tarcze i płyty sprężyste z więzami liniowymi dla deformacji

M E C H A N I K A T E O R E T Y C Z N A I STOSOWANA 2, 15 (1977) TARCZE I PŁYTY SPRĘ Ż YST
E Z WIĘ ZAM
I LINIOWYMI DLA DEFORMACJI WIESŁAW K U F E L , STANISŁAW M A T Y S I A K (WARSZAWA) W pracy konstruuje się model tarcz i płyt sprę ż ystyc
h w oparciu o mechanikę oś rodków cią głych z wię zami [1]. Założ ono, że funkcja deformacji dź wigara jest liniowa wzglę dem nieznanych funkcji, opisują cych ruch powierzchni dolnej i górnej dź wigara, oraz wyróż nionej zmiennej prze­
strzennej у opisują cej kierunek prostopadły do tych powierzchni. Ograniczenia te nazwano wię zami liniowymi dla deformacji. Wykorzystując znane metody wariacyjne, otrzymano podstawowy układ równań modelu. Nastę pnie sformułowano kryterium szacują ce do­
kładność otrzymanych rozwią zań oraz podano, dla ogólnej klasy obcią ż eń
, rozwią zanie zamknię e t płaskiego stanu odkształcenia N a zakoń czenie rozpatrzono dwa zagadnienia brzegowe dla warstwy sprę ż yste
j obcią ż one
j samozrównoważ onymi układami sił, działa­
ją cymi równolegle do osi y. Wykaz oznaczeń BA brzeg zbioru A, {a} zbiór jednopunktowy, В obszar w przestrzeni fizycznej równy iloczynowi (ą bi)x(a , b )x(0, h) z ukła­
dem współrzę dnych, Z , Z , y, konfiguracja odniesienia, f(x)\ obcię cie funkcji / do zbioru A, я iloczyn kartezjań ski
, (a ,b )x{a ,b ), ?t , 7t\ powierzchnia dolna i górna powłoki, 8л podparta czę ćś brzegu, tj. zbioru д я х {0}, / przedział czasu, h grubość powłoki w konfiguracji odniesienia, n wektor zewnę trznie normalny do 8B, n wektor zewnę trznie normalny do 'ón, X funkcja deformacji, b siła masowa, zależ na od Z, y, t, p obcią ż eni
a powierzchniowe, zależ ne od Z, y t, Po, p! obcią ż eni
a powierzchniowe powierzchni ?г , я
P obcią ż eni
e powierzchniowe brzegu on х <0, Л >, к energia kinetyczna, a tensor naprę ż enia
, e tensor odkształcenia, Ч Р , 4" funkcje deformacji powierzchni dolnej i górnej, r masowe siły reakcji, zależ ne od Z, y, t, s powierzchniowe siły reakcji, zależ ne odpowiednio od (Z, у ) e 8B, t e I, u siły reakcji podpór, \ lt
1
2
xgA
t
1
2
2
0
0
y
0
I и • 2
2
W . KUFEL, S. MATYSIAK 180 \a\ wartość bezwzglę dna a, Q gę stość masy, А , ц stale Lamć go, f°,f uogólnione siły masowe, okreś lone wzorami (2.4),,
i , i' uogólnione siły bezwładnoś ci, okreś lone wzorami (2.4) . l
2 ­0
1
3
1. Liniowa aproksymacja funkcji deformacji Załóż my, że konfiguracją odniesienia rozpatrywanego dź wigara powierzchniowego jest obszar B, równy iloczynowi kartezjań skiemu przedziałów bi)x(a , b )x(0, li). Punkty należ ą e c do tych przedziałów oznaczać bę dziemy kolejno przez Z , Z , y. 2
2
1
z
2
K
Niech X = X ( , . y , 0, gdzie Z = ( Z ) , К = 1,2, t e I = Oo, h>, bę dzie funkcją deformacji dź wigara, a VF °(Z, t), 4 " ( Z , t) funkcjami opisują cymi ruch jego powierzchni dolnej i górnej, tj. powierzchni л х {O} oraz л х {h}, gdzie л = (a , b )x(a , b ) t
l
2
2
4?°(Z, t) = x ( Z , O , t), (
U
)
4 " ( z , r ) = X ( Z , A , 0 ­
0
1
Załóż my, że funkcja deformacji x dź wigara zależy od T , Ч Р w nastę pują y c sposób (1.2)
X
