teoria liczb w pracach pala erdósa
Transkrypt
teoria liczb w pracach pala erdósa
Antiquitates Mathematicae vol. 6 (2012), p. 151–156 doi: 10.14708/am.v7i1.578 Andrzej Schinzel (Warszawa) TEORIA LICZB W PRACACH PALA ERDÓSA Pal (Paweł) Erdós (1913-1996) był po Eulerze najpłodniejszym matematykiem w historii. Pozostawił 1548 prac, a liczba jego współautorów, największa w historii, sięga 500. Teorii liczb poświęcił ca 600 prac, w tym ca 70% wspólnych, które są omówione w nekrologu opublikowanym w Acta Arithmetica przez A. Sarkozy’ego [9]. Niniejszy referat w wielu miejscach powtarza podane przez Sarkozy’ego infor macje, zbudowany jest jednak inaczej, w kolejności działów teorii liczb podanych w MSC2010. 11A07 (kongruencje) Erdós [14] pierwszy zauważył istnienie pokrywających ukła dów kongruencji (1) x=a.m .odm. (1 <i<k) o różnych modułach m > l i wykorzystał ten fakt do dowodu istnienia postępu aryt metycznego utworzonego z liczb nieparzystych, którego żaden wyraz nie jest posta ci 2k+p (p pierwsze). Z tematem tym wiąże się następujący problem Erdósa, ostatnio rozwiązany negatywnie przez B. Hougha: czy dla każdego m istnieje układ pokrywa jący (1), gdzie m. są różne i większe od m? 1XA25 (funkcje arytmetyczne i związane z nimi liczby) W jednej ze swych pierw szych prac Erdós [1] podał elementarny dowód twierdzenia Davenporta, że liczby naturalne nadmierne, tzn. takie, że o(n)>2n, mają gęstość asymptotyczną dodatnią, a następnie określił [2] rząd wielkości (ale nie wzór asymptotyczny) dla log-^-^, gdzie A(x) jest liczbą liczb <x nadmiernych pierwotnych, tzn. takich liczb nadmier nych, że żaden ich dzielnik właściwy nie jest nadmierny. Wiele lat później Erdós [20] dowiódł, że liczba liczb <x wielokrotnie doskonałych, tzn. takich liczb n, że n | o{ń), jest 0 (x 3/4+s) dla każdego e>0. Wynik ten został znacznie wzmocniony przez Wirsinga [13]. Z kolei Erdós i Rieger [26] dowiedli, że liczba zaprzyjaźnionych par (a,b) gdzie a<b<x, tzn. takich par (a,b), że a(a):= o(b)=a+b, jest O ( ---------- Vlog log log x j' ) Wynik ten został znacznie wzmocniony przez Pomerance’a/67, który, jak sam przyzna je, zaczerpnął pomysł z cytowanej pracy Erdósa o liczbach nadmiernych pierwotnych. 11B13 (bazy addytywne) Bazą w zbiorze liczb naturalnych nazywamy taki pod zbiór В zbioru N, że dla pewnego h każda liczba naturalna jest sumą co najwyżej h elementów zbioru B. Składnikiem istotnym nazywamy taki podzbiór S zbioru N, że dla każdego podzbioru^ zbioru W o dodatniej gęstości Sznirelmana d(A)< 1 mamy d{A+S)>d{A). Pierwotna wersja pracy ukazała sie w Wiesław, Witold (ed.) History of Polish Mathematics II. (Dzieje matematyki polskiej II.) (in Polish), Instytut Matematyczny Uniwersytetu Wrocławskiego, Wrocław 2013, 326 pp. (ISBN 978-83-910055-8-3). ZBL1281.01005. 152 Erdos [4] dowiódł, że każda baza jest składnikiem istotnym, a pierwszy przykład składnika istotnego, który nie jest bazą, został podany przez Linnika [3]. 11B34 (liczba przedstawień) Erdós [18] dowiódł istnienia takiego ciągu liczb natural nych a., że liczbay(«) rozwiązań równania n=a.+a. spełnia nierówność Cjlog «</(«) <C2log«, gdzie ct, c2 są pewnymi stałymi dodatnimi. Do dziś nie jest znana odpowiedź na pytanie Erdósa i Turana z 1941 r., czy jeżeli dla jakiegoś ciągu a. m am y/(«)>0 dla n>no, to mamy też limsup f{n) = oo, Erdós [23] udowodnił jednak, że po zastąpieniu sumy przez iloczyn odpowiedź jest po zytywna. Ponadto dowiódł w [19] wspólnie z Fuchsem, że nie istnieje ciąg a., dla którego byłoby Ten wynik wiąże się z tzw. problemem koła, dotyczącym szacowania liczby punktów kratowych w kole o środku w punkcie (0,0) i promieniu yfx. Trzeba więc wziąć a .