IDEA SKIEROWANYCH LICZB ROZMYTYCH Przykłady Interpretacji
Transkrypt
IDEA SKIEROWANYCH LICZB ROZMYTYCH Przykłady Interpretacji
XI International PhD Workshop OWD 2009, 17–20 October 2009 IDEA SKIEROWANYCH LICZB ROZMYTYCH Przykłady Interpretacji IDEA OF ORDERED FUZZY NUMBERS Examples Of Interpretation Dorota Wilczyńska-Sztyma, Kazimierz Wielki University in Bydgoszcz Abstract This elaboration presents contribution for wide reflection over meaning of creation of Ordered Fuzzy Numbers (further used will be the abbreviation OFN). This paper contains definitions and graphical interpretation of OFN. Important fact is that thanks to the additional property of the ordering (orientation), OFN opens new areas for using fuzzy numbers. In the figure ordered is shown as additional arrow. OFN can by used instead of convex fuzzy numbers. Additionally OFN overcomes mentioned below defects and the same time has the algebra of crisp numbers inside. First of defects is unbounded increasing of fuzziness with calculations. Second is that the arithmetic operations defined for them are not complementary, for instance: addition and subtraction. Second chapter presents conversation about fuzzy observation. Time or monotonic (progression, disappearance) phenomenon may ask for designer of the decisive factor in the orientation of OFN. In next step is shown a few examples of the potential use of these numbers. First example demonstrates interpretation of orientation as the direction of process. Next example presents ordering as indicator of the value of the original functions of time. These examples have to convict for innovatory approach for that fuzzy algebra and also shows meaning of existence of ordering. Last example shows sense of existence incorrect OFN. There are many discussions on interpretation membership curve, which in this case appears in return membership function. This problem will by wither discussed in next publication. Streszczenie Artykuł poświęcony jest refleksji nad modelem skierowanych liczb rozmytych. W dalszej części będzie uŜywany skrót OFN (ang. Ordered Fuzzy Numbers) na określenie skierowanych liczby rozmytych. Uwagę poświęcono zaletom jakie posiada mowy model w stosunku do klasycznej teorii liczb rozmytych. W drugim rozdziale przedstawiono pojęcie obserwacji rozmytej. Głębiej został przedstawiony temat interpretacji skierowania, w tym celu podparto się przykładami. Pierwszy przedstawia analizę skierowania jako wyznacznika kierunku ruchu, następny objaśnia je jako wyznacznik znaku wartości funkcji pierwotnej po czasie. W trzecim przykładzie uznaje się skierowanie jako pewną tendencję. Ostatni poświęcony został interpretacji niewłaściwych liczb rozmytych. 1. Skierowane liczby rozmyte Model skierowanych liczb rozmytych został zaproponowany przez prof. W. Kosińskiego, dr. P. Propokowicza oraz dr. D. Ślęzaka w 2002 roku [5, 6, 7, 9]. Skupili się oni na eliminacji wad klasycznej algebry liczb rozmytych opartej na zasadzie rozszerzania według prof. L. Zadeha. Są nimi przede wszystkim: zwiększanie rozmytości przy wykonywaniu kolejnych działań, duŜe skomplikowanie obliczeniowe oraz brak moŜliwości wnioskowania wstecz. RozwaŜając temat idei skierowanych liczb rozmytych naleŜy przybliŜyć ich definicję. Definicja: