ZAJĘCIA IV Identyfikacja nieparametryczna czyli

Komputerowa identyfikacja obiektów
ZAJĘCIA IV
Identyfikacja nieparametryczna
czyli wyznaczanie charakterystyk
• Charakterystyki parametryczne i nieparametryczne
• Metody proste – pobudzenie impulsem i sinusoidą
• Metoda korelacyjna
• Specjalne sygnały pobudzające
Katedra Metrologii AGH
Kraków 2006
Komputerowa identyfikacja obiektów
WPROWADZENIE
Identyfikacja to wyznaczanie zależności pomiędzy sygnałami wejściowymi i wyjściowymi obiektu. Zależność taką
możemy przedstawić w postaci funkcji (modelu), która zależy od wartości parametru (np. stałej czasowej). Mówimy
wtedy o identyfikacji parametrycznej. Przykładem modelu parametrycznego jest odpowiedź impulsowa obiektu
k −Tt
inercyjnego h ( t ) = e . Z jej użyciem możemy opisać wyjście obiektu dla każdego sygnału wejściowego z
T
użyciem operacji splotu y (t ) = u ( t ) ∗ h (t ) . Podobnie w dziedzinie częstotliwości możemy zapisać odpowiedni model
inercji w postaci transmitancji widmowej G ( jω ) =
k
i opisać odpowiedź obiektu na sinusoidalny sygnał
jωT + 1
wejściowy (oczywiście trwający „od zawsze”, bo jest to model dla stanu ustalonego) Y ( jω ) = U ( jω ) ⋅ G ( jω ) .
W przypadku identyfikacji nieparametrycznej celem jest wyznaczenie charakterystyk w postaci zbioru wartości
bez żadnej parametryzacji. Dla powyższego przykładu inercji odpowiednikiem nieparametrycznym odpowiedzi
impulsowej będzie rejestracja przeskalowanej odpowiedzi obiektu na krótkotrwały impuls, a odpowiednikiem
transmitancji widmowej zbiór pomiarów względnej amplitudy sygnału wyjściowego w odpowiedzi na sinusoidalny
sygnał wejściowy dla kolejnych częstotliwości.
Przykład (model nieparametryczny i parametryczny):
Modelem nieparametrycznym była zmierzona charakterystyka częstotliwościowa filtra Czebyszewa (liczby
częstotliwość-wzmocnienie) analizowana na pierwszych ćwiczeniach. Modelem parametrycznym była transmitancja
widmowa. Porównanie obydwu było możliwe po podstawieniu do transmitancji nominalnych wartości parametrów.
Katedra Metrologii AGH
Kraków 2006
Komputerowa identyfikacja obiektów
MODELE A RZECZYWISTE REALIZACJE SYGNAŁÓW
Impuls Diraca jest sygnałem teoretycznym często wykorzystywanym w analizie systemów dynamicznych z racji
uproszczeń obliczeniowych. Nie jest realizowalny fizycznie w sposób idealny a jedynie w przybliżeniu. I tak zamiast
dostarczenia jednostkowej energii do układu w nieskończenie krótkim czasie jesteśmy w stanie doprowadzić tę
energię w krótkim czasie. Spójrzmy na błąd widmowy i czasowy, który przy tym popełniamy.
X(ω)
δ(t)
Dla
powolnego
inercyjnego
układu
dynamicznego (stała czasowa >> T,
X (ω ) = 1, ϕ (ω ) = 0
ω
t
∆(t)
X(ω)
około
100)
odpowiedzi
czasowe
praktycznie nie różnią się. Niewielkie
znaczenie ma też kształt impulsu.
y(t)
A
⎛ ωT ⎞
X (ω ) = TA si ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
T
t
ω
t
Wadą takiego sposobu pobudzania jest mała energia doprowadzona do układu, a przez to duża wrażliwość
wyznaczanej charakterystyki na szum. Stąd pomysł na wyznaczanie charakterystyki impulsowej z użyciem długo
trwających sygnałów (oczywiście w sposób pośredni, bo prosta rejestracja nie da teraz odpowiedzi impulsowej).
