Analiza zjawisk fraktalnych w finansowych szeregach czasowych*

Zeszyty
Naukowe nr
724
2006
Akademii Ekonomicznej w Krakowie
Janusz Morajda
Katedra Informatyki
Analiza zjawisk fraktalnych
w finansowych szeregach
czasowych*
Streszczenie: W artykule zaproponowano ilościową metodę oceny stopnia występowania
zjawisk fraktalnych w finansowych szeregach czasowych i weryfikacji hipotezy o fraktalnej
naturze szeregu. Metoda wykorzystuje analizę skupień stosowaną dla zbioru wzorców
(formacji) obserwowanych w szeregu czasowym przy różnych skalach czasu. Przeprowadzono
także badania zjawisk fraktalnych dla indeksu giełdowego WIG 20. Zamieszczono dyskusję
zasadniczych wniosków wynikających z tych badań.
Słowa kluczowe: chaos deterministyczny, fraktal, szereg czasowy, analiza skupień.
1. Wst´p
W otaczającej nas rzeczywistości wiele obserwowanych zjawisk (np. przyrodniczych lub ekonomicznych), mających pozornie charakter chaotyczny, podlega w istocie pewnym uporządkowanym i zdeterminowanym prawom. Badaniem i opisem tego
typu zjawisk zajmuje się dynamicznie rozwijająca się w ostatnich latach gałąź wiedzy
– teoria chaosu deterministycznego [Stewart 1999; Peters 1997; Wołoszyn 2000].
Rozwój tej dziedziny wynika z naturalnego dążenia człowieka do uporządkowania
i określenia struktury otaczających go zjawisk oraz „wydobycia porządku z chaosu”.
Chaos deterministyczny pojawia się w nieliniowych systemach dynamicznych. Takie systemy, charakteryzujące się zachowaniem pozornie chaotycznym,
występują również powszechnie w ekonomii. Typowym ich przykładem są rynki
kapitałowe, na których ceny poszczególnych instrumentów finansowych, np. akcji,
zmieniają się w taki właśnie na pozór chaotyczny sposób i podlegają trudnym
*
Niniejsza praca oparta jest na badaniach zrealizowanych w ramach tematu badawczego
nr 42/KI/3/2002/S w Akademii Ekonomicznej w Krakowie.
22
Janusz Morajda
do zidentyfikowania prawom. Teoria chaosu deterministycznego, pomimo iż nie
przyczynia się istotnie do wzrostu możliwości generowania dokładniejszych prognoz tych cen, dostarcza narzędzi do opisu i modelowania zjawisk zachodzących
w takich systemach [Peters 1997].
Jedną z charakterystycznych cech systemów chaotycznych jest występowanie
zjawisk fraktalnych. Fraktal jest fundamentalnym pojęciem tzw. geometrii fraktalnej, stworzonej i rozwiniętej przez Benoita Mandelbrota [Mandelbrot 1982].
E. Peters [1997] podaje następującą definicję: „fraktal jest obiektem, którego części
pozostają w pewnej relacji do całości”. Fraktale charakteryzują się więc samopodobieństwem ich mniejszych elementów do większych fragmentów. Kształty fraktalne
są samopodobne względem przestrzeni.
W otoczeniu można obserwować wiele przykładów kształtów fraktalnych.
Typowe obiekty tego typu to np.:
– drzewo, którego drobne fragmenty są podobne do większych fragmentów
rozgałęzień, a te z kolei do całości,
– wybrzeże morskie albo grań górska, której drobne elementy są podobne do
większych (obserwując jedynie zarys kształtu trudno jest zidentyfikować skalę
obiektu),
– pewne figury matematyczne, np. trójkąt Sierpińskiego lub płatek śniegu
Kocha (zob. [Peters 1997]).
Jako typowy przykład kształtów fraktalnych obserwowanych w ekonomii
wymienia się wykresy finansowych szeregów czasowych przedstawiające kształtowanie się kursów akcji notowanych na giełdach papierów wartościowych [Peters
1994]. W istocie nietrudno zauważyć, iż niewielkie fragmenty wykresu przypominają formacje wykreślane w dłuższych okresach. Obserwując np. wykresy
dziennych, tygodniowych albo miesięcznych zmian kursów akcji można zauważyć, że są one z reguły bardzo podobne i składają się z bardzo podobnych formacji, a w rezultacie – nie znając skali na osi czasu – trudno zidentyfikować rodzaj
wykresu [Peters 1997]. Można więc sformułować hipotezę, że tego typu szeregi
czasowe (albo przynajmniej ich duże fragmenty) są fraktalami.