Skierowaną liczbą rozmytą A nazywamy uporządkowaną parę (f,g) funkcji takich Ŝe: f, g : [0,1] → są ciągłe. (1) Funkcje te nazywają się odpowiednio: częścią (ramieniem) up i częścią down. Nazwy te nie oznaczają, Ŝe up jest funkcją rosnącą, a down malejącą, ale odnoszą do skierowania. Funkcje f i g są połączone przedziałem const, zawierającym się pomiędzy [f(1), g(1)] i równym 1 [5, 6, 7, 9]. Granice funkcji oznacza się up=(lA,1-A) oraz down=(1+A,pA). Granice te są liczbami rzeczywistymi. Nie muszą one być właściwe. Znaczy to tyle, Ŝe nie muszą spełniać 20 warunku lA≤1-A oraz 1+A≤pA (rys.3). Przyporządkowuje się kolejno: lA=f(0), 1-A=f(1), 1+A=g(1), pA=g(0) (2) Skierowaniem liczby rozmytej nazywa się uporządkowanie funkcji f i g tak, Ŝe funkcja f jest początkiem OFN, zaś g końcem tej liczby. algebra nowych liczb. Niech A=(fA,gA), B=(fB,gB), C=(fC,gC) będą skierowanymi liczbami rozmyty wtedy: • suma C=A+B (3) fC = fA + fB , gC =gA + gB • róŜnica C=A-B (4) fC = fA - fB , gC =gA – gB iloczyn C=A*B (5) fC = fA *fB , gC =gA *gB • iloczyn przez skalar C=A*r (6) fC =r* fA , gC =r*gA • iloraz C=A/B (7) fC = fA /fB , gC =gA /gB Jedną z waŜniejszych zalet OFN jest to, Ŝe nie zawsze wynikiem operacji na nich jest liczba o większym nośniku. Mogą one przechodzić przez wiele operacji, nie tracąc przy tym na dokładności. Dają one przy tym moŜliwość wnioskowania wstecz. Wykonując operację arytmetyczną moŜna otrzymać liczbę, której nośnik jest nieskończenie mały, interpretuje się ją jako liczbę rzeczywistą i nazywa singletonem. Dla klasycznych liczb rozmytych nie było moŜliwe otrzymanie singletonu w wyniku działań na nich przeprowadzanych. To pojęcie było uŜywane, ale np. w celu przeniesienia niezmienionej liczby rozmytej na osi kontinuum. A-A=0nr oraz A*1/A=1nr (8) Tak jak w arytmetyce liczb rzeczywistych, analogiczne operacje na OFN są przemienne jak i łączne oraz mnoŜenie jest rozłączne względem dodawania. Dla algebry klasycznych liczb rozmytych opartej na zasadzie rozszerzania nie było to takie oczywiste. Dodatkowo idea skierowanych liczb rozmytych łączy w sobie operowanie na liczbach rozmytych jak i rzeczywistych. X=C-A (9) Dzięki temu jest się w stanie rozwiązać równania, które nie miało rozwiązania dla klasycznych liczb rozmytych. Dodatkowo idea skierowanych liczb rozmytych łączy w sobie operowanie na liczbach rozmytych jak i rzeczywistych. • Rys.1. a) Interpretacja graficzna OFN, b) OFN przedstawiona w sposób nawiązujący do klasycznych liczb rozmytych z dodatkową strzałka ukazującą skierowanie (orientację) liczby. Fig.1. a) Graphical interpretation OFN, b) OFN presented in a way to classic fuzzy numbers with an additional arrow showing ordered (orientation) number. W interpretacji graficznej skierowanie przedstawia się jest za pomocą strzałki (rys. 1b, 2). W zaleŜności od skierowania OFN moŜna podzielić na dwa typy: • OFN o orientacji pozytywnej wtedy, gdy kierunek OFN jest zgodny z kierunkiem osi OX liczb rzeczywistych (rys.2 liczba A, rys.3). • OFN o orientacji negatywnej wtedy, gdy kierunek OFN jest przeciwny do kierunku osi OX liczb rzeczywistych (rys.2 B). 