TEORIA GIER – 3 Optimum Pareto. Algebra liniowa i geometria w

TEORIA GIER – 3
Optimum Pareto. Algebra liniowa i geometria w teorii gier.
ZD1. Uzasadnij rachunkowo, że
(a) w grze malżeńskiej z wykladu wektor (2, 2) jest osia֒galny.
(b) w grze malżeńskiej z wykladu wektor (4, 4) jest nieosia֒galny.
ZD2. Uzasadnij rachunkowo, że w grze malżeńskiej z wykladu wektor (2, 2) stanowi optimum Pareto.
ZD3.
(a) Czy (3, 1) stanowi optimum Pareto w podanej grze?
(b) Czy (3, 0) stanowi optimum Pareto w podanej grze?
(c) Czy uklad strategii (B, P ) jest optymalny w sensie Pareto?
L
P
A (0,6) (3,0)
B (2,1) (1,3)
ZD4.
(a) Uzasadnij, że para strategii (A, L) jest optymalna w sensie Pareto w podanej grze.
L
P
A (1,1) (-4,2)
B (2,-4) (-4,-5)
(b) Uzasadnij, korzystaja֒c z wlasności (O1) lub (O2) z wykladu, że (0, 0) stanowi optimum Pareto
podanej gry.
L
P
G (0,0) (1,-2)
D (-3,1) (1,-1)
(c) Wyznacz wszystkie usklady strategii (σ1 , σ2 ) ∈ M1 × M2 optymalne w sensie Pareto w grze w
papier-nożyczki-kamień.
ZD5.
(a) Lisek Chytrusek umieścil na plaszczyźnie wszystkie możliwe wektory wyplat (w1 (σ̄), w2 (σ̄)), dla
σ̄ ∈ M1 × M2 , w pewnej grze dwuosobowej i otrzymal w ten sposób zbiór U . Zauważyl, że punkt
(0, 0) należy do wne֒trza zbioru U . Na tej podstawie stwierdzil, że (0, 0) nie stanowi optimum Pareto
rozważanej gry. Czy Lisek ma racje֒ ?
(b) Lisek Chytrusek przygla֒da sie֒ podanej poniżej grze (ai , bi , ci , di dla i = 1, 2 sa֒ znanymi Liskowi
liczbami). Lisek glowi sie֒ , czy (4, 4) stanowi optimum Pareto tej gry. W rachunkach sie֒ pogubil,
Pomyslowy Dobromir nie umial mu pomóc, w końcu Lisek – ku swej wielkiej radości – wpadl na
pomysl naste֒ puja֒cy. Naniósl punkty (a1 , a2 ), (b1 , b2 ), (c1 , c2 ) i (d1 , d2 ) na plaszczyzne֒ . Stwierdzil,
że (4, 4) leży we wne֒trzu wieloka֒ta rozpie֒ tego przez te punkty. Wywnioskowal, że w takim razie
istnieje wektor wyplat (w1 (σ̄), w2 (σ̄)) o obu wspólrze֒ dnych wie֒ kszych niż 4. Zatem (4, 4) nie jest
optimum Pareto. Czy rozumowanie Liska jest poprawne?
L
P
G (a1 , a2 ) (b1 , b2 )
D (c1 , c2 ) (d1 , d2 )
ZD6.
(a) Zalóżmy, że w grze dwumacierzowej dla pewnego ukladu strategii czystych s̄ i każdego innego ukladu
strategii czystych s̄′ zachodzi warunek:
w1 (s̄′ ) < w1 (s̄) lub w2 (s̄′ ) < w2 (s̄).
Czy wynika z tego, że wektor (w1 (s̄), w2 (s̄)) stanowi optimum Pareto?
(b) Zalóżmy, że w grze dwumacierzowej dla pewnego ukladu strategii czystych s̄ i każdego innego ukladu
strategii czystych s̄′ zachodzi warunek:
w1 (s̄′ ) < w1 (s̄).
Czy wynika z tego, że wektor (w1 (s̄), w2 (s̄)) stanowi optimum Pareto?
1
2
ZD7. Zalóżmy, że |S1 | = n, |S2 | = m, σ2 ∈ M2 oraz x̄ = W2 σ2T . Ile wspólrze֒ dnych ma wektor x̄ ? Jak
można zinterpretować wspólrze֒ dne wektora x̄ w sensie wyplat graczy? Poprzyj odpowiedź rachunkami (na
symbolach).
Na rozgrzewke֒ można odpowiedzieć na te pytania na przykladzie poniższej gry i strategii σ2 = (q1 , q2 ).
L
P
A (2,1) (4,-1)
B (-2,-1) (3,1)
C (2,0) (-2,0)
ZD8. Przypomnijmy, że w macierzy W2 , podobnie jak w W1 , wiersze sa֒ oznaczane strategiami pierwszego
gracza, kolumny – strategiami drugiego. Zapisz w2 (σ1 , σ2 ) w notacji macierzowej. Uzasadnij poprawność
zapisu rachunkami (na symbolach).
ZD9. Dane sa֒ na plaszczyźnie niewspólliniowe punkty A, B, C oraz punkt X należa֒cy do wne֒ trza trójka֒ta
ABC. Wiemy, że X można przedstawić w postaci pewnej kombinacji wypuklej wierzcholków trójka֒ta:
X = p1 A + p2 B + p3 C. Znajdź w literaturze lub wymyśl, jak wyznaczyć wpólczynniki p1 , p2 , p3 > 0, nie
korzystaja֒c z metod analitycznych, ale mierza֒c dlugości lub pola pewnych figur.
ZD10. W pewnej grze S1 = {A, B, C}, S2 = {L, P }. Niech w1 (σ) = (w1 (σ, L), w1 (σ, P )) dla każdej
σ ∈ M1 . Zalóżmy, że w 1 (A) = (−3, −1), w 1 (B) = (3, −1) i w 1 (C) = (0, 1).
(a) W jakiej odleglości od w 1 (A) leży na plaszczyźnie punkt w 1 ( 18 A + 78 C) ?
(b) Wyznacz σ, wiedza֒c, że punkt w1 (σ) leży na odcinku o końcach w1 (A) i w 1 (C), w odleglości 1 od
w1 (A).
(c) Wyznacz σ, wiedza֒c, że w 1 (σ) = (−1, −1).
(d) Wyznacz supp σ, wiedza֒c, że w1 (σ) = (−1, 0).
ZD11. W pewnej grze S1 = {A, B, C, D, E}, S2 = {L, P }.
Niech w 1 (σ) = (w1 (σ, L), w1 (σ, P )) dla każdej σ ∈ M1 .
Polożenie punktów w 1 (σ) ilustruje rysunek obok. Czy istnieja֒
dwie różne strategie σ ′ , σ ′′ ∈ M1 , dla których w 1 (σ ′ ) = w1 (σ ′′ ) ?
Dlaczego?
w1(B)
w1(A)
w1(E)
w1(D)
ZD12. Obok podana jest macierz W1 (czyli gracza 1). Korzystaja֒c z metody geometrycznej, odpowiedz na poniższe pytania.
(a) Czy w tej grze istnieje strategia zdominowana o nośniku {C, D} ?
(b) Które strategie mieszane gracza 1 w tej grze sa֒ zdominowane?
w1(C)
A
B
C
D
L P
6 0
0 6
4 4
1 5