( z , у , 0 = ( i ­ j) « r ° ( z , 0 + ^ 4 Z , 0 . Przyjmujemy wię c, że trójwymiarowy ruch ciała materialnego opisany jest ruchem po­
wierzchni dolnej i górnej tak, by składowe deformacji włókien materialnych prostopadłych do л były funkcjami liniowymi zmiennej y. Inaczej mówią c, gdy znamy ruch powierzchni dolnej i górnej dź wigara, znamy też, przez zwią zki (1.2), ruch całego ciała. Funkcjami poszukiwanymi są tutaj funkcje 4?°, 4 ", które spełniają taką samą rolę, jak współrzę dne uogólnione w mechanice analitycznej. 0
Dodając do prawej strony (1.2) wielomian n
n
1
w«(y) = \l­j)(a y +a _ y ­ + n
n
... +a y), l
t
gdzie a,, / = 1, 2, . . . , n są pewnymi ustalonymi stałymi, otrzymujemy, że składowe defor­
macji włókien materialnych prostopadłych do л nie są wtedy funkcjami liniowymi y, ale dowolnymi wielomianami stopnia n. Przypadkiem tym nie bę dziemy się tutaj zajmować. Ograniczenia (1.2) funkcji deformacji x są przykładem wię zów wewnę trznych [1]. Obcią ż eni
a powierzchniowe tarczy lub płyty p = p ( Z , y, t), (Z,y) e dB składają się z obcią ż ń e powierzchni dolnej i górnej, które oznaczymy przez p i Pi, obcią ż ń e brzegu д л х (0, li), oznaczonych przez P oraz obcią ż ń e brzegu д л = д л X {O}, które oznaczymy przez u. W przypadku podparcia brzegu płyty w punktach należ ą cyc
h do 8л с 8л , rozważ ać bę dziemy ograniczenia funkcji deformacji (wię zy brzegowe) w postaci 0
0
0
0
(1.3) X ( Z , 0 , f ) | = Ą ° ( Z , 0 | [ 35 6 0710 0
­ = * ° ( Z , / ) . |я е О Л О Obcią ż eni
a u brzegu д л są wtedy równe nieznanym oddziaływaniom podparcia brzegu, które wyznaczymy w dalszym cią gu. 0
TARCZE I PŁYTY SPRĘ Ż YST
E z WIĘ ZAM
I 181 2. Równania ruchu 0
1
Podstawowy układ równań dla funkcji VP , W otrzymuje się z zasady prac wirtualnych, którą zapisać moż na w postaci (2.1) /[e(b­#­divo]dx<fo+ , в д
В
f(p­on)8xddB = 0. \
W ramach liniowej teorii sprę ż ystoś, cistan naprę ż enia
, po uwzglę dnieniu zwią zków (1.2) , okreś lają nastę pują e c wielkoś ci +
J ' \ 17/0 M,M (2.2) i ^ 17/1 j-CPS-yj)].
i M,M ~ j \
, „ = (Д + а
д
[­4(^­^)] +
Л
[(1­^)п
.м
, г
+^9 1г .м
] . Stosując znany formalizm wariacyjny [I], otrzymujemy nastę pują y c układ równań f(4« *« L r f( W « L­
+ i
0
1
­ 4 ^ 3 ­ V ^ ) . , ­ ^ ( ^ + y ^ 3 ) . + | ( ^ ­ ^ ) + A = «i. K
(2.3) • ^ • (^s+ j ^ )
łł
­|(?P2­W).L+ (
+ 4с
gdzie К , L = l,2,i Q = 1. Р
2+У
1Х
^
2
+
^л A
)
(У
?­У
1)+/з ° = «
. W . KUFEL, S. MATYSIAK 18: 1
Wystę pują e c w (2.3) uogólnione siły masowe f°, f oraz uogólnione siły bezwładnoś ci i°, i okreś lone są wzorami 1
o h o , _ d dk x
8k gdzie =4/ 0
к =­Ą ­I i 1 1 ­ Ł W ' + Ę ­Ф
А Л o
1 2 1 x Równania (2.3) winny być spełnione dla każ dego (Z,t)enxf. winny być spełnione geometryczne warunki brzegowe [1] postaci / И
Н
o = / И
' д л х 1 К o h
Z kolei na ' I,
fŁady*n = f^dy, gdzie n oznacza wersor zewnę trznie normalny do д я , a składowe tensora naprę ż eni
a o okreś al się zwią zkami (2.2). W przypadku podparcia płyty w punktach Z e д й , geometryczne warunki brzegowe przyjmą postać (1.3), zaś wielkoś ci 0
(2.6) / ( • ­ ^ • ­ / V iH Z е д к о
1
obliczone dla *F° i T spełniają cych warunki (1.3) są równe nieznanym oddziaływaniom u tego podparcia.