= (z -l)2 (i= 1, 2,...). Wówczas/(« )= r2(n) i mamy, jak wiadomo, n<x ^ / (n ) = тех + о(л:1/ 4+£) dla każdego s>0. n<x Zauważmy, że Jurkat (nie publikowane), a następnie Vjontgomery i Vaughan [4], ulepszyli twierdzenie Erdósa-Fuchsa, zastępując o ( ^ ^ 1/ 2) Przez o (x 1^4'). 11C08 (wielomiany) Erdós zajmował się z powodzeniem szacowaniem wysokości An «-tego wielomianu podziału koła. Udowodnił w [21], że i wyraził przypuszczenie, udowodnione później przez R. Yaughana [10], że dla każdego c<log2 i nieskończenie wielu n. Ten wynik jest najlepszy możliwy. 11D04 (równania liniowe) Erdós i Graham [25] dowiedli, że jeżeli (ax,...,a y)= \ i 0 <ax<a2< ...< ak, to największa liczba naturalna nieprzedstawialna w postaci <Zj«j + ... + aknk, gdzie n. liczby całkowite nieujemne, nie przekracza 11D41 (równania wyższych stopni) Erdós i Selfridge [27] dowiedli, że iloczyn kolej nych, co najmniej dwóch, liczb naturalnych nigdy nie jest pełną potęgą. 11D68 (liczby wymierne jako sumy ułamków) Niech N(a,b) będzie najmniejszą liczbą naturalną k, przy której istnieje rozkład 153 a l l — _ -----1-------h b x1 x2 1 H----- . xk gdzie liczby <xx<x2< ... <xk są naturalne. Erdos [13] dowiódł, że log log b « N( b) = max N( a, b) « 1 śaśb logb log log b' i wyraził przypuszczenie, że iV(b) « log log b. Najlepszy znany wynik w tym kierunku należący do Vose [12] jest N ( b ) « y /lo g b. Znane i sprawdzone dla 1 < b < 1014jest przypuszczenie Erdósa i Strausa, żeN(4,b)< 3 d la b > l. 11E20 (formy kwadratowe więcej niż dwu zmiennych) Erdós i Ko [3] dowiedli ist nienia dla każdego n > 5 formy kwadratowej dodatnio określonej z Z [xt,x2, ... ,xJ , która nie daje się rozłożyć na sumę dwóch dodatnio określonych lub półokreślonych form z Z [xj,x2, ... ,x j. 11J72 (niewymiemość) Erdós [28] dowiódł, że jeżeli a. jest ciągiem rosnącym liczb naturalnych i lim n^ 00( a n+1 — a n) = oo to j est liczbą niewymierną. 11K06 (ogólna teoria rozmieszczenia) Erdós i Turan [10] podali następujące wzmoc nienie twierdzenia Weyla o równomiernym rozmieszczeniu: Niech z l < v < n,bę dzie ciągiem liczb rzeczywistych z przedziału (0,1). Wówczas dla każdego m i 0< a< [< 1 mamy 1 — (fi — a )n m n П ST* 1 ^ < c ~~+Г 1 Т +Z /— f“/ k=l ;=i m e 2 n i jz k v<n a<z <b gdzie с jest stałą uniwersalną. 11K16 (liczby normalne) Davenport i Erdós [16] dowiedli, że dla dowolnego wielo mianu niestałego f. iV—►N 0.](1)J{2).. . jest normalna, przy czym liczby Д 1),.Д2)... wypisujemy w układzie dziesiętnym. 11K50 (metryczna teoria ułamków łańcuchowych) Erdós [24] dowiódł, że dla do wolnego zbioru S liczb naturalnych prawie wszystkie liczby rzeczywiste mają nie skończenie wiele reduktów, których mianowniki należą do S, wtedy i tylko wtedy, <p(n) gdy 2 nes n2 00 d 11M20 (wyniki o L(l,x) Bateman, ChowlaiErdós [15] dowiedli, że jeżeli x (n) = ( 0 (symbol Kroneckera) i \d\ przebiega liczby pierwsze, to lim su p L (l,x )(lo g lo g d )_1 > 18_1ey < lim su p L (l,^)(lo g lo g |d |) _1, d->oo d->—oo liminfL(l,x)loglogd > 3 n 2e~Y < lim infL(l,^)loglog|d|. d —>oo d->—oo 11N05 (rozmieszczenie liczb pierwszych) Erdós [12] podał elementarny wywód twierdzenia o liczbach pierwszych z tzw. formuły Selberga. O okolicznościach od krycia tego wywodu i zakończonym szczęśliwie konflikcie Erdósa z Selbergiem 154 patrz Goldfeld [2]. Wcześniej Erdós zajmował się różnicami kolejnych liczb pierw szych dn=pn+] - p ni dowiódł [3], że dla pewnej stałej c > 0 i nieskończenie wielu n log log n dn > с lo g n • ---- :---- :------rr. (log log log n ) 2 Obiecał 10000$ za dowód, że dla pewnego c> 0 i nieskończenie wielu n dn > (lo g n )1+c. Najlepszy znany wynik w tym kierunku należy do Pintza [6] i mówi, że J ^ ^ V lo g n - lo g lo g n - lo g log log lo g n n e 8 (log log lo g n )2 dla każdego e>0 i nieskończenie wielu п. у jest tu stałą Eulera. Erdós i Turan [11] dowiedli, że dla pewnego c> 0 każda z nierówności d n+1 > (1 + z ) d n i d n > (1 + e ) d n+1 ma nieskończenie wiele rozwiązań. 