R h 5,1 =

Praca domowa nr 3. Zasady zachowania: energii mechanicznej, pędu, momentu pędu.
Grupa1. Praca i energia mechaniczna, tw. o pracy i energii, zasada zachowania energii mechanicznej
1. A) Z wysokości 11,5 m spadł pionowo lecący na głowę
człowieka szklany, ostry kawałek rozbitej butelki o masie 0,3 kg i
powierzchni ostrza 10-7 m2. Ten kawałek szkła wbił się na
głębokość 0,001 m w kość czaski. Jaka była średnia wartość siły
uderzenia oraz ciśnienie wywierane na czaszkę ze strony
spadającej rozbitej butelki? B) Mała kulka stacza się po zjeżdżalni
zakończonej pętlą o promieniu R = 1 m (rys. obok). Jaka powinna być wysokość H zjeżdżalni, aby
kulka: (a) nie odpadła od pętli, gdy praca na rzecz siły tarcia wyniosłaby 15% początkowej wartości
energii mechanicznej; (b) odpadła na wysokości h = 1,5R , gdyby praca na rzecz siły tarcia wyniosłaby
10% początkowej wartości energii mechanicznej?
2. A) Piłka spada z wysokości h na podłogę i odbija się od niej wielokrotnie. Jaką prędkość początkową
należy nadać piłce, aby po 10 odbiciach wzniosła się na początkową wysokość h. Wiadomo, że podczas
każdego odbicia piłka traci 5% swojej energii. B) Ciało znajdujące się na wysokości h nad powierzchnią
ziemi rzucono w dół pod kątem π/6 do kierunku pionowego z prędkością V0 = 8 m/s. Prędkość końcowa
ciała (tuż przed upadkiem) wyniosła |Vk| = 21V0. Wyznacz h. Rozwiąż to zadanie dwoma sposobami:
korzystając z drugiej zasady dynamiki oraz z zasady zachowania energii mechanicznej. Jaka byłaby
prędkość końcowa ciała rzuconego w opisany sposób z wys. h, gdyby straty energii mechanicznej
związane z oporami powietrza wyniosły 10% początkowej energii mechanicznej?
3. A) Blok o masie m = 15 kg jest przesuwany po poziomej powierzchni pod działaniem stałej siły F
= 70 N skierowanej pod kątem 20◦ do poziomu. Blok przesunięto o s = 5,0 m, a współczynnik tarcia
kinetycznego µk = 0,30. Obliczyć pracę: (a) siły F ; (b) składowej pionowej wypadkowej siły
działającej na blok; (c) siły grawitacji; (d) siły tarcia. B) Ciało rzucono pionowo w dół z wysokości H,
nadając mu prędkość początkową V0 = 5m/s. Ciało uderzyło o ziemię z prędkością Vk = 35 m/s. Z jakiej
wysokości H zostało rzucone? Jaką prędkość V1 miało to ciało w chwili, gdy przebyło drogę s1 = H/6?
Ile sekund trwał ruch ciała? Rozwiąż to zadanie dwoma sposobami: korzystając z drugiej zasady
dynamiki oraz z zasady zachowania energii mechanicznej. Jaka byłaby prędkość końcowa ciała
rzuconego w opisany sposób z wys. H, gdyby straty energii mechanicznej związane z oporami
powietrza wyniosły 7% początkowej energii mechanicznej?
4. A) Kula o masie m = 0,005 kg i prędkości v = 600 m/s zagłębiła się w drewnie na głębokość d = 4
cm. Korzystając z twierdzenia o pracy i energii wyznaczyć średnią wartość siły oporu działającej na
kulę. Zakładając, że siła oporu jest stała, obliczyć czas hamowania kuli w drewnie. B) Sterowiec
porusza się na wysokości H = 1,5 km w kierunku poziomym z prędkością u = 2 m/s. Ze sterowca
wyrzucono kulkę metalową, nadając jej poziomą prędkość początkową v = 5m/s (względem sterowca)
w chwili, gdy przelatywał on nad wierzchołkiem masztu stacji radiowej stojącego na płaskim terenie.
Wyznaczyć wektor prędkości V1 na wysokości H/3 oraz w momencie zderzenia z ziemią. Opory
powietrza zaniedbać. Rozwiąż to zadanie dwoma sposobami: korzystając z drugiej zasady dynamiki
oraz z zasady zachowania energii mechanicznej. Jaka byłaby prędkość końcowa kulki rzuconej
w opisany sposób z wys. H, gdyby straty energii mechanicznej związane z oporami powietrza wyniosły
p% początkowej energii mechanicznej?
