Nr wniosku: 159321, nr raportu: 7540. Kierownik (z rap.): dr hab

Nr wniosku: 159321, nr raportu: 7540. Kierownik (z rap.): dr hab. Hagen Joerg Meltzer
Projekt badawczy dotyczył zastosowania stabilnych kategorii wiązek wektorowych do teorii reprezentacji algebr
skończenie wymiarowych. Ta teoria, która ma głębokie związki z innymi częściami matematyki, zajmuje się klasyfikacją
i opisem modułów nierozkładalnych nad takimi algebrami i stowarzyszonymi problemami. Dużo metod, jak
homologicznych, kombinatorycznych i geometrycznych zostało rozwiniętych w ostatnich 40-tu latach. W naszych
badaniach studiujemy związki pomiędzy nieprzemienną geometrią algebraiczną i teorią reprezentacji.
Dokładniej, pokazaliśmy zaskakujące związki pomiędzy teorią osobliwości, teorią stabilnych kategorii wiązek
wektorowych i problemem nilpotentnych operatorów przestrzeni liniowych z niezmienniczymi podprzestrzeniami. Ostatni
problem ma długą historią i został utworzony przez Birkhoff w roku 1934. W naszym podejściu używamy teorii prostych
rzutowych ważonych, która została wprowadzona przez Geigle i Lenzing w 1985 roku, jako geometryczne podejście do
algebr kanonicznych Ringela i która też jest związana z klasyfikacją wiązek wektorowych nad gładkimi krzywymi
eliptycznymi przez Attiyah.
Z osobliwością S=k[x,y,z]/(x^a+y^b+z^c) łączymy prostą rzutową ważoną typu ważonego (a,b,c). Wtedy stabilna
kategoria wiązek wektorowych, gdzie wszystkie wiązki liniowe są faktoryzowane, jest równoważna ze stabilną kategorią
modułów Cohena-Macaulaya z gradacją i z pochodną kategorią osobliwości dla S w sensie Buchwietza i Orlova.
Pokazaliśmy, że ta kategoria ma dualność Serre'a, posiada obiekt odwracający i jest ułamkowa Calabi-Yau (takie
własności często występują w nowoczesnej teorii reprezentacji w innych sytuacjach). Również podajemy postać
składowych Auslandera-Reiten dla stabilnej kategorii.
Ponadto, pokazaliśmy że stabilna kategoria wiązek wektorowych dla prostej rzutowej ważonej typu (2,3,p) jest
równoważna z kategorią przestrzeni liniowych z nilpotentnym operatorem stopnia nilpotentności p i z niezmienniczą
podprzestrzenią. Ważną rolę w dowodzie tego faktu gra odpowiedni podział wiązek liniowych na dwie rozłączne klasy,
które nazywamy persistent i fading.
W najbardziej interesującym przypadku p=6 studiujemy obiekty wyjątkowe jako reprezentacje odpowiedniego kołczanu z
relacją. Wtedy łączymy ten problem z problemem modułów wyjątkowych nad pewną algebrą tubularną w sensie Ringela.
Istotną rolę w naszych rozważaniach grają nierozkładalne wiązki rangi 2, które zastępują wiązki liniowe, które są
faktoryzowane. Wprowadziliśmy tak zwane wiązki rozszerzeń i pokazaliśmy, że są one wyjątkowe w kategorii snopów
koherentnych jak również w odpowiedniej stabilnej kategorii wiązek wektorowych. Ponadto każda nierozkładalna
wiązka wektorowa rangi 2 jest izomorficzna z wiązką rozszerzeń. Jest ponadto ciekawe, że w przypadku typu ważonego
(2,3,p) stabilne kategorie wiązek wektorowych tworzą tak zwany łańcuch ADE. Ponadto w przypadku typu ważonego (2,
a,b) wyjaśniamy dualność Happela Seidela.
Nasze wyniki miały wpływ na rozwój teorii reprezentacji. Metody i rezultaty są cytowane i wymieniane podczas
referatów na międzynarodowych konferencjach i inspirowały innych matematyków w ich badaniach. Tu można wymienić
Markus Schmidmeier (Boca Raton), Claus Michael Ringel (Bielefeld), Osama Iyama (Nagoya), Pu Zhang (Shanghai),
Shiquan Ruan (Xiamen), Sefi Ladkani (Bonn). Z drugiej strony ostatnio Herschend, Iyama, Minamoto i Oppermann
wprowadzili tak zwane przestrzenie Geigle-Lenzinga. które są wyżej wymiarowymi odpowiednikami prostych rzutowych
ważonych i pokazali oni dużo własności włącznie z istnieniem obiektu odwracającego. Wspólnie z Kussinem i
Lenzingiem wniskodawca również zamierza studiować przypadek wyżej wymiarowych rozmaitości ważonych
koncentrując się na dualność Serre'a, teorii Auslandera-Reiten, związku z modułami Cohena-Macaulaya, rozszczepialne
wiązki wektorowe i obiekty odwracające. Ponadto zaczęliśmy studiować uogólnienie problemu podprzestrzeni Birkhoffa,
który był wymieniony na początku, Mianowicie badamy przpadek przestrzeni liniowych z nilpotentym operatorem i
dwoma flagami podprzestrzeni niezmienniczych. Również w tej sytuacji łączymy z problemem pewną stabilną kategorią
wiązek wektorowych, jednak występują tu nowe zjawiska jak na przykład struktury quasi-Frobeniowskie.