W niniejszym opracowaniu zaproponowano ilościową metodę analizy fraktalnego charakteru szeregów czasowych (stopnia występowania w nich zjawisk
fraktalnych). Przeprowadzono także badania zmierzające do weryfikacji hipotezy
o fraktalnej naturze giełdowych szeregów czasowych na przykładzie analizy
indeksu giełdowego WIG 20, notowanego na Giełdzie Papierów Wartościowych
w Warszawie. Ponieważ zjawiska fraktalne w tego typu szeregach czasowych
można zaliczyć do tzw. fraktali losowych1, uzasadnione wydaje się przyjęcie metodyki badań opartej na pewnych metodach statystycznych.
1
Generowanych przez pewne zjawiska losowe, w odróżnieniu od fraktali deterministycznych
– tworzonych przez zastosowanie deterministycznych reguł (np. trójkąt Sierpińskiego).
Analiza zjawisk fraktalnych…
23
2. Przyj´ta metodyka badaƒ fraktalnego charakteru
finansowych szeregów czasowych
Rozważmy szereg czasowy C = {c1, c2, …, cn} stanowiący zbiór uporządkowanych w czasie (ciąg) wartości ct, t = 1, 2, …, n. Niech ciąg Z kt, d oznacza podzbiór
zbioru C, zawierający uporządkowane wartości {ct, ct + d, ct + 2d, …, ct + kd}, gdzie t
jest momentem czasu, d można interpretować jako wielkość interwału czasowego
pomiędzy dwoma kolejnymi elementami tego podzbioru, natomiast k + 1 określa
liczbę jego elementów. Dla określonych wartości d i k istnieje zatem n – kd tego
typu podzbiorów.
Ciąg Z kt, d można jednoznacznie zdefiniować podając wartość początkową ct
oraz k kolejnych względnych zmian wartości jego elementów (w finansowych
szeregach czasowych interpretowanych jako stopy zwrotu):
(ct + d – ct)/ct, (ct + 2d – ct + d)/ct + d, …, (ct + kd – ct + (k – 1)d)/ct + (k – 1)d .
Wielkości te stanowią cechy ciągu Z kt, d . Ciąg Z kt, d w zastosowaniach finansowych można interpretować jako ciąg k kolejnych d-dniowych stóp zwrotu (przy
założeniu jednostki czasu równej jeden dzień, w którym odbywa się sesja giełdowa). W analizie kształtów fraktalnych wykres wartości tego ciągu jest hipotetycznym elementem fraktala obserwowanym w skali określonej przez wartość d.
W celu porównania geometrycznych kształtów wykresów wartości ciągów Z kt, d
dla różnych wielkości d (przy założeniu zawsze tych samych wartości odciętych
na wykresie, np. 0, 1, 2, …, k, oraz zakładając, że interesujące są dla nas jedynie
względne zmiany kolejnych wartości elementów zbioru), wielkość początkową ct
można pominąć2, natomiast pozostałe cechy zdefiniować w następujący sposób:
f1 =
ct + d – ct
,
dct
f2 =
c
–c
ct + 2 d – ct + d
, …, fk = t + kd t +( k –1)d .
dct + d
dct +( k –1)d
(1)
Taka definicja pozwala na porównywanie zestawu cech f 1, f 2, …, f k dla ciągów
przy ustalonej wartości k, ale dla różnych wielkości d; cechy te umożliwiają
zatem porównywanie różnej wielkości elementów fraktalnych występujących w
szeregach czasowych.