2. Obserwacja rozmyta Rys.2. OFN A i B z tym samym kształtem funkcji, lecz o przeciwnym skierowaniu. Fig.2. OFN A and B of the same shape's, but otherwise ordered. Zostaną podane cechy róŜniące OFN od klasycznych liczb rozmytych. Przede wszystkim trzeba zauwaŜyć szersze moŜliwości, jakie daje KaŜdy proces jaki by nie był przede wszystkim trwa. W kolejnych jednostkach czasu obserwuje się zdarzenia, którym przypisuje się oceny w skali [0, 1]. Obserwację taką i zmiany w czasie moŜna nazwać obserwacją rozmytą [9, 12]. Czas lub teŜ monotoniczność (narastanie, zanikanie) zjawiska moŜe być dla konstruktora decydującym czynnikiem wpływającym na skierowanie liczb w jego projekcie. Dzięki obserwacji rozmytej istnienie czasu moŜe być wykorzystane jako moŜliwość wyboru parametru dla przedstawienia krzywej przynaleŜności skierowanej liczby rozmytej. Jeśli para funkcji ciągłych (f, g) reprezentuje skierowaną liczbę 21 rozmytą A, to przy wyborze t jako parametru czasu obserwacji rozmytej moŜna byłoby przedstawić krzywą przynaleŜności odpowiadającej liczbie A w postaci pary funkcji: x = x̂(t), y = ŷ(t), t ∈ [t 0 , t f ] t 1- ≤ t 1+ y(t 1- ) = y(t 1+ ) = y(t) = 1, t ∈ [t 1- , t 1+ ] f(y(t)) = ŷ(t), gdy t ∈ [t 0 , t 1- ] g(x(t)) = x̂(t) , gdy t ∈ [t 1+ , t f ] Zapis prędkości w postaci OFN dzięki skierowaniu daje moŜliwość zaznaczenia, w jakim kierunku postępuje ruch. Skierowanie jest pewną prognozą, co się wydarzy w następnej chwili czasu, czy odległość od dworca będzie rosła, czy malała. Dzięki OFN obserwator moŜe nie tylko oceniać, w jakim stopniu uznaje prawdziwość rozpatrywanego zjawiska, ale takŜe wyrazić swoją ocenę dotyczącą jego dynamiki. Przykład 2 (10) Przedstawione zostanie kilka przykładów, które dowodzą sensu zaistnienia OFN nie tylko jako obiektów matematycznych, ale równieŜ jako pewnych prognoz, tendencji, ocen, parametrów. Rys.3. Trapezoidalna OFN. Fig.3. Trapezoid OFN. KaŜdą trapezoidalną OFN moŜna opisać za pomocą charakterystycznych punktów: (l,1-,1+,p) (rys. 3). Analogicznie są traktowane trójkątne OFN z tym, Ŝe punkty 1- oraz 1+ są sobie równe. W ich przypadku zapis zostanie ograniczony do następujących trzech liczb (l, 1, p). Przykład 1 RozwaŜany będzie przypadek, w którym obserwator znajdujący się na pewnym dworcu szacuje, Ŝe pociąg porusza się z prędkością v=około 20km/h. Ta informacja go nie zadowala, poniewaŜ nie wie, czy pociąg się oddala czy zbliŜa (rys. 4), czy uciekł mu czy dopiero nadjeŜdŜa. Tempomat jest urządzeniem pozwalającym na utrzymywanie określonej prędkości bez znaczenia, czy pojazd porusza się po płaskiej, czy teŜ pochyłej nawierzchni. Prowadzący pojazd nie musi naciskać pedału przyspieszenia, poniewaŜ odbywa się to automatycznie. RozwaŜone zostanie sens uŜycia skierowanych liczb do sterowania uproszczonym modelem tego urządzenia, co za tym idzie przyspieszeniem bądź hamowaniem pojazdu. Oczywiście rozwaŜany przykład jest teoretyczny. RozwaŜone będzie osiem OFN obranych dla kontinuum prędkości. Będą one wyglądały następująco: około 10 (0, 10, (20,1)), około 30 (20, 30, (40,1)), około 50 (40, 50, (60,1)), około 70 (60, 70, (80,1)), około 90 (80, 90, (100,1)), około 110 (100, 110, (120,1)), około 130 (120, 130, 140). Wszystkie OFN będą na początku tego samego dodatniego skierowania. Zastosowano delikatne pokrycie się liczb w zakresie 0,1km/h, które jest mniejsze niŜ dokładność odczytu tempomatu, która wynosi 0,2km/h, co daje w rezultacie, Ŝe