
a
 f ( x)dx  0
a
oraz
b
a
a
b
 f ( x)dx   f ( x)dx, a  b
Tw. 1. (warunek wystarczający całkowalności funkcji)
,
Jeżeli funkcja f jest ograniczona na przedziale
i ma na tym przedziale
skończona liczbę punktów nieciągłości I rodzaju, to jest na nim całkowalna.
Tw. 2. (Newtona-Leibniza, I główne twierdzenie rachunku całkowego)
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale
to
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a)
a
gdzie F jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f na tym przedziale.
Zapis:
F (b)  F (a)  F ( x)
b
a
F (b)  F (a)  F ( x)a
b
Interpretacja geometryczna całki oznaczonej:
1. Pole trapezu krzywoliniowego-patrz interpretacja sumy całkowej
2. Objętość bryły obrotowej.
Niech V oznacza bryłę ograniczoną powierzchnią powstałą przez obrót
wykresu funkcji nieujemnej y=f(x), axb, wokół osi Ox oraz
płaszczyznami x=a oraz x=b. Objętość
bryły jest granicą sumy
objętości walców
przybliżających tę bryłę, gdy średnica podziału P
dąży do 0.
n
n
V  lim  Vk  lim    f 2 ( xk* )xk 
( P )0 k 1
( P )0 k 1
b
   f 2 ( x)dx
a
Interpretacja fizyczna:
Niech S oznacza drogę przebytą w przedziale czasowym
punkt poruszający się ze zmienną prędkością v(t), 
jest granicą sumy dróg elementarnych
czasie
z prędkością stałą
n
, gdy
przez
. Droga S
przebytych przez punkt w
dąży do 0.
n
S  lim  S k  lim  v( xk* )tk 
( P )0 k 1
( P )0 k 1

  v(t )dt

Droga S jest polem trapezu krzywoliniowego ograniczonego wykresem
funkcji v(t), osią Ot oraz prostymi t=, t=.
Tw.3.
Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na przedziale
b
b
b
a
a
to:
 ( f ( x)  g ( x))dx   f ( x)dx   g ( x)dx
a
b
b
a
a
 df ( x)dx  d  f ( x)dx, d  R
Tw.4
Jeżeli funkcje u i v mają ciągłe pochodne na przedziale
to:
b
b
 u ( x)v' ( x)dx  u ( x)v( x)   u' ( x)v( x)dx
b
a
a
a
Tw. 5.
Zakładamy, że funkcja f jest ciągła w [a,b] oraz funkcja t=g(x) przyjmuje
wartości z przedziału [a,b] dla x[,], gdzie a=g() oraz b=g(). Jeżeli g’(x)
jest ciągła w [,] to

b
 f ( g ( x))g ' ( x)dx   f (t )dt
a
Tw. 6.
Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale
oraz d
b
d
b
a
a
d
to
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
Zastosowania :
1. Pole figury płaskiej:
f(x), g(x) ciągłe na
f(x)
g(x)
b
S    f ( x)  g ( x)dx
a
2. Objętość bryły obrotowej-patrz interpretacja geometryczna p.2.
b
V    f 2 ( x)dx
a
3. Długość krzywej.
Zakładamy, że f’(x) jest ciągła na
b
L   1   f ' ( x) dx
2
a
Uwaga:
Dokonujemy podziału odcinka
jak w Def. 1. Łączymy łamaną punkty
Jej długość, wraz ze wzrostem n, jest coraz bliższa długości krzywej f(x) w
tym przedziale. Jeśli weźmiemy pod uwagę trójkąty prostokątne o
przyprostokątnych
łamanej od punktu

to długość odcinka
do punktu
jest równa

Zauważmy, że z twierdzenia Lagrange’a istnieje punkt sk, taki, że

Stąd


Otrzymujemy stąd sumę całkową postaci:
n
 l ( f , P)   xk 1   f ' (sk )2
k 1
której granicą jest powyższa całka, przy założeniach analogicznych jak w
Def. 3.
4.Pole powierzchni (bocznej) obrotowej powstałej przez obrót … j.w.
b
P  2  f ( x) 1   f ' ( x) dx
2
a