Zasada indukcji matematycznej
Transkrypt
Zasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej 1. Pokaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi (a) 1 + 2 + 3 + . . . + n = n(n+1) 2 2 (b) 1 + 3 + . . . + (2n − 1) = n n(n+1)(2n+1) 6 2 2 2 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1)2 = n3 (2n 1 1 1 n + 4·7 + . . . + (3n−2)·(3n+1) = 3n+1 1·4 (c) 12 + 22 + . . . + n2 = (d) (e) − 1)(2n + 1) (f) 1 · 1! + 2 · 2! + . . . + n · n! = (n + 1)! − 1 2. Pokaż, że (a) dla dowolnej liczby naturalnej n liczba 5n − 1 jest podzielna przez 4 (b) dla dowolnej liczby naturalnej n liczba 42n+1 + 3n+2 jest podzielna przez 13 (c) dla dowolnej liczby naturalnej n liczba n5 − 5n3 + 4n jest podzielna przez 120 (d) dla dowolnej liczby naturalnej n 2n > n (e) dla dowolnej liczby naturalnej n większej od 3, n! > 2n (f) dla dowolnej liczby naturalnej n większej od 2, 2n > 2n + 1 (g) dla dowolnej liczby naturalnej n n3 > n(n+1) 2 3 (h) dla dowolnej liczby naturalnej n 4n > n 3. Pokaż, że liczba permutacji dowolnego zbioru o n elementach jest równa n!. 4. Pokaż, że każdy zbiór n elementowy S posiada 2n podzbiorów ( łącznie ze zbiorem pustym i zbiorem S). 5. Udowodnij indukcyjnie, że każdą kwotę n ≥ 4 można rozmienić na dwuzłotówki i pięciozłotówki. 6. Pokaż, że dla dowolnego a > −1 oraz dowolnego n ∈ N zachodzi: 1 + na ≤ (1 + a)n n 7. Pokaż, że dla n > 2 liczba 22 ma w rozwinięciu dziesiętnym liczbę jedności równą 6. 8. Udowodnij, że 11 . . . 12 = 2n − 1 | {z } n 9. Udowodnij, że dla dowolnego naturalnego n liczba n(n + 1) jest parzysta. 1 10. Pokaż, że ciąg sn zadany rekurencyjnie : s0 = 1, s1 = −3, sn = 6sn−1 − 9sn−2 n > 2 można opisać wzorem jawnym : sn = 3n − 2 · n · 3n , n > 0 11. Czekolada jest prostokątem złożonym z jednoskowym kwadracików. Zakładamy, że możemy ją łamać wzdłuż poziomych bądż pionowych rowków, podobnie powstałe z przełamania kawałki (które są prostokątami). Zakładamy, że w jednym ruchu dokonujemy jednego łamania tylko jednego kawałka. Ile ruchów potrzebujemy , aby podzielić czekoladę na jednostkowe kawałki. Trenując na prawdziwej czekoladzie dojść do odpowiedzi a otrzymany wynik udowodnić indukcyjnie. 12. Weźmy zdanie p(n) := ń2 + 5n + 1 jest liczbą parzystą”. (a) Udowodnij, że z prawdziwości zdania p(k) wynika prawdziwość zdania p(k + 1) dla każdego k ∈ N. (b) Dla jakich wartości n zdanie p(n) jest rzeczywiście prawdziwe? Jaki wynika stąd morał? 13. TEZA: ”Wszystkie koty są czarne”. (”W każdym (skończonym) zbiorowisku kotów, wszystkie koty są czarne ”.) Jeżeli rozważany zbiór kotów jest pusty (ma 0 elementów), to sprawa jest oczywista. Załóżmy, że każdy n-elementowy zbiór kotów składa się z samych czarnych kotów i rozważmy zbiór składający się z n + 1 kotów. Możemy przyjąć, że powstał on przez dodanie do n elementowego zbioru kotów ( a więc samych czarnych kotów) nowego kota. Z tego n + 1- elementowego zbioru wyciągamy jednego kota, ale nie tego, którego wcześniej dołożyliśmy. Pozostanie zbiór złożony z n kotów. Muszą być w nim - na mocy założenia - same czarne koty. A wśród nich jest nasz nowy kot - czyli jest on czarny!. Zatem wszystkie koty w tym zbiorze (n+1)- elementowym są czarne. Korzystając z indukcji stwierdzamy, że .. wszystkie koty są czarne. Gdzie jest błąd? 14. Wskaż błędy w rozumowaniu: (a) Pokażę, że wszystkie liczby naturalne są parzyste. Oczywiście 0 jest liczbą parzystą. Niech n będzie dowolną liczbą naturalną i załóżmy, że dla wszystkich k < n, k jest parzyste. Niech n1 , n2 będzie dowolnym rozbiciem liczby n na sumę liczb mniejszych (tzn. n = n1 + n2 ). Ponieważ n1 oraz n2 są mniejsze od n, n1 , n2 są parzyste, a więc n jest parzyste jako suma dwóch liczb parzystych. 2 (b) Pokażę, że wszystkie dodatnie liczby naturalne są nieparzyste. Oczywiście 1 jest liczbą nieparzystą. Niech n będzie dowolną liczbą naturalną i załóżmy, że dla wszystkich k < n, k jest nieparzyste. Niech 1, n1 i n2 będzie dowolnym rozbiciem liczby n na sumę trzech liczb mniejszych (tzn. n = n1 + n2 + 1). Ponieważ n1 oraz n2 są mniejsze od n, n1 i n2 są nieparzyste, a więc n jest nieparzyste jako suma dwóch liczb nieparzystych i liczby 1. 15. Oto prosta wersja gry NIM. Jest stos n monet i dwóch graczy. Kolejno zabieraj ze stosu monety. Za każdym razem możesz zabrać 1,2 lub 3 monety. Przegrywa ten , kto zabierze ostatnią monetę (ostatnie monety). Dla jakich n grę wygrywa gracz pierwszy, a dla jakich drugi? ’Wygrywa grę’ oznacza, że gracz ma strategię wygrywającą, nawet przy bardzo dobrej grze przeciwnika. 3