5. A) Dolna powierzchnia budowalnego młota kafara jest odległa o h = 5,3 m od górnej powierzchni
stojącego nieruchomo pionowo i wbijanego w grunt betonowego słupa budowlanego. Środek masy
spadającego pionowo w dół młota o masie m = 120 kg przemieścił się na odległość s = 5,42 m. Z jaką
średnią siłą F działał młot na słup w trakcie wbijania słupa? Jaką wartość prędkości v miał środek masy
kafara w chwili, gdy młot kafara uderzał w słup? B) Ciało znajdujące się na wysokości h nad
powierzchnią ziemi rzucono w górę pod kątem π/6 do poziomo z prędkością V0 = 5 m/s (jest to rzut
ukośny z wysokości h). Prędkość końcowa ciała (tuż przed upadkiem) wyniosła |Vk| = 17V0. Wyznacz
h, zaniedbując opory powietrza. Na jaką maksymalną wysokość H nad powierzchnię ziemi wzniosło się
ciało? Rozwiąż to zadanie dwoma sposobami: korzystając z drugiej zasady dynamiki oraz z zasady
zachowania energii mechanicznej. Na jaką maksymalną wysokość H nad powierzchnię ziemi
1
wzniosłoby się to ciało rzucone w opisany sposób, gdyby straty energii mechanicznej związane
z oporami powietrza wyniosły 5% początkowej energii mechanicznej?
6. A) Sanki o masie 10 kg ześlizgują się ze zbocza góry. Długość zbocza wynosi 20 m, kąt jego
nachylenia względem płaskiego terenu wokół góry wynosi 30 stopni. Współczynnik tarcia na całej
drodze sanek f = 0.01. Jaką odległość przebędą sanki na poziomym odcinku po zjechania do zbocza? B)
Ciało znajdujące się na wysokości h nad powierzchnią ziemi rzucono pionowo do góry z prędkością V0
= 5 m/s. Prędkość końcowa ciała (tuż przed upadkiem) wyniosła |Vk| = 5V0. Wyznaczyć h. Na jaką
maksymalną wysokość H nad powierzchnię ziemi wzniosło się ciało? Rozwiąż to zadanie dwoma
sposobami: korzystając z drugiej zasady dynamiki oraz z zasady zachowania energii mechanicznej.
Jaka byłaby prędkość końcowa ciała rzuconego w opisany sposób na wys. h, gdyby straty energii
mechanicznej związane z oporami powietrza wyniosły 9% początkowej energii mechanicznej?
7. A) Klocek został pchnięty w górę wzdłuż równi pochyłej o kącie nachylenia π/6z prędkością
początkową v0 = 12 m/s. Jaką drogę S wzdłuż równi w ruchu w górę pokona klocek? Jaką prędkość
będzie miał zsuwając się z równi po przebyciu drogi S/2 i kiedy zsunie się z równi? Rozwiąż to zadanie
dwoma sposobami: korzystając z drugiej zasady dynamiki oraz z zasady zachowania energii
mechanicznej. B) Rozwiąż to zadanie, dla współczynnika tarcia wynoszącego 0,2; rozwiąż to zadanie
dwoma sposobami: korzystając z drugiej zasady dynamiki oraz z pojęcia energii mechanicznej.
8. A) Ciało o masie 0,5 kg ślizga się po poziomym szorstkim torze kołowym o promieniu 2 m. Jego
prędkość początkowa wynosiła 8 m/s, a po jednym pełnym obrocie spadła do wartości 6 m/s.
Wyznaczyć pracę sił: a) tarcia, b) dośrodkowej. Obliczyć współczynnik tarcia. Po jakim czasie ciało to
się zatrzyma? Ile wykona obrotów do zatrzymania się? B) Klocek został pchnięty w górę wzdłuż równi
pochyłej z prędkością początkową v0 = 9 m/s. Współczynnik tarcia wynosi 0,1 a kąt nachylenia równi
wynosił π/6. Jaką drogę S wzdłuż równi w ruchu w górę pokona klocek? Jaką prędkość będzie miał
podczas zsuwania się w dół po przebyciu drogi S/2 i kiedy zsunie się z równi? Rozwiąż to zadanie
dwoma sposobami: korzystając z drugiej zasady dynamiki oraz z pojęcia energii mechanicznej.
