Seria 1

Classical mechanics 101
Zadania wstępne
1. Dla cylindrycznego i sferycznego układu współrzędnych, (ρ, φ, z) oraz (ρ, φ, θ), obliczyć macierz Jacobiego, współczynniki Lamé, wersory krzywoliniowe, krzywoliniowe składowe prędkości oraz przyspieszenia.


x = ρsin(φ),
(1)
y = ρsin(φ),


z=z


x = rcos(φ)sin(θ),
y = rsin(φ)sin(θ),


z = rcos(θ)
(2)
————–♠————–
2. Przybliżenia i początki Określić, jak w przybliżeniu będzie odbywał się ruch punktu materialnego w polu
U (x) w otoczeniu punktu x = a. Przyjmij, że punkt pmaterialny początkowo znajduje się w punkcie a i nie
porusza się.
Wskazówka: Skorzystać z rozwinięcia U (x) w szereg Taylora w otoczeniu punktu x = a. Przedyskutować przypadki U ′ (a) 6= 0 oraz U ′ (a) = 0, U ′′ (a) 6= 0
————–♠————–
3. 1 stopień swobody Podać definicję energii kinetycznej, potencjalnej oraz całkowitej dla układu dynamicznego o jednym stopniu swobody (czyt. cząstka 1D (czyt. w jednym wymiarze)), opisanego ogólnie równaniem
różniczkowym:
d2 x
= ẍ = f (x)
(3)
dt2
Pokazać, że w tym ogólnym przypadku spełniona jest zasada zachowania energii, tzn, E(x(t), ẋ(t)) nie zależy od
t. Innymi słowy, że energia całkowita jest całką ruchu dla tego zagadnienia.
Wyznaczyć w/w wartości oraz narysować portret fazowy w przestrzeni fazowej dla przypadku:
f (x) = −x
(4)
dla różnych wartości energii całkowitej.
————–♠————–
4. * Tweaking gravity Opisać jakościowo charakter ruchu punktu materialnego w polu:
U (r) = −
γ
α
− 3
r
r
(5)
Wskazówka: skorzystać z zasady zachowania energii i zasady zachowania momentu pędu
————–♠————–
Zagadnienie 2 ciał
1. * Niezależność ruchów Rozważ układ dynamiczny o dwóch stopniach swobody (czyt. cząstka w 2D, cząstka
na płaszczyźnie)):
ẍ = f (x),
x = [ xx12 ]
(6)
”Analyzing a general potential system with two degrees of freedom is beyond the capability of modern science” V.I. Arnold,
Mathematical methods of classical mechanics
Dla przypadku:
x¨1 x¨2
=
−x1
−ω0 x2
Wyznacz energię potencjalną, kinetyczną i całkowitą. Przeanalizuj ruch na płąszczyźnie x1 x2 .
Patrz też: Figury Lissajous
————–♠————–
1
(7)
2. Całki ruchu Pokazać, że dla ruchu punktu materialnego pod wpływem siły newtonowskiej:
F̄ = −α
r̄
r3
(8)
istnieją 3 całki ruchu, czyli wielkości niezależne od czasu:
- energia: E = − αr +
mv 2
2
- moment pędu: L̄ = mr̄ × v̄
- wektor Rungego-Lentz’a: R̄ = mv̄ × L̄ − α r̄r
————–♠————–
3. Zagadnienie 2 ciał Wyznaczyć tory skończonego ruchu dwóch cząstek o masach m1 i m2 , o prawie oddziaływania U (r) = − αr
————–♠————–
4. Planeta LV-426 Statek kosmiczny, lecąc z bardzo daleka z prędkością v, zbliża się do planety LV-426 o znanej
masie M. Oblicz odległość h, na jaką statek zbliży się do planety (patrz też rysunek, uwaga, prędkość v2 nie jest
dana!):
Wskazówka: rozważ całki ruchu
————–♠————–
Rysunek 1: Zadanie ”Planeta LV-426”
5. Zmiana orbity W wyniku tarcia w wyższych warstwach atmosfery energia mechaniczna sputnika ziemskiego
po wielu okrążeniach zmniejszyła się o 2%. Orbita sputnika została przy tym orbitą kołową. Jak zmieniły się
parametry orbity: jej promień r, prędkość sputnika na orbicie v̄, okres obiegu T ?
————–♠————–
6. Zagadnienie Keplera np. Landau & Lifszyc, strona 47
2