Rozważmy m różnych wielkości d oznaczonych przez d1, d2, …, dm (d1 < d2 <
< … < dm). Niech Di (i = 1, 2, …, m) oznacza zbiór ciągów Z t,k d dla d = di przy ustalonej wartości k. Każdy ze zbiorów Di reprezentuje zestaw elementów fraktalnych
Z kt, d
2
Porównując różne kształty wykresów tych ciągów można przyjąć ten sam element początkowy dla każdego ciągu (np. średnią arytmetyczną wartości zbioru C), sprowadzając porównanie
do analizy k względnych zmian wartości ciągu. Jest to w pewnym stopniu uproszczenie, jednak
praktycznie nie umniejsza ono walorów opisanej tu metody analizy kształtów fraktalnych.
24
Janusz Morajda
określonej wielkości (obserwowanych w określonej skali zależnej od wartości di).
W opisanej tu analizie przyjęto, że zbiory te są równoliczne, tzn. liczba elementów
w każdym z nich wynosi n – kd m. Oznaczmy sumę tych zbiorów przez D, tzn.
D = D1 ∪ D2 ∪ … ∪ Dm (oczywiście zbiory Di są wzajemnie rozłączne).
W zbiorze D można przeprowadzić grupowanie (analizę skupień) jego elementów Z kt, d przy ustalonej (lub nieokreślonej) liczbie skupień. Zakładamy przy tym,
że każdy element Z kt, d jest opisany przez k-elementowy wektor cech [f 1, f 2, …, f k]T,
proces grupowania jest więc realizowany w przestrzeni k-wymiarowej. W przestrzeni tej można przyjąć metrykę euklidesową, chociaż warto także rozważyć
celowość wprowadzenia innych typów metryk3.
Niech liczba skupień wynosi p (p ≥ m). Jeżeli w każdym ze skupień pojawi się
w przybliżeniu taka sama liczba elementów z każdego ze zbiorów D1, D2, …, Dm,
można przyjąć hipotezę o fraktalnym charakterze rozważanego szeregu czasowego,
gdyż każdy ciąg Z t,k d (element fraktala) dla określonej wartości di posiada odpowiadające mu (podobne, tzn. występujące w tym samym skupieniu) elementy (ciągi)
dla innych – pozostałych wartości d poddanych analizie. Z kolei w sytuacji przeciwnej – jeżeli każde z otrzymanych skupień będzie zdominowane przez elementy
należące do jednego ze zbiorów Di, wówczas ciągi Z t,k d dla różnych wartości d nie
są do siebie podobne i hipotezę o fraktalnej naturze szeregu czasowego należy
odrzucić. W skrajnym przypadku w każdym z otrzymanych skupień występują
elementy należące tylko do jednego ze zbiorów Di i wtedy dowolne dwa ciągi
należące do różnych zbiorów Di nie są do siebie podobne, tzn. fragmenty szeregu
czasowego obserwowane w różnych skalach (dla różnych d) nie są podobne i szereg nie ma natury fraktalnej.
W celu określenia podobieństwa elementów (ciągów) należących do dwóch
różnych zbiorów Di, Dj zastosowany zostanie wskaźnik wi, j zdefiniowany następująco:
p
1
wi , j = ∑ l ih – lhj ,
(2)
2l h =1
gdzie:
p – liczba skupień (klas),
l ih – liczba elementów należących do klasy h pochodzących ze zbioru Di,
l – liczebność każdego ze zbiorów D1, D2, …, Dm (tu przyjęto, że l = n – kdm).
3
W szczególności dla celów analizy podobieństwa elementów fraktali metrykę można zdefiniować jako sumę kwadratów różnic odpowiadających sobie wartości porównywanych ciągów,
w sytuacji maksymalnego dopasowania tych elementów, tzn. przy takim przesunięciu w pionie
wykresu jednego ciągu względem drugiego, że ta suma kwadratów osiąga najmniejszą możliwą
wartość. W praktyce jednak zwykła metryka euklidesowa dla wartości f 1, f 2, …, f k jest wystarczająca dla celów przedstawianej tu analizy.
Analiza zjawisk fraktalnych…
25
Nietrudno zauważyć, że niezależnie od liczby skupień p, wi, j ∈ [0, 1], a ponadto
dla każdych i, j zachodzi wi, j = wj, i.
Jeżeli wi, j jest bliskie zera, to elementy zbiorów Di oraz Dj są równomiernie
rozłożone w poszczególnych klasach, są więc wzajemnie podobne; taka sytuacja
potwierdza fraktalny charakter szeregu. Przeciwnie, jeżeli wartość wi, j jest bliska
jedności, to elementy zbiorów Di w przeważającej większości należą do innych
klas niż elementy Dj, co zaprzecza fraktalnej naturze szeregu.