v Wystę pują e c w (2.4) i (2.5) całki są znane, gdyż znana jest zależ ność funkcji podcałko­
wych od y. Równania (2.3)—(2.4) oraz warunki (2.5), wraz z warunkami począ tkowymi, stanowią podstawowy układ równań rozpatrywanych tarcz i płyt sprę ż ystych
. 183 TARCZE I PŁYTY SPRĘ Ż YST
E z WIĘ ZAM
I 3. Ocena stosowalnoś ci modelu 1
Rozwią zując podstawowy układ równań (2.3)—(2.5) znajdujemy funkcje VF°, W , które po podstawieniu do zwią zków (1.2) okreś lają funkcję deformacji dź wigara, trakto­
wanego jako trójwymiarowy oś rodek sprę ż ysty
. Obliczona tak funkcja deformacji (oznacz­
my ją przez x*)> nie spełnia na ogół równań klasycznej teorii sprę ż ystośi ctj. równań QX~ dive — о Ъ = О , (3.1) o n ­ p = О , gdzie tr = 2^€ + Atre8. n
e s a
w
c n
a
Lewe strony (3.1), w przypadku x = X*> ' ­ ' ? ° g ° i równe zeru. Oznaczymy je odpowiednio przez r i s. Funkcje te w mechanice oś rodków cią głych z wię zami nazywa się siłami reakcji [1]., Normy sił reakcji a
W l = ы = k
dla (Z,y)en , Ki«'­/>iJ dla {Z,y)Bn , Wkini­Pk\\ dla ' (Z,y) e д л х (0, WklHl­UkW dla !|°«л ­Pokl (3.2) \\QXk­ ki.i­Qb \\, 0
1
(Z,y)edn
If)­dn , 0
0 charakteryzują róż nicę mię dzy ruchem x * (ruchem przybliż onym), a ruchem x spełnia­
ją cym (3.1). Zależą one od stałych materiałowych X, ц , stałych okreś lają cyc
h obcią ż eni
a zewnę trzne, równania wię zów oraz stałych charakteryzują cych kształt ciała. Oznaczmy wszystkie te parametry przez dt, .&i.e0i, i = 1, Ź, Mówimy, że rozpatrywany model jest stosowalny, jeż eli istnieją takie przedziały Al, /;„, « 5= 1, że dla ó e zl" spełnione są nierównoś ci n = 1, 2, 0
t
(3.3) gdzie e jest daną liczbą taką, że 0 < s <ś 1. Liczba ta powinna być ustalona dla każ dego problemu brzegowego w zależ noś i c od norm sił b i p, takich samych jak normy (3.2). / e ° D l a przykładu, w przypadku gdy b ф 0, p Ф
m
0, e może być równy
i
n
e ° \ \7|b[T"' Tfpff/" a e° równe np. 0,05. W przypadku, gdy nie istnieją przedziały zlf, w których zachodziłyby zwią zki (3.3), rozwią zanie nie aproksymuje rozwią zania wzorcowego i przedstawiony model nie może być stosowany. 184 W . KUFEL, S. MATYSIAK 4. Rozwią zanie ogólne dla płaskiego stanu odkształcenia 1
Załóż my, że funkcja deformacji x zależy jedynie od Z , у oraz у = const. Oznacza to, że poszukiwane funkcje są funkcjami jednej zmiennej przestrzennej Z , która oznaczać bę dziemy przez Z ; л
1
2
X
W\{Z\Z ) =
4 l{Z\Z ) = const, = !Pf(Z), J
2
4*l(Z\Z ) 2
¥\(Z), « = 0,1. Niech ponadto siły masowe, wraz z powierzchniowymi obcią ż eniam
i zewnę trznymi, spełniają warunek b = 0, p\ = 0. Równania (2.3) przyjmą wtedy postać k
х
П л 1 + \ 1'\л г Г ...+!Р
,
+ (А ­В )Ч '1,+(А |
. ,
1 1
­(/(+г )П
+ В )Ч \ ­С (Т °­Ч '{)+Й = 0, 1
г (/1­я )П
1
. + С ( У ? ­ ! Р ! ) т / = о , 1
(4.1) П
1 1 + ­ j П
1 1 + ( л ­ Ј ) П
, + ( л + Ј ) У , ' ., ­ W ­ ' / ' i ) + / з ° = о , 1