Grupa 2. Zasada zachowania pędu
1. A) Neutron zderza się czołowo, idealnie sprężyście ze spoczywającym atomem węgla 12C6. Jaka
część początkowej energii kinetycznej neutronu jest przekazywana 12C6? Jeśli początkowa energia
kinetyczna neutronu wynosiła 1,60 · 10−23 J, to jakie energie kinetyczne uzyskały w wyniku zderzenia
atom 12C6 i neutron? Przyjąć, że masa protonu jest równa masie neutronu, która wynosi 1,6ˑ10-27 kg. B)
Piłka o masie m uderza pod kątem α o doskonale gładką ścianę i odbija się od niej doskonale sprężyście.
Wyznacz wartość średniej siły F z jaką ściana działa na piłkę. Prędkość padającej piłki wynosiła v,
a czas zderzenia ∆t.
2. A) Ciało o masie 3 kg poruszające się z prędkością 8 m/s w dodatnim kierunku osi OX zderza się
idealnie sprężyście ze spoczywającym ciałem o masie M . Po zderzeniu ciało to porusza się w kierunku osi OX z prędkością 6 m/s. Wyznacz wartość M ? B) Wagon o ciężarze 280 kN, poruszający
się z prędkością 1 ,5 m/s, zderza się z innym wagonem o ciężarze 210 kN, poruszającym się po tym
samym torze i w tym samym kierunku z prędkością 0,9 m/s. Jeśli zderzenie wagonów jest idealnie
niesprężyste (wagony sczepiają się), to: a) ile wynosi ich prędkość po zderzeniu?; b) jaki jest ubytek
energii kinetycznej w tym zderzeniu?
3. A) Granat lecący w pewnej chwili z prędkością v = 10 m/s rozerwał się na dwa odłamki. Większy
odłamek, którego masa stanowiła w = 60% masy całego granatu, kontynuował lot w pierwotnym
kierunku, lecz ze zwiększoną prędkością v1= 25 m/s. Znaleźć kierunek i wartość prędkości mniejszego
odłamka. B) Gwiazda hokeja na lodzie, Wayne Gretzky, najeżdża z prędkością 15 m/s na obrońcę
poruszającego się naprzeciw niego z prędkością 5 m/s. Ciężary napastnika i obrońcy wynoszą
odpowiednio 700 N i 1000 N. Bezpośrednio po zderzeniu prędkość Gretzky’ego wynosi 2 m/s
w pierwotnym kierunku. Zaniedbując siły tarcia, wyznaczyć prędkość obrońcy tuż po zderzeniu oraz
zmianę całkowitej energii kinetycznej w jego trakcie.
4. A) Na dwóch pionowych niciach o długościach L wiszą stykające się ze sobą dwie identyczne
kulki o masach m. Środek masy jednej kulki podniesiona na wysokość d ponad położenie pierwotne
i następnie swobodnie puszczono. W zderzeniu oba ciała sczepiły się. Obliczyć wysokość, na którą
2
wzniesie się środek masy układu. B) Dwie kule tytanowe zbliżają się do siebie czołowo
z jednakowymi prędkościami i zderzają się sprężycie. Jedna z kul, której masa wynosi 300 g jest po
zderzeniu nieruchoma. Wyznacz masę drugiej kuli. Wyznacz prędkość środka masy tych kul, jeśli ich
prędkości początkowe są takiej samej wartości i wynoszą 2 m/s.
5. A) Na poziomo poruszający się z prędkością 10 m/s wózek o masie 5 kg spadła pionowo cegła o
masie 3 kg. Ile wynosiła po tym prędkość wózka i cegły? B) Ołowiany pocisk o masie 0,1 kg lecąc
poziomo uderza w stojący wózek z piaskiem o łącznej masie 50 kg i grzęźnie w nim. Po zderzeniu
wózek odjeżdża z prędkością 1 m/s. Jaka była prędkość pocisku przed zderzeniem?
6. A) Stwierdzono, że dwa ciała o jednakowych masach i jednakowych wartościach prędkości
początkowej poruszają się po ich całkowicie niesprężystym zderzeniu z prędkością o wartości równej
połowie wartości ich prędkości przed zderzeniem. Wyznacz kąt między wektorami prędkości tych ciał
przed zderzeniem oraz pokaż, ze środek masy przed i po zderzeniu porusza się z taką samą wartością.
B) Człowiek o masie 60 kg biegnący z prędkością 8 km/h, dogania wózek o masie 90 kg, który jedzie z
prędkością 4 km/h i wskakuje na ten wózek; a) Z jaką prędkością będzie poruszał się wózek z
człowiekiem a z jaką środek masy poruszał się przed i po zderzeniu? b) Jaka będzie prędkość wózka
z człowiekiem w przypadku, gdy człowiek będzie biegł naprzeciw wózka? Czy i teraz prędkość środka
masy przed i po zderzeniu będzie taka sama?