W niniejszym opracowaniu założono, że fraktalny charakter szeregu czasowego ma miejsce wówczas, gdy wi, j ≤ 0,5. Oczywiście im wartość wi, j jest mniejsza, tym fraktalna natura szeregu jest wyraźniejsza, liczbę tę można zatem uznać
za wielkość wyrażającą poziom fraktalnego charakteru szeregu.
Występujące w literaturze określenie „fraktalny szereg czasowy” nie jest jednoznaczne. Na potrzeby analizy zamieszczonej w niniejszym opracowaniu przyjmiemy (przy zachowaniu powyższych oznaczeń), że:
– szereg czasowy C jest szeregiem fraktalnym na poziomie v dla interwałów di,
dj, jeżeli wi, j = v oraz v ≤ 0,5,
– szereg czasowy C nie jest szeregiem fraktalnym dla interwałów di, dj, jeżeli
wi, j > 0,5.
Im poziom v fraktalnego charakteru szeregu ma mniejszą wartość, tym wyraźniejsza (mocniejsza) jest fraktalna natura analizowanego szeregu czasowego.
W procesie analizy fraktalnego charakteru szeregów czasowych przy wykorzystaniu wyżej opisanej metodyki istotne znaczenie odgrywa procedura bezwzorcowego grupowania elementów zbioru D. Istnieje wiele klasycznych metod
statystycznych, zaliczanych do tzw. analizy skupień (cluster analysis), służących
do realizacji tego procesu. W niniejszej pracy wykorzystano metodę grupowania
opartą na algorytmie k-średnich.
3. Badania fraktalnego charakteru szeregu notowaƒ
indeksu WIG 20
W niniejszym rozdziale zaprezentowano rezultaty badań fraktalnej natury
szeregu czasowego indeksu giełdowego WIG 20, obejmującego notowania od 14
kwietnia 1994 r. (pierwsze notowanie – wartość indeksu 1000,00) do 8 listopada
2002 r. (wartość indeksu 1137,94). W badaniach zastosowano metodykę opisaną
powyżej, przyjmując następujące wartości parametrów:
– liczba cech (analizowanych stóp zwrotu): k = 6,
– liczba zbiorów Di: m = 6,
– wartości interwałów dla zbiorów D1, D2, D3, D4, D5, D6 przyjęto odpowiednio: d1 = 1, d2 = 2, d3 = 4, d4 = 8, d5 = 16, d6 = 32,
– liczba elementów w szeregu czasowym WIG 20: n = 2107,
Janusz Morajda
26
– liczba elementów w każdym ze zbiorów Di: l = n – kd6 = 1915,
– grupowanie występujących w szeregu wzorców (formacji) zrealizowano
metodą k-średnich4, przy czym analizę przeprowadzono dla czterech przypadków:
przy założonej liczbie skupień kolejno 6, 10, 14 oraz 18.
Rezultaty badań, przedstawiające wyniki grupowania zawierające liczby
elementów z poszczególnych zbiorów Di należących do poszczególnych skupień
(klas), podano w tabelach 1, 3, 5, 7 (odpowiednio dla 6, 10, 14 i 18 skupień).
Na podstawie danych zawartych w tych tabelach obliczono wskaźniki wi, j (por.
wzór (2)) dla i, j = 1, …, 6 (i ≠ j)5. Wartości wskaźników wi,j zaprezentowano
w tabelach 2, 4, 6, 8 oraz w formie wykresu – na rys. 1.
Tabela 1. Liczby elementów z poszczególnych zbiorów D1, D2, …, Dm przyporządkowanych
do poszczególnych skupień (klas) uzyskanych przez zastosowanie metody k-średnich przy
założeniu sześciu skupień
Oznaczenie skupienia (klasy)
Zbiór Di
I
II
III
IV
V
VI
D1
d=1
293
337
298
333
303
351
d=2
476
292
260
307
255
325
D3
d=4
789
246
238
222
173
247
d=8
1209
155
139
166
79
167
D5
d = 16
1437
102
102
119
35
120
d = 32
1742
51
30
43
0
49
5946
1183
1067
1190
845
1259
D2
D4
D6
Suma
Źródło: obliczenia własne.