} П п + У 1. 11 ­ (Л + Ј) П : ­ ( / ) ­ Ј ) S4,, + F ( f § ­ П ) +Л = о , gdzie З /г ЗА В = (4.2) D = С = З ц 1г (Х + 2/г )' 2
3(А + 2^) З А 2/?/л ' Dodając stronami (4.1)j i (4.1) oraz (4.1) i (4.1) , a nastę pnie odejmując od (4.1)j równanie (4.1) oraz od (4.1) równanie (4.1) otrzymujemy: 2
2
3
3
4
4
и . 11­ 2 ^ . 1 = ­ ( / ? + # ) . 4>
> 1X
­ 2 Ј W . , = ­ < / ? + / }) , (4.3) w, + 2Av ­2Cw = У .и +Wu.t­lFy =/ '­/ , yi
gdzie A
f}­f?, 0
3
3
TARCZE I PŁYTY SPRĘ Ż YST
E Z WIĘ ZAM
I 185 Układ równań (4, 3) rozwią ż em
y najpierw w przypadku, gdy znane są wartoś ci funkcji u, w, v, у oraz ich pochodnych w danym punkcie Z e ( a , b ) 0
t
t
"(Zo), c ( Z ) , w(Z ), y(Z ), 0
0
0
(4.4) u,i(Z ), v (Z ), tl
0
w , , ( Z ) , J>,i(Z ). 0
0
0
Całkując dwukrotnie równanie (4.3) i uwzglę dniając warunki (4.4) otrzymujemy z (4.5) u(Z) = u(Z ) + u, (Z )(Z­Z )+jB 0
1
0
Z
0
4 У Jy(Z)dZ­
0 By{z ) (z ­ z 0 )
0
­ | J [ [ (Л
0
+//)rfz] rfZ'. Analogicznie, z równania (4.3) otrzymujemy 2
z (4.6) » ( Z ) = » ( Z ) + f . i ( Z o ) ( Z ­ Z ) + ­ j £ : f w(Z)dZ­
0
0
Zo
Z ­±EW(Z )(Z­Z )­~ 0
Z' f[j 0
(j$+fjjdz]dz: Zo ZQ Z kolei z równań (4.3) , wyznaczymy funkcje w(Z), y{Z). Podstawiając do (4.3) pochodną funkcji v{Z) okreś loną wzorem (4.6), dostajemy 3
(4.7) 4
±. ­2Cw+jAEw = ~2Av {Z ) + Will
A
0
z , + ±EAW(Z )+ĄA j W+fł)dZ­f?+fł 0
Zo
g Uwzglę dniając równość у AE— 2C = 0, gdzie А , С , E okreś lone są wzorami (4.2), rów­
nanie (4.7) otrzymujemy w postaci • (4.8) z w = ­4Av, (Z ) + ^­AEw(Z )+jA tii
1
0
j 0
(f °+fi)dZ+2(f}­/»). 3
Zo Całkując dwukrotnie zwią zek (4.8) wzglę dem Z i uwzglę dniając warunki (4.4) znajdujemy funkcję (4.9) w(Z) = ­4Av, (Z )(~ ­ ­ ^ + 4Av, (Z )Z (Z­Z ) + l
0
l
0
0
+ ™ AEw(Z ) 0
Z Z' Z" + jA j' { j' [ j if! +fł)dz]dZ"]dZ' Zo Zo Zo 0
AEw(Z )Z (Z­Z ) 0
Z 0
0
+ Z' ­ 2 j' [ f (ff­fftdz] Zo Zo dZ' 186
W . KUFEL, S. MATYSIAK Podstawiając do (4.3) pochodną funkcji u(Z), okreś loną wzorem (4.5) otrzymujemy 4
(4.Ю
) \y +l*DB­2F\y= ­2Du, (Z ) A1
1
+ 0
+ j BDy(Z ) + 1 f (/° +fł)dZ+fi 0
­f °. 3
Za g W tym przypadku wyraż enie у DB­2F, stoją ce przy y{Z), jest mniejsze od zera (co łatwo sprawdzić wykorzystując zwią zki (4.2)). Wprowadzając oznaczenia h (k + 2fi) 3 , 2
(4.11) z ­4Du,dZo)+~DBy(Z )+j g(Z)= f 0
(f?+fł)dZ­2{f2­fl), Za równanie (4.10) zapisać moż na w postaci 2
y (Z)­m y(Z) (4.12) . = g(Z). A1
Rozwią zanie ogólne (4.12) ma postać; [3], s. 457—458: z „mZ (4.13) z f p­mZ r mZ
y(Z) = — mZ
J e­ g(Z)dZ­­—­ m
i
Zo 2
Zo i
gdzie mZ
J e g(Z)dZ+C e *+ C e~ , e
mz
C , = 2 ^ e ~ ° [ m y ( Z ) +y,,(Z )], 0
mZ
0 C = 0
[my(Z )­y, (Z )]. 2
0
l
0
Funkcje (4.5), (4.6), (4.9) i (4.13) są rozwią zaniami ogólnymi układu (4.3). Podsta­
wiając je do zwią zków 17/0 _ u + w ­ ' i s—>
_ r
u­w » i (4.14) v
v
±y mi
+ y 2 otrzymujemy rozwią zania ogólne układu (4.1). W przypadku braku warunków (4.4), funkcje u, w, v, у zależą od oś miu stałych a , i = 1,2, 8, które wyznaczamy z warunków brzegowych (2.5) lub (2.5) i (2.6): t
