11.1 Graniastosłupy
Transkrypt
11.1 Graniastosłupy
11. 1. GRANIASTOSŁUPY . Graniastosłupy Podstawy graniastosłupa wielokąty D d - dwa równoległe i przystające H · Ściana boczna - równoległobok Graniastosłup prosty – graniastosłup, w którym wszystkie krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw. W graniastosłupie prostym wszystkie ściany boczne są prostokątami. Graniastosłup, który nie jest prosty nazywamy graniastosłupem pochyłym H Przekątna graniastosłupa D – odcinek łączący dwa wierzchołki nie leŜący na Ŝadnej ze ścian. Wysokość graniastosłupa H – odcinek łączący podstawy, prostopadły do nich. W graniastosłupie prostym wysokość jest równa krawędzi bocznej Graniastosłup prawidłowy – graniastosłup, którego podstawy są wielokątami foremnymi , a ściany boczne prostokątami. Wzory na pole powierzchni całkowitej i objętość graniastosłupa: Pc = 2 Pp + Pb V = Pp ⋅ H Kąty w graniastosłupie Graniastosłup prawidłowy czworokątny α – kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do krawędzi podstawy β – kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do podstawy γ γ – kat nachylenia przekątnej graniastosłupa do ściany bocznej α β Graniastosłup prawidłowy trójkątny α – kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do krawędzi bocznej β β – kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej α Przykład 11.1.1. Podstawą graniastosłupa prostego jest równoległobok o bokach 4 i 6 oraz kacie 30° . Oblicz objętość tego graniastosłupa wiedząc, Ŝe jego pole powierzchni całkowitej jest równe 72. Rozwiązanie Komentarz Analiza zadania. Przy obliczaniu objętości graniastosłupa wykorzystujemy wzór V = Pp ⋅ H . PoniewaŜ podstawą graniastosłupa jest równoległobok, to Pp = ab sin α . Zatem V = ab sin α ⋅ H Pisząc wzór na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa wykorzystujemy wzór Pc = 2 Pp + Pb . PoniewaŜ Pp = ab sin α oraz powierzchnię boczną Dane: a=6 b=4 α = 30° Pc = 72 Szukane: Wzory: tworzą dwa prostokąty o bokach a i H V =? V = ab sin α ⋅ H oraz dwa prostokąty o bokach b i H , Pc = 2ab sin α + 2aH + 2bH zatem Pc = 2ab sin α + 2aH + 2bH Pc = 2ab sin α + 2aH + 2bH 72 = 2 ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ sin 30° + 2 ⋅ 6 H + 2 ⋅ 4 H 1 72 = 48 ⋅ + 12 H + 8 H 2 72 = 24 + 20 H − 20 H = 24 − 72 − 20 H = −48 / : (− 20 ) H = 2,4 V = ab sin α ⋅ H V = 6 ⋅ 4 ⋅ sin 30° ⋅ 2,4 1 V = 24 ⋅ ⋅ 2,4 2 V = 28,8 Sześcian Wykorzystują wzór na pole powierzchni całkowitej obliczamy H Obliczamy objętość graniastosłupa. ( graniastosłup foremny) – graniastosłup, którego wszystkie ściany są kwadratami. a - krawędź sześcianu D – przekątna sześcianu D = a 3 D d a d – przekątna ściany sześciany d = a 2 a a Wzór na pole powierzchni całkowitej sześcianu: Wzór n objętość sześcianu: Pc = 6a 2 V = a3 Przykład 11.1.2. Oblicz kosinus kąta jaki tworzy przekątna sześcianu z jego podstawą. Rozwiązanie Komentarz Analiza zadania. WykaŜemy, Ŝe przekątna sześcianu wyraŜa się wzorem D = a 3. Szukane: cos α = ? Wzory: D = a 3 d = a 2 Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa: 2 2 2 a +d = D Za d podstawiamy wzór d = a 2 ( )2 = D 2 a2 + a 2 a 2 + 2a 2 = D 2 3a 2 = D 2 D=a 3 Obliczmy cos α = cos α = cos α = cos α . d D a 2 Korzystamy z definicji kosinusa: a 3 Po podstawieniu wzorów 2 3 cosα = D = a 3 , d = a 2 , skróceniu a 3 ⋅ przyprostokatna_ przy_α przeciwprostokatna oraz usunięciu niewymierności z mianownika otrzymujemy wartość 3 6 cos α = 3 Prostopadłościan – graniastosłup, którego wszystkie