MATEMATYKA DLA I ROKU BIOCHEMII I BIOTECHNOLOGII Spis

MATEMATYKA DLA I ROKU BIOCHEMII I BIOTECHNOLOGII
PAWEŁ ZAPAŁOWSKI
Spis treści
Literatura
1. Pojęcia wstępne
1.1. Kwantyfikatory
1.2. Zbiory. Działania na zbiorach
2. Elementy algebry liniowej
2.1. Macierze. Działania na macierzach
2.2. Wyznaczniki. Macierze odwrotne
1
2
2
2
3
3
4
Literatura
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
W. Krysicki, L. Włodarski Analiza Matematyczna w zadaniach, PWN, Warszawa, 1996.
F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa, 1978.
G. M. Fichtenholz Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa, 1995.
P. Kajetanowicz, J. Wierzejewski Algebra z geometrią analityczną, PWN, Warszawa, 2008.
R. Leitner Zarys matematyki wyższej dla studentów, WNT, Warszawa 1997.
Date: 8 października 2014.
1
1. Pojęcia wstępne
1.1. Kwantyfikatory. Zwrot „dla każdego x” nazywamy kwantyfiakatorem dużym i oznaczamy ∀x (łac.
affirmo=potwierdzać). Zwrot „istnieje takie x, że” nazywamy kwantyfiakatorem małym i oznaczamy ∃x
(łac. existo=istnieć).
1.2. Zbiory. Działania na zbiorach. Zbiory oznaczamy najczęściej dużymi literami, np. A, B, C, zaś
elementy zbioru — małymi literami. Jeśli a jest elementem zbioru A, piszemy
a ∈ A.
Jeśli a nie jest elementem zbioru A, piszemy
a∈
/ A.
Zbiór nie posiadający żadnego elementu nazywamy zbiorem pustym i oznaczamy ∅. Mówimy, że zbiór A
jest podzbiorem zbioru B (lub zbiór B zawiera zbiór A), co zapisujemy
A ⊂ B,
jeśli każdy element zbioru A jest elementem zbioru B. Relacja zawierania ⊂ nazywana jest też inkluzją.
Jeśli A ⊂ B i A 6= B, to piszemy A ( B.
Definicja 1.2.1. Dla dowolnych zbiorów A, B definiujemy ich sumę mnogościową
A ∪ B := {x : x ∈ A lub x ∈ B},
iloczyn mnogościowy lub część wspólną
A ∩ B := {x : x ∈ A i x ∈ B}
oraz różnicę mnogościową
A \ B := {x : x ∈ A i x ∈
/ B}.
Będziemy stosować następujące oznaczenia
• N := {1, 2, . . . } — zbiór liczb naturalnych;
• Z := {−2, −1, 0, 1, 2, . . . } — zbiór liczb całkowitych;
• Q := { pq : p, q ∈ Z, q 6= 0} — zbiór liczb wymiernych;
• R — zbiór liczb rzeczywistych. Formalna definicja wykracza poza materiał tego kursu. Pierwsze
aksjomatyczne definicje R pojawiły się w XIX wieku (Méray1 (1869), Cantor2 (1871), Dedekind3
(1872)).
Dla dowolnego zbioru A ⊂ R niech A+ := {x ∈ A : x > 0}.
Uwaga 1.2.2. Pomiędzy powyższymi zbiorami zachodzą naturalne inkluzje
N ( Z ( Q ( R.
Ponadto, np. Z+ = {0, 1, 2, . . . }.
Definicja 1.2.3. Dla dowolnych a, b ∈ R, a < b, definujemy przedziały
• domknięty [a, b] := {x ∈ R : a 6 x 6 b},
• otwarty (a, b) := {x ∈ R : a < x < b},
• jednostronnie otwarte (a, b] := {x ∈ R : a < x 6 b}, [a, b) := {x ∈ R : a 6 x < b},
• nieograniczone (a, ∞) := {x ∈ R : a < x}, (−∞, b) := {x ∈ R : x < b} i (−∞, ∞) := R.
Przykład 1.2.4. Niech A = (0, 2], B = [−1, 2). Wtedy A ∪ B = [−1, 2], A ∩ B = (0, 2), A \ B = {2} i
B \ A = [−1, 0].
Zadanie 1.2.5. Wyznaczyć A ∪ B, A ∩ B, A \ B i B \ A, jeśli
(1) A = R, B = R,
(2) A = Q, B = ∅,
(3) A = Z, B = [0, 1],
(4) A = (−1, 1), B = {−1, 1},
1Hugues Charles Robert Méray (ur. 12 listopada 1835 w Chalon-sur-Saône, Saône-et-Loire, zm. 2 lutego 1911 w Dijon)
— matematyk francuski.
2Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (ur. 3 marca 1845 w Sankt Petersburgu, zm. 6 stycznia 1918 w sanatorium
w Halle) — matematyk niemiecki.
3Julius Wilhelm Richard Dedekind (ur. 6 października 1831 w Brunszwiku, zm. 12 lutego 1916) — matematyk niemiecki.
2
(5) A = {0}, B = (0, ∞).
(6) A = [1, 4), B = (2, 6].
2. Elementy algebry liniowej
2.1. Macierze. Działania na macierzach. Jednym z podstawowych pojęć algebry są macierze.
Definicja 2.1.1. Macierzą wymiaru m × n nazywamy prostokątną tablicę liczb aj,k ∈ R ułożonych w
m wierszy i n kolumn.


