Egzamin 2015

Egzamin z matematyki dyskretnej, informatyka stosowana, studia magisterskie, rok 1
4 II 2015
Informacje dla zdających:
1. Egzamin trwa 90 minut. Można pracę oddać wcześniej i wyjść, ale nie w ciągu ostatnich 10
minut.
2. Podczas egzaminu wolno korzystać jedynie z kalkulatora, narzędzi do pisania i materiałów
otrzymanych od prowadzących egzamin. Wszelkie przedmioty poza wspomnianymi powinny być
pozostawione w torbach/plecakach we wskazanym przez egzaminujących miejscu. W szczególności
nie wolno używać telefonów komórkowych i własnych kartek.
3. Wszystkie kartki z rozwiązaniami należy podpisać imieniem i nazwiskiem. Na pierwszej kartce,
obok imienia i nazwiska należy narysować prostokąt a w środku wpisać swój „pseudonim artystyczny”
pod jakim wynik egzaminu zostanie ogłoszony.
4. Progi procentowe konieczne do uzyskania kolejnych ocen są takie same, jak na ćwiczeniach.
5. Definicje i twierdzenia w zadaniu 5 nie muszą być zapisywane formalnie, mogą być podane
własnymi słowami.
Zadania:
1. (400 punktów) Rozwiąż zależność rekurencyjną:
𝑠𝑛+1 = 𝑠𝑛 + 12𝑠𝑛−1 − 14 ⋅ (−3)𝑛 , 𝑠0 = −1, 𝑠1 = 4
2. (400 punktów) Firma PIMKO zatrudnia 17 pracowników, w tym 7 grafików i 6 programistów.
Firma zaangażowała się w nowy projekt opatrzony kryptonimem ”FERDYDURKE”. Do projektu
potrzeba wybrać 11 pracowników.
a) Na ile sposobów można wybrać skład grupy projektowej, jeśli skład grupy projektowej jest
dowolny?
b) Na ile sposobów można wybrać skład grupy projektowej, jeśli w projekcie potrzebni są dokładnie czterej graficy i co najmniej 4 programistów?
c) Premia z tytułu projektu ma być rozdzielona wśród pracowników z grupy projektowej w
sposób losowy, przy czym każdy z zaangażowanych ma dostać co najmniej 3000 PLN, a wszystkie stawki wynagrodzenia mają być wielokrotnościami kwoty 1700 PLN. Na ile sposobów
można porozdzielać 51 000 PLN, które firma dostanie za ten projekt?
d) W czasie trwania projektu pracownicy zostają zobowiązani do tytułowania korespondencji
mailowej anagramami słowa FERDYDURKE, przy czym w ciągu dnia żaden z tytułów nie
może się powtórzyć. Ile wiadomości mogą maksymalnie dziennie wysłać członkowie grupy
projektowej? (anagram - słowo powstałe z przestawienia liter danego słowa)
e) Każdy z zaangażowanych pracowników codziennie ma mieć przydzielany osobisty klucz dostępu
do ściśle tajnej bazy danych BLADACZKA. Klucze dostępu mają być liczbami czterocyfrowymi,
podzielnymi przez 18 lub 45. Ile dni roboczych może maksymalnie trwać projekt, jeśli raz
wykorzystany klucz nie może być już wykorzystany w czasie trwania projektu?
3. (400 punktów)
a) Znajdź maksymalny przepływ pomiędzy wierzchołkami A i H w poniższym grafie skierowanym
(graf po lewej). Uzupełnij odpowiednią tabelę przebiegu algorytmu.
Nr etapu Ścieżka powiększająca Przepływ wzdłuż ścieżki Alternatywne ścieżki powiększające
2
b) Znajdź minimalne drzewo spinające dla poniższego grafu za pomocą algorytmu Kruskala/Prima.
Uzupełnij odpowiednią tabelę przebiegu algorytmu. Wyznacz liczbę chromatyczną dla tego
grafu i wskaż pełne skojarzenie w otrzymanym drzewie spinającym.
Nr etapu Wybrana krawędź Krawędzie odrzucone przed wyborem/Alternatywy
4. (400 punktów) Wielki Elektronik planuje zachwiać bezpieczeństwem energetycznym Abecji.
Profesor Kleks właśnie przechwycił skomplikowany klucz, który potrzebny jest do złamania szyfru,
z którego korzysta Wielki Elektronik. Klucz składa się z dwu części - 3 liczb oraz jednego słowa.
Pierwsza liczba jest rozwiązaniem poniższej kongruencji a dwie ostatnie - najmniejszymi liczbami
naturalnymi, które spełniają poniższe równanie diofantyczne. Słowo zostało zaszyfrowane w postaci
drzewa, a słowo klucz jest reprezentacją tego drzewa w notacji postfiksowej. Pomóż profesorowi
Kleksowi znaleźć klucz i zapobiec katastrofie energetycznej w Abecji.
⎧
⎨ 𝑧 ≡7 2
𝑧 ≡9 3
2091𝑢 − 2295𝑤 = 102
⎩ 𝑧≡ 4
11
5. (400 punktów) a) Wyjaśnij na czym polega zasada indukcji matematycznej. Wskaż błąd
w następującym rozumowaniu: „Teza: wszystkie ptaki mają ten sam kolor upierzenia. Dowód tego
prowadzimy przez indukcję ze względu na liczbę ptaków w badanym zbiorze. Sprawdzenie indukcyjne:
jeśli w zbiorze jest tylko jeden ptak to dla tego zbioru twierdzenie jest oczywiście prawdziwe (każdy
ptak ma ten sam kolor upierzenia co on sam). Założenie indukcyjne: dla każdego zbioru, w którym
jest 𝑛 ptaków twierdzenie jest prawdziwe. Niech będzie dany dowolny zbiór złożony z 𝑛 + 1 ptaków.
Ustawiamy te ptaki w szeregu i numerujemy od 1 do 𝑛 + 1. Ptaki o numerach od 1 do 𝑛 tworzą zbiór
𝑛-elementowy, więc wszystkie mają to samo upierzenie (założenie indukcyjne). Ptaki o numerach od
2 do 𝑛+1 tworzą zbiór 𝑛-elementowy, więc wszystkie mają to samo upierzenie (założenie indukcyjne).
Zatem wszystkie ptaki ze zbioru 𝑛 + 1-elementowego mają ten sam kolor, co ptak numer 2 (bo jest on
w obu zbiorach). Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla każdego zbioru złożonego z 𝑛 + 1 ptaków. Na
mocy zasady indukcji matematycznej twierdzenie, że wszystkie ptaki mają ten sam kolor upierzenia
jest prawdziwe”.
b) Podaj twierdzenia umożliwiające znalezienie wartości funkcji Eulera dla dowolnej liczby, dla
której znamy rozkład na czynniki pierwsze i wykorzystaj je do znalezienia 𝜑(1925).