Tabela 2. Wartości wskaźników wi, j reprezentujących fraktalne właściwości szeregu
czasowego indeksu WIG 20, otrzymane przy grupowaniu wzorców metodą k-średnich
przy założeniu sześciu skupień. Wartość wskaźnika dla pary dwóch różnych zbiorów Di
podano na przecięciu odpowiadających tym zbiorom kolumny i wiersza
Zbiór
d
D1
1
D2
2
D3
4
D4
8
D5
16
D6
32
D1
D2
D3
–
0,0956
–
1
2
D4
D5
D6
0,2590
0,4783
0,5974
0,7567
0,1634
0,3828
0,5018
0,6611
–
0,2193
0,3384
0,4977
–
0,1191
0,2783
–
0,1593
4
8
16
Źródło: obliczenia własne.
4
5
Obliczenia zrealizowano przy wykorzystaniu programu Statistica 6.0.
Wskaźniki te mogą posiadać wartości z zakresu [0, 1], przy czym wi, j = wj, i .
32
–
Analiza zjawisk fraktalnych…
27
Tabela 3. Liczby elementów z poszczególnych zbiorów D1, D2, …, Dm przyporządkowanych
do poszczególnych skupień uzyskanych w wyniku zastosowania metody k-średnich przy
założeniu dziesięciu skupień
Oznaczenie klasy
Zbiór Di
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
D1
d=1
220
124
168
227
220
176
202
220
187
171
d=2
188
270
260
179
200
140
181
194
142
161
D3
d=4
139
484
423
138
151
88
132
171
75
114
d=8
66
801
596
78
85
41
68
96
23
61
D5
d = 16
21
1089
596
23
44
4
44
51
12
31
d = 32
0
1259
599
9
14
0
8
17
0
9
634
4027
2642
654
714
449
635
749
439
547
D2
D4
D6
Suma
Źródło: obliczenia własne.
Tabela 4. Wartości wskaźników wi, j reprezentujących fraktalne właściwości szeregu
czasowego indeksu WIG 20, otrzymane przy grupowaniu wzorców metodą k-średnich
przy założeniu dziesięciu skupień
Zbiór
d
D1
1
D2
2
D3
4
D4
8
D5
16
D6
32
D1
D2
D3
D4
D5
D6
1
2
4
8
16
32
–
0,1243
0,3211
0,5770
0,7274
0,8178
–
0,1969
0,4527
0,6031
0,6935
–
0,2559
0,4063
0,4966
–
0,1504
0,2407
–
0,0903
–
Źródło: obliczenia własne.
Tabela 5. Liczby elementów z poszczególnych zbiorów D1, D2, …, Dm przyporządkowanych
do poszczególnych skupień uzyskanych w wyniku zastosowaniu metody k-średnich przy
założeniu czternastu skupień
Zbiór Di
Oznaczenie klasy
I
II
III
IV
V
VI
D1
d=1
95
154 165 127 135 166
d=2
183
176
189
D3
d=4
399 179
d=8
D5
d = 16 724
98
d = 32 898
61
D2
D4
D6
Suma
VII VIII IX
X
XI
116 126 163 105 157
XII XIII XIV
175
81
150
105
82
127 165
46
186
35
63
35
68
141
15
139
18
25
11
21
79
5
126
805
0
10
1
1
41
0
73
858
0
0
0
0
14
0
21
98
123 129 222
84
211
57
70
124 379
630 118 150
20
41
49
622
120
17
12
13
61
2
0
0
2929 786 896 321 381 481 3002 263 366 234 374 615
Źródło: obliczenia własne.
147 695
Janusz Morajda
28
Tabela 6. Wartości wskaźników wi, j otrzymane przy grupowaniu wzorców metodą
k-średnich przy założeniu czternastu skupień
Zbiór
d
D1
1
D2
2
D3
4
D4
8
D5
16
D6
32
D1
D2
D3
D4
D5
D6
1
2
4
8
16
32
–
0,1441
0,3332
0,5436
0,6883
0,8068
–
0,2078
0,4423
0,5869
0,7055
–
0,2475
0,3922
0,5107
–
0,1446
0,2632
–
0,1185
–
Źródło: obliczenia własne.