ściany są prostokątami. c D a ,b, c – krawędzie prostopadłościanu D – przekątna prostopadłościanu b a Wzór na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu: Pc = 2ab + 2ac + 2bc Wzór na objętość prostopadłościanu: V = a ⋅b ⋅c cos α Przykład 11.1.3. Długości krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka prostopadłościanu są liczbami tworzącymi ciąg geometryczny, w którym najmniejszy wyraz jest równy 2. Przekątna tego prostopadłościanu ma długość 52 . Oblicz pole powierzchni i objętość prostopadłościanu. Rozwiązanie Komentarz Analiza zadania. Przy obliczaniu objętości prostopadłościanu wykorzystujemy wzór V = Pp ⋅ H . PoniewaŜ podstawą prostopadłościanu jest prostokąt, to Pp = ab , a wysokość prostopadłościanu zatem V = abc H = c ., Ścianami prostopadłościanu są dwa prostokąty o bokach a i b; dwa prostokąty o bokach b i c oraz dwa prostokąty o bokach a i c, zatem Pc = 2ab + 2ac + 2bc Dane: Szukane: a=2 V =? D = 52 Pc = ? a, b, c - ciąg geometryczny b2 = a ⋅ c b 2 = 2c d 2 = a2 + b2 d 2 = 4 + b2 Wzory: V = a ⋅b ⋅c Pc = 2ab + 2ac + 2bc Wykorzystując zaleŜność między trzema kolejnymi wyrazami a, b, c ciągu geometrycznego: b 2 = a ⋅ c , zapisujemy pierwsze równanie z niewiadomymi b i c Wykorzystując twierdzenia Pitagorasa zapisujemy wzór na przekątną podstawy prostopadłościanu. Wykorzystując twierdzenia Pitagorasa zapisujemy drugie równanie z niewiadomymi b i c c2 + d 2 = D2 c 2 + 4 + b 2 = 52 2 c 2 + b 2 = 52 − 4 c 2 + b 2 = 48 b 2 = 2c 2 c + b 2 = 48 Rozwiązujemy metodą podstawiania układ równań z niewiadomymi b i c. c 2 + 2c = 48 c 2 + 2c − 48 = 0 ∆ = 2 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 48) = 4 + 192 = 196 − 2 − 196 − 2 − 14 − 16 = = = −8 ∉ R+ 2 ⋅1 2 2 − 2 + 196 − 2 + 14 c2 = = =6 2 ⋅1 2 c1 = Rozwiązując równanie kwadratowe stosujemy wzory: 2 ∆ = b − 4⋅a⋅c −b− ∆ −b+ ∆ x1 = ; x2 = 2a 2a PoniewaŜ c = −8 nie spełnia warunków zadania , zatem c = 6 . b 2 = 2c b2 = 2 ⋅ 6 Obliczamy b b 2 = 12 b=2 3 V = a ⋅ b ⋅ c = 2 ⋅ 2 3 ⋅ 6 = 24 3 Pc = 2ab + 2ac + 2bc = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 3 + 2 ⋅ 2 ⋅ 6 + 2 ⋅ 2 3 ⋅ 6 = = 8 3 + 24 + 24 3 = 32 3 + 24 Obliczamy V i Pc Graniastosłup prawidłowy czworokątny – graniastosłup, którego podstawy są kwadratami, a ściany boczne prostokątami. b D d a - krawędź podstawy b – krawędź boczna ( wysokość graniastosłupa) d – przekątna podstawy d = a 2 D – przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego a a Wzór na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego: Wzór na objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego: Pc = 2a 2 + 4ab V = a 2 ⋅b Przykład 11.1.4. Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi 2, a przekątna tego graniastosłupa 8. Oblicz objętość, pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa oraz sinus kąta jaki tworzy przekątna graniastosłupa z krawędzią podstawy mającą z nią punkt wspólny. Rozwiązanie Komentarz Analiza zadania. Przy obliczaniu objętości graniastosłupa wykorzystujemy wzór V = Pp ⋅ H . PoniewaŜ podstawą graniastosłupa jest kwadrat, to Pp = a 2 ,a wysokość graniastosłupa H = b ., Zatem V = a 2 ⋅b Pisząc wzór na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa wykorzystujemy wzór Pc = 2 Pp + Pb . PoniewaŜ Pp = a 2 oraz powierzchnię boczną tworzą cztery prostokąty o bokach a i b ,zatem Pc = 2a 2 + 4ab . Dane: Szukane: Wzory: V = a 2 ⋅b a=2 V =? D=8 Pc = ? Pc = 2a 2 + 4ab sin α = ? d =a 2 W obliczenia wykorzystujemy równieŜ wzór na przekątną