[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]kg

MRP-zadania
MATERIAŁY DO ĆWICZE Z MODELOWANIA RYNKU PRACY
Przedsiębiorstwo produkcji babek ziemniaczanych - przypadek egzogeniczności cen i płac (cz.1)
Analiza krótkookresowa
Przykład 1. (problem wyznaczania funkcji produkcji dodanej na podstawie funkcji ilościowej)
Przedsiębiorstwo produkuje babki ziemniaczane. Krótkookresowa ilościowa funkcja tygodniowej
produkcji babek przedstawia się następująco:
Q ( L) : Q = 1000 L0, 5

mi

 mi = ai ⋅ Q ⇔ a i = Q , ( i = 1, 2,..., k )

gdzie:
Q - ilość babek,
L - przeciętna tygodniowa liczba osób zatrudnionych (w przeliczeniu na pełen etat),
mi - ilość i-tego produktu pośredniego (surowca) wykorzystanego w produkcji
ai - ilościowy współczynnik technologiczny zużycia i-tego surowca
Przedsiębiorstwo do produkcji babek zużywa cztery surowce: ziemniaki, jaja, mąkę i boczek.
Współczynniki technologiczne oraz ceny jednostkowe surowców wynoszą odpowiednio:
m
a1 = 1 = 0,8 [kg / babę ], pm1 = 0,5 [zł / kg ] ,
• ziemniaki:
Q
m2
• jaja:
a2 =
= 5 [szt . / babę ], pm 2 = 0, 2 [zł / szt .] ,
Q
m
a3 = 3 = 0,1 [kg / babę ], pm 2 = 1,0 [zł / kg ],
• mąka:
Q
m4
= 0, 2 [kg / babę ], pm 4 = 25 [zł / kg ] .
Q
Cena zbytu jednej baby wynosi: p = 10,5 [ zł / baba] .
Wyznaczyć i zinterpretować:
a) współczynniki wartościowe zużycia surowców: cmi = pmi ⋅ ai [ zł / babę ] ,
•
boczek wędzony:
a4 =
b) koszt przeciętny zużycia surowców: ACm :
pm = ∑ 4i =1 cm i ,
c) cenę netto produktu: pn = p − p m ,
d) krótkookresową funkcję produkcji dodanej: Y ( L) = pn ⋅ Q ( L) .
Przykład 2. (problem produktywności przeciętnej i krańcowej w warunkach prawa malejących przychodów)
Na podstawie funkcji produkcji dodanej Y(L) z przykładu 1:
a) wyznacz funkcję produktywności przeciętnej APL(L) i krańcowej MPL(L) pracy,
b) wykorzystując powyższe funkcje wyznacz i zinterpretuj tygodniową produktywność przeciętną pracy APL(Li)
w warunkach, gdy przeciętne zatrudnienie tygodniowe będzie wzrastać przyjmując wartości: L1=25 oraz L2=36,
c) wykorzystując powyższe funkcje wyznacz i zinterpretuj tygodniową produktywność krańcową pracy MPL(Li)
w warunkach, gdy przeciętne zatrudnienie tygodniowe będzie wzrastać przyjmując wartości: L1=25 oraz L2=36,
d) Przedstaw obrazy graficzne produktywności przeciętnej i krańcowej pracy wykorzystując powyższe wyniki
oraz pochodne dAPL(L)/dL oraz dMPL(L)/dL,
Przykład 3. (problem produktywności krańcowej w warunkach prawa malejących przychodów)
Na podstawie funkcji produkcji dodanej Y(L) z przykładu 1:
a) Wyznacz wartość produkcji dodanej Y(Li) w warunkach, gdy przeciętne zatrudnienie tygodniowe będzie
wzrastać przyjmując wartości z L1=25 do L1a=26
b) Oblicz i zinterpretuj przyrost jednostkowy produktu dodanego w założonych powyżej warunkach:
Y1a=Y(L1a)-Y(L1) i porównaj wynik z produktywnością krańcową MPL(L1=25) z poprzedniego przykładu.
