Analiza Matematyczna 1, lista 1, zadania z gwiazdką Zasada

Analiza Matematyczna 1, lista 1, zadania z gwiazdką
Zasada indukcji matematycznej: Rozważmy twierdzenie dotyczące liczb naturalnych. Jeżeli
1. jest ono prawdziwe dla pewnej liczby n0 oraz
2. dla każdej liczby k ­ n0 z prawdziwości twierdzenia dla k wynika jego prawdziwość dla liczby k + 1,
to twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych większych bądź równych n0 .
Przykład zastosowania – korzystając z zasady indukcji udowodnimy następujące twierdzenie:
Dla każdej liczby naturalnej n liczba 7n − 1 jest podzielna przez 6.
Sprawdzamy dwa kroki zasady indukcji:
1. Dla n = 1 mamy 71 − 1 = 6 jest oczywiście podzielne przez 6.
2. Zakładamy, że dla liczby naturalnej k liczba 7k − 1 jest podzielna przez 6. Wówczas liczba
7k+1 − 1 = 7 · 7k − 1 = (6 + 1)7k − 1 = 6 · 7k + 7k − 1
też jest podzielna przez 6, bo składnik 6 · 7k oczywiście dzieli się przez 6, a składnik 7k − 1 dzieli się przez
6 na mocy założenia indukcyjnego. Czyli i krok 1 i krok 2 są spełnione. Zatem, na mocy zasady indukcji,
dla wszystkich naturalnych n = 1, 2, ... liczba 7n − 1 dzieli się przez 6.
Zadanie. Korzystając z zasady indukcji, udowodnij poniższe wzory: dla wszystkich naturalnych n =
1, 2, 3, ...
n(n+1) 2
n(n+1)(2n+1)
2
2
2
2
3
3
3
3
a) 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)
,
b)
1
+
2
+
3
+
...
+
n
=
,
c)
1
+
2
+
3
+
...
+
n
=
.
2
6
2
Zadanie. Korzystając z zasady indukcji, udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n = 1, 2, 3, ...:
a) liczba n3 −n jest podzielna przez 3, b) liczba n5 −n jest podzielna przez 5, c) liczba n7 −n jest podzielna
przez 7. Zbadaj, czy dla każdego wykładnika nieparzystego k liczba nk − n jest podzielna przez k.
Zadanie. Korzystając z zasady indukcji wykaż prawdziwość
nponiższych nierówności:
n
+
1
dla n = 1, 2, ...
a) n! > 2n dla n ­ 4, b) 2n > n2 dla n > 4, c) n! <
2
Zadanie. Korzystając z zasady indukcji wykaż prawdziwość nierówności Bernoulliego:
Jeśli x > −1, to dla wszystkich n = 1, 2, 3, ... spełniona jest nierówność
(1 + x)n ­ 1 + nx.
Zbadaj, co się dzieje dla x ¬ −1?
n
Zadanie. Dany jest ciąg en = 1 + n1 . Badając ilorazy jego kolejnych wyrazów i korzystając z nierówności
Bernoulliego wykaż, że ciąg (en ) jest ściśle rosnący.
n+1
Zadanie. Dany jest ciąg fn = 1 + n1
. Badając ilorazy jego kolejnych wyrazów i korzystając z nierówności Bernoulliego wykaż, że ciąg (fn ) jest ściśle malejący.
Zadanie. Wykaż, że ciąg o wyrazie ogólnym an = 1+ 12 + 13 +· · ·+ n1 monotonicznie rośnie do nieskończoności.
Zadanie. Zbadaj monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym bn =
(n!)2
.
nn
1
1
1
1
+ + + · · · + ) = e.
1! 2! 3!
n!
Zadanie. Udowodnij indukcyjnie, że ciąg Fibonacciego, określony za pomoca indukcji następująco:
a1 = 1, a2 = 1, an+2 = an+1 + an , można zapisać poniższym wzorem:
√ !n
√ !n #
"
1+ 5
1− 5
1
−
.
an = √
2
2
5
Zadanie. Wykaż, że n→∞
lim (1 +
Zwróć uwagę, że ciąg Fibonacciego składa się wyłącznie z liczb naturalnych, a powyższy wzór wyłącznie
z liczb niewymiernych!