2
y{Z)dZ j j [j (Л v(Z) = a Z+a + jEJ w(Z)dZ­~ f[j ai
2
3
(4.15) 0
u(Z) = Z+a +jBJ +fł)dz]dZ, T
a
»v(Z)= jA f l
(f ° +f )dz\dZ, 3
3
[f[j(f?+fł)dz\dz\dZ­
2
­ 2 f [ f mZ /• H Z ) = ^ (f?­tt)dĄ dZ­2AaZ +a Z+ , 3
, , ­ m Z Л z
mZ
mZ
) e ­ " g ( Z ) r f Z ­ ­ = ^ ­ J e g ( Z ) c / Z + a e + a e ­ ' "
4
5
z 6
ai
/
TARCZE I PŁYTY SPRĘ Ż YST
E Z WIĘ ZAM
I 187 gdzie m jest okreś lone zwią zkiem (4.1 l) , a l
g(Z) = i j {f?+n)dZ­2(f°­ti)­ 1 Da,. Wystę pują e c w (4.15) całki nieoznaczone powinny być brane ze stałymi równymi zero, gdyż stałe róż ne od zera dodano już do stałych a . Oznaczając z kolei składowe obję toś ciowyc
h sił reakcji przez r r , a składowe po­
wierzchniowych sił reakcji przez s , s oraz korzystając z definicji sił reakcji mamy (Z,y)eB, dla ''l = ­(<*11.1+<*13.з ) t
lt
t
2
''3 = ­ ( о з ы + О з з .з ) •vi = dla (Z,y)eB, ai nl­pl /dla (Z,y)en\ ­ P i dla ( Z , у ) e д л х (0, dla (Z,y)e dn , dla (Z,y)en\ dla (Z,y)^dnx(fi,h)­
dla (Z,_v) e д л . 3
s = s* = a
t
l i n i
(4.16) 4
= О 33П 3­Р 3 =
Si
,s = 3
a n­u
31
2
3 li) — dn , Q
0
д л , 0
•
0
Podstawiając do (4.16) wielkoś ci (2.2), otrzymamy si ­ Ł ^ Y b ­ t ^ l i ­ P l , (A+2/*) 4 (4.17) 4 ;.+2// —
л С Р з ­ * з ) + ^ i .'i ­Р з . ±(А + 2^) 1 ­ j \ f i г + \ П
, . I + J CP i ­ П ) ~ Л , s. = ±4(i 1 | ­ n i + J ^ . i + 7 7 ( ^ ­ ^ 1 ) ­ ? з , *3 = ±/« Wzory (4.17) wykorzystamy w dalszym cią gu do oceny rozwią zań szczegółowych. 188 W . KUFEL, S. MATYSIAK 5. Przykłady a) Rozpatrzmy warstwę sprę ż yst
ą z obcią ż enie
m postaci: p\ =p{ = 0, p% =
P
H(a­\Z\), 1
n — — n° Р з — Р з > gdzie (1 \Z\ < a H(a—\z\) = i, , _ , —funkcja Heaviside'a. [0 \Z\ > a 1 I . . . . i u (­ą h) h (­0,0)
z (o,0)
W i 1 i 1 ! ! i Rys. 1 Oznacza to, zgodnie ze wzorem (2.4)
1
LT2
, że uogólnione siły zewnę trzne f ° i f są postaci f° = fi = o, (5.1) Uwzglę dniając zwią zki (5.1) w równaniach (4.15), otrzymujemy 4 Г M(Z) = a ^ + a j + y 5 J y(Z)dZ, (5 2)
W
Z
( ) =
3Z+fl + l Ј j w ( Z ) / Z , A
8
(
2
u>(Z) = ­ 2 ^ a Z + 3
fl Z+a , 6
7
­mZ gdzie g(Z)= ­4pH(a­\Z\)­jDa . v
Rozpatrywana warstwa sprę ż yst
a jest tak obcią ż ona
, że funkcje deformacji powierzchni dolnej i górnej powinny być symetryczne wzglę dem osi y, tj.: . V | ( Z ) = m­Ż ),
V1(Z) = 0
V A­Z). 189 TARCZE I PŁYTY SPRĘ Ż YST
E z WIĘ ZAM
I Skoro = v oraz Ч '1­Wl = y, to v(Z) = v(­Z), (5.3) y(Z) = y(­Z). Całkując zwią zek (5.2) , otrzymujemy 4
(5.4) 4 Da
­Ą. (a­\z\)+­—1­+Ъ
3 m
z
t y(Z) =
H
nr 1 г e"' + e' 2 + b
' " z2 2 gdzie b = a + a i b = a ­ a . Z warunku (5.3) otrzymujemy b = 0. Z kolei z warunku lim y ( Z ) = 0 otrzymuje­
l
A
5
2
4
5
2
2
Z ­ > ± o o my * i = 0 i U ! = 0. Podstawiając funkcję (5.4), po uwzglę dnieniu b = b = я = 0, do (5.2) otrzy­
mujemy Y
2
х
x
16> (5.5) «(z) = « 2 +3w
^ ­ * z t f ( a ­ | z | ) . 2 Funkcja )f(Z) okreś lona zwią zkiem (5.2) powinna także znikać w nieskoń czonoś . ci