Przykład 4. (problem produktywności krańcowej w warunkach prawa malejących przychodów)
Na podstawie funkcji produkcji fizycznej Q(L) z przykładu 1:
a) Wyznacz wartość produkcji Q(Li) w warunkach, gdy przeciętne zatrudnienie tygodniowe będzie wzrastać
przyjmując wartości z L1=25 do L1a=26
b) Oblicz i zinterpretuj przyrost produktu fizycznego w założonych powyżej warunkach: Q1a=Q(L1a)-Q(L1)
c) Wykorzystując cenę netto (pn) z przykładu pierwszego, na podstawie powyżej wyliczonego przyrostu
produktu fizycznego, wyznacz jednostkowy przyrost produktu dodanego i porównaj z wynikiem z przykładu 3.
1
Przykład 5. (problem elastyczności produkcji ze względu na pracę w warunkach prawa malejących przychodów)
Na podstawie funkcji produkcji fizycznej Q(L) z przykładu 1:
a) Oblicz i zinterpretuj elastyczność produkcji ze względu na prace: EQ/L=[dQ/dL]:[Q(L)/L],
b) Dokonaj linearyzacji funkcji produkcji poprzez jej obustronne logarytmowanie i oblicz pochodną
logarytmiczną produkcji ze względu na pracę: dlnQ(L)/dlnL,
c) Porównaj wyniki z podpunktu a) i b).
Przykład 6. (problem wyznaczania optymalnego poziomu zatrudnienia w warunkach egzogeniczności płacy)
Na podstawie funkcji produkcji dodanej Y(L) z przykładu 1 oraz funkcji kosztów pracy
VCL(L):VCL=w·L
a) Zdefiniuj funkcję zysku całkowitego: Π(L) oraz jej pochodną dΠ(L)/dL
b) Wyznacz optymalny poziom zatrudnienia (LE) wiedząc, że poziom tygodniowej płacy wynosi wE=400 zł.
c) Wyznacz poziom wydajności pracy w warunkach optymalnych: APLE=APL(LE).
d) Wyznacz zysk jednostkowy (ΠjE) i zysk całkowity (ΠE).
e) Przedstaw obraz graficzny rozwiązania optymalnego zaznaczając przychód całkowity brutto, zysk całkowity
brutto oraz koszty pracy.
Przykład 7. (problem wyznaczania odwrotnej i pierwotnej funkcji popytu na pracę w warunkach egzogeniczności
płacy)
Na podstawie krańcowej funkcji zysku z przykładu 6, korzystając z pojęcia elastyczności funkcji:
a) Wyznacz i zinterpretuj odwrotną funkcję popytu na pracę: wD(L),
b) Wyznacz i zinterpretuj pierwotną funkcję popytu na pracę: LD(w).
c) Przedstaw obraz graficzny krzywej popytu na pracę DL.
Przykład 8. (problem wyznaczania optymalnego poziomu zatrudnienia na podstawie pierwotnej funkcji popytu na
pracę w warunkach egzogeniczności płacy)
Na podstawie pierwotnej funkcji popytu na pracę [LD(w)]wyznaczonej w przykładzie 7:
1.a) Określ optymalny poziom zatrudnienia LE1 w warunkach, gdy tygodniowy poziom płacy rynkowej wyniesie
wE1=500 zł.
1.b) Wyznacz poziom wydajności pracy APLE1 w założonych warunkach.
1.c) Wyznacz zysk jednostkowy ΠJE1 oraz zysk całkowity ΠE1 w założonych warunkach.
2.a) Określ optymalny poziom zatrudnienia LE1 w warunkach, gdy tygodniowy poziom płacy rynkowej wyniesie
wE2=800 zł.
2.b) Wyznacz poziom wydajności pracy APLE2 w założonych warunkach.
2.c) Wyznacz zysk jednostkowy ΠJE2 oraz zysk całkowity ΠE2 w założonych warunkach.