kwadratu d =a 2 Korzystają z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość krawędzi bocznej b. Wykorzystujemy równieŜ wzór na przekątną kwadratu d = a 2 b2 + d 2 = D2 ( )2 = 82 2 b 2 + (2 2 ) = 64 b2 + a 2 b 2 = 64 − 8 b 2 = 56 b = 56 = 4 ⋅ 14 = 2 14 V = a 2 ⋅ b = 2 2 ⋅ 2 14 = 8 14 Obliczamy V i Pc Pc = 2a 2 + 4ab = 2 ⋅ 2 2 + 4 ⋅ 2 ⋅ 2 14 = 8 + 16 14 Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość przekątnej ściany bocznej d1 a 2 + b 2 = d1 2 22 + ( 56 )2 = d12 4 + 56 = d12 d12 = 60 d1 = 60 = 4 ⋅ 15 = 2 15 Korzystając z definicji sinusa sin α = przyprostokatna _ naprzeciw _ α przeciwprostokatna obliczamy sinus kąta jaki tworzy przekątna graniastosłupa z krawędzią podstawy. d 2 15 15 sin α = 1 = = D 8 4 Graniastosłup prawidłowy trójkątny – graniastosłup, którego podstawy są trójkątami równobocznymi, a ściany boczne są prostokątami. b a a a - krawędź podstawy b – krawędź boczna ( wysokość graniastosłupa) a 3 h – wysokość podstawy h = 2 h a Wzór na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego: Wzór na objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego: V= a2 3 ⋅b 4 Pc = 2 ⋅ a2 3 + 3ab 4 Przykład 11.1.5. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ,w którym długość krawędzi podstawy jest równa 20 oraz kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej ma miarę 45° . Rozwiązanie Komentarz Analiza zadania. Przy obliczaniu objętości graniastosłupa wykorzystujemy wzór V = Pp ⋅ H . PoniewaŜ podstawą graniastosłupa jest trójkąt równoboczny, a2 3 ,a wysokość graniastosłupa to Pp = 4 H = b ., Zatem V= a2 3 ⋅b 4 Pisząc wzór na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa wykorzystujemy wzór Pc = 2 Pp + Pb . PoniewaŜ Dane: a = 20 Szukane: V =? α = 45° Pc = ? Wzory: a2 3 ⋅b 4 a2 3 Pc = 2 ⋅ + 3ab 4 a 3 h= 2 V= a2 3 oraz powierzchnię boczną tworzą 4 trzy prostokąty o bokach a i b , Pp = zatem Pc = 2⋅ a2 3 + 3ab 4 W obliczenia wykorzystamy równieŜ wzór na wysokość trójkąta równobocznego a 3 20 3 h= = = 10 3 2 2 h= a 3 2 Obliczamy wysokość podstawy graniastosłupa. Korzystając z definicji sinusa : sin α = przyprostokatna _ naprzeciw _ α przeciwprostokatna obliczmy przekątną ściany bocznej . sin α = h d 10 3 d 2 10 3 = 2 d 2d = 20 3 /⋅ 2 sin 45° = 2d = 20 6 / : 2 d = 10 6 Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość krawędzi bocznej b. a2 + b2 = d 2 ( 20 2 + b 2 = 10 6 )2 400 + b 2 = 600 b 2 = 200 b = 10 2 Obliczamy V i Pc a2 3 20 2 3 400 3 V= ⋅b = ⋅ 10 2 = ⋅ 10 2 = 1000 4 4 4 a2 3 20 2 3 + 3ab = 2 ⋅ + 3 ⋅ 20 ⋅ 10 2 = 4 4 400 3 = 2⋅ + 600 2 = 200 3 + 600 2 4 Pc = 2 ⋅ Graniastosłup prawidłowy sześciokątny – graniastosłup, którego podstawami są sześciokąty foremne, a ściany boczne są prostokątami. b d D a a - krawędź podstawy b – krawędź boczna ( wysokość graniastosłupa) a 3 d – krótsza przekątna podstawy d = 2 2 D – dłuŜsza przekątna podstawy D = 2a a Wzór na pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego: 2 Pc = 2 ⋅ 6 3 a 4 + 6ab Wzór na objętość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego: 2 V = 6 a 3 4 ⋅b Przykład 11.1.6. W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym wszystkie krawędzie mają długość 4. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość graniastosłupa oraz długości przekątnych graniastosłupa. Rozwiązanie Komentarz Analiza zadania. Podstawą graniastosłupa jest sześciokąt foremny. Łącząc wierzchołki sześciokąta otrzymujemy sześć trójkątów równobocznych, dlatego Pp = 6 ⋅ a2 3 . 