Liczby zespolone – podstawowe dzia lania

Lista nr 1
TRiL, sem.I, studia niestacjonarne I stopnia, 2012/13
Liczby zespolone – podstawowe dzialania
1. Znaleźć cześć
rzeczywista, i urojona, liczb zespolonych:
,
a) (2 − 3i)(1 + i),
b)
1−i
2+i ,
c)
(1−i)2 −i
(1+i)2 +i ,
d)
√
√
( 3+i)(−1+i 3)
2
(1+i)
2. Przedstawić w postaci algebraicznej podane liczby zespolone:
a) (2 + i)(3 − i) + (2 + 3i)(3 + 4i),
d) (5+i)(7−6i)
,
3+i
b) (2 + i)(3 + 7i) − (1 + 2i)(5 + 3i),
e) (5+i)(3+5i)
,
2i
,
g) (2+i)(4+i)
1+i
j) (3 + i)3 + (3 − i)3 ,
h)
c) (4 + i)(5 + 3i) − (3 + i)(3 − i),
f) (1+3i)(8−i)
,
(2+i)2
(3−i)(1−4i)
,
2−i
i) (2 + i)3 + (2 − i)3 ,
3. Przedstawić w postaci trygonometrycznej liczby:
a) 5,
e) 1 + i, √
i) −1 √
− i 3,
m) − 3 − i,
c) −2, √
g) 1√+ i 3,
k) 3 +√i,
o) 1 + i 3/3
b) i,
f) 1 − i,√
j) 1√− i 3,
n) 3 − i,
d) −3i, √
h) −1
√ + i 3,
l) − 3 + i,
4. Obliczyć wartości wyrażeń:
a) (1 + i)1000 ,
√
b) (1 + i 3)150 ,
√
c) ( 3 + i)30 ,
d)
√ 12
1−i 3
1+i
,
e)
√
3+i
1−i
30
π
π
π
π
3π
3π
5. Majac
, dane z1 = 2 cos 8 + i sin 8 , z2 = cos 5 + i sin 5 , z3 = 3 cos 10 + i sin 10 , obliczyć:
a) z1 · z2 ,
b) z1 · z2 · z3 ,
c) z13 · z22 ,
d)
z2
z3 ,
e)
z13
,
z34
f)
z1 ·z32
z23
6. Korzystajac
ace
wyrażenia za pomoca, sin x oraz cos x:
, z dwumianu Newtona oraz wzoru de Moivre’a przedstawić nastepuj
,
,
a) sin 4x,
b) cos 6x,
c) sin 7x