kaŜda wartość odczytywanej prędkości będzie naleŜała tylko do jednej OFN z przedziału (0, 140). Prowadzący pojazd wybrał prędkość z jaką chciałby się przemieszczać na 100km/h. Skierowanie wszystkich OFN połoŜonych powyŜej tej wartości prędkości automatycznie zmienia kierunek na przeciwny do pozostałych (rys. 5). Od tej chwili wyglądają następująco: około 110 ((120,1), 110, 100), około 130 (140, 130, 120). Rys.4. Pociąg a) oddalający się b) zbliŜający się od dworca z prędkością około 20 km/h Fig.4. Train a) departuring b) oncoming from the railway station at approximately 20 km/h 22 Przychody, koszty, dochody Income, expenses, rev en ue M(i) 1 2 3 4 Rys.5. OFN załoŜone dla prędkości pojazdu. Przewidywany przychód (Pi) (100, 108, 116, 130) (50, 55, 60, 70) (120, 130, 140, 145) (70, 80, 90, 101) (80, 75, 70, 60) (40, 30, 25, 22) (105, 100, 96, 92) (85, 80, 75, 70) Obliczony dochód globalny Fig.5. OFN Established for speed of the vehicle. Baza reguł przedstawia się następująco: 1. jeśli v jest około 10 to a jest 5m/s2; 2. jeśli v jest około 30 to a jest 4m/s2; 3. jeśli v jest około 50 to a jest 3m/s2; 4. jeśli v jest około 70 to a jest 2m/s2; 5. jeśli v jest około 90 to a jest 1m/s2; 6. jeśli v jest około 110 to a jest -1m/s2; 7. jeśli v jest około 130 to a jest -2m/s2 . Jeśli wartość prędkości pojazdu będzie się zawierać w OFN o skierowaniu dodatnim, to przyspieszenie a będzie przybierało wartości dodatnie. Jeśli wartość prędkości będzie się zawierać w OFN o skierowaniu dodatnim, to przyspieszenie a będzie przybierało wartości ujemne. Przyspieszenie dla liczb około 90 i około 110 oraz liczb około 70 i około 130 będzie przybierało tą samą wartość, ale inny znak. Skierowania interpretowane jest w tym przypadku, jako wyznacznik znaku wartości funkcji pierwotnej po czasie. Informuje ono z góry, jaki znak będzie przybierało przyspieszenie a, czy zostanie włączony hamulec w przypadku samochodu czy gaz. Przykład 3 Dotyczy dziedziny, z którą kaŜdy ma coś wspólnego, a mianowicie ekonomi. Pewna fikcyjna firma posiada sieć czterech sklepów. Zostały one ponumerowane i=1, 2, 3, 4. Na sprzedaŜ globalną Dg firmy składa się przychód ze sprzedaŜy produktów Pg minus koszty Kg tj.: cena zakupu produktu, transport, pensje pracownicze, opłaty medialne, reklama itp. Eksperci uwzględniając wiele czynników w tym tendencję do wzrostów i spadków mają oszacować przyszłoroczne koszty i przychody pojedynczych sklepów. Na tej podstawie zostaną obliczone dochody D1, D2, D3, D4, które po zsumowaniu dadzą przypuszczalny przyszłoroczny dochód globalny Dg. Przychody i koszty eksperci starali się dobrać, tak by w przyszłym roku otrzymać dochód globalny Dg w postaci OFN skierowanej pozytywnie. WaŜna jest tu interpretacja skierowania, jako tendencji wzrostowej dochodu globalnego. Ocena ekspertów nie jest do końca precyzyjna i aby obliczyć przewidywalny globalny dochód firmy wydaje się sensownym uŜycie OFN do zobrazowania przychodów i kosztów kaŜdego ze sklepów podany w milionach zł (tabela). Przewidywane koszty (Ki) Przewidywany dochód (Di= Pi- Ki) (50, 53, 56, 60) (50, 50, 50, 44) (40, 45, 45, 46) (20, 20, 21, 22) (160, 168, 172, 194) Rys.6. Przewidywane dochody poszczególnych sklepów oraz dochód globalny. Fig.6. Estimated revenue individual