90
Wartość wskaźnika wi, j (w %)
80
70
60
50
40
30
20
D6
10
0
D5
6 10
14 18
D1
D4
6 10 14
18
D2
6 10 14
18
D3
Liczba skupień
D3
6 10 14
18
D4
6 10
14 18
D5
D2
Rys. 1. Wykres prezentujący wyrażone w procentach wartości wskaźników wi, j (podanych
w tabelach 2, 4, 6 i 8 dla poszczególnych par zbiorów (Di, Dj )), otrzymanych w procesie
analizy skupień przy założeniu kolejno 6, 10, 14 i 18 skupień
Źródło: opracowanie własne.
I
226
d=4
II
1167
Źródło: obliczenia własne.
1287
210
196
d = 16 262
d = 32 266
230
236
181
114
277
d=8
159
97
d=2
d=1
Suma
D6
D5
D4
D3
D2
D1
Zbiór Di
III
IV
414
367
298
277
148
100
V
739
695
440
257
149
62
1206 1604 2342
181
221
288
220
186
110
193
0
1
10
21
64
97
VI
VII
874
95
128
161
189
162
139
274
0
0
22
45
85
122
VIII
219
0
1
9
29
68
112
IX
392
0
12
49
83
110
138
X
Oznaczenie klasy
488
10
20
54
107
138
159
XI
190
0
1
8
24
59
98
XII
316
0
7
34
47
107
121
XIII
343
0
3
16
67
119
138
XIV
183
0
1
8
28
60
86
XV
137
0
0
5
15
41
76
137
0
0
3
20
40
74
138
0
0
3
24
39
72
XVI XVII XVIII
Tabela 7. Liczby elementów z poszczególnych zbiorów D1, D2, …, Dm przyporządkowanych do poszczególnych skupień uzyskanych
w wyniku zastosowania metody k-średnich przy założeniu osiemnastu skupień
Analiza zjawisk fraktalnych…
29
Janusz Morajda
30
Tabela 8. Wartości wskaźników wi, j otrzymane przy grupowaniu wzorców metodą
k-średnich przy założeniu osiemnastu skupień
Zbiór
d
D1
1
D2
2
D3
4
D4
8
D5
16
D6
32
D1
D2
D3
D4
D5
D6
1
2
4
8
16
32
–
0,1896
0,4089
0,5598
0,6569
0,6930
–
0,2193
0,3708
0,4794
0,5180
–
0,1687
0,2950
0,3441
–
0,1692
0,2167
–
0,0569
–
Źródło: obliczenia własne.
Analiza rezultatów przedstawionych w tabelach 1–8 oraz na rys. 1 prowadzi do
następujących wniosków:
– w sensie definicji podanej w rozdziale 2 szereg czasowy WIG 20 jest szeregiem fraktalnym, ale nie dla wszystkich par badanych interwałów d;
– ogólnie fraktalna natura szeregu została potwierdzona dla par interwałów (di,
dj ), gdzie di > dj, spełniających warunek: log2(di /dj ) < 3, a w pewnych przypadkach również dla log2(di /dj ) = 3. Jeżeli log2(di /dj ) > 3, to dla takich par interwałów
(di, dj ) WIG 20 nie jest szeregiem fraktalnym w sensie przyjętej definicji;
– poziom wi, j fraktalnego charakteru szeregu WIG 20 jest tym niższy (mocniejszy), a fraktalna natura szeregu tym wyraźniejsza, im wartość log2(di /dj) (przy di >
> dj ) jest mniejsza, tzn. im analizowane zbiory wzorców Di, Dj są bardziej zbliżone do siebie w sensie kolejności wartości interwałów di, dj;
– powyższe obserwacje tylko w niewielkim stopniu zależą od liczby skupień
przyjętej w algorytmie k-średnich.
