zadania dla doktorantów

Materialy pomocnicze do wykladu dla Studium
Doktoranckiego Matematyki
B. Przeradzki
1 listopada 2004
Poniżej przedstawiam zadania stanowiace
integralna, cześć
wykladu ,,Wybrane
,
,
zagadnienia z teorii równań różniczkowych zwyczajnych”. Ich rozwiazanie,
a przy,
najmniej tego próby, w istotny sposób rozszerza wiadomości sluchaczy w kierunkach
nie objetych
treścia, glównego nurtu wykladu.
,
1
Funkcje Carathéodory’ego
Przedyskutować problem, przy jakich zalożeniach o funkcji f : (a, b) × Rk →
odwzorowanie T dane wzorem
Z t
T ϕ(t) = x0 +
f (s, ϕ(s)) ds
Rk
t0
przeksztalca przestrzeń C([a, b], Rk ) w siebie. Kiedy jest ono ciag
, le? A pelnociag
, le?
Chodzi oczywiście o zalożenia slabsze niż ciag
, lość funkcji f. Na koniec prosze, porównać
wnioski z podrecznikiem
Coddingtona, Levinsona (rozdzial o funkcjach Carathéodory’ego).
,
k
Na jakie trudności natrafiamy zastepuj
ac
, R dowolna, przestrzenia, Banacha.
,
2
Globalne rozwiazanie
,
Niech f : [a, b] × X → X spelnia warunek Lipschitza wzgledem
drugiej zmiennej:
,
||f (t, x1 ) − f (t, x2 )|| ≤ L||x1 − x2 ||,
x1 , x2 ∈ X,
t ∈ [a, b],
gdzie L jest pewna, stala., W przestrzeni C([a, b], X) wprowadzamy norme,
||ϕ||∞ := sup e−Lt ||ϕ(t)||.
t
Pokazać, że operator T z zadania 1 jest zweżaj
acy,
a wiec
,
,
, posiada dokladnie jeden
punkt staly. Jakie sa, tego konsekwencje dla zagadnienia poczatkowego?
,
1
3
Nierozwiazalne
zagadnienie poczatkowe
,
,
√
Niech ψ : R → R bedzie
dane wzorami: ψ(x) = 2 dla x ≥ 4, ψ(x) = x dla
,
x ∈ [0, 4), ψ(x) = 0 dla x < 0. Zdefiniujmy f : c0 → c0 wzorem f ((xn )n ) = (ψ(xn ))n
i a ∈ c0 wzorem a = ( n1 )n . Przez c0 oznaczamy przestrzeń Banacha ciagów
liczbowych
,
zbieżnych do 0 z norma,
||(xn )n || = sup |xn |.
n
Pokazać, że zagadnienie poczatkowe
,
x0 = f (x),
x(0) = a
nie posiada rozwiazania.
Inny przyklad znajdziemy w monografii J. Dieudonné
,
,,Foundations of modern analysis”. Godunow pokazal , że w każdej nieskończenie
wymiarowej przestrzeni Banacha istnieja, zagadnienia poczatkowe
nie posiadajace
,
,
rozwiazania.
,
4
Aproksymacja Tonelliego
k
k
Dla ciag
, lej funkcji f : [t0 , t0 + δ] × R → R podzielmy przedzial [t0 , t0 + δ] na
m równych cześci
punktami tm,j = t0 + jδ/m, j = 0, 1, 2, . . . , m. Określmy ϕm :
,
k
[t0 , t0 + δ] → R wzorami ϕm (t0 ) = x0 ,
ϕm (t) = ϕm (tm,j ) + (t − tm,j )f (tm,j , ϕm (tm,j )) dla t ∈ (tm,j , tm,j+1 ],
a nastepnie
ψm : [t0 , t0 + δ] → Rk wzorami
,
ψm (t) = f (tm,j , ϕm (tm,j )) dla t ∈ [tm,j , tm,j+1 ).
Pokazać, że
ϕm (t) = x0 +
Z
t
ψm (s) ds,
t0
funkcje {ϕm : m ∈ N} sa, jednakowo ciag
, le i wspólnie ograniczone. Jakie równanie
spelnia granica jednostajnie zbieżnego podciagu
istniejacego
na mocy tw. Ascoliego,
,
Arzelá ?
Jest to alternatywny dowód tw. Peano o istnieniu rozwiazania
zagadnienia
,
poczatkowego
bez
użycia
tw.
Schaudera
o
punkcie
sta
lym.
Por.
podr
ecznik
Picci,
,
nini, Stampacchia, Vidossich.
5
Przypadek nieskończenie wymiarowy
Jeśli w poprzednim zadniu zastapimy
Rk przez dowolna, przestrzeń Banacha X,
,
wtedy można wykorzystać ogólne tw. Ascoliego-Arzelá (por. Analiza Maurina).
Poza ciag
, lościa, f potrzebujemy wtedy zalożenia: f (t, ·) jest pelnociag
, le. Wyjaśnić
szczególy.
2
6
Calka Riemanna
Niech f : [a, b] → X bedzie
calkowalna, gdzie X jest przestrzenia, Banacha. Udo,
wodnić, że
Z b
1
f (t) dt ∈ convf ([a, b]).
b−a a
Symbolem convA oznaczamy najmniejszy domkniety
i wypukly nadzbiór zbioru A.
,
Mamy tu na uwadze calke, Riemanna (por. podrecznik
analizy
L. Schwartza), chociaż
,
twierdzenie zachodzi także dla calki Bochnera.