3. porównaj wyniki z podpunktów 1 i 2.
Przykład 9.a. (problem wyznaczania granicznego poziomu zatrudnienia w warunkach egzogeniczności płacy)
(przykład sprzężony z 9.b)
Wiedząc że w warunkach, gdy cena netto wynosi: pn=4 [zł/babę] funkcja produkcji fizycznej jest równa
Q(L): Q=1000·L0,5 [sztuk/tydzień] oraz koszty stałe (FC) wynoszą 5000 [zł/tydzień]] określić:
a) Funkcję produkcji dodanej brutto Y(L) oraz funkcję produkcji dodanej netto YN(L).
b) Funkcję produktu przeciętnego APNL(L) i krańcowego netto MPNL(L)=MPL(L).
c) Graniczny poziom zatrudnienia (Lgr) oraz graniczny poziom płacy (wgr=APNLgr).
d) poziom produktu granicznego (Qgr).
Przedstawić obraz graficzny funkcji produkcji APL(L), APNL(L) oraz MPL(L) zaznaczając poziom
granicznego zatrudnienia (Lgr) i granicznego poziomu płacy (wgr).
Przykład 9.b. (problem wyznaczania granicznej ceny rentowności i produkcji w warunkach egzogeniczności cen)
(przykład sprzężony z 9.a)
Na podstawie informacji z przykładu 1, 2 i 9 oraz wiedząc, że:
FC=5000 zł.,
w=800 [zł/osoba] i
pm=6,5 [zł/baba]:
a) Na podstawie funkcji produkcji Q(L) wyznaczyć funkcję zapotrzebowania na pracę L(Q) oraz kosztów
zmiennych pracy VCL(Q),
b) Wyznaczyć funkcję kosztów całkowitych TC(Q): TC=FC+VCM(Q)+VCL(Q),
c) Wyznaczyć funkcję kosztów przeciętnych AC(Q) oraz krańcowych MC(Q) oraz przedstawić ich wykres,
d) Wyznaczyć graniczny poziom produkcji (Qgr) oraz graniczną cenę rentowności (pgr),
e) Na podstawie funkcji zapotrzebowania na pracę L(Q) określić graniczny poziom zatrudnienia (Lgr),
f) Wyniki z przykładu 9.b. porównać z wynikami z przykładu 9.a.
2
Przykład 10.a. (problem wyznaczania optymalnego poziomu produktu w warunkach egzogeniczności płacy i cen)
(przykład sprzężony z 10.b)
Wiedząc że:
• funkcja kosztów całkowitych jest równa (patrz przykład 9.b): TC = (1/1250)·Q2 + 6,5·Q + 5000
• cena babki ziemniaczanej wynosi: p =14,5 [zł/babka],
prezentując wyniki obliczeń na wykresie, wyznaczyć:
a) funkcję kosztów krańcowych MC(Q) i kosztów przeciętnych AC(Q),
b) poziom produktu (QA) o najmniejszych kosztach przeciętnych,
c) optymalny poziom produkcji (QE) - zapewniający maksymalny zysk,
d) poziom kosztów przeciętnych w punkcie optymalnym [ACE = AC(QE)],
e) optymalny zysk jednostkowy (ΠjE) i całkowity (ΠE),
f) optymalne zapotrzebowanie na pracę (LE) wiedząc, że funkcja zapotrzebowania na pracę (patrz przykład 9.b)
wynosi: L(Q): L= (1/1000000)·Q2.