11N25 (rozmieszczenie liczb z warunkiem na ich strukturę multyplikatywną) Er dós [22] dowiódł, że liczba różnych liczb postaci ab, gdzie 1 <a<x, 1 <b<x, jest %2( lo g x ) _a+0(:i), gdzie a = 1 - l o g ( e l o g 2 ) / l o g 2 (= 0 .0 8 6 0 ...), Ten wy nik został wzmocniony przez K. Forda [7]. 11N32 (multyplikatywna struktura wartości wielomianu) Erdós [17] dowiódł, że wielomian o współczynnikach całkowitych nieprzywiedlny stopnia d, którego jedy ny stały dzielnik będący d - 1 potęgą jest 1, przedstawia nieskończenie wiele liczb wolnych od d - 1 potęg. M. Nair [5] dowiódł, że można w tym twierdzeniu zastąpić d - 1 przez [(V 2 - i ) d] + 1. 11N37 (wyniki asymptotyczne dla funkcji arytmetycznych) Erdós [9] dowiódł, że jedynymi funkcjami addytywnymi i monofonicznymi są с logn (c stała). 11N64 (funkcje rozkładu związane z funkcjami addytywnymi) Erdós i Kac [7] do wiedli, że co(«), liczba różnych czynników pierwszych n, spełnia związek \ 1 ęc lim - 1n < x: (o (ń ) - log lo g n < Cy/\og\ogn\ = —= . I e~t2/2 dt, x-*°°X yj2n _oo J przy czym twierdzenie przenosi się na obszerną klasę funkcji addytywnych. 11P05 (problem Waringa i jego warianty) Davenport i Erdos^ó] dowiedli, że licz ba sum + x \ + x \ < n jest > n a~£, gdzie a = - — — dla każdego e>0 i Kr К n >n0(e). Ten wynik dla n >6 nie został dotąd poprawiony.1 Uogólnienie na sumę s> 3 k-tych potęg podał Vaughan [11]. 11P81 (elementarna teoria partycji) Erdós [8] podał dowód elementarny wzoru asymptotycznego dla liczby partycjip(x): ✓ч a I ln ' p (n ) exp 27Г П V V6; nie wyznaczając jednak współczynnika a. Ten ostatni krok został zrobiony przez D.J. Newmana [6]. 1. został poprawiony dopiero w 1989r. przez R.C.Vaughana (Acta Math.162,1-71 patrz też J.London Math. Soc.(2)39,219-230).(ad. autor) 155 11P82 (analityczna teoria partycji) Powiemy, że partycja n = a x+ a 2+ . . . a n p rze d sta w ia /я, jeżeli dla pewnych e = 0 lub 1, m = E la + . .. + e kak. Erdós i Szalay [29] dowiedli, że prawie wszystkie partycje n przedstawiają każdą liczbę < n i wśród partycji, które nie przedstawiają pewnej liczby < n , w prawie wszystkich nie występuje liczba 1. Cytowane prace P. Erdósa [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] On the density o f the abundant numbers, J. London Math. Soc. 9 (1934), 278-282. On primitive abundant numbers, ibid. 10 (1935), 49-58. On the difference o f consecutive primes, Quart. J. Math. Oxford Ser. 6 (1935), 124-128. On the arithmetical density o f the sum o f two sequences one o f which form s a basis fo r the integers, ActaArith. 1 (1936), 197-200. (z Chao Ко) On definite quadratic form s which are not the sum o f two definite or semidefinite forms, ibid. 3 (1939), 102-121. (z H. Davenportem) On sums o f positive integral к-powers, Ann. o f Math. (2) 40 (1939), 533-536. (z M. Kacem) The Gaussian law o f errors in the theory o f additive number-theoretic functions, Amer. J. Math. 62 (1940), 738-742. On an elementary p ro o f o f some asymptotic formulas in the theory ofpartitions, Ann, o f Math. (2) 42 (1942), 437-450. On the distribution function o f additive functions, ibid. 47 (1946), 1-20. (z P. Turanem) On a problem in the theory o f uniform distribution I, II, Indag. Math. 10 (1948), 370-378, 406-413. (z P. Turanem) On some new questions on the distribution o f prim e numbers, Bull. Amer. Math. Soc. 