Niech T ∈ L(Y, X) (X, Y sa, przestrzeniami Banacha, a L(Y, X) oznacza przestrzeń operatorów liniowych i ograniczonych Y → X). Pokazać, ze jeśli funkcja
f : [a, b] → Y jest calkowalna, to funkcja T f : [a, b] → X też jest calkowalna i
Z b
Z b
T f (t) dt = T
f (t) dt .
a
a
Niech A : [a, b] → L(X, Y ) bedzie
calkowalna i x ∈ X. Zastosować powyższy rezultat
,
do funkcji t 7→ A(t)x.
7
Wlasność punktu stalego
Mówimy, że przestrzeń topologiczna X ma wlasność punktu stalego, gdy każde ciag
, le
odwzorowanie f : X → X posiada punkt staly. Wykazać, że każda przestrzeń
homeomorficzna z przestrzenia, majac
, a, wlasność punktu stalego ma te, wlasność.
8
Globalne istnienie
Niech f : [0, ∞) × X → X bedzie
ciag
, la i
,
||f (t, x1 ) − f (t, x2 )|| ≤ h(t)||x1 − x2 ||,
t ∈ [0, ∞),
x1 , x2 ∈ X,
gdzie h : [0, ∞) → R+ jest calkowalna na (0, ∞). Udowodnić, że jeśli t 7→ f (t, 0) jest
calkowalna, to zagadnienie poczatkowe
,
x0 = f (t, x),
x(0) = x0
posiada dokladnie jedno rozwiazanie
określone na [0, ∞). W tym celu w przestrzeni
,
funkcji ciag
lych
i
ograniczonych
BC([0,
∞), X) zdefiniować norme,
,
||ϕ|| = sup e−λ(t) |ϕ(t)|,
t
gdzie |·| oznacza norme, w X, λ(t) = 2
stalym.
Rt
0
h(s) ds. Zastosować tw. Banacha o punkcie
3
9
Metoda kolejnych przybliżeń
Niech f : [0, b] × U → X i ω : [0, b] × [0, ∞) → [0, ∞) bed
, le (U – podzbiór
, a, ciag
otwarty przestrzeni Banacha X). Zakladamy, że ω(t, ·) jest rosnaca
dla każdego t,
,
jedynym rozwiazaniem
zagadnienia
pocz
atkowego
,
,
u0 = ω(t, u),
u(0) = 0
jest funkcja zerowa i
||f (t, x1 ) − f (t, x2 )|| ≤ ω(t, ||x1 − x2 ||),
t ∈ [0, ],
¯
x1 , x2 ∈ X.
Wykazać, że ciag
, kolejnych przybliżeń:
x0 (t) = x0 ,
xn+1 (t) = x0 +
Z
t
f (s, xn (s)) ds
0
jest jednostajnie zbieżny do rozwiazania
zagadnienia
,
x0 = f (t, x),
x(0) = x0 ,
wykorzystujac
, nierówność
sup ||xn (t) − xm (t)|| ≤ uk (t),
n,m≥k
gdzie u0 (t) = M t,
un+1 (t) =
Z
t
ω(s, un (s)) ds.
0
10
Pod- i nadrozwiazania
,
Niech f : [0, b] × R → R, α, β : [0, b] → R bed
, le i α, β różniczkowalne wewnatrz
,
, a, ciag
przedzialu. Zakladamy, że
α0 (t) ≤ f (t, α(t)),
β 0 (t) ≥ f (t, β(t)), α(t) < β(t),
dla każdego t. Wybierzmy x0 ∈ (α(0), β(0)). Korzystajac
, z tw. o oszacowaniu a
priori pokazać, że rozwiazania
zagadnienia poczatkowego
,
,
x0 = f (t, x),
x(0) = x0 ,
sa, przedlużalne na caly przedzial [0, b] i spelniaja, tam nierówność x(t) ∈ (α(t), β(t)).
Wskazówka. Zdefiniować
fn (t, x) = f (t, x) +
β(t) − α(t) − 2(x − α(t))
.
n
Wtedy α0 (t) < f (t, α(t)), β 0 (t) > f (t, β(t)). Wykorzystać ciag
, xn , n ∈ N, rozwiazań
,
zagadnień poczatkowych
dla fn zamiast f, określonych na [0, b].
,
4
11
Rezolwenta równania liniowego
Sprawdzić, że określenie operatora rezolwenty U : (a, b)×(a, b) → L(X) dla równania
liniowego x0 = A(t)x jest poprawne przy zalożeniu lokalnej calkowalności (tzn.
calkowalności na podzbiorach zwartych) funkcji t → A(t) ∈ L(X). Co rozumiemy
przez rozwiazanie
równania x0 = A(t)x w tej sytuacji? Przedyskutować teorie,
,
0
równań liniowych x = A(t)x+r(t) z funkcja, r : (a, b) → X także lokalnie calkowalna.,
12
Trajektorie okresowe
Pokazać, że trajektoria okresowa ukladu dynamicznego jest homeomorficzna z okregiem,
,
a w przypadku gladkiego ukladu dynamicznego jest nawet dyfeomorficzna z okregiem.
,
13
Wahadlo fizyczne i matematyczne
Znaleźć okres drgań wahadla fizycznego
x00 + sin x = 0
wykorzystujac
, funkcje eliptyczne. Porównać go z okresem drgań wahadla matematycznego (oscylatora harmonicznego)
x00 + x = 0
stosujac
w szereg potegowy.
, rozwiniecie
,
,
5