a1,1 a1,2 . . . a1,n
 a2,1 a2,2 . . . a2,n 
.
A = [aj,k ] = [aj,k ]j=1,...,m = 
 ...
... ...
... 
k=1,...,n
am,1 am,2 . . . am,n
Zbiór macierzy wymiaru m × n oznaczamy przez Rm×n . Liczba aj,k jest elementem macierzy A stojącym
w wierszu j i kolumnie k. Jeśli m = 1 (odp. n = 1) to macierz A nazywamy wierszową (odp. kolumnową).
Jeśli m = n, to macierz nazywamy kwadratową, a n jej stopniem. Macierz złożoną z samych zer oznaczamy
przez 0 i nazywamy macierzą zerową. Macierz kwadratową złożoną z jedynek na głównej przekątnej i
samych zer poza nią


1 0 ... 0 0
0 1 . . . 0 0 




In :=  ... ... . . . ... ...  ∈ Rn×n


0 0 . . . 1 0 
0 0 ... 0 1
nazywamy macierzą jednostkową stopnia n.
Definicja 2.1.2. Jeśli t ∈ R, A = [aj,k ] ∈ Rm×n , to określamy iloczyn tA liczby t przez macierz A
wzorem
tA := [taj,k ] ∈ Rm×n .
−2 4 2 −1
Przykład 2.1.3. −2 13 −2
= −6 12 −4 .
−6 2
Definicja 2.1.4. Jeśli A = [aj,k ], B = [bj,k ] ∈ Rm×n , to określamy sumę A + B macierzy A i B wzorem
A + B := [aj,k + bj,k ] ∈ Rm×n ,
zaś różnicę A − B macierzy A i B wzorem A − B := A + (−1)B.
Przykład 2.1.5.
(1) Jeśli A, 0 ∈ Rm×n , to A + 0 = 0 + A = A (macierz zerowa jest elementem
neutralnym
dodawania
h 1 −2 i
h 1 −3 i macierzy).
h1 0 i
(2) 3 0 0 − 2 −4 2 = 8 −4 .
2 −1
0
1
6 −5
Zadanie 2.1.6. Obliczyć
h 1 −2 1 i
h 6 1 −3 i
(1) −2 0 0 2 + 4 0 −4 2
,
2 −1 4
0 1
1 −2
6 12 −3
1
(2) − 2 −1 4 − 2 0 −4 2 .
Definicja 2.1.7. Jeśli A = [aj,k ] ∈ Rm×l , B = [bj,k ] ∈ Rl×n , to określamy iloczyn AB macierzy A i B
wzorem
AB = [cj,k ] ∈ Rm×n ,
gdzie
l
X
cj,k :=
aj,i bi,k .
i=1
m×n
Przykład 2.1.8.
(1) Jeśli A ∈ R
neutralnym
mnożenia
macierzy).
h 1 −2 i h −3 −3 −6 i
1
−3
−4
(2) 0 0
= 0 0 0 .
2 0 1
2 −1
, to AIn = Im A = A (macierz jednostkowa jest elementem
6 −6 −9
Zadanie 2.1.9.
h 1 −2 1 i(1)
h 6 Obliczyć
i
1 −3
(a) 0 0 2 0 −4 2 ,
2 −1 4
1 −2 1 2 06 11 −3 h 1 i
2 ,
(b)
2 −1 4 − 0 −4 2
4
3
1
2
3
4
[ 1 2 3 4 ],
5
(d) − [ 1 2 3 4 ] 67 .
(c)
8
(2) Znaleźć dwie macierze A, B ∈ R2×2 takie, że AB 6= BA.
(3) Znaleźć niezerowe macierze A, B ∈ R2×2 takie, że AB = 0.
Definicja 2.1.10. Jeśli A ∈ Rm×n , to określamy macierz transponowaną AT macierzy A wzorem