7. A) Stoisz na idealnie gładkim lodzie. Piłka o masie 0,4 kg, której pozioma prędkość w chwili
uderzenia o Twoje ciało o masie 60 kg, wynosi 24 m/s. Jeśli złapiesz piłkę, to z jaką prędkością będziesz się poruszał i w jakim kierunku? Pokaż, że prędkość środka masy układu ma przed i po zderzeniu
taką samą wartość. Jeśli piłka odbije się od Ciebie i następnie poruszać się będzie w kierunku
przeciwnym z poziomą prędkością 8 m/s, to jaka będzie Twoja prędkość? B) Od dwustopniowej rakiety
o masie 1200 kg po osiągnięciu szybkości 200 m/s, oddzielił się pierwszy stopień o masie 700 kg. Jaką
szybkość osiągnął drugi stopień rakiety, jeśli szybkość pierwszego stopnia zmalała w wyniku tej
operacji do 150 m/s?
8. A) Dwie kule zawieszone na równoległych niciach tej samej długości stykają się a ich środki mas
znajdują się na tej samej wysokości. Kula o masie M zostaje odchylona od pionu tak, że jej środek
ciężkości wznosi się na wysokość h i zostaje puszczona swobodnie. Na jaką wysokość wzniesie się ta
kula po zderzeniu doskonale niesprężystym z drugą kulą o masie m. B) Podczas legendarnego oblężenia
przez Szwedów Jasnej Góry kolubryna o masie własnej 500 kg wystrzeliwała pociski o masie 10 kg
z prędkością poziomą 150 m/s przesuwając się przy tym o 2 m. Obliczyć prędkość początkową działa
oraz średnią siłę działającą na armatę, zakładając, że ruch armaty jest jednostajnie opóźniony.
Grupa 3. Dynamika bryły sztywnej i zasada zachowania momentu pędu
1. A) Na końcach nieważkiej nici, przerzuconej przez blok o promieniu R = 10 cm i momencie
bezwładności względem środka masy I0 = 0.005 kg·m2, zawieszono ciężarki o masach m1 = 2 kg
i m2 = 3 kg. Lżejszy z nich znajduje się o d = 2 m niżej od cięższego. Po jakim czasie znajdą się one na
tej samej wysokości, jeśli puścimy je swobodnie? Przyjmij przyspieszenie ziemskie g = 10 m/s2.
Wszelkie opory ruchu pominąć, nić nie ślizga się po bloku. Zakładając, że blok ma kształt jednorodnego
walca oblicz jego masę. B) Wyobraźmy sobie, że po wyczerpaniu paliwa jądrowego Słońce zacznie
kurczyć się stając się kulistym białym karłem o średnicy kuli ziemskiej. Przyjmując niezmienność masy
Słońca obliczyć jego okres obrotu wokół własnej osi. Obecnie okres obrotu Słońca to 25 dób.
2. A) Z jaką siłą należy przycisnąć klocek hamulcowy do powierzchni koła rozpędowego o momencie
bezwładności I0 i promieniu r, aby zatrzymać je po upływie czasu t, jeżeli wiruje ono z prędkością
kątową ω0? Współczynnik tarcia wynosi f. B) Dziewczynka o masie m1, trzymając w ręce kamień o
masie m2 stoi na brzegu nieobracającej się karuzeli o promieniu R i momencie bezwładności I, która
może obracać się bez tarcia. W pewnej chwili dziewczynka rzuca poziomo z prędkością v kamień pod
kątem α względem promienia karuzeli. Ile wynosi po rzuceniu kamienia energia kinetyczna i prędkość
kątowa karuzeli z dziewczynką?
3. A) Na jednorodnym krążku o masie M i promieniu R nawinięta jest nierozciągliwa linka, której jeden
z końców umocowany jest u sufitu. Oblicz przyspieszenie kątowe i liniowe środka ciężkości krążka oraz
naciąg linki, jeżeli w pewnej chwili krążek zaczął spadać swobodnie. B) Biała myszka o masie m siedzi
na skraju jednorodnego krążka o masie 10m, który może obracać się swobodnie wokół swojej osi, jak
3
karuzela. Początkowo mysz i krążek obracają się łącznie z prędkością kątową ω. W pewnej chwili mysz
zaczyna iść ku środkowi krążka i zatrzymuje się w połowie drogi. (a) Ile wynosi przy tym zmiana
prędkości kątowej układu mysz–krążek? (b) Ile wynosi stosunek energii kinetycznej układu po
przemieszczeniu się myszy do początkowej energii kinetycznej tego układu? (c) Dzięki czemu zmieniła
się energia kinetyczna układu?