Przykład 10.b. (problem wyznaczania optymalnego poziomu zatrudnienia w warunkach egzogeniczności płacy i cen)
(przykład sprzężony z 10.a)
Wiedząc że (patrz przykłady 9.a i 9.b oraz 10.a):
• krótkookresowa fizyczna funkcja produkcji babek ziemniaczanych jest równa: Q(L): Q=1000·L0,5,
• cena babki wynosi: p =14,5 [zł/babę],
• jednostkowa cena surowców (koszt przeciętny zużytych materiałów) jest równa: pm =6,5 [zł/babka],
• tygodniowe koszty stałe (deprecjacja majątku – D) wynoszą: FC = 5000 [zł],
• tygodniowa płaca jest równa: w = 800 [zł],
prezentując wyniki obliczeń na wykresie, określić i wyznaczyć:
a) cenę netto (pn) oraz funkcję produktu dodanego netto YN(L),
b) funkcję produktywności przeciętnej netto APLN(L) i krańcowej MPL(L),
c) optymalny poziom zatrudnienia (LE) – zapewniający maksymalny zysk,
d) poziom produktywności przeciętnej netto w punkcie optymalnym [APLNE = APLN(LE)],
e) optymalny zysk jednostkowy z pracy (ΠjE) i całkowity (ΠE),
f) optymalny poziom produktu fizycznego (QE),
Powyższe wyniki porównać z wynikami z przykładu 10.a.
Analiza długookresowa
Przykład 11. (problem związków pomiędzy wydajnością pracy a technicznym wyposażeniem pracy w kapitał )
Długookresowa funkcja produkcji fizycznej babek ziemniaczanych jest równa: Q(Lt): Qt=250·Lt0,5·Kt0,5
Na jej podstawie:
a) wyznacz funkcję fizycznej produktywności przeciętnej pracy (AQL=Q/L), jako funkcję technicznego
wyposażenia pracy w kapitał (TEK=K/L), tzn:[AQL(TEKt)],
b) wyznacz i zinterpretuj elastyczność wydajności pracy ze względu na techniczne wyposażenie pracy
(EAQL(TEK)),
c) wiedząc że cena netto pn=4 [zł/baba], (jako że p=10,5 [zł/ baba] oraz pm=6,5 [zł/baba]) wyznacz
długookresową funkcję produktu dodanego [Y(Lt,Kt)],
d) wykorzystując długookresową funkcję produktu dodanego wyznacz i zinterpretuj:
∂Y
• warunkową funkcję produktywności krańcowej pracy:
[ MPL( Lt , K ) : MPLt = t ]
∂Lt
•
oraz warunkową funkcję produktywności przeciętnej pracy:
[ APL( Lt , K ) : APLt =
Yt
]
Lt
∂ 2 MPLt
przedstaw obraz graficzny warunkowej funkcji
∂L2t
produktywności krańcowej w przypadku, gdy kapitał w kolejnych okresach (t=1,2,3) przyjmować będzie
wartości: K 1 = 16,0; K 2 = 20,25; K 3 = 25,0 [mln.zł],
e) na podstawie pochodnych :
∂MPLt
∂Lt
oraz
∂ 2 APLt
przedstaw obraz graficzny warunkowej funkcji
∂L2t
produktywności przeciętnej w przypadku, gdy kapitał w kolejnych okresach (t=1,2,3) przyjmować będzie
wartości: K 1 = 16,0; K 2 = 20,25; K 3 = 25,0 [mln.zł],
g) omów wzajemne relacje warunkowych funkcji produktywności krańcowej i przeciętnej pracy w przypadku
zmiany poziomu kapitału.
f) na podstawie pochodnych :
∂APLt
∂Lt
oraz
3
Przykład 12.1. (problem wyznaczania hipotetycznych poziomów płacy i zatrudnienia w warunkach zmian
technicznego wyposażenia pracy w kapitał)
a) Wykorzystując warunkową funkcję produktywności krańcowej pracy z przykładu 11 wyznacz długookresową
odwrotną funkcję popytu na pracę: w D ( Lt , K ) : w t = MPL( Lt , K t ) .
b) Zakładając, że tygodniowe zatrudnienie w kolejnych okresach t=1,2,3 jest stałe i wynosi L = 25 osób na
podstawie odwrotnej funkcji popytu na pracę wyznacz hipotetyczne poziomy płacy (wth) w warunkach, gdy
kapitał w kolejnych okresach (t=1,2,3) przyjmować będzie wartości: K 1 = 16,0; K 2 = 20,25; K 3 = 25
[mln.zł].