4. Graficzna analiza elementów fraktalnych
Rys. 2 prezentuje wykresy typowych ciągów (elementów fraktalnych) pochodzących ze zbiorów D1, D2, D3, D4, D5, D6 i należących do tego samego przykładowo wybranego skupienia (skupienie nr 2 dla grupowania przy założeniu 18 skupień). Wykresy ciągów, przedstawiające zmiany indeksu przy różnych interwałach
czasowych d (tzn. jednostkach czasu wynoszących tu odpowiednio 1, 2, 4, 8, 16
i 32 dni), zostały pokazane (celem porównania) w tej samej skali.
Uwzględniając występujące duże zakłócenia mające wpływ na rzeczywisty
kształt wykresów indeksów giełdowych, wzorce przedstawione na wykresie
(rys. 2) można uznać za podobne. Tego typu analiza wizualna potwierdza występowanie wzajemnie podobnych formacji dla różnych skal czasowych na wykresie
Analiza zjawisk fraktalnych…
31
1390
Wartość indeksu WIG 20
1385
1380
1375
1370
1365
1360
1355
1350
1
2
3
4
5
6
7
Kolejne punkty czasu
D1
D2
D3
D4
D5
D6
Rys. 2. Przykładowe wykresy ciągów fraktalnych pochodzących ze zbiorów D1, …, D6
należące do tego samego (wybranego) skupienia (skupienie nr 2 w przypadku 18 skupień)
Źródło: opracowanie własne.
indeksu WIG 20 i może być potwierdzeniem fraktalnej natury badanego szeregu
czasowego.
5. Podsumowanie
W opracowaniu zaproponowano metodę ilościowej analizy fraktalnej natury
finansowych szeregów czasowych. Metoda ta oparta jest na analizie skupień
przeprowadzonej dla całego zbioru występujących w szeregu wzorców (formacji), otrzymanych dla różnych skal czasowych. W pracy wykorzystano algorytm
grupowania k-średnich. Metoda może okazać się przydatna w badaniach zjawisk
fraktalnych występujących w szeregach czasowych.
Analiza szeregu czasowego indeksu giełdowego WIG 20 przy zastosowaniu
podanej metodyki potwierdziła hipotezę o jego fraktalnej naturze jedynie w określonym przypadku. Wyraźne zjawiska fraktalne zostały bowiem zaobserwowane
tylko przy pewnych (podobnych w sensie wartości) interwałach czasowych (skalach obserwacji) – takich, że różnica logarytmów (o podstawie 2) tych interwałów
zawiera się w przedziale (–3, 3). Poza tym przypadkiem w zasadzie nie można
mówić o fraktalnym charakterze badanego szeregu czasowego.
32
Janusz Morajda
Literatura
Inteligentne systemy w zarządzaniu – teoria i praktyka [2000], red. J.S. Zieliński, PWN,
Warszawa.
Jajuga K. [1990], Statystyczna teoria rozpoznawania obrazów, PWN, Warszawa.
Kudrewicz J. [1993], Fraktale i chaos, WNT, Warszawa.
Lula P., Morajda J. [2002], Klasyfikacja wzorców występujących w finansowych szeregach czasowych przy użyciu sieci neuronowych Kohonena, Zeszyty Naukowe AE
w Krakowie, nr 604, Kraków.
Mandelbrot B. [1982], The Fractal Geometry of Nature, W.H. Freeman, New York.
Peitgen H., Richter P. [1986], The Beauty of Fractals, Springer, New York.
Peters E. [1994], Fractal Market Analysis, Wiley, New York.
Peters. E. [1997], Teoria chaosu a rynki kapitałowe, WIG-Press, Warszawa.
Stewart I. [1996], Czy Bóg gra w kości? Nowa matematyka chaosu, PWN, Warszawa.
Wołoszyn J. [2000], Elementy teorii chaosu deterministycznego w badaniach systemów
ekonomicznych, Zeszyty Naukowe AE w Krakowie, nr 551, Kraków.
Fractal Phenomena Analysis in Financial Time Series
The paper proposes a quantitative method that enables an evaluation of fractal
phenomena occurrences rate in financial time series, and also a verification of hypothesis
concerning the fractal character of the series. The method utilises cluster analysis that
is applied to the set of patterns (shapes) observed in time series with use of various time
scales. The research regarding fractal phenomena in stock index WIG 20 has been executed
and described. The main results of the research have been discussed.
Key words: deterministic chaos, fractal, time series, cluster analysis.