Katedra Metrologii AGH
Kraków 2006
Komputerowa identyfikacja obiektów
METODA KORELACYJNA - WYPROWADZENIE
Z użyciem dowolnych sygnałów możemy wyznaczyć odpowiedź impulsową korzystając z wyprowadzenia:
podstawowy model splotowy:
∞
y (t ) = u ( t ) ∗ h ( t ) = ∫ u (t − τ ) h (τ ) dτ
0
korelujemy obydwie strony z sygnałem u(t) przesuniętym o ∆:
∞
∞ ∞
−∞
0 −∞
∫ u (t − ∆ ) y (t ) d ∆ = ∫ ∫ u (t − ∆ ) u (t − τ ) d ∆h (τ ) dτ
dostajemy zależność splotową dla funkcji korelacji (jest to równanie Wienera-Hopfa):
∞
Ryu ( ∆ ) = Ruu ( ∆ ) ∗ h ( ∆ ) = ∫ Ruu ( ∆ − τ ) h (τ ) dτ
0
Jeśli autokorelacja sygnału wejściowego Ruu jest różna od zera tylko dla argumentu 0 (czyli jest to delta Diraca, jak
dla szumu białego) to korelacja wzajemna sygnału wyjściowego z wejściowym odtwarza postać odpowiedzi
impulsowej obiektu. Jeśli tak nie jest (autokorelacja wejścia nie jest impulsowa) to też możemy rozwiązać problem
przez odwrócenie operacji splotu, co wygodnie zapiszemy za chwilę w postaci macierzowej dla próbek sygnałów.
Uwaga: Wymuszenie szerokopasmowe (mało skorelowane) jest potrzebne nie tylko dla prostoty obliczeń, ale też
dla zbadania obiektu w szerokim zakresie częstotliwości. Niektóre proste sygnały wejściowe (np. sinusoida) mogą
nie dać w tej metodzie jednoznacznego rozwiązania, bo za słabo (tylko w jednej częstotliwości) pobudzają obiekt.
Katedra Metrologii AGH
Kraków 2006
Komputerowa identyfikacja obiektów
METODA KORELACYJNA DLA SYGNAŁÓW SPRÓBKOWANYCH W ZAPISIE MACIERZOWYM
Sygnały próbkowane są znane w dyskretnych chwilach czasu co ∆ = k ⋅ dt . Korelacje też mogą być szacowane
tylko z takim dyskretnym opóźnieniem jako:
N
N
k =1
k =1
rˆuu ( n ) = ∑ u ( k ⋅ dt ) u ( ( k − n ) ⋅ dt ) = ∑ uk uk − n
N
rˆyu ( n ) = ∑ y k uk − n
k =1
Jeśli całkę splotową zastąpimy skończoną sumą z próbkami odpowiedzi impulsowej (splot dyskretny) to dostaniemy
zależność (dyskretne równanie Wienera-Hopfa):
M
ryu ( n ) = ∑ ruu ( n − k ) h ( k )
k =0
Zapisując to równanie dla kolejnych wartości n dostaniemy układ równań:
⎡ rˆuu ( 0 )
"
rˆuu (M ) ⎤ ⎡ h ( 0 ) ⎤ ⎡ rˆyu ( 0 ) ⎤
⎢
⎥
⎢ ˆ
ˆuu (M − 1)⎥ ⎢ # ⎥ ⎢ # ⎥
%
r
r
1
(
)
uu
⎢
⎥⎢
⎥=
, a krótko: Rˆ uuh = rˆyu
⎢
⎥⎢ # ⎥ ⎢ # ⎥
%
⎥
⎢
⎥⎢
⎥ ⎢
ˆ
ˆ
ˆ
r
M
r
r
h
M
"
1
0
ˆ
(
)
(
)
(
)
(
)
r
M
(
)
uu
uu
⎣ uu
⎦⎣
⎦ ⎣⎢ yu
⎦⎥
Równanie jest kwadratowe i łatwo rozwiązywalne znanymi nam już metodami. Jedyne niebezpieczeństwo to
osobliwość macierzy korelacji Rˆ uu , ale tej unikniemy jeśli pobudzenie będzie bogate w składowe częstotliwościowe.
Przykład:
Jeśli sygnał wejściowy jest nieskorelowany (szum biały), to tylko diagonala macierzy będzie niezerowa i dodatkowo
będą na niej te same wartości. Widzimy, że korelacja wzajemna jest proporcjonalna do odpowiedzi impulsowej.
Katedra Metrologii AGH
Kraków 2006
Komputerowa identyfikacja obiektów
SYGNAŁY TESTOWE OGÓLNEGO PRZEZNACZENIA
Do niedawna duże znaczenie praktyczne w testowaniu układów miały generatory szumu białego. Opierają one
swoje działanie np. na silnym wzmacnianiu szerokopasmowym szumu termicznego. Na końcówkach dowolnego
przewodnika w wyniku chaotycznego ruchu elektronów spowodowanego temperaturą można zaobserwować
napięcie rzędu nanowoltów. Gęstość widmowa mocy tego sygnału jest wyrażona zależnością:
P (f ) =
4
kTR ⎡⎣V 2 Hz ⎤⎦
2π
R – rezystancja przewodnika, T – temperatura, K – stała Boltzmana
Stała, niezależna od częstotliwości, a więc w paśmie ∆f wartość skuteczna szumów wynosi U∆f =
4
kTR ∆f . Dla
2π
20°C jest to U∆f = 0.5 ⋅ 10−10 R ∆f . Stąd też biorą się szumy własne przyrządów pomiarowych.
