metody iteracyjne dla rownań nieliniowych

Program przedmiotu:
METODY ITERACYJNE DLA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
30 godz. konwersatorium
Wymagane wiadomości: ogólna wiedza matematyczna głównie z metod nume­
rycznych
i
analizy
funkcjonalnej.
1. Twierdzenie Banacha (bd.). Twierdzenie Picarda w wersji lokalnej i globalnej,
szkic dowodu z wykorzystaniem twierdzenia Banacha. Analiza przykładów równań
różniczkowych.
2. Definicja liniowego i wieloliniowego operatora ograniczonego. Definicja normy
liniowego i wieloliniowego operatora ograniczonego. Definicja pierwszej różniczki
Frécheta i pierwszej pochodnej Frécheta. Obliczanie różniczek Frécheta różnych
operatorów.
3. Definicja różniczek Frécheta wyższych rzędów i pochodnych Frécheta wyższych
rzędów. Obliczanie różniczek Frécheta różnych operatorów, cd.
4. Metoda Newtona. Uogólniona metoda Newtona-Kantorowicza w przestrzeniach
Banacha. Twierdzenie Kantorowicza o zbieżności oraz istnieniu i jednoznaczności
rozwiązania (bd.). Analiza przykładów równań i układów równań algebraicznych.
5. Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania równania x-Ax=y, twier­
dzenie o odwracalności operatora I-A, gdzie A jest operatorem w przestrzeni Ba­
nacha. Zastosowanie w uogólnionej metodzie Newtona-Kantorowicza do pewnego
równania różnicowego.
6. Twierdzenie o zbieżności i istnieniu rozwiązania dotyczące uogólnionej metody
Newtona-Kantorowicza (bd.). Analiza przykładów.
7. Uogólniona metoda gradientowa typu Newtona dla funkcjonałów na przestrze­
niach Banacha. Twierdzenie o zbieżności (bd.). Analiza przykładów.
8. Twierdzenie Riesza-Frécheta (bd.). Definicja uogólnionego gradientu. Konstruk­
cja ciągu w uogólnionej metodzie gradientowej typu Newtona dla funkcjonałów na
przestrzeniach Hilberta. Analiza przykładów.
9. Konstrukcja ciągu w uogólnionej metodzie gradientowej typu Newtona dla
funkcjonałów na przestrzeniach Lp. Analiza przykładów równań całkowych.
10. Przybliżone rozwiązywanie równań całkowych z wykorzystaniem uogólnionej
metody gradientowej typu Newtona, cd.
11. Twierdzenie o różniczkowalności normy i kwadratu normy w rzeczywistych
przestrzeniach Hilberta. Uogólniona metoda gradientowa typu Newtona dla ope­
ratorów w przestrzeniach Hilberta. Twierdzenie o zbieżności (bd.). Analiza przy­
kładów układów równań algebraicznych.
12. Rozszerzona metoda Newtona. Metoda Czebyszewa. Twierdzenie o zbieżności
(bd). Analiza przykładów równań algebraicznych.
13. Uogólniona metoda Czebyszewa dla operatorów w przestrzeniach Banacha.
Twierdzenie o zbieżności (bd). Uogólniona metoda gradientowa typu Czebyszewa
dla operatorów w przestrzeniach Banacha (informacyjnie). Analiza przykładów
równań i układów równań algebraicznych.
14. Porównanie przedstawionych metod (zastosowanie, szybkość zbieżności).
Kwestia przyśpieszania zbieżności. Informacja o innych metodach.
Literatura:
1. M. Altman, Metody przybliżone analizy funkcjonalnej, PAN, Wrocław 1963.
2. W. Kołodziej, Wybrane rozdziały analizy matematycznej, PWN, Warszawa 1970.
3. J. Stoer, Wstęp do metod numerycznych, tom 1,2, PWN, Warszawa 1980.
4. J. Stoer, R. Bulirsch, Wstęp do analizy numerycznej, PWN, Warszawa 1987.
5. E. Zeidler, Nonlinear functional analysis and its applications, Springer, New
York 1986.
7 grudnia 2009