Algebra II - Lista 3 2 rok - matematyka 1

Algebra II - Lista 3
2 rok - matematyka 1-go stopnia
Zadanie 3.1. Udowodnić, że ideał I pierścienia Z[x] nie jest główny, jeżeli:
a) I = (2, x),
b) I = (3, x2 ).
Zadanie 3.2. Udowodnić, że ideał (x) pierścienia Z[x] jest pierwszy, ale nie jest maksymalny,
natomiast (x, 2) jest ideałem maksymalnym tego pierścienia.
Zadanie 3.3.
√ Wykazać,√że a jest elementem nierozkładalnym w pierścieniu P , jeżeli:
b) a = 3, P = Z[i],
c) a = 2 + i, P = Z[i].
a) a = 2 + i 5, P = Z[i 5],
Zadanie 3.4. Czy następujące ideały pierścienia Z[x] są główne?
a) (x, x + 1),
b) (2, x + 1),
c) (x2 − 1, x + 1).
Zadanie 3.5. Udowodnić, że ideał jest główny i znaleźć jego generator:
a) (4, 6) pierścienia Z,
b) (2x2 + 1, x3 + 1) pierścienia Z3 [x],
c) (x4 + 2x2 + x + 2, x3 + 5x + 3) pierścienia Z7 [x].
mgr Magdalena Sobolewska