Algebra z geometrią, grupa 2

Matematyczne metody fizyki, kurs mały
Zestaw zadań nr 7
Zadanie nr 1:
Wykonać portret fazowy dla poniższego układu równań różniczkowych:
ut= 1 1 
u
1 1
 
Zadanie nr 2:
Wykonać portret fazowy dla drgań wahadła matematycznego z tłumieniem:
tt 2  t 2 sin =0
Zadanie nr 3:
W każdym z podanych przykładów wyznaczyć punkty krytyczne, sprawdzić, że układ jest
prawie liniowy oraz wykonać portret fazowy i naszkicować wykresy rozwiązań.
2
u 1t =1−u2
(a) u 1t =2u1 u 2−u 1
(b) u 1t =u 1−u 1−u1 u 2
(c)
2
u 2t =4−u 1 u1u2 
u 2t =3 u 2−u1 u 2−2 u 2
u 2t =u21 −u 22
Zadanie nr 4:
Mamy model dwóch rywalizujących populacji:
u 1t =r 1 u 1 1−u 1 / K 1 −1 u2
u 2t =r 2 u 2 1−u 2 / K 2 −2 u1
Rozważyć zachowania układu i możliwe scenariusze ewolucji, gdy:
K 1 r 2 / 2 oraz K 2r 1 /1
(a)
K 1r 2 /2 oraz K 2r 1 /1
(b)
K 1 r 2 / 2 oraz K 2r 1 /1
(c)
K 1r 2 /2 oraz K 2r 1 /1
(d)
K 1 K 2=r 1 r 2 /1 2 
(e)
Zadanie nr 5:
Przybliżenie modelu Hodgkina-Huxleya transmisji impulsów wzdłuż aksonu ma postać:
u 1t =−u 2
u 2t =− u 2−u 1 u 1−0.15u 1−2
Narysować portrety fazowe dla =0.8 oraz =1.5 . Rozważyć trajektorię startującą
z punktu (2,0). Znaleźć wartość  dla której trajektoria zbliża się do (0,0). Wykonać
portret fazowy dla tego przypadku.
Zadanie nr 6:
Załóżmy, że populacja królików i lisów opisywana jest modelem Lotki i Volterry. Jaki
powinien być optymalny kalendarz polowań na (a) króliki? (b) lisy? (c) króliki i lisy?