Teoretyczny szum biały jest nierealizowalny (nieskończona moc – całka z funkcji gęstości mocy). Praktycznie
generowane szumy są uważane za białe jeśli mają stałe widmo w paśmie badanego obiektu. Szumy silniej
ograniczone pasmowo są nazywane szumami różowymi (spadek wartości skutecznej napięcia 1/f) i czerwonymi
(1/f2).
Dziś generatory szumu białego tracą popularność na rzecz
generatorów szerokopasmowych sygnałów deterministycznych.
Pytanie: Impuls Diraca, podobnie jak szum biały,
czerwony
biały
różowy
ma stałe widmo mocy. Czym różnią się te dwa sygnały ?
Katedra Metrologii AGH
Kraków 2006
Komputerowa identyfikacja obiektów
Sygnały PRBS (pseudorandom binary sequence)
Dwuwartościowe sygnały losowe RBS (ang. random binary sequence) i dyskretno-przedziałowe DI-RBS są
układowo łatwiejsze do generowania niż szum biały bo przyjmują tylko dwie wartości. Nadal jednak rządzą się
prawami losowymi – nieznane jest z góry widmo pojedynczej realizacji.
1
R(τ)
0.5
0.5
V2
0
R(τ)
1
V2
0
2 -2νt
Ve
-0.5
-0.5
-1
0
5
10
-1
15
τ
τ
Przykład sygnału RBS (ν zmian w jednostce czasu)
0
5
10
15
20
25
30
dt
Przykład sygnału DI-RBS (okres zegara dt)
Sygnałami binarnymi deterministycznymi, których sekwencja zmian jest zoptymalizowana pod kątem szerokości
pasma są sygnały ml-PRBS (m-sequences). Ich postać czasowa i widmo są znane. Są łatwe do wygenerowania.
Widmo amplitudowe:
A (0) =
V
, N=2n-1
N
A ( fk ) = V
1 + 1 N sin ( k π N )
N
kπ N
R(τ)
1
b0
b1
b2
...
bn
V2
0.5
0
-0.5
dt
-V2/N
-1
0
5
10
15
20
25
30
Sygnały takie są powszechnie wykorzystywane w nieparametrycznej identyfikacji obiektów, np. w czasie estymacji
transmitancji linii telekomunikacyjnej przez procedury inicjalizacyjne modemów ADSL.
Teoria takich sygnałów w “Perturbation Signals for System Identification”, K. Godfrey. Projektowanie np. funkcją idinput toolboxu ident Matlaba.
Katedra Metrologii AGH
Kraków 2006
Komputerowa identyfikacja obiektów
Wyznaczanie charakterystyki częstotliwościowej „punkt po punkcie”
Prosty sposób wyznaczenia charakterystyki częstotliwościowej to wyznaczenie odpowiedzi punkt po punkcie z
pobudzeniem czystą sinusoidą. Dla pomiaru niesynchronizowanego z pobudzeniem problematyczne może być
wyznaczenie fazy. Poniżej przedstawiono program wykorzystujący DAQ toolbox do wyznaczenia charakterystyki
amplitudowej, który będziemy modyfikować na ćwiczeniach.
fs=44100;
N=fs;
t=(0:1:N-1)'/fs;
Freqs=[2:1:10 20:10:100 200:100:1000 2000:1000:22000];
FreqRef=2000;
AI=analoginput('winsound');
ci=addchannel(AI, [1 2]);
set(AI, 'SampleRate', fs);
set(AI, 'SamplesPerTrigger',2*N);
AO=analogoutput('winsound');
co=addchannel(AO, [1 2]);
set(AO, 'SampleRate', fs);
set(AO, 'RepeatOutput', 2);
for i=1:length(Freqs)
Freqs(i)
putdata(AO, [0.5*sin(2*pi*Freqs(i)*t), 0.0*sin(2*pi*FreqRef*t)]);
start(AO);
start(AI);
data=getdata(AI);
stop(AO);
%plot(data)
u=data(N+1:2*N,1);
plot(u), drawnow
Resp(i)=max(u)-min(u);
end
delete(AO);
delete(AI);
loglog(Freqs, Resp);
Katedra Metrologii AGH
Kraków 2006
Komputerowa identyfikacja obiektów
Sygnały poliharmoniczne (paczka sinusoid, ang. multisine) i optymalizacja PAR (ang. Peak to Average Ratio)
Jeśli stosujemy krotności częstotliwości podstawowej to kolejne sinusoidy są ortogonalne i możemy je połączyć w
jeden sygnał. Jednak czasowa postać sygnału złożonego z wielu składowych sinusoidalnych może powodować
problemy z wykorzystaniem mocy przetworników pobudzających układu pomiarowego z powodu ograniczeń
amplitudowych. W pomiarach typu wyznaczanie transmitancji faza poszczególnych składowych nie jest istotna
obliczeniowo, operujemy przecież na różnicy faz spowodowanej charakterystyką fazową badanego układu. Zatem
fazy poszczególnych składowych mogą być dobierane dla polepszenia własności czasowych sygnału.
