idealnymi jednostkami Prawo gazowe

Termodynamika
16.
16-1
Termodynamika
Założenia teorii kinetyczno – molekularnej
Gaz doskonały – model idealnego układu bardzo wielu cząsteczek,
które:
i. mają masę – w najprostszym przypadku wszystkie taką samą –
m,
ii. nie mają objętości – są punktami materialnymi i w związku z tym,
iii. nie oddziałują ze sobą, natomiast
iv. oddziałują sprężyście ze ściankami naczynia, w którym się
znajdują.
Naczynie prostopadłościenne o objętości V zawiera N cząsteczek gazu
doskonałego, które poruszają się z przypadkowymi prędkościami
!
vi
i = 1, 2, 3, ... N .
Sześcienne pudełko o krawędzi
l i objętości V = l3 zawiera N
cząsteczek o masie m.
Średnia koncentracja cząsteczek
wynosi:
n=
N −3
[m ]
V
Cząsteczki gazu doskonałego są w ciągłym ruchu, ale gaz jako całość
nie porusza się (naczynie pozostaje w spoczynku), co oznacza, że
prędkość średnia
!
vsr = 0 ,
ale jednocześnie
!
| v |sr > 0
lub
vsr2 > 0 .
Termodynamika
16-2
cząsteczka o masie m porusza
!
się z prędkością v
v x jest składową wektora
prędkości w kierunku osi x –
z taką prędkością cząsteczka
zbliża się do ścianki S
naczynia
Cząsteczka odbija się sprężyście od ścianki, a zmiana składowej x pędu
wynosi
∆p x = ( − mv x ) − mv x = −2mv x .
Czas między kolejnymi zderzeniami z tą ścianką wynosi
∆t =
To oznacza, że raz na ∆t =
2l
.
vx
2l
cząstka wymienia ze ścianką pęd
vx
| ∆p x | = 2mv x .
Uśredniona w dłuższym okresie siła oddziaływania tej jednej cząsteczki
ze ścianką wynosi
∆p 2mv x mv x2
.
Fx =
=
=
2l
l
∆t
vx
Jeżeli rozważymy dowolną inną cząsteczkę, to dla niej podobnie
mv '2x
.
F 'x =
l
Termodynamika
16-3
Gaz zawiera bardzo wiele (N) takich cząsteczek, które nie oddziałują ze
sobą, tzn. nie wpływają wzajemnie na swój ruch. Całkowita średnia siła,
z jaką gaz działa na ściankę wynosi zatem
mv xi2 m N 2
=∑
= ∑ v xi .
l
l i =1
i =1
N
Fx calk
Wprowadzając wielkość średniego kwadratu prędkości (składowej)
1 N 2
v xi = v x2 ,
∑
N i =1
Fx calk =
możemy zapisać
m
N v x2 .
l
Jeżeli pole powierzchni ścianki jest l2, to dzieląc przez nie stronami
poprzednie równanie otrzymujemy
Fx calk
m
=
N v x2 .
2
2
l
l ⋅l
Średnia siła na jednostkę powierzchni, to ciśnienie wywierane przez gaz
na ściankę naczynia
p=N
m 2
vx .
V
Zupełnie podobnie wyznaczymy ciśnienia na pozostałe ścianki naczynia.
p' = N
m 2
vy
V
p' ' = N
m 2
vz
V
Ponieważ żaden kierunek nie jest wyróżniony przez poruszające się
zupełnie przypadkowo cząsteczki, to zmiana układu odniesienia na inny
nie może niczego zmienić, czyli wszystkie te ciśnienia są takie same
p = p' = p' '
i takie same są średnie wartości składowych prędkości
v x2 = v 2y = v z2 .
!2
Ponieważ v = v x + v y + v z , to również v = v x + v y + v z .
2
2
2
2
Wynika z tego, że v x = v y = v z =
2
2
2
1 2
v .
3
2
2
2
Termodynamika
16-4
2
2 N mv
2 N
p=
⋅
= ⋅ ⋅ Ek
3V
2
3 V
prawo Boyle’a – Mariotte’a
dla gazu doskonałego
2
pV = N ⋅ Ek
3
pV = const ⇐ Ek = const
Temperatura bezwzględna gazu
T ≡ a ⋅ Ek
Definicja temperatury bezwzględnej
T≡
2
⋅ Ek
3k
k = 1,381⋅10-23 J/K – stała Boltzman’a
 mv 2  3
 = kT
Ek = 
2

 2
v2 =
3kT
m
vsk =
3kT
m
vsk – prędkość średnia kwadratowa
Równanie stanu gazu doskonałego
pV = NkT
liczba Avogadro – NA = 6,02⋅1026 kmol-1
N
p ⋅V =
⋅ (N A ⋅ k) ⋅T = µ ⋅ R ⋅ T
NA
µ=
N
- liczba moli gazu
NA
R = 8,314 ⋅ 103 J/(K ⋅ kmol)
uniwersalna stała gazowa
Termodynamika
16-5
1. Przykład rachunkowy: prędkość cząsteczek powietrza
masa cząsteczki azotu
temperatura gazu
mN 2 = 4,68 ⋅ 10−26 kg
T = 300 K
prędkość średnia kwadratowa cząsteczki azotu wynosi
vN 2 =
3kT
m
≅ 515
mN 2
s
Cząsteczka wodoru jest 14 razy lżejsza od cząsteczki azotu i ma
znacznie większą prędkość
vH 2 ≅ 1927
m
s
2. Przykład rachunkowy: liczba zderzeń ze ścianką naczynia
W naczyniu o objętości 1 l znajduje się w warunkach normalnych
(T = 273 K, p = 1,01⋅105 Pa) około N =
pV
= 2,5 ⋅ 1022 cząsteczek.
kT
Każda z nich zderza się ze ścianką naczynia średnio co
∆t =
2l 0,2m
−4
4
10
s = 0,4 ms
≈
=
⋅
v 500 ms
Czyli ścianka naczynia doznaje w ciągu 1 s około 1026 zderzeń.
W powietrzu w warunkach normalnych liczba zderzeń cząsteczek
10 28
z powierzchnią wynosi średnio
.
m2 ⋅s
Termodynamika
16-6
Termometry gazowe
W konstrukcji termometru gazowego wykorzystane jest wprost równanie
stanu gazu doskonałego.
p0 – ciśnienie atmosferyczne
rurka zawiera określoną ilość gazu
N = const
ciśnienie gazu w rurce jest stałe,
równe p0 plus ciśnienie kropli rtęci
p = const
T=
p
V ⇒ T ~V
Nk
Swobodne rozprężanie gazu doskonałego do próżni
Średnia prędkość cząsteczek nie
zmienia się – nie wykonują żadnej
pracy – odbijają się tylko sprężyście
od nieruchomych ścianek nie tracąc
energii.
Przy rozprężaniu swobodnym gazu
do próżni temperatura gazu nie
zmienia się.
Termodynamika
16-7
Energia wewnętrzna układu
Sumę energii wszystkich cząsteczek układu nazywamy energią
wewnętrzną układu.
W gazie doskonałym jest to tylko energia kinetyczna ruchu postępowego
cząsteczek.
W przypadku rzeczywistych cząsteczek do sumy wchodzi również
energia ruchu obrotowego, drgającego i energia potencjalna
oddziaływań między cząsteczkami.
Dla gazu doskonałego
3
U = N ⋅ Ek = N ⋅ kT
2
3
U = NkT
2
3
U = µRT
2