Oznacza to, że a = a = a = 0, czyli w(Z) = 0. Uwzglę dniając te warunki w równaniu (5.2) oraz lim v(Z) = 0, otrzymujemy a = 0, czyli v(Z) = 0. 3
3
6
7
2
8
Z ­ » ± o o Stałą a wystę pują ą c w (5.5) wyznaczymy z warunku 4*1(0) = 0, co wobec znikania funkcji w(Z) daje warunek u(0) = 0. Stąd a = 0. Poszukiwane funkcje mają więc postać 2
2
w(Z) = v(Z) = 0, «(Z) = y ^ ­ ^ ( a ­ | Z | ) , (5.6) ^H(a­\Z\). y(Z) = Uwzglę dniając (4.14) i (5.6), otrzymujemy y
n = ­^ BpZH(a­\Z\), m2
(5.7) ' W = ­4'%. Funkcje (5.7) są w tym przypadku rozwią zaniami układu (4.2). Podstawiając (5.7) do (1.2) otrzymujemy funkcję deformacji dla płaskiego stanu odkształcenia w postaci Xi (5.8) Х
з
^BpZH(a­\Z\), 2p ~ m
2 И H(a­\Z\). 190 W . KUFEL, S. MATYSIAK Obliczają c, po uwzglę dnieniu (5.7), siły reakcji (4.17),_ , mamy 6
r = r = 0, x
3
»? = Ą = 0, (5.9) 2 • 4X
48 (X +fi) (5­1 \н (а ­
\Z\), ­4° gdzie д = А /а . Siły reakcji (5.9) są funkcjami stałych materiałowych А , /г , intensywnoś ci obcią ż ń e p oraz parametru opisują cego stosunek wysokoś ci do długoś ci przedziału, w któ­
rym działają obcią ż enia
. Wprowadź my nastę pują ą c normę sił reakcji №
(5.10) | | = m a x №
| = ZeR
gdzie 2
2 (X + 2fi) ­4X
Щ
Х +/и ) Parametrem opisują cym tutaj granice stosowalnoś ci otrzymanego rozwią zania jest д . 2
2
Jeż eli 2/j, ф X, tzn. (X + 2/u) — 4X ф 0, funkcja (5.10) jest liniowa wzglę dem <5 i dla ó* = — OJ mamy ||$з || = 0. Dla tego przypadku rozwią zanie (5.8) jest także rozwią zaniem równań (3.1), tj. równań klasycznej teorii sprę ż ystoś. ciZ kolei dla S e (d* — e, d* + s), e > 0, rozwią zanie (5.8) aproksymuje nieznane rozwią zanie układu (3.1) z błę dem równym ea>. Widać stą d, że zarówno przy h ­> oo, jak i a ­* 0, rozwią zanie (5.8) jest coraz gorsze (wartość bezwzglę dna siły reakcji s° dą ży do nieskoń czonoś ci)
. W przypadku 2/г = X mamy s° = — pH(a— | Z | ) . Powierzchniowa siła reakcji s° jest tutaj rzę du obcią ż eni
a zewnę trznego (s° = —pi) i rozwią zanie nie może być stosowane do opisu problemu w ramach klasycznej teorii sprę ż ystoś. ci
b) Rozpatrzmy teraz obcią ż eni
e warstwy postaci: P°x=p\= 0, p° = pe 'c , 3
p\ = ­pi, gdzie С = const > 0 (rys. 2). У ­ ^ r r r t f ) \
1 z —
­
i
l Rys. 2 • г TARCZE I PŁYTY SPRĘ Ż YST
E Z WIĘ ZAM
I 0
191 1
W tym przypadku uogólnione siły f i f są postaci 7i° = / i ' = o, f °=p°
3
f ł =
3i
P
l
Poszukiwane funkcje u, w, V, у są teraz równe w(Z) = v(Z) = 0, f 3
\6pBc _ _ M , ,—p­sgnZe с , 3 ( / ? r c ­ l ) w(Z) = ­ (5.11) 2
2 У Ю
­ ^
]
4nc
­ 1
Z] ­
*
2
" 2
с т Ф \. Podstawiając (5.11) do (4.14) otrzymujemy 3
,„„ SpBc • _ i E L ? - - i 3(c
/ i m
i —1) .v­sgnZe с 4
2
2
2
г
2я с 11 c m — 1 (5.12) 2
2
Postę pując podobnie jak w przypadku a), otrzymamy siły reakcji w postaci 3
4р /г с
г , = 2
l l z
2
A ( c m ­ 1 ) sgnZe" Ipcy. 2 ^ \ _ Ж 1­
А m c —\ л
r = 2
3
2
2pftc (5.13) 2
I* sgnZe" 2
C / 7 ( — 1 ' i s$=pe
c 4{Х + 2ц )с
2
2 4Pc
+ sgnZ 2
е
A ( C W J ­ 1 ) ' " " " \ Л ( с