shops and revenue of its global. PoniŜej zinterpretowano OFN kosztów i przychodów dla pierwszej dwójki sklepów. l - jest wyjściowym punktem, dla których prognozowane przychody i koszty mają wzrosnąć; up - mówi o przewidywanym wzroście przychodów i kosztów. Jeśli według ekspertów koszty mieściły by się w tym przedziale, choć niskie i wydawało by się, Ŝe są dobre, mogły by nie starczyć na nieprzewidziane potrzeby. W tym przedziale przychody nie dają zadowalających rezultatów, ale istnieje przypuszczenie, Ŝe będą w czasie rosły; const - informuje o spodziewanych optymalnych parametrach. Nie są one maksymalnymi dla przychodów ani minimalnymi dla kosztów; down – mówi o sytuacji, gdy przychody w opinii ekspertów będą powodować większe koszty i zmniejszenie się opłacalności produkcji; p – jest to maksymalny poziom kosztów i przychodów jaki moŜe być osiągnięty. Dla sklepów 3 oraz 4 sytuacja jest zupełnie inna, co ma przedstawiać przeciwne skierowanie OFN kosztów oraz przychodów. Interpretacja charakterystycznych punktów oraz przedziałów przedstawia się następująco: l – w opinii ekspertów jest punktem wyjściowym dla marketów, w których zakładane jest zmniejszenie kosztów i przychodów; up – prognozowane przychody, co za tym idzie część kosztów mają zmaleć, jednak bilans ich daje pozytywne perspektywy; 23 const - tak jak dla poprzednich dwóch marketów, zawiera informuje o spodziewanych optymalnych parametrach przychodów i kosztów; down - informuje sytuacji, w której większy spadek kosztów daje równieŜ duŜy spadek przychodów, co nie jest pozytywną perspektywą; p – najmniejsze wartości przychodów i kosztów jakie są brane pod uwagę przez ekspertów. NaleŜy zauwaŜyć, Ŝe orientacja OFN kosztów i przychodów nie przenosi się bezpośrednio na orientację dochodów. Przykładem staje się sytuacji marketu nr 2, którego dochód otrzymany został w postaci OFN skierowanej ujemnie. ChociaŜ P2 i K2 są dodatnie, koszty rosną szybciej niŜ przychody, co daje spadek dochodu tego w stosunku to punktu, jaki obrano za wyjściowy i jest zgodne z intuicją. MoŜna zauwaŜyć równieŜ, Ŝe największy wpływ na dochód globalny Dg ma sklep 1, nie tylko ze względu na wielkość kwot na jakich pracuje, ale równieŜ ze względu na szerokość nośnika. Przykład ten pokazuje proste i zgodne z intuicją zastosowanie OFN w modelach ekonomicznych, gdzie istnieje wiele zaleŜności i wpływów zewnętrznych i wewnętrznych na pewne komórki gospodarcze do tego stopnia, iŜ nawet grupa ekspertów nie jest wstanie dokładnie przewidzieć pewnych sytuacji (kryzys). Ogromnym plusem OFN jest niewielka szerokość nośnika wyniku, co umoŜliwia interpretację bez zbędnych w tym wypadku procedur wyostrzania. OFN nie tylko zawieranie informacji o sytuacji w danym czasie, ale równieŜ pojawia się parametr umoŜliwiający odczytanie tendencji. Próby zastosowania OFN w ekonomi moŜna znaleźć w publikacji [4], gdzie przeanalizowano model Leontiewa przy uŜyciu OFN dla opisu współrzędnych wektora produkcji całkowitej. Przykład 4 Ten przykład porusza problem dotyczący występowania wśród nowych liczb niewłaściwych OFN(rys.7). Liczb tych uŜywa się przede wszystkim w obliczeniach, by uzyskać zadowalające wyniki. Toczy się wiele dyskusji nad interpretacją krzywej przynaleŜności, która w tym przypadku