PRZYK¸ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY MATEMATYKA

PRZYK¸ADOWY ARKUSZ
EGZAMINACYJNY
MATEMATYKA
POZIOM ROZSZERZONY
Czas pracy 180 minut
Instrukcja dla zdajàcego
1. Sprawdê, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 14 stron (zadania 1–11). Ewentualny brak zg∏oÊ przewodniczàcemu
zespo∏u nadzorujàcego egzamin.
2. Rozwiàzania zadaƒ i odpowiedzi zamieÊç w miejscu na to
przeznaczonym.
3. W rozwiàzaniach zadaƒ przedstaw tok rozumowania prowadzàcy do ostatecznego wyniku.
4. Pisz czytelnie. U˝ywaj d∏ugopisu/pióra tylko z czarnym
tuszem/atramentem.
5. Nie u˝ywaj korektora, a b∏´dne zapisy przekreÊl.
6. Pami´taj, ˝e zapisy w brudnopisie nie podlegajà ocenie.
7. Obok ka˝dego zadania podana jest maksymalna liczba
punktów, którà mo˝esz uzyskaç za jego poprawne rozwiàzanie.
8. Mo˝esz korzystaç z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora.
˚yczymy powodzenia!
Arkusz opracowany przez Wydawnictwo Pedagogiczne OPERON
na wzór oryginalnego arkusza maturalnego
Za rozwiàzanie
wszystkich zadaƒ
mo˝na otrzymaç
∏àcznie 50 punktów.
2
Matematyka. Poziom rozszerzony
Zadanie 1. (3 pkt)
2
Podaj wszystkie liczby ca∏kowite spe∏niajàce nierównoÊç x - 4x + 4 G 5 - 3 x - 2 .
3
Matematyka. Poziom rozszerzony
Zadanie 2. (3 pkt)
Wielomian W _ x i = ax + bx + cx + d dla argumentu 0 przyjmuje wartoÊç 9. Liczby _ - 1i i 3 sà pierwiastkami tego wielomianu, przy czym liczba 3 jest pierwiastkiem dwukrotnym. Wyznacz wartoÊci
wspó∏czynników a, b, c, d.
3
4
2
Matematyka. Poziom rozszerzony
Zadanie 3. (6 pkt)
Z
]
dla x ! ` - 3, - 1
] 2 -2
Narysuj wykres funkcji f okreÊlonej wzorem f _ x i = [ - x + 2x + 1 dla x ! ` - 1, 2 .
1x
]
dla x ! ` 2, + 3 i
]
2
\
Korzystajàc z wykresu funkcji f :
a) podaj rozwiàzanie nierównoÊci f _ x i H 2,
b) narysuj wykres funkcji g okreÊlonej wzorem g _ x i =- f _ x - 2i.
5
Matematyka. Poziom rozszerzony
Zadanie 4. (3 pkt)
Uzasadnij, ˝e je˝eli dwie ró˝ne liczby naturalne m i n przy dzieleniu przez 7 dajà takie same reszty,
to ró˝nica kwadratów liczb m i n jest podzielna przez 7.
6
Matematyka. Poziom rozszerzony
Zadanie 5. (5 pkt)
Wyznacz wszystkie rozwiàzania równania tg1x - cos x = 1 - sin x nale˝àce do przedzia∏u _0, 2r i.
2 sin x
7
Matematyka. Poziom rozszerzony
Zadanie 6. (7 pkt)
W ciàgu arytmetycznym (a n ) a8 = 3 i a20 = 27.
a) Sprawdê, czy ciàg _ a8 , a11 , a20 i jest ciàgiem geometrycznym.
b) Wyznacz takà wartoÊç n, dla której suma n-poczàtkowych wyrazów ciàgu (a n ) ma wartoÊç najmniejszà.
8
Matematyka. Poziom rozszerzony
Zadanie 7. (4 pkt)
Uzasadnij, ˝e 2
log 2 3 - log 8 27 + log 1 9
4
> 0, 33.
9
Matematyka. Poziom rozszerzony
Zadanie 8. (5 pkt)
Z urny, w której znajduje si´ n kul, w tym 5 bia∏ych, losujemy dwie kule bez zwracania. Wyznacz n,
tak aby prawdopodobieƒstwo wylosowania dwóch kul bia∏ych by∏o równe 2 .
21
10
Matematyka. Poziom rozszerzony
Zadanie 9. (5 pkt)
Punkty A = _ - 3, - 2i i C = _5, 2i sà przeciwleg∏ymi wierzcho∏kami rombu ABCD, którego bok ma d∏ugoÊç 5. Wyznacz wspó∏rz´dne pozosta∏ych wierzcho∏ków rombu.
11
Matematyka. Poziom rozszerzony
Zadanie 10. (4 pkt)
W trapez wpisano okràg o promieniu 3 cm. Miary kàtów przy d∏u˝szej podstawie tego trapezu wynoszà 30c i 60c. Oblicz pole trapezu.
12
Matematyka. Poziom rozszerzony
Zadanie 11. (5 pkt)
Przekrój osiowy sto˝ka jest trójkàtem równobocznym, a jego przekrój p∏aszczyznà równoleg∏à do p∏aszczyzny podstawy ma pole równe 9r. Uzasadnij, ˝e obj´toÊç tego sto˝ka jest wi´ksza od 48. Wykonaj
rysunek pomocniczy i zaznacz na nim przekrój p∏aszczyznà równoleg∏à do p∏aszczyzny podstawy.
13
Matematyka. Poziom rozszerzony
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)
14