j | = Ц
, 2
2
mc Ф
2
2 2
« 1 ­ 1 ) ( Д + а ) /
1. Wprowadzając analogiczne do (5.10) normy sił reakcji, z równań (5.13) otrzymujemy 4р ц {). + 2ц )д r, = I (Х + 2ц )д ­Щ Х + ц )\' 2
•г Ц г з 11 = ­j IMI, (5.14) IKII = INI, 2
s%\\ = maxilp 4[(Л + 2{г ) + Р ]д + 1 (А + 2 ^ ) 0 ­ 4 8 ( Я + ) 2
Л
I 2
4 [ ­ ( А + 2 ) + Я
(Л + 2ц )д ­4Щ
2 /И
2
+ц ) + 1 . gdzie д = h/c jest parametrem opisują cym stosowalność otrzymanego rozwią zania. W . KUFEL, S. MATYSIAK 192 Składowe obję toś ciowyc
h sił reakcji: podłuż na r, i poprzeczna r dą żą do zera, jeż eli grubość warstwy jest coraz mniejsza (lub с ­* co). Podobnie zachowują się podłuż ne po­
wierzchniowe siły reakcji s°, s\. W przypadku składowych poprzecznych powierzchnio­
wych sił reakcji s°, s\ otrzymamy dla <5 = 0, s = 1. Oznacza to, że przy zmniejszeniu gruboś ci warstwy (lub zwię kszeniu с przy ustalonym li) rozwią zanie (5.13) nie opisuje zachowania się warstwy pod danym obcią ż eniem
. Ponadto, ze wzorуw (5.14) wynika, że \\s°\\ > 1 dla ё ф 0. Otrzymane rozwią zanie (5.13) nie może więc być stosowane dla ż adnej (5 (poprzeczne siły reakcji powierzchniowych są wię ksze od sił przyłoż onych). 3
3
4
6. Uwagi koń cow
e Rozważ ane w pracy tarcze i płyty stanowią szczegуlną klasę ciał sprę ż ystyc
h z wię zami dla deformacji. Założ ono, że funkcja deformacji dź wigara jest liniowa wzglę dem niezna­
nych funkcji opisują cych ruch powierzchni dolnej i gуrnej dź wigara oraz wyrуż nionej zmiennej przestrzennej opisują cej kierunek prostopadły do tych powierzchni. Podstawowy układ rуwnań otrzymuje się z zasady d'Alemberta. Rozwią zując pod­
stawowy układ rуwnań wraz z odpowiednimi warunkami brzegowymi (tj. wyznaczając niewiadome funkcje W , Ч ? , opisują ce ruch powierzchni dolnej i gуrnej) moż emy, wyko­
rzystując funkcję wię zуw dla deformacji, okreś lić ruch dź wigara traktowanego jako ciało trуjwymiarowe. Otrzymana funkcja deformacji jest okreś lona w każ dym punkcie ciała i na ogуł rуż ni się od funkcji deformacji, jaką otrzymalibyś my w ramach klasycznej teorii sprę ż ystoś. ciW pracy formułuje się kryterium stosowalnoś ci modelu, pozwalają ce ocenić rуż nicę mię dzy otrzymanym rozwią zaniem modelowym, a nieznanym rozwią zaniem linio­
wej teorii sprę ż ystoś. ci
0
1
W przypadku płaskiego stanu odkształcenia otrzymuje się, dla dowolnego obcią ż eni
a zewnę trznego, rozwią zanie zamknię te. Praca zilustrowana jest dwoma przykładami warstwy sprę ż yste
j obcią ż one
j samo­
zrуwnoważ onymi układami sił działają cych pionowo na dź wigar. Sformułowany model tarcz i płyt sprę ż ystyc
h jest szczegуlnym przypadkiem modelu warstwowego powłok, ktуrego opis znajduje się w [2]. Literatura cytowana w tekś cie 1. Cz. WOŹ NIAK, Wstę p do elastokhietyki form konstrukcyjnych, (w:) Dź wigary powierzchniowe, Os
neum, 1975. 2. W . KUFEL, Modele warstwowe grubych płyt i powłok, Rozpr. Inż , 4 (1976). .
