Mechanika Relatywistyczna

www.iwiedza.net
Mechanika Relatywistyczna
II prawo dynamiki Newtona
f =m


d 2r
dp
=
dt
dt 2
Z punktu widzenia STW prawa tego nie da się utrzymać.
c
V
B
A
f
x
x’
Mamy dwóch obserwatorów, którzy obserwują punkt materialny poruszający się i na
który działa siła.
Siła zmienia się powodując zmianę trajektorii ruchu. Na podstawie obserwacji chcą
oszacować siłę. Obaj mierzą długości i czas. Każdy z nich inaczej oszacuje drogę i czas.
Dostajemy więc:

d 2r
f =m
dt 2
nie da się oszacować klasycznie.
Musimy dokonać pewnego założenia. A mianowicie, że masa zależy od prędkości. Założenie to jest
konieczne z punktu zasady zachowania pędu.
m = m (v )
Dopuszczenie tej zależności kompensuje różne oceny przyrostu pędu. Żądamy by masa tak się
zmieniała by to prawo było zachowawcze i spełniało postulaty teorii względności. Z.Z.P jest
spełniona wtedy, gdy


p = mv
i
m = m (v )
Poszukamy zależności miary od prędkości.
Rozważmy zderzenie 2 kul.
Obowiązuje tu Z.Z.P. i Z.Z.E.
Kule się zderzają, poruszają się po jednej osi (y). Prędkości takie same U.
www.iwiedza.net
c
V
B
f
A
x’
x
Przed zderzeniem
Po zderzeniu
uy =
u 'y =
Obserwato
r
Układ S
Układ S’
A
u x = 0 , u y = −u
u ' x = v , u ' y = −u 1 − β 2
B
u x = v , u y = u 1 − β2
'
u' x = 0 , u y = u
A
ux = 0 , uy = u
u ' x = v , u ' y = u 1 − β2
B
u x = v , u y = −u 1 − β 2
'
u ' x = 0 , u y = −u
u 'y 1 − β 2
= u 1 − β2
v
1 + 2 ux
c
u y 1 − β2
= u 1 − β2
v
1 + 2 ux
c
Transformujemy do układu promowanego. Mamy wszystko w układzie promowanym i możemy
zastosować Z.Z.P. czyli treść zasady, którą formułuje obserwator B.
p = mv
f =
dp
dt




p( a ) + p( b ) = p( a ) + p( b )
p xa + p xb = p xa + p xb
dopuszczamy, że
m = m ( v ) więc p = m ( v ) ⋅ v
2
2
2
m( v ) = m( v x + v y + v z )
m  v 2 + u 2 ( 1 − β 2 )

mx = m
dla składowej y
( −v ) + m  u 2  ⋅ 0 = m  v 2 + u 2 ( 1 − β 2 )








( −v ) + 0


www.iwiedza.net
m  v 2 + u 2 ( 1 − β 2 )  − u 1 − β 2


 + m  u 2  ⋅ u = m  v 2 + u 2 ( 1 − β 2 ) u 1 − β 2










 + m  u 2  ⋅ ( −u )






2m  v 2 + u 2 ( 1 − β 2 )  ⋅ u 1 − β 2 = 2m u 2 u


dla u → 0 bo to się ma stosować do każdej prędkości, z.z.p. jest spełniona dla każdego wtedy
m0
m( 0) =
1 − β2
wniosek:
dp
jeśli dopuścimy taką zależność masy od prędkości to prawo f =
ma także sens z punktu
dt
widzenia teorii względności.
Spróbujemy zachować prawo f = m ( a )
Wychodzimy z równania:








dp
d
d  m 0v 
d  v
1
dv
d
1


=
=
mv =
=
m
=
m
+v
0
0




 1 − β 2 dt
dt
dt
dt  1 − β 2 
dt  1 − β 2 
dt 1 − β 2 








1 dv 





 1
 ( −1) ⋅ ( −2β ) c dt 
 a

 a ( 1 − β 2 ) + aβ 2 
dv
aβ 2
= m0 
+v
+
= m0 
 = m0 
=
3 
3
 1 − β 2 dt
2 ⋅ ( 1 − β2 ) 1 − β2 
 1 − β2