4A) Jednorodny walec o masie 20 kg i promieniu 20 cm owinięto żyłką, do końca której przyłożono siłę
F = 20N. Walec toczy się (rys. obok po lewej stronie) po poziomej płaszczyźnie
bez poślizgu. Ile wynosi: a) przyspieszenie liniowe i kątowe walca względem
jego środka masy; b) kierunek i wartość siły tarcia działającej na walec; c)
energia kinetyczna ruchu obrotowego walca oraz jego całkowita energia
kinetyczna po czasie 5 s (założyć, że początkowo walec spoczywał).
5. B) Stolik poziomy obraca się z prędkością kątową ω. Na środku stolika stoi człowiek i trzyma w
wyciągniętych rękach w odległości l od osi obrotu dwa ciężarki o masie m każdy. Jak zmieni się
prędkość obrotów stolika, gdy człowiek opuści ręce? Ile razy wzrośnie energia kinetyczna układu?
Moment bezwładności stolika wraz z człowiekiem (bez ciężarków) wynosi I.
6. A) Dwie masy: M i m są połączone prętem o długości L i znikomo małej masie. Pokazać, że moment
bezwładności względem osi prostopadłej do pręta jest najmniejszy dla osi przechodzącej przez środek
masy układu. B) Dziecko o masie m = 40 kg stoi na środku kołowej karuzeli o masie M = 80 kg i
promieniu R = 2m obracającej się z prędkością kątową 3,4 rad/s. Dziecko rozpoczyna wędrówkę od
środka karuzeli. Ile wynosi jej prędkość kątowa w chwili, gdy dziecko znajduje się na środku? Jak
zmieni się energia kinetyczna układu, gdy dziecko przejdzie na brzeg karuzeli?
7. A) Dziewczynka o masie m1 stoi na brzegu nieobracającej się karuzeli o promieniu R i momencie
bezwładności I0, która może obracać się bez tarcia. W pewnej chwili dziewczynka rzuca poziomo
z prędkością v kamień o masie m2 pod kątem π/3 względem promienia
karuzeli. Ile wynosi po wyrzuceniu kamienia prędkość kątowa karuzeli z
dziewczynką? B) Układ mechaniczny tworzą trzy jednakowe, cienkie
pręty, każdy o długości L i masach m połączone w kształt litery H (patrz
rysunek obok). Wyznaczyć moment bezwładności tej bryły względem
wskazanej na rysunku osi obrotu oraz przyspieszenie kątowe układu po przyłożeniu siły F tworzącej kąt
π/3 z płaszczyzną, w której leży układ mechaniczny.
8. A) Słońce porusza się z prędkością liniową 250 km/s wokół środka Drogi Mlecznej (DM), od
którego dzieli je odległość 2,2·1020 m. Jaka jest prędkość kątowa Słońca? Ile lat trwa obrót Słońca
wokół środka DM? Ile takich obrotów wykonało Słońce, które istnieje około 4,5 mld lat? B) Pod
sufitem wiszą podczepione na poziomych osiach przechodzących przez punkty zetknięcia się z sufitem:
kula, sfera, walec, cienka obręcz, tarcza oraz pręt. Masa każdej bryły wynosi M. Promienie: kuli, sfery,
walca, cienkiej obręczy i tarczy są równe R, a pręt ma długość R. Które z tych ciał ma względem osi
obrotu największy/najmniejszy moment bezwładności? C) Płyta CD o masie m i promieniu r wiruje
z prędkością kątową ω w płaszczyźnie poziomej wokół pionowej osi przechodzącej przez jej środek.
W pewnej chwili spada na płytę z góry kawałek gumy do żucia o masie M i przykleja się do płyty
w odległości r/3 od jej brzegu. Ile wynosi prędkość CD bezpośrednio po przyklejeniu się gumy?
9. A) Szpulkę w kształcie walca o promieniu R puszczono, trzymając nieruchomo za koniec odwijającej się nici. Z jakim przyspieszeniem a opada szpulka? Ws-ka: Należy napisać równania
ruchu postępowego środka masy walca oraz ruchu obrotowego walca. B) Drewniana listwa o
długości l = 0,4 m i masie m = 1 kg może się obracać dookoła osi prostopadłej do niej i przechodzącej
przez jej środek. W koniec listwy trafia pocisk o masie m1 = 0,01 kg, lecący z prędkością v1 = 200
m/s w kierunku prostopadłym do osi i do listwy. Znaleźć prędkość kątową, z jaką listwa zacznie się
obracać, gdy utkwi w niej pocisk.
W. Salejda
Wrocław, 16 marca 2016
4