4 Dane: Szukane: a=4 V =? b = 4 Pc = ? D1 = ? D2 = ? Wzory: V = 6⋅ a 2 4 3 ⋅b a2 3 + 6ab 4 a 3 d1 = 2 ⋅ 2 d 2 = 2a Pc = 2 ⋅ 6 ⋅ DłuŜsza przekątna sześciokąta foremnego jest równa długości dwóch boków trójkąta równobocznego: d 2 = 2a Krótsza przekątna sześciokąta foremnego jest równa długości dwóch wysokości trójkąta równobocznego: d1 = 2 ⋅ a 3 2 Przy obliczaniu objętości graniastosłupa wykorzystujemy wzór V = Pp ⋅ H . PoniewaŜ podstawą graniastosłupa jest a2 3 sześciokąt foremny, to Pp = 6 ⋅ ,a wysokość graniastosłupa a2 3 Zatem V = ⋅b H = b ., 4 4 Pisząc wzór na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa wykorzystujemy wzór Pc = 2 Pp + Pb . PoniewaŜ a2 3 oraz powierzchnię boczną Pp = 6 ⋅ 4 tworzy sześć prostokątów o bokach a i b a2 3 42 3 16 3 V = 6⋅ ⋅b = 6⋅ ⋅4 = 6⋅ ⋅4 = 4 4 4 = 6 ⋅ 4 3 ⋅ 4 = 96 3 , zatem Pc = 2⋅6⋅ Obliczamy V i Pc a2 3 + 6ab 4 a2 3 42 3 + 6ab = 12 + 6⋅4⋅4 = 4 4 16 3 = 12 + 96 = 48 3 + 96 4 Pc = 2 ⋅ 6 Wykorzystując twierdzenie Pitagorasa obliczamy długość krótszej przekątnej graniastosłupa. b 2 + d12 = D12 2 4 3 = D12 4 + 2 ⋅ 2 2 16 + 48 = D12 64 = D12 D1 = 8 Wykorzystując twierdzeniu Pitagorasa obliczamy długość dłuŜszej przekątnej graniastosłupa. Korzystamy ze wzoru d 2 = 2a b 2 + d 2 2 = D2 2 4 2 + (2 ⋅ 4 )2 = D2 2 16 + 64 = D2 2 D2 2 = 80 D2 = 80 = 16 ⋅ 5 = 4 5 ĆWICZENIA Ćwiczenie 11.1.1. (3pkt.) Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość sześcianu o przekątnej długości 12cm . schemat oceniania Numer odpowiedzi Odpowiedź Liczba punktów 1 Podanie długości krawędzi sześcianu 1 2 Podanie pola powierzchni całkowitej sześcianu. 1 3 Podanie objętości sześcianu. 1 Ćwiczenie 11.1.2. (4pkt.) Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości 4cm;2cm .Oblicz objętość i pole powierzchni tego graniastosłupa wiedząc, Ŝe jego przekątna jest nachylona do podstawy pod kątem 60°. schemat oceniania Numer Odpowiedź Liczba punktów odpowiedzi Podanie długości przekątnej podstawy graniastosłupa 1 1 2 Podanie wysokości graniastosłupa. 1 3 Podanie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa 1 4 Podanie objętości sześcianu graniastosłupa. 1 Ćwiczenie 11.1.3. (5pkt.) W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna podstawy ma długość 3 2cm i tworzy z przekątną ściany bocznej wychodzącą z tego samego wierzchołka kąt 60° . Oblicz pole powierzchni i objętość tego graniastosłupa. schemat oceniania Numer Odpowiedź Liczba punktów odpowiedzi Podanie długości krawędzi podstawy. 1 1 2 Podanie długości przekątnej ściany bocznej 1 3 Podanie długości krawędzi bocznej. 1 4 Podanie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa 1 5 Podanie objętości sześcianu graniastosłupa. 1 Ćwiczenie 11.1.4. (3pkt.) W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym przekątna ściany bocznej jest nachylona do krawędzi podstawy długości 6cm pod kątem 30° . Oblicz pole powierzchni i objętość graniastosłupa. schemat oceniania Numer Odpowiedź Liczba punktów odpowiedzi Podanie długości krawędzi bocznej 1 1 2 Podanie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa 1 3 Podanie objętości sześcianu graniastosłupa. 1 Ćwiczenie 11.1.5. (3pkt.) Oblicz pole powierzchni i objętość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego, którego krawędź podstawy ma długość 4 2 i najdłuŜsza przekątna 12 . schemat oceniania Numer Odpowiedź Liczba punktów odpowiedzi Podanie długości krawędzi bocznej 1 1 2 Podanie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa 1 3 Podanie objętości sześcianu graniastosłupa. 1