3. H . M . М А Т В Е Е В , М е т о д ы и н т е г р и р о в а н и я о б ы к н о в е н н ы х д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й , М и н с к 1974. Р е з ю
м е У П Р У Г И Е Д И С К И И П Л А С Т И Н Ы С Л И Н Е Й Н Ы
Д Л Я Д Е Ф О Р М А Ц И Й М
И С В Я З Я М
И 1 В с т а т ь е к о н с т р у и р у е т с я м о д е л ь у п р у г и х д и с к о в и п л а с т и н в т е р м и н а х м е х а н и к и с п л о ш н о й с р е д ы с п р я м ы м и с в я з я м и . П р и н я т о , ч т о ф у н к ц и я д е ф о р м а ц и и д и с к а и л и п л а с т и н ы л и н е й н а я п о о т н о ш е н и ю к н е и з в е с т н ы м ф у н к ц и я м , о п и с ы в а ю щ и м д в и ж е н и е н и ж н е й и в е р х н е й п о в е р х н о с т и TARCZE I PŁYTY SPRĘ Ż YST
E Z WIĘ ZAM
I к о
н о
д л
н е
н с т р у к ц и и а т а к ж е п о о т н
р м а л ь н о е к э т и м п о в е р х н о
я д е ф о р м а ц и й . С п о м о щ ь ю
н и й м о д е л и . С ф о р м у л и р о в а н к р и т е р и
р е ш е н и я п л о с к о г о с о с т о я н и я
р е н ы д в е к р а е в ы е з а д а ч и д
с и л , д е й с т в у ю щ и м и п а р а л л е
193 о ш е н и ю к в ы д е л е н н о й п р о с т р а н с т в е н н о й п е р е м е н н о й , о п и с ы в а ю щ е й с т я м н а п р а в л е н и е . Т а к и е о г р а н и ч е н и я н а з в а н ы л и н е й н ы м и с в я з я м и и з в е с т н ы х в а р и а ц и о н н ы х м е т о д о в п о л у ч е н а о с н о в н а я с и с т е м а у р а в ­
й , о ц е н и в а ю
д е ф о р м а ц и
л я у п р у г о г
л ь н о к о с и
щ и й т о ч н
и д л я о б щ
о с л о я , н
в ы д е л е н н
о с т ь п
е г о с л
а г р у ж
о й п р
о л
у ч
е н
о с
у ч
а я
н о
т р
е н
н
г о
а н
н ы
а г р
с а
с т в
х р е ш е н
у ж е н и я
м о у р а в н
е н н о й п
и й
. В
о в
е р
и
з
е ш
е м
п р и в
а к л ю ч
е н н ы
е н н о й
е д е н ы т о ч н ы е е н и е р а с с м о т ­
м и с и с т е м а м и . S u m m a r y ELASTIC PLATES WITH LINEAR CONSTRAINTS OF DEFORMATION A model of elastic plates is constructed on the basis of continuum mechanics with simple constraints. The function of deformation of the plate is assumed, to be linear in the unknown functions describing the motions of its lower and upper surfaces and in the coordinate normal to those surfaces. These limitations are called the linear constraints of deformation. The fundamental equations of the model are derived by means of variational methods. A criterion of estimating the accuracy of the solutions derived is then formulated and closed form solutions of the plane strain cases are given for a general case of loading. In conclusion, the boundary value problems are considered for an elastic layer loaded by self­equilibrated forces normal to the surfaces. INSTYTUT MECHANIKI UNIWERSYTETU WARSZAWSKIEGO Praca została złoż ona w Redakcji dnia 19 maja 1976 r. 4 Mech. Teoret. i Stosowana 2/77