Dobry sygnał do estymacji nieznanej transmitancji maksymalizuje moc przenoszoną w zadanych ograniczeniach
amplitudowych (zwiększa stosunek SNR). Ten cel można wyrazić jako minimalizację współczynnika szczytu (ang.
peak to average ratio). Znany algorytm optymalizacji bazuje na przełączaniu czas-częstotliwość.
Przykład: 31 sinusoid powiązanych harmonicznie, stosunek mocy po/przed optymalizacją około 16:1 (!)
Widmo amplitudowe
Sygnał z zerowymi fazami
Sygnał z optymalnymi fazami
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
-1
-1
0.04
-2
-2
0.02
-3
-3
0.2
0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-4
0
500
1000
1500
2000
2500
-4
0
500
1000
1500
2000
2500
Teoria projektowania takich sygnałów np. w “System Identification”, Schoukens, Pintelon. Projektowanie np. funkcją msinclip toolboxu fdident Matlaba.
Katedra Metrologii AGH
Kraków 2006
Komputerowa identyfikacja obiektów
PRZYKŁAD POMIARU NIEPARAMETRYCZNEGO CHARAKTERYSTYK KARTY DŹWIĘKOWEJ
Np. SB Creative Live!, 16-bitowa. Interesują nas własności dynamiczne (pasmo) i szumowe.
Charakterystyki dynamiczne:
Charakterystyki szumowe:
Wejście mikrofonowe (monofoniczne, z zasilaniem dla Maksymalny stosunek sygnału do szumu wynika z ilości
mikrofonu
elektretowego)
pobudzone
harmonicznie bitów (jeśli nie ma ditheringu) SNR = 20log10 216 = 96dB .
punkt po punkcie napięciem rzędu 100mV.
sample value
4
Power Spectrum Magnitude (dB)
-4
2
0
-2
Dlaczego takie wąskie pasmo ?
x 10
0
0.5
1
1.5
2
time index
2.5
x 10
5
-40
-60
-80
-100
0
0.5
1
1.5
2
Frequency
2.5
x 10
4
[y, Fs] = daqrecord('winsound', 0, 5, 44100, [1]);
psd(y,2048,Fs);
Szumy 80-90dB to odpowiednik 13-15 bitów.
Pytanie: Czy karty dźwiękowej nie można by użyć jako karty pomiarowej? Jakie pojawią się problemy ?
Katedra Metrologii AGH
Kraków 2006
Komputerowa identyfikacja obiektów
ZADANIA – IDENTYFIKACJA NIEPARAMETRYCZNA
Zadanie 1
Zmodyfikuj program test_sndb.m dostępny na serwerze, wyznaczający charakterystykę amplitudową pętli
analogowej karty dźwiękowej line-out – line-in metodą „punkt po punkcie”, na metodę „paczka sinusoid”. Użyj FFT o
długości 32768. Zadaj stałą amplitudę i losowe fazy sinusoid składowych. Przedstaw charakterystykę amplitudową i
fazową pętli. Przez odwrotne FFT wyznacz odpowiedź impulsową pętli.
Zadanie 2
Metodą korelacyjną dla sygnału pobudzającego PRBS wyznacz odpowiedź impulsową pętli jak w zadaniu 1. Przez
FFT wyznacz charakterystyki częstotliwościowe i porównaj je z rezultatami zadania 1.
LITERATURA DODATKOWA
Larminat P., Thomas Y. Automatyka – układy liniowe, tom 2 – Identyfikacja, WNT 1977
Soderstrom T., Stoica P. Identyfikacja systemów, PWN 1997
Zieliński T.P., Cyfrowe przetwarzanie sygnałów, WKŁ 2005
Katedra Metrologii AGH
Kraków 2006