2 2 
2 2
(1 − β ) 



 (1 − β )



1 − β 2 + β 2 
1
= m 0a 
= m 0a II
3 
3

2 2 
2 2
(
1
−
β
)
(
1
−
β
)


to wynik gdy siła działa w kierunku równoległym do ruchu (wzdłuż).
f =
Jak wygląda to równanie gdy siła działa prostopadle.
 dv

f = m 0  dt
 1 − β2

m 0a II
f II =
3


 = m0


m 0a ⊥
1 − β2
1 − β2
m0
⇒ m II =
( 1 − β2 ) 2
f⊥ =
a⊥
3
( 1 − β2 ) 2
⇒ m⊥ =
m0
1 − β2
Wniosek:
Jeśli chcemy zachować prawo mechaniki zawierające przyspieszenie; i aby było relatywistyczne,
niezmiennicze, obowiązujące w każdym układzie inercjalnym, to musimy odróżnić masy:
równoległą i prostopadłą, w zależności czy siła działa w kierunku prostopadłym czy w kierunku
ruchu.
Konsekwencje
Relatywistyczna definicja Ek
www.iwiedza.net
W relatywistce dysponujemy trzema masami: spoczynkową, równoległą i prostopadłą. Modyfikacji
ulegają wszystkie prawa zawierające masę.
v
Ek =
∫
v
 
ds ⋅ f =
=0
= m0
∫
= m0
∫
∫

m 0v
d
dt
1−β
2

⋅ v dt =

1 dv 
 dv
 dv
v ( −1) ⋅ ( −2β )
 dt

 dt
c
dt
vdt 
+
+
 = m 0 vdt 
 1 − β2
 1 − β2
2( 1 − β 2 ) 1 − β 2 



dv 


vβ 2 c


 vc
1
dv
d
dt
⋅ vc
+

dt = m 0 
3
dt
 1 − β2 ⋅ c

 1 − β 2 dt
( 1 − β 2 ) 2 ⋅ c 


= m 0c 2
= m 0c 2
=
∫

dp 
ds =
dt
∫
∫
∫
∫
m 0c 2
1−β
2
dβ
dβ

β3
 β dt
dt
+

3
 1 − β2
2 2
(
1
−
β
)

β
3
( 1 − β2 ) 2


2
dt = m 0c


dβ
dt = m 0c 2
dt
∫
∫
dv
dt

 ⋅c
=
3
 ⋅c
( 1 − β 2 ) 2 
dv 
vcβ 2
v 
dtc dt =
 +
3
c 

( 1 − β 2 ) 2 
β2

2 dβ
3 dβ 
 β( 1 − β ) dt + β dt 

dt =
3


2 2
(1 − β )


βdβ
3
= m 0c 2
( 1 − β2 ) 2
1
1 − β2
p
p =0


1
= m 0c 2 
− 1 =
 1 − β2



− m 0c 2 = mc 2 − m 0c 2
E k = mc 2 − m 0c 2
Dla małych prędkości
1
1
v2 1
E k = m 0c 2 ( 1 + β 2 + ... − 1) = m 0c 2 2 = mv 2
2
2
2
c
Einstein wysnuł wniosek, że to suma dwóch wyrażeń
E k = mc 2 − m 0c 2 = T − T 0
T 0 - to energia spoczynkowa niezależna od ruchu. Czyli w wyrażeniu na energię, od energii
całkowitej odejmujemy coś, co nie jest związane z ruchem.
Więc
E = mc 2
Energia i masa są ze sobą ściśle związane i nie można tych wyrażeń oddzielić. Nie można mówić o
energii nie mówiąc o masie, przecież
E
m = 2
c
Wniosek: masie pędowej musimy przyporządkować energię i na odwrót. Jeśli mamy energię to
musimy jej przyporządkować masę.
1. defekt masy
2. nie ma dwóch zasad zachowania (z.z.p, i z.z.e.) z.z relatywistce: relatywistce klasycznym
ujęciu dwie
3. siła grawitacyjna
4. sprężyna