c) Wyznacz długookresową pierwotną funkcję popytu na pracę: Lt = LD ( wt , K t ) .
d) Określ i zinterpretuj elastyczność popytu na pracę ze względu na płacę ( E L(w ) ) oraz na kapitał ( E L( K ) ).
e) Wykorzystując pierwotną funkcję popytu na pracę i zakładając, że płaca utrzyma się na poziomie w=400 zł w
warunkach, gdy kapitał w kolejnych okresach (t=1,2,3) przyjmować będzie wartości zdefiniowane w punkcie (b)
wyznacz hipotetyczne poziomy zapotrzebowania na pracę (Lth).
f) Rozwiązania z podpunktów (b) i (e) przedstaw na wykresie.
Przykład 12.2. (problem wyznaczania hipotetycznych poziomów zatrudnienia w warunkach wzrostu technicznego
wyposażenia pracy w kapitał i zmiany poziomu płacy)
a) Wykorzystując pierwotną funkcję popytu na pracę z przykładu 12.1 w warunkach, gdy kapitał wynosi K1=16
mln zł wyznacz ponownie hipotetyczny poziom zapotrzebowania na pracę (L01h) zakładając, iż płaca
tygodniowa wyniesie w0=400 zł.
b) Wykorzystując pierwotną funkcję popytu na pracę z przykładu 12.1 w warunkach, gdy kapitał wynosi K3=25
mln zł wyznacz hipotetyczne poziomy zapotrzebowania na pracę (L3Ah, L3Bh, L3Ch) zakładając, iż płaca
tygodniowa wyniesie odpowiednio wA=450 zł, wB=500 zł oraz wC=550 zł
c) Sytuacje z podpunktów a) i b) przedstaw na rysunku.
d) Wykorzystując długookresową funkcję wydajności pracy wyznacz przeciętną wydajność pracy (APLi) dla
rozważanych powyżej przypadków: APL01 oraz APL3A, APL3A i APL3A.
e) Powyższą sytuację przedstaw na rysunku.
f) Dla rozważanych powyżej sytuacji wyznacz poziomy technicznego wyposażenia pracy w kapitał: TEKti
g) Na podstawie powyższych wyliczeń sformułuj wniosek ogólny dotyczący związków pomiędzy poziomem
płac, wydajnością pracy i technicznym wyposażeniem pracy w kapitał.
Przykład 13. (materiał dodatkowy dotyczący produktywności kapitału)*
a) Wykorzystując długookresową funkcję produktu dodanego z przykładu 11 wyznacz i zinterpretuj:
∂Yt
• warunkową funkcję produktywności krańcowej kapitału:
[ MPK ( L , K t ) : MPK t =
]
∂K t
•
oraz warunkową funkcję produktywności przeciętnej kapitału:
[ APK ( L , K t ) : APK t =
Yt
]
Kt
∂ 2 MPK t
przedstaw obraz graficzny warunkowej funkcji
∂K t2
produktywności krańcowej w przypadku, gdy tygodniowe nakłady pracy w kolejnych okresach (t=1,2,3)
przyjmować będzie wartości: L1 = 16,0; L2 = 20,25; L3 = 25,0 [osób],
b) Na podstawie pochodnych :
∂MPK t
∂K t
oraz
∂ 2 APLt
przedstaw obraz graficzny warunkowej funkcji
∂L2t
produktywności przeciętnej kapitału w przypadku, gdy poziom zatrudnienia w kolejnych okresach (t=1,2,3)
przyjmować będzie wartości: L1 = 16,0; L2 = 20,25; L3 = 25,0 [osób],
d) omów wzajemne relacje warunkowych funkcji produktywności krańcowej i przeciętnej kapitału w przypadku
zmiany poziomu zatrudnienia .
