teoria gier
Transkrypt
teoria gier
Wykład monograficzny Elementy teorii gier kombinatorycznych Dr Wojciech Wieczorek Teoria gier kombinatorycznych O czym będzie mowa ◊ Motywacja ◊ Prezentacja kilku gier kombinatorycznych ◊ Teoria: notacja, liczby jako gry, suma gier ◊ Przydatne twierdzenia ◊ Program CGSuite ◊ Przykład rozpracowania gry ◊ Przymiarka do zaliczenia (test wyboru) Teoria gier kombinatorycznych Historia teorii gier kombinatorycznych ◊ C. L. Bouton, Analysis of Nim [1902] ◊ Sprague [1936], Grundy [1939], Impartial games and Nim ◊ Knuth Surreal Numbers [1974] ◊ Conway On Numbers and Games [1976] ◊ Prof. Elwyn Berlekamp (UCB), Conway, & Guy Winning Ways [1982] Teoria gier kombinatorycznych Kiedy gra jest kombinatoryczna? • Dwaj gracze (L i R) naprzemiennie wykonują ruchy • Brak losowości (rzucanie kostką lub tasowanie kart) • Obaj gracze mają całkowitą informację o grze ◊ Brak ukrytej informacji, jak w niektórych grach • Gra jest skończona • Nie ma remisów • Wygrywa ten, który wykonał ruch jako ostatni! Teoria gier kombinatorycznych Które gry „odpadają”, a które wchodzą? • Odpadają ◊ Gry karciane ◊ Z losowaniem • Wchodzą ◊ Nim, Domineering, Amazons, Clobber i in. • Wchodzą, ale pod warunkiem ◊ Szachy, Othello, Go i in. Teoria gier kombinatorycznych Klasyfikacja gier • Impartial • Partisan ◊ Obydwaj gracze mają dokładnie te same opcje ◊ Przykład: Nim ◊ Gracze mają różne opcje ◊ Przykład: Domineering Teoria gier kombinatorycznych Nim: gra typu „impartial” • Reguły: ◊ Kilka rzędów pionów ◊ Gdy twoja kolej, z wybranego rzędu usuń dowolną liczbę pionów, być może wszystkie • Cel ◊ Usuń ostatni pion • Przykład: 4 rzędy (2,3,5,7) Teoria gier kombinatorycznych 2 3 5 7 Domineering: gra typu „partisan” • Reguły: ◊ Połóż kostkę domina na planszy ◊ L kładzie pionowo ◊ R kładzie poziomo • Cel ◊ Połóż kostkę jako ostatni Left (bLue) Right (Red) • Przykładowa gra • Pytanie: kto wygrywa? Teoria gier kombinatorycznych Co chcemy wiedzieć o konkretnej grze? • Jaka jest wartość gry? ◊ Kto prowadzi i jak dużą różnicą punktów? ◊ Jak duży jest następny ruch? ◊ Czy istotne jest na kogo przypada następny ruch? • Jaka jest startegia wygrywająca? ◊ Znać wartość gry oraz strategię wygrywającą oznacza mieć ją rozpracowaną Teoria gier kombinatorycznych Definicja gry kombinatorycznej • Gra G pomiędzy dwoma graczami, L i R, definiowana jest za pomocą zbiorów gier: ◊ G = {GL | GR } ◊ GL to opcje dla L (tj., pozycja do której L może doprowadzić w nast. ruchu), podobnie dla R. ◊ Zatem jeśli G = {a, b, c, … | d, e, f, …}, GL oznacza a albo b albo c albo … oraz GR oznacza d albo e albo f albo ... Teoria gier kombinatorycznych Przykłady opcji i liczb • Oblicz wartość pozycji G: G= ={ | • Oblicz wartość pozycji G: } ={ 1 | –1 } = ±1 Left Right G= ={ , ={–1 , | } 0 | 1 } ={0 | 1} = 1/2 To jest przykład liczby. L wygrywa niezależnie, kto zaczyna. Teoria gier kombinatorycznych Negacja gier • Negacja gry G - definicja ◊ ◊ ◊ ◊ – G = {– GR | – GL} Podobna do zamiany miejsc z przeciwnikiem W grach typu „impartial” zachodzi – G = G Przykłady: Nim Domineering 1 1 2 2 –G G G Rotacja 90° –G Teoria gier kombinatorycznych Drzewo gry G –G Suma gier • Definicja: ◊ G + H = {GL + H, G + HL | GR + H, G + HR} ◊ Gracz na którego przypada ruch wybiera jeden ze składników i wykonuje tam ruch. ◊ Przykład: + ={ , + , + Teoria gier kombinatorycznych + } Dziwne wartości gier • Jaka gra jest fuzzy? ◊ Nie jest > 0, < 0 ani = 0, lecz nieporównywalna 0 ◊ Jej położenie na skali jest nieokreślone • Przykłady gier/liczb i nie-liczb! -2 -1.5 -1 -.5 0 .5 1 Teoria gier kombinatorycznych 1.5 2 Uwagi dodatkowe • Pojęć jest więcej! ◊ Inne wartości • Up, Down, Tiny i in. ◊ Upraszczanie ◊ Dominacja • Rozważamy gry: ◊ ◊ ◊ ◊ Ostatni grający wygrywa Nieistotne czyj ruch Klucz: Suma gier Dużo (większość?) gier nie spełnia tych założeń! • Co wtedy? Teoria gier kombinatorycznych