AT := [bj,k ] ∈ Rn×m ,
gdzie
bj,k := ak,j .
Uwaga 2.1.11. Zauważmy, że operacja transponowania polega na zamianie wierszy na kolumny, zaś
kolumn na wiersze, przy czym kolejność wierszy i kolumn jest zachowana.
h 1 −2 iT 1 0 2
Przykład 2.1.12. 0 0
= −2
0 −1 .
2 −1
Zadanie 2.1.13.
(1) Obliczyć
h
i
h 6 1 −3 iT 1 −2 1 T
0 0 2
(a) −2
+ 4 0 −4 2
,
2 −1 4
2 0 1
1 −3 T
1 −2 + 2 04
.
(b) − −1
4
2
(2) Wyznaczyć wszystkie macierze A ∈ R2×2 takie, że A = AT .
(3) Wyznaczyć wszystkie macierze A ∈ R2×2 takie, że A = −AT .
2.2. Wyznaczniki. Macierze odwrotne. Każdej macierzy kwadratowej A przyporządkowujemy liczbę
zwaną wyznacznikiem, oznaczaną det A lub |A|. Poniżej przedstawimy indukcyjną definicję tego pojęcia.
Definicja 2.2.1. Minorem macierzy A ∈ Rm×n nazywamy każdą macierz kwadratową powstałą z macierzy A przez skreślenie pewnej liczby wierszy i kolumn.
Definicja 2.2.2. Niech A = [aj,k ] ∈ Rn×n . Minorem odpowiadającym elementowi aj,k macierzy A
nazywamy minor macierzy A powstały przez skreślenie wiersza j i kolumny k. Oznaczamy go symbolem
Mj,k . Zauważmy, że Mj,k ∈ Rn−1×n−1 .
Definicja 2.2.3 (Indukcyjna definicja wyznacznika). Niech A = [aj,k ] ∈ Rn×n .
Jeśli A = [a] ∈ R1×1 , to przyjmujemy det A := a. Następnie, począwszy od n = 2, dla kolejnych liczb
naturalnych powtarzamy następujące kroki
(1) definiujemy dopełnienie algebraiczne dj,k elementu aj,k jako
dj,k := (−1)j+k det Mj,k ;
(2) dowodzimy, że suma
aj,1 dj,1 + aj,2 dj,2 + · · · + aj,n dj,n
nie zależy od wyboru j = 1, . . . , n;
(3) definiujemy wyznacznik macierzy A jako
det A := aj,1 dj,1 + aj,2 dj,2 + · · · + aj,n dj,n ,
gdzie j ∈ N jest dowolną liczbą, 1 6 j 6 n.
Uwaga 2.2.4. W praktyce, dla n = 2 powyższa definicja sprowadza się do następującego wzoru
a b c d = ad − bc,
a dla n = 3, dzięki regule Sarrusa 4,
a1 b1 c1 a2 b2 c2 = a1 b2 c3 + a2 b3 c1 + a3 b1 c2 − a3 b2 c1 − a1 b3 c2 − a2 b1 c3 .
a3 b3 c3 −1 0 3 = 5, 2 −4 −2 = 32.
Przykład 2.2.5. 13 −1
2
3 1 −2
sin x cos 1 2 1 0 0 1 Zadanie 2.2.6. Obliczyć | 05 20 |, cos
x − sin x , 3 2 0 i 0 2 0 .
300
101
4Pierre Frédéric Sarrus (ur. 10 marca 1798 w Saint-Affrique, zm. 20 XI 1861) — matematyk francuski.
4