c) Na podstawie pochodnych:
∂APLt
∂Lt
oraz
4
Przedsiębiorstwo produkcji babek ziemniaczanych - przypadek konkurencji monopsonistycznej
na rynku pracy (cz.1)
Przykład 14.a (problem wyznaczania poziomów zatrudnienia i płacy w warunkach dostosowywania się do podaży
pracy)
Przedsiębiorstwo produkujące babki ziemniaczane - w warunkach, gdy kapitał K=16 mln zł charakteryzowane jest przez następujące funkcje produktywności przeciętnej i krańcowej (patrz: przykład 2 i 11):
APL(L):
APL=4000·L-0,5
[zł/osoba] (produkcji dodanej)
MPL(L):
MPL=2000·L-0,5
[zł/osoba] (produkcji dodanej)
Załóżmy , że analizowane przedsiębiorstwo działa na rynku pracy konkurencji monopsonistycznej. Funkcja
tygodniowej podaży pracy danego przedsiębiorstwa (gotowości podjęcia pracy w przedsiębiorstwie) przedstawia
się następująco:
LS(w):
L=(2,25/6400)·w2,
(PI, UR, W, = const.)
gdzie: L – liczba osób zgłaszająca gotowość pracy,
w – poziom tygodniowej płacy w zł.
Na podstawie powyższych informacji:
a) określ i zinterpretuj elastyczność podaży pracy (ELS(w)),
b) wyznacz i zinterpretuj odwrotną funkcję podaży pracy [wS(L)],
c) określ funkcję kosztów zmiennych pracy [VCL(L)] oraz kosztów krańcowych [MCL(L)],
d) wyznacz optymalny poziom zatrudnienia (Lopt) i płacy (wopt),
e) dla warunków optymalnych wyznacz produktywność przeciętną, zysk jednostkowy i całkowity.
f) otrzymane wyniki porównaj z wynikami z przykładu 6,
g) rozwiązania przedstaw w ujęciu graficznym.
Przykład 14.b (problem wyznaczania poziomów zatrudnienia i płacy w warunkach dostosowywania się do podaży
pracy w sytuacji wzrostu wydajności na skutek wzrostu wyposazenia pracy w kapitał)
Przedsiębiorstwo produkujące babki ziemniaczane - w warunkach, gdy kapitał K=20,25 mln zł charakteryzowane jest przez następujące funkcje produktywności przeciętnej i krańcowej (patrz: przykład 2 i 11):
APL(L):
APL=4500·L-0,5
[zł/osoba] (produkcji dodanej)
MPL(L):
MPL=2250·L-0,5
[zł/osoba] (produkcji dodanej)
Utrzymując założenie, że analizowane przedsiębiorstwo działa na rynku pracy konkurencji monopsonistycznej, a
funkcja tygodniowej podaży pracy danego przedsiębiorstwa (gotowości podjęcia pracy w przedsiębiorstwie) nie
uległa zmianie i przedstawia się następująco:
LS(w):
L=(2,25/6400)·w2,
(PI, UR, W, = const.)
gdzie: L – liczba osób zgłaszająca gotowość pracy,
w – poziom tygodniowej płacy w zł.
Na podstawie powyższych informacji oraz wykorzystując funkcję kosztów zmiennych pracy [VCL(L)] oraz
kosztów krańcowych [MCL(L)]
a) wyznacz optymalny poziom zatrudnienia (L’opt) i płacy (w’opt),
b) dla warunków optymalnych wyznacz produktywność przeciętną, zysk jednostkowy i całkowity.
f) otrzymane wyniki porównaj z wynikami z przykładu 14.a,
g) rozwiązania przedstaw w ujęciu graficznym.
Przykład 14.c
W kontekście przykładu 14.a i 14.b rozważ pole manewru przedsiębiorstwa w zakresie kształtowania płac w
przypadku, gdy wzrośnie wydajność pracy wynikająca ze wzrostu wyposażenia pracy w kapitał a
przedsiębiorstwo zdecydowało się na utrzymanie zatrudnienia na niezmienionym poziomie.
5