pojawia się zamiast funkcji przynaleŜności. Kształty krzywej przynaleŜności mogą być bardzo zróŜnicowane. Maklerzy giełdowi jako eksperci według pewnych wskazówek, wzorów i intuicji powinni potrafić określić przypuszczalny przebieg pozycji firm na rynku. Przypuśćmy, Ŝe grupa maklerów określa wartość teoretycznej firmy w czasie duŜych wahań koniunktury na około miliona złotych i zapisuje jako niewłaściwą OFN o kształcie jak na rysunku 7. Pytanie jakie się od razu nasuwa to, jak w danym momencie jedna wartość moŜe przynaleŜeć do danego zbioru w dwóch stopniach. OtóŜ opinie ekspertów na ten sam temat często przybierają skrajne postawy. W ten sposób funkcja przynaleŜności danego zbioru moŜe być równieŜ rozmyta lub zawierać się w jakimś przedziale niepewności np., gdy ma się do czynienia niejednoznacznymi danymi. Z tym zjawiskiem moŜna się spotkać w reprezentacji wiedzy przy wykorzystaniu zbiorów rozmytych 2 typu [10]. W tym przypadku powstają pewne przedziały niepewności na obszarze zawartym w przedziale ograniczonym częścią przedziału const i funkcją down. Na rysunku 7 obszar ten został zakreskowany. Rys.7. Przykład niewłaściwej OFN. Fig.7. Example of incorrect OFN. Podobnie, jak w poprzednim przykładzie tendencje wzrostowe otrzymają dodatnie skierowanie zaś spadki ujemne. Idąc zgodnie z narastaniem osi OX wartość funkcji w punkcje g(0) jest pewną wartością krytyczną. Do niej maklerzy są zgodni, w jakim stopniu ta wartości przynaleŜy do zbioru około miliona. Idąc dalej po przekroczeniu wartości funkcji g(0) część ekspertów uwaŜa, Ŝe wystąpi duŜa dynamika zmian i nie są oni zgodni co do tego, jak ma wyglądać funkcja przynaleŜności. Szacunki ekspertów na wiadomość o przekroczeniu punktu krytycznego i dalszym wzroście wartości firmy stają się coraz bardziej zgodne. Największa wartość jaka mieści się w pojęciu około miliona to wartość funkcji w punkcie g(1). Maklerzy są przekonani, Ŝe wartość firmy ze względu na ilość surowców nie moŜe wyjść poza ten punkt i wartość firmy zaczyna spadać wzdłuŜ funkcji down. W skierowaniu funkcji down, które jest przeciwne do kierunku osi, zawarta jest informacja mówiąca o spadku w czasie wartości firmy. Przypomina to mechanizm pętli histerezy. Skierowane liczby rozmyte dają moŜliwość, aby kształt ramion funkcji up oraz down odzwierciedlał realne zaleŜności. Dodatkowo skierowanie daje moŜliwość zawarcia informacji o przewidywanym kierunku zmian i punkcie, w jakim ma to nastąpić. Temat niewłaściwych OFN będzie poruszony szerzej w następnej publikacji. 24 3. Wnioski i podsumowanie Skierowane liczby rozmyte są odpowiedzią na częste zarzuty wytaczane przeciw klasycznym liczbą rozmytym takim jak: zwiększanie rozmytości przy wykonywaniu kolejnych działań, brak moŜliwości wnioskowania wstecz oraz duŜe skomplikowanie obliczeniowe. Mają swoją nowatorską algebrę zachowując przy tym całą idee zbioru rozmytego. Dzięki niej mogą one przechodzić przez wiele operacji, nie tracąc przy tym na dokładności. Dodatkowo OFN dają moŜliwość wnioskowania wstecz. Wykonując operację arytmetyczną moŜna otrzymać liczbę, której nośnik jest nieskończenie mały, interpretuje się ją jako liczbę rzeczywistą. MoŜna więc rozwiązywać zadania, w których część danych jest skierowanymi liczbami rozmytymi a część liczbami