54 (1948), 371-378. On a new method in elementary number theory which leads to an elementary p ro o f o f the prim e number theorem, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 35 (1949), 374-384. On the integer solutions o f the equation — + — + ••• + — = - (po węgiersku, ze stresz czeniem rosyjskim i angielskim), Mat. Lapok 1 (1950), 192-210. On integers o f the form 2k+ p and some related problems, Summa Brasil. Math. 2 (1950), 113-123. (z P. T. Batemanem i S. Chowlą) Remarks on the size o /L (l, %), Publ. Math. Debrecen 1 (1950), 165-182. (z H. Davenportem) A note on normal decimals, Canad. J. Math. 4 (1952), 58-63. Arithmetical properties ofpolynom ials, J. London Math. Soc. 28 (1953), 416-425. On a problem o f Sidon in additive number theory, Acta Sci. Math. Szeged 15 (1954), 255-259. (z W. H. J. Fuchsem) On a problem o f additive number theory, J. London Math. Soc. 31 (1956), 67-73. On perfect and multiply perfect numbers, Ann. Mat. Pura Appl. (4) 42 (1956), 2 5 3 258. On the growth o f the cyclotomic polynom ial in the interval (0,1), Proc. Glasgow Math. Assoc. 3 (1957), 102-104. Об одном асимптотическом неравенстве в теории чисел, Вестник Ленинградского Университета 15 (1960), по. 13, 41—49. On the multiplicative representation o f integers, Israel J. Math. 2 (1965), 251-261. On the distribution o f convergents o f almost all real numbers, J. Number Theory 156 2 (1970), 425-441. [25] (z R. L. Grahamem) On a linear diophantine problem o f Frobenius, Acta Arith. 21 (1972), 399-408. [26] (z G. J. Riegerem) Ein Nachtrag uber befreundete Zahlen, J. Reine Angew. Math. 273 (1975), 220. [27] (z J. L. Selfridgem) The product o f consecutive integers is never a power, Illinois J. Math. 19(1975), 292-301. [28] Sur I’irrationalite d ’une certaine serie, С. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 292 (1981), 765-768. [29] (z M. Szalayem) On some problem s o f J. Denes and P. Turan, in: Studies in Pure Math ematics, Birkhauser 1983, 187-212. Prace innych autorów [1 ] К. Ford, Integers with a divisor in [y, 2y], in: Anatomy o f Integers, CRM Proc. Lecture Notes 46, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2008, 65-80. [2 ] D. Goldfeld, The elementary p ro o f o f the prim e number theorem, an historical per spective, in: Number Theory, Springer 2004,179-192. [3 ] Yu. V. Linnik, On Erdós s theorem on the addition o f numerical sequences, Rec. Math. [Mat. Sbomik] N.S. 10(52) (1942), 67-78. [4 ] H. L. Montgomery and R. C. Vaughan, On the Erdós—Fuchs theorems, in: A Tribute to Paul Erdos, Cambridge Univ. Press 1990, 331-338. [5 ] M. Nair, Pow er free values o f polynomials, Mathematika 23 (1976), 159-183. [6 ] D. J. Newman, The evaluation o f the constant in the formula fo r the number ofparti tions o f nn, Amer. J. Math. 73 (1951), 599-601. [7 ] J. Pintz, Very large gaps between consecutive primes, J. Number Theory 63 (1997), 2 8 6 -3 0 1 . [8 ] C. Pomerance, On the distribution o f amicable numbers I— II, J. Reine Angew. Math. 293/294 (1977), 217-222; 325 (1981), 183-188. [9 ] A. Sarkozy, Paul Erdós (1913-1986), Acta Arith. 81 (1997), 301-343. [1 0 ] R. C. Vaughan, Bounds fo r the coefficients o f cyclotomic polynomials, Michigan Math. J. 21 (1974), 289-295. [11] R. C. Vaughan, The Hardy—Littlewood Method, Cambridge Univ. Press 1981. [1 2 ] M. D. Vose, Egyptian fractions, Bull. London Math. Soc. 17 (1985), 21-24. [1 3 ] E. Wirsing, Bemerkung zu der Arbeit iiber volkommene Zahlen, Math. Ann. 137 (1959), 316-318. Andrzej Schinzel Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk ul. Śniadeckich 8 00-956 Warszawa e-mail: [email protected]