rzeczywistymi. Tak jak w arytmetyce liczb rzeczywistych, analogiczne operacje na OFN są przemienne, łączne oraz mnoŜenie jest rozłączne względem dodawania. Dzięki temu jest się w stanie rozwiązać równania, które nie miało rozwiązania dla klasycznych liczb rozmytych. WaŜnym aspektem w rozwaŜaniach nad skierowanymi liczbami rozmytymi jest obserwacja rozmyta. Istnienie czasu moŜe być wykorzystane, jako moŜliwość wyboru parametru dla przedstawienia krzywej przynaleŜności skierowanej liczby rozmytej w postaci parametrycznej. Czas lub teŜ monotoniczność (narastanie, zanikanie) zjawiska moŜe byś dla projektanta systemu decydującym czynnikiem wpływającym na skierowanie liczb. W przykładach podano kilka moŜliwości interpretacji skierowania. RozwaŜane było jako wyznacznik kierunku ruchu, wyznacznik znaku wartości funkcji pierwotnej po czasie oraz pewnej tendencji. Dzięki skierowanym liczbom rozmytym, ekspert moŜe nie tylko oceniać, w jakim stopniu uznaje prawdziwość rozpatrywanego zjawiska, ale takŜe wyrazić swoją ocenę dotyczącą jego dynamiki. http://212.33.90.158/terw2008/archives/terw20 07/resources/articleskacprzak _terw2007.pdf 5. Kosiński Witold: On Fuzzy Number Calculus, Int. J. Appl. Math. Comput.Sci., 2006, vol 16, no. 1, pp. 51-57 6. Kosiński Witold., Prokopowicz Piotr., Algebra liczb rozmytych, Matematyka Stosowana, 5 (46), pp. 37-63, 2004 7. Kosiński Witold., Prokopowicz Piotr., Ślęzak Dominik., (2005), Calculus with fuzzy numbers, Proc. Intern.Workshop on Intelligent Media Communicative Intelligence, Warszawa, September, 2004, L.Bolc, T. Nishida, Z. Michalewicz,(eds), LNCS, Springer, Heidelberg, 2005 8. Piegat Andrzej: Modelowanie i sterowanie rozmyte, Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT Warszawa 1999 9. Prokopowicz Piotr., Algorytmizacja działań na liczbach rozmytych i jej zastosowania, rozprawa doktorska, IPPT PAN, 2005 10. Rutkowski Leszek: Metody i techniki sztucznej inteligencji, Inteligencja obliczeniowa, Wydawnictwo Naukowe PWN. Warszawa 2006 11. Rutkowska Danuta: Piliński Maciej., Rutkowski Leszek., Sieci neuronowe, algorytmy genetyczne i systemy rozmyte, Wydawnictwo Naukowe PWN. Warszawa, Łódź 1999 12. Wilczyńska- Sztyma Dorota: Pewne aspekty sterowania w rozumieniu skierowanych liczb rozmytych w środowisku MATLAB, Praca magisterska, napisana pod kierunkiem prof. dra hab. W. Kosińskiego, Bydgoszcz 2007 13. Zadeh Lotfi: Fuzzy sets, Information and Control, 8(3), pp. 338–353. Adres słuŜbowy Mgr Dorota Wilczyńska-Sztyma Kazimierz Wielki University ul. Chodkiewicza 30 85-064 Bydgoszcz tel. 880 362 558 Literatura 1. Bartkiewicz Witold: Bartkiewicz W. Inteligentne systemy w zarządzaniu. Teoria i praktyka, Pod redakcją Zieliński J.S. Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa 2000 2. Driankov Dimiter: Hellendoorn Hans., Reinfrank Michael., Wprowadzenie do sterowania rozmytego, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1996 3. Łachwa Andrzej: Rozmyty świat zbiorów, liczb, relacji, faktów reguł i decyzji, Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT Warszawa 2001 4. Kacprzak Dariusz: Analiza modelu Leontiewa z uŜyciem skierowanych liczb rozmytych, Politechnika Białostocka Wydział Informatyki